2018年高考数学总复习高考达标检测五十七坐标系理20170916488

一、选择题1．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝02．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( ) A ．9B ．3C ．2 3D ．23．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( ) A. 3B ．2C ．2 3D ．44．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．45．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离6．(2016·嘉兴期末)已知圆心在原点，半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中A (4,0)，B (6,8)，C (2,4)，则R 的取值范围是( ) A ．[855，10]B ．[4,10]C ．[25，10]D ．[655，10]7．(2016·西安西工大附中第一次适应性训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，π4B.⎣⎡⎦⎤π12，5π12C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤0，π2 二、填空题9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．10．(2016·杭州学军中学模拟)已知动直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________． 二、解答题11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．答案解析1．B [以PO 为直径的圆(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝134与圆x 2＋y 2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x ＋3y －1＝0.]2．B [由题意知，圆心⎝⎛⎭⎫1，－m2在直线2x ＋y ＝0上， ∴2－12m ＝0，解得m ＝4，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆的半径为3.]3．B [当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝4－d 2·d ＝(4－d 2)d 2≤4－d 2＋d 22＝2，当且仅当4－d 2＝d 2，即d ＝2时等号成立，所以△OAB 面积的最大值是2.]4．B [由题意知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，且|OC |＝5，于是m －1≤5≤1＋m ，即4≤m ≤6.]5．C [∵P (a ，b )是x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内一点， ∴a 2＋b 2＜r .又∵m 是以P 为中点的弦所在直线． ∴m 的方程为y －b ＝－1b a(x －a )，即ax ＋by ＝a 2＋b 2＜r 2，而l 的方程为ax ＋by ＝r 2. ∴m ∥l .又圆心O (0,0)到直线l 的距离 d ＝|0＋0－r 2|a 2＋b 2＝r 2a 2＋b 2＞r 2r ＝r .∴l 与圆相离．]6．A [由图象(图略)可得当圆与AC 边相切时，R 取得最小值，直线AC 的方程为2x ＋y －8＝0，则由点到直线的距离公式可得R min ＝855.当圆经过点B 时，R 取得最大值，则R max ＝10，所以R 的取值范围是[855，10]，故选A.]7．B [圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，表示以O (1，－1)为圆心、3为半径的圆． 圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2.9－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式 Δ＝16－196＝－180＜0，故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．] 8．B [由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得 (x －2)2＋(y －2)2＝18， ∴r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π12，5π12.]9．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB |最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 10．0或2 27解析 若两直线垂直，则有m －m (m －1)＝0， 解得m ＝0或m ＝2；把圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，所以圆心坐标为C (1,0)，半径为3. 因为动直线l 过定点P (0，－1)，所以最短弦长为过定点P 且与PC 垂直的弦，此时弦长L＝2r2－|PC|2＝232－(12＋12)2＝27. 11．解(1)易知直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(23，2)，因为直线l的斜率为3 3，所以l的倾斜角为30°，所以l2的倾斜角为60°，所以k2＝3，所以反射光线l2所在的直线方程为y－2＝3(x－23)，即3x－y－4＝0.由题意，知圆C与l1切于点A，设圆心C的坐标为(a，b)，因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，所以b＝－3a＋8，①又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，所以a＝33，②由①②得a＝33，b＝－1，故圆C的半径r＝3，故所求圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.综上，l2所在直线的方程为3x－y－4＝0，圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.(2)设点B(0，－4)关于l对称的点为B′(x0，y0)，即y0－42＝33·x02，且y0＋4x0＝－3，解得x0＝－23，y0＝2，故B′(－23，2)．由题意易知，当B′，P，Q三点共线时，|PB|＋|PQ|最小，故|PB|＋|PQ|的最小值为|B′C|－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)， 故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12)．。

