2013-2014学年八年级数学上册 13.4 课题

人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。

3.感悟转化思想。

过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。

；2.渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。

充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。

从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。

以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。

二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。

《13．4课题学习最短路径问题》课时练一、选择题（共15小题）1．如图，在直角坐标系中有线段AB ，AB ＝50cm ，A 、B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm ，B 点到y 轴的距离为30cm ，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P 、Q ，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（）A ．50B ．505C ．505－50D ．505＋502．如图，在平面直角坐标系中，点A （－2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（）A ．（－2，0）B ．（4，0）C ．（2，0）D ．（0，0）3．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（）．A ．15°B ．22．5°C ．30°D ．45°4．如图，∠AOB ＝30°，内有一点P 且OP ＝6，若M 、N 为边OA 、OB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为（）．A ．62B ．6C ．621D ．65．已知两点M （3，5），N （1，－1），点P 是x 轴上一动点，若使PM ＋PN 最短，则点P 的坐标应为（）．A ．（21，－4）B ．（32，0）C ．（34，0）D ．（23，0）6．已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP ＝2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α＝（）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．直线L 是一条河，P ，Q 是两个村庄．欲在L 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A ．B ．C ．D ．8．已知两点A （3，2）和B （1，－2），点P 在y 轴上且使AP ＋BP 最短，则点P 的坐标是（）．A ．（0，21-）B ．（0，611）C ．（0，－1）D ．（0，41-）9．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（2，0），（4，0），点C 的坐标为（m ，3m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（）．A ．6B ．73C ．72D ．510．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（）．A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（）．A ．29B ．21C ．74D ．4512．加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧（如图），A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，AB ＝7米，一个行人P 在马路MN 上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于（）米．A ．8B ．9C ．6D ．713．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF ＋EF 的最小值为（）．A ．13120B ．10C ．12D ．1314．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，在CD 上找一点P ，使PA ＋PE 最小，则这个最小值是（）．A ．32B ．4C ．52D ．515．已知，如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A ，B 两处距河岸的距离AC ，BD 的长分别为700米，500米，且CD 的距离为500米，天黑前牧童从A 点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）米．A ．1100B ．1200C ．1300D ．1400二、填空题（共5小题）1．如图，已知AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，垂足分别为A 、D ，AD ＝6，AB ＝5，CD ＝3，P 是线段AD 上的一个动点，设AP ＝x ，DP ＝y ，92522+++=y x a ，则a 的最小值是______．2．已知如图所示，∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为_____．3．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是_____．4．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．三、解答题（共6小题）1．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．2．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）3．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN 的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）4．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）5．已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使PA＋PC最小．6．作图题：（写出作法，保留作图痕迹）M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？参考答案一、选择题（共15小题）1．D2．C3．C4．D5．C6．A7．D8．C9．C10．B11．C12．D13．A14．C15．C二、填空题（共5小题）1．102．100°3．54．（0，－41）5．2；2＋213三、解答题（共6小题）1．（1）如图所示．画法：①作点M 关于射线OP 的对称点M'，②连接M'N 交OP 于点A ．③作点N 关于射线OQ 的对称点N'，④连接N'M 交OQ 于点B ．（2）答：AM ＋AN 与BM ＋BN 的大小关系是：AM ＋AN ＝BM ＋BN ．2．如图3．①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，②由对称的性质可知PN＝PN′，故PN＋PM＝MN′，③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′＋MN．4．沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC＝EC，同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，∵ET＋TR＋FR＞EF，∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．5．（1）分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：A′（－1，2），B′（－3，1），C′（－4，3）（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，－3），连接C″A交x轴于点P，（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，－2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．6．作法：（1）作M关于BC的对称点M’（2）连接M’N交BC于P点（3）连线MP，则△PMN周长最小P为所求作的点．。

13.4.课题学习《最短路径》教学设计一、教材分析1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。

这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。

初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。

2、目标和目标解析：（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程A B C P Q山 河岸求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．B分别是直线l同侧的两个点，在这时先作点B关于直线AB′的交点．两地之间有两条河，现要在两条河上各造一桥分别建在何处才能使从（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）B村的距离相等，则应选择在哪建厂？B两村的水管最短，应建在什么地方？班举行文艺晚会，桌子摆成如图桌面上摆满了橘子，处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到图a 图b四、反思小结布置作业）本节课研究问题的基本过程是什么？）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？。

八年级数学上册教案教学目录第11章三角形（8）11.1 与三角形有关的线段（2）11.1.1 三角形的边11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角（3）11.2.1 三角形的内角7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（2）11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和数学活动复习小结（1）第12章全等三角形（11）12.1 全等三角形（1）12.2 三角形全等的判定（6）信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（2）数学活动复习小结（2）第13章轴对称（14）13.1 轴对称（3）13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动复习小结（2）第14章整式的乘法与因式分解（14）14.1整式的乘法（6）14.1.1 同底数幂的乘法14.1.2 幂的乘方14.1.3 积的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（3）14.3.1 提公因式法14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解数学活动复习小结（2）第15章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1 从分数到分式15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算（6）15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）数学活动复习小结（2）cabA B C第一课时 三角形的边一、新课导入1、三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？2、对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？ 二、学习目标1、三角形的三边关系。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。

但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。

六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。

2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。

3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。

2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。

通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。

13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。

三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。

最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。

2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。

迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。

2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。

它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。

弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。

2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。