高考达标检测（五十七）坐标系．在极坐标系中，直线ρ( θ－θ)＝与曲线ρ＝θ－θ相交于，两点，若＝，求实数的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为－＋＝，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(－)＋(＋)＝，所以圆心的坐标为(，－)，半径＝，所以圆心到直线的距离为＝＝，解得＝－或＝－.故实数的值为－或－.．在极坐标系中，求曲线ρ＝上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝可得ρ＝ρθ＋(()) θ))＝ρθ＋ρθ，即得＋＝＋，配方可得(－)＋(－)＝，该圆的半径为，则圆上任意两点间距离的最大值为.．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线ρ＝－与极轴的交点，求圆的极坐标方程．解：在ρ＝－中，令θ＝，得ρ＝，所以圆的圆心坐标为()．因为圆经过点，所以圆的半径＝＝，于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为ρ＝θ.．在极坐标系中，求直线ρ＝与圆ρ＝θ的交点的极坐标．解：ρ＝化为直角坐标方程为－＝，即＝－.ρ＝θ可化为＋＝，把＝－代入＋＝，得－＋＝，即－＋＝，所以＝，＝.所以直线与圆的交点坐标为(，)，化为极坐标为.．(·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线过点()，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：()直线的极坐标方程；()极点到该直线的距离．解：()如图，由正弦定理得＝.即ρ＝＝，∴所求直线的极坐标方程为ρ＝.()作⊥，垂足为，在△中，＝，∠＝，∠＝，则＝＝，即极点到该直线的距离等于.．(·山西质检)在极坐标系中，曲线的方程为ρ＝，点.()以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；()设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值，及此时点的直角坐标．解：()∵＝ρθ，＝ρθ，∴曲线的直角坐标方程为＋＝，点的直角坐标为()．()设( θ，θ)，根据题意可得＝－θ，＝－θ，∴＋＝－(θ＋°)，当θ＝°时，＋取最小值，∴矩形周长的最小值为，此时点的直角坐标为.．(·南京模拟)已知直线：ρ＝和圆：ρ＝(≠)，若直线上的点到圆上的点的最小距离等于.求实数的值并求圆心的直角坐标．解：∵ρ＝θ－θ，∴ρ＝ρθ－ρθ，∴圆的直角坐标方程为＋－＋＝，即＋＝，∴圆心的直角坐标为.∵ρθ·－ρθ·＝，∴直线的直角坐标方程为－＋＝，∴－＝.即＋＝＋，两边平方，得＝＋，。

2018 年高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 课时达标 68 坐标系理[ 解密考纲 ] 高考取， 主要波及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、 极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与一般方程的互化，两种不一样方式的方程的互化是考察的热门，常以解答题的形式出现．x 212x ′＝ x ，1．求椭圆 4 ＋ y ＝ 1 经过伸缩变换2后的曲线方程．y ′＝ y1获得 x ＝ 2x ′，分析： 由x ′＝ 2x ，①y ′＝ yy ＝ y ′.x 2 24x ′ 2 222将①代入 4 ＋ y ＝ 1 得 4 ＋ y ′ ＝ 1，即 x ′ ＋ y ′ ＝ 1.x 222 2所以椭圆 4 ＋ y ＝ 1 经伸缩变换后获得的曲线方程是 x ＋ y ＝ 1.2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已ππ知点 A 的极坐标为 2， 4 ，直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－ 4 ＝ a ，且点 A 在直线 l上．(1) 求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)x ＝ 1＋cos α，( α 为参数 ) ，试判断直线 l 与圆 C 的地点关圆 C 的参数方程为y ＝ sin α系．ππ π分析： (1) 由点 A 2，在直线 l 上，得 2cos －2，故直线 l 的 4 4 4 ＝ a ，则 a ＝ 方程可化为 ρsin θ＋ ρcos θ ＝ 2，得直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ y － 2＝0.(2) 消去参数α，得圆 C 的一般方程为 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1，圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝|1 ＋ 0－ 2|12＋ 2＝<1，所以直线 l 与圆 C 订交． 1 123．(2017 ·海南模拟 ) 已知曲线 1 的极坐标方程为ρ ＝ 6cos θ ，曲线2的极坐标方程CC为θ ＝ π( ρ ∈ R) ，曲线1， 2 订交于 ， 两点．4CCA B(1) 把曲线 C 1， C 2 的极坐标方程转变为直角坐标方程；(2) 求弦 AB 的长度．分析： (1) 曲线 C 2：θ＝π4 ( ρ∈ R) 表示直线 y ＝ x ，曲线 C 1：ρ＝ 6cos θ 即 ρ2＝ 6ρcos θ，所以 x 2＋y 2＝ 6x ，即 ( x － 3) 2＋ y 2＝ 9.3 2(2) ∵圆心 (3,0) 到直线的距离 d ＝ 2 ， r ＝3，22∴弦长 AB ＝ 2 r － d ＝ 3 2.4．在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线1的极坐标方程为ρ 2＝ 2 2 ，直线 l 的极坐标方程为 ρ ＝ 4 .C1＋ sin θ 2sinθ＋ cos θ(1) 写出曲线 C 1 与直线 l 的直角坐标方程；(2) 设 Q 为曲线 C 1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值．分析： (1) 依据 ρ2＝ x 2＋ y 2， x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ，可得 C 1 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝ 2，直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ 2y ＝ 4.(2) 设 Q ( 2cos θ， sin θ) ，则点 Q 到直线 l 的距离为2cos θ－4| ＝ 2sinπ＝ | 2sin θ＋θ＋ 4 － 4 ≥ 2 ，d333π ππ当且仅当 θ ＋ 4 ＝ 2k π＋ 2 ，即 θ＝ 2k π＋ 4 ( k ∈ Z) 时取等号．2∴ Q 点到直线 l 距离的最小值为.35．(2017 ·泰州模拟 ) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正π半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsinθ－ 4 ＝ 3 2.(1) 把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；x 2y 2(2) 已知 P 为椭圆 C ： 16＋ 9 ＝ 1 上一点，求 P 到直线的距离的最大值．分析：(1) 把 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ρsin θ－π ＝ 32睁开得42 2θ－ ρcos θ＝ 6，获得直角坐标方程 x － yρ2 sin θ－ 2 cos θ ＝ 32，化为 ρsin＋6＝ 0.x 2 y 2(2) ∵P 为椭圆 C ： 16＋ 9 ＝ 1 上一点，|4cos α－ 3sin α＋ 6|∴可设 (4cosα ， 3sin α ) ，利用点到直线的距离公式得d ＝P2|5sin α－ φ－ 6| | －5－ 6|＝ 11 2 .＝2≤ 22当且仅当 sin( α－ φ) ＝－ 1 时取等号．∴ P 到直线的距离的最大值是 11 22 .3， π 4，π6．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为 3 ， 6 ，求△ AOB (此中 O为极点 ) 的面积．分析： 由题意知，B 的极坐标分别为3，π， 4， π，则△AOB 的面积△ AOB＝ 1A36S 21πOA · OB ·sin ∠ AOB ＝ 2×3×4×sin 6 ＝ 3.7．在极坐标系 Ox 中，直线 C 的极坐标方程为ρsin θ＝ 2， M 是 C 上随意一点，点P11在射线 OM 上，且| OP |·|OM |＝ 4，记点 P 的轨迹为 C 2，求曲线 C 2 的极坐标方程．分析： 设 ( 1， θ ) ， ( ρ2， θ ) ，P ρM由 || ·| | ＝4，得12＝4，即ρ2＝4.OP OM ρ ρρ1∵ M 是 C 1 上随意一点，∴ ρ2sinθ＝ 2，4即 sin θ ＝ 2，ρ 1＝ 2sin θ.ρ 1∴曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ＝ 2sin θ.π8．(2017 ·吉林模拟 ) 在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝ 4cos θ 与直线 l ： θ＝ 4 ( ρ∈ R)交于 A ， B 两点．(1) 求以 AB 为直径的圆 C 2 的极坐标方程；(2) 在圆 C 1 上任取一点 M ，在圆 C 2 上任取一点 N ，求 | MN |的最大值．分析： (1) 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，成立直角坐标系，则由题意得圆C 1：ρ＝ 4cosθ 化为 ρ 2＝ 4ρcos θ，∴圆 C的直角坐标方程 x 2y2＋ －4 ＝0.1直线 l 的直角坐标方程 y ＝ x .x 2＋y 2－ 4x ＝ 0，由y ＝x ，x ＝ 0， x ＝ 2， 解得或y ＝ 0y ＝ 2，∴ A (0,0) ， B (2,2) ，进而圆 C 2 的直角坐标方程为 ( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2，即 x2＋ y2＝2x＋2y.将其化为极坐标方程为：ρ2＝2ρ cosθ＋2ρsinθ，即ρ＝2cosθ＋2sinθ.(2) ∵C1(2,0) ，r1＝ 2，C2(1,1)，r2＝2，∴ | MN| ＝ | CC| ＋r＋r＝ 2＋ 2＋ 2＝ 2 2＋ 2.max1 212。

1221则直线l2的方程为________________．2．过点P(1,2)作直线l，若点A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程是________________．3．(2016·如东高级中学期中)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为______________．4．过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是________________．5．光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上被反射后光线所在的直线方程是________________．6．(2016·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合，则直线l与直线l1的距离是________．7．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．8．(2016·常州模拟)在△ABC中，点A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为____________．9．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为____________．10．(2016·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y 轴上的截距之和的最小值为________．11．(2016·苏州模拟)已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是______________________．12．在直线方程y＝kx＋b中，当x∈－3,4]时，恰好y∈－8,13]，则此直线方程为__________________．13．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为__________________．14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________．(2)若a＞－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为________________．答案精析1．3x ＋4y －3＝02．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝03．3x ＋y ＋2＝0 4.2x ＋y －4＝05．y ＝x 2－12解析 在直线y ＝2x ＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y ＝x 的对称点(1,0)，(3,1)，过这两点的直线为y －01－0＝x －13－1，即y ＝x 2－12. 6.115解析 设直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，依题意可得l 1：a (x －3)＋b (y －5)＋c ＝0，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位得直线l ：a (x －4)＋b (y －3)＋c ＝0，故a ＝－34b ，则直线l 与直线l 1的距离d ＝|－3a －5b ＋c ＋4a ＋3b －c |a 2＋b 2＝|a －2b |a 2＋b 2＝|－34b －2b |(－34b )2＋b 2＝115. 7．x －y ＝0 解析 由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b2)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2，即x －y ＝0.8．(－1,0)或(53，8)解析 设点C 到直线AB 的距离为h ，由题意知AB ＝(－1－3)2＋(5－2)2＝5，∴S △ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝10，∴h ＝4，即点C 到直线AB 的距离为4.易求得直线AB 的方程为3x ＋4y －17＝0.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎨⎧ x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8，即点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．9.12|ab |解析 令x ＝0，得y ＝1b ，令y ＝0，得x ＝1a ，S ＝12|1a ||1b |＝12|ab |.10．4解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.11．2x ＋y ＋1＝0解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知，点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0.∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知，点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0. 12．3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0解析 方程y ＝kx ＋b ，即一次函数y ＝kx ＋b ，由一次函数单调性可知：当k ＞0时，函数为增函数，∴⎩⎨⎧ －3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝3，b ＝1.当k ＜0时，函数为减函数，∴⎩⎨⎧ 4k ＋b ＝－8，－3k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝－3，b ＝4.∴此直线方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0.13．3x －2y ＋5＝014．(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2. 此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M (2＋aa ＋1，0)，N (0,2＋a )，因为a ＞－1，所以S △OMN ＝12×2＋aa ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12(a＋1)＋1a＋1＋2]≥122(a＋1)·1a＋1＋2]＝2.当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.。

专题59 坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.一、坐标系1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O 与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 4．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b . 二、参数方程 1.直线的参数方程若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).这是直线的参数方程,其中参数t 有明显的几何意义.2.圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.3.椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π.【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧 1.参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2.普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为: 第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程; 第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.另外,当直线经过点P (x 0,y 0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方程设成(t 为参数),交点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t 1+t 2,t 1·t 2,得到|AB |=|t 1-t 2|=.考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换．典例1将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为1(,1)2，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为111()22y x-=-，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为3=4sin2cosρθθ-.1．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．考向二 极坐标和直角坐标的互化1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．典例2 设点A 的极坐标为(2,)6π，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为__________．【答案】cos()16ρθπ+= 【解析】∵点A 的极坐标为(2,)6π，【点评】在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．2．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为．考向三 参数方程与普通方程的互化1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．典例3 已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为 (θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解得－25≤a ≤2 5.3．已知圆C 的极坐标方程为2(co )s 480ρθπ--=-．（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并选择恰当的参数写出圆C 的参数方程； （2）若点,()P x y 在圆C 上，求x y +的最大值和最小值．考向四 极坐标方程与参数方程的综合应用参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决.典例4 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()4ρθπ-= （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．【解析】（1）由cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可得221x +=，即2213y x +=，故曲线1C 的普通方程为2213y x +=，由cos()4ρθπ-=可得cos sin 22ρθρθ+=，即22x y +=，即60x y +-=，坐标为13(,)22．4．在直角坐标系xOy 中，曲线112:22x t C y t =+=-⎧⎨⎩(t 为参数，t ∈R )，曲线22cos 2:2sin x C y θθ=+=⎧⎨⎩(θ为参数)．（1）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线2C 的极坐标方程； （2）若曲线1C 与曲线2C 相交于点A ，B ，求||AB ．1．在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的圆心的极坐标为A．B．(1,π)C．(0,﹣1) D．2．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A．B．C．D．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为A．1 B．C．2 D．44．参数方程t为参数)所表示曲线的图象是5．已知直线(t为参数)与曲线交于两点，则A．1 B．C．2 D．6．直线(为参数)对应的普通方程是__________.7．参数方程为为参数)的曲线的焦点坐标为__________.8．曲线的极坐标方程是，则曲线上的点到直线为参数)的最短距离是__________. 9．直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的交点个数是__________.10．已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为直线的直角坐标方程为.（1）求曲线和直线的极坐标方程;（2）已知直线分别与曲线、曲线交于（异于极点），若的极径分别为求的值.11．在平面直角坐标系中,曲线,倾斜角为的直线过点,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程.（1）求和交点的直角坐标;（2）若直线与交于两点,求的值.12．已知直线的参数方程为为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,圆的极坐标方程为.（1）求直线被圆截得的弦长;（2）若点的坐标为,直线与圆交于两点,求的值.13．在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,且直线与圆相交于不同的两点.（1）求线段垂直平分线的极坐标方程;（2）若,求过点与圆相切的切线方程.14．在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.（1）若,求直线交曲线所得的弦长;（2）若上的点到的距离的最小值为1,求.15．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数).（1）求曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于两点，点的坐标为，求的值.1．（2017年高考北京卷理）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.2．（2017年高考天津卷理）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________．3．（2017年高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．4．（2017年高考新课标II 卷理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．5．（2017年高考新课标III 卷理）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.6．（2017年高考新课标I 卷理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a .7．（2016高考新课标Ⅱ理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t α,y t α,ì=ïïíï=ïî（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =l 的斜率.【点评】平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝)(λx f '，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．2．【答案】1【解析】先把点π(2,)3极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ=化为直角坐标方程063=-+y x ，利用点到直线距离公式1d ==.3．【解析】（1）由2(co )s 480ρθπ--=-，可得24cos 4sin 80ρρθρθ---=，即224480x y x y +---=，即22221)6()(x y -+-=，令24cos x θ-=，24sin y θ-=，故圆C 的参数方程为24cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)．（2）由（1）可知，44cos sin 44())x y θθθπ+=++=++， 故x y +的最大值为4+，最小值为4-方法二：把112:22x t C y t=+=-⎧⎨⎩代入2240x x y -+=可得281210t t -+=，由根与系数关系可得1232t t +=，1218t t =，所以12||t t -===，根据直线方程的参数几何意义知12|||AB t t =-=1．【答案】A【解析】圆C的参数方程为为参数),化为普通方程为得圆心坐标化为极坐标方程为故选A．2．【答案】C【解析】即，化为直角坐标方程为，圆心坐标为，极坐标是故选C．3．【答案】B【解析】直线的直角坐标方程为x=;圆ρ=1的直角坐标方程为,令x=,可得;所以直线被圆ρ=1所截得的弦长.选B．4．【答案】D【解析】因为，所以,当时，y=0，排除C；由,所以,当时，;当时，,,故排除A、B，答案为D．5．【答案】C6．【答案】【解析】削去参数,可得;即直线对应的普通方程是.7．【答案】【解析】由题意，消去参数t可得,则抛物线的焦点坐标为(1,0).8．【答案】1【解析】曲线：,即,即,即,圆心,半径;削去参数可得直线;而圆心到直线的距离,所以圆上的点到直线的最短距离为.9．【答案】2【解析】分别消去参数，得到直线和曲线的普通方程分别为、，因为直线恒过点，且点在椭圆的内部，所以两者的交点个数为2；故填2.将代入的极坐标方程得∴.11．【解析】(1)曲线的极坐标方程为,化为直角坐标系的方程为,联立,解得交点的坐标为.(2)把直线l的参数方程为参数)代入,得,即所以根据根与系数的关系，得.易知点在圆外,所以.12．【解析】(1)将直线的参数方程化为普通方程可得,而圆的极坐标方程可化为,化为普通方程可得,则圆心到直线的距离为,故直线被圆截得的弦长为.(2)把代入,可得(*).设是方程(*)的两个根,则,故.由题意知直线经过圆心,所以直线的方程为,即,所以由,得直线的极坐标方程为.(2)当所求切线的斜率存在时,设切线方程为,即,由圆心到直线的距离等于半径,得,解得,所以所求切线的方程为;当所求切线的斜率不存在时,切线方程为.综上,所求切线的方程为或.则圆心到直线的距离.所以由题意知,所以.15．【解析】(1)由得，将，代入上式得，∴曲线的普通方程为；(2)∵直线的参数方程为为参数)，∴直线过点，将，代入，得，，∴，∴由参数的几何意义得==.1．【答案】1【名师点睛】（1）熟练运用互化公式：222,sin,cosx y y xρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行．2．【答案】2【解析】直线为210y++=，圆为22(1)1x y+-=，因为圆心（1,1）到直线210y++=的距离314d=<，所以有两个交点．【名师点睛】先利用公式222cos,sin,x y x yρθρθρ===+把极坐标方程化为直角坐标方程，再联立方程组根据判别式判断出交点的个数，或利用几何法进行判断．坐标系与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换．3．【解析】直线l的普通方程为280x y-+=．因为点P在曲线C上，设2(2,)P s，从而点P到直线l的的距离22d==，当s=mind=．因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值5．【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．4．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>， 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=． 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>．因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S =1sin 4cos |sin()|2|sin(2)|22332B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时，S 取得最大值2，所以OAB △面积的最大值为2． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．5．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==.代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M .【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.6．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当4a <-时，d.=16a =-. 综上，8a =或16a =-.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.7．【解析】（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得圆C 的极坐标方程为212cos 110.ρρθ++= （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R .设,A B 所对应的极径分别为12,.ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11.ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 83αα==±.所以l 的斜率为3或3-. 【名师点睛】极坐标与直角坐标互化时要注意：将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.。