人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一(含答案) (78)

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图①中作出一点D，使得∠ADB＝2①C；（2）在图①中作出一点E，使得∠AEB＝1①C．2【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线交BC于D，则DA＝DC，所以∠DAC＝∠C，然后根据三角形外角性质可得到∠ADB＝2∠C；（2）延长BC到E使CE＝CA，则∠E＝∠CAE，然后根据三角形外角性质可得到∠AEB＝1∠C．2【详解】（1）如图1，∠ADB即为所作；（2）如图2，∠AEB即为所作．【点睛】本题考查了作与﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．52．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，若DE＝2cm，求BC的长．【答案】（1）线段AC的垂直平分线如图所示见解析；（2）BC＝12cm．【解析】【分析】（1）利用圆规和直尺画出该图；（2）由题可知BC＝BD＋CD，因DE为AC的垂直平分线可求得AD＝CD＝2DE、BD＝2AD，进而可求得BC＝BD＋C D.【详解】（1）线段AC的垂直平分线如图所示：（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4cm，∠BAD＝120°﹣30°＝90°，∴BD＝2AD＝8cm，∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12（cm）．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.53．要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)在(1)的条件下，请在BD上确定一点P，使PC+PD=BD．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的画法作出∠ABC的平分线BE交AC于点D，由此即可解答；（2）作线段BC的垂直平分线MN交BD于点P，连接PC，点P即为所求．【详解】（1）作∠ABC的平分线BE交AC于点D，射线BD即为所求；（2）如图，作线段BC的垂直平分线MN交BD于点P，连接PC，点P 即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图及线段垂直平分线的性质，正确作出图形是解决问题的关键．54．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是①AOB 的边OB上的一点(请利用网格作图，保留作图痕迹)．(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C；(2)线段的长度是点O到PC的距离；(3)PC＜OC的理由是 .【答案】(1)见解析；(2)OP；(3)垂线段最短.【解析】【分析】（1）利用尺规作图，过点P作PC⊥OB，交OA于点C即可；（2）根据点到直线距离的定义（点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度）即可得出结论；（3）根据垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）即可得出结论.【详解】(1)如图所示：(2)OP；(3)垂线段最短【点睛】本题考查的是作图，熟知垂线段及垂线段性质是解答本题的关键．55．如图，在△ABC 中，,AB AC =DE 是边AB 的垂直平分线，交AB 于E 、交AC 于D ，连接BD ．（1）若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；（2）若△BCD 的周长为16cm ，∠ABC 的周长为26cm ，求BC 的长．【答案】（1）30°（2）6cm【解析】【分析】(1)首先计算出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD=BD ，进而可得∠ABD=∠A=40°，然后可得答案；(2)根据线段垂直平分线的性质可得AD=DB ，AE=BE ，然后再计算出AC+BC 的长，再利用△ABC 的周长为26cm 可得AB 长，进而可得答案．【详解】解：(1) ∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠,40A ∠=︒ ， ∴180702A ABC -∠∠==︒， ∵DE 是边AB 的垂直平分线，∴DA DB =，∴40DBA A ∠=∠=︒，∴704030DBC ABC DBA ∠=∠-∠=-=︒；(2)∵△BCD 的周长为16cm ，∴16BC CD BD ++=，∴16BC CD AD ++=，∴16BC CA +=，∵△ABC 的周长为26cm ，∴26261610AB BC CA =--=-=，∴10AC AB ==，∴262610106BC AB AC cm =--=--=.故答案为(1)30°；(2)6cm.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质求出AD=BD 是解题的关键．56．如图，C ，D 是AB 的垂直平分线上两点，延长AC ，DB 交于点E ，AF ①BC 交DE 于点F ．求证：(1)AB 是①CAF 的角平分线；(2)①FAD ＝ ①E ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据垂直平分线及角平分线的定义作答；（2）根据垂直平分线的性质及与三角形有关的角的相应性质作答.【详解】(1)∵点C是AB的垂直平分线上的点，∵CB＝CA，∵∵CBA＝∵CAB．∵AF∵BC交DE于点F，∵∵BAF＝∵CBA．∵∵BAF＝∵CAB．即AB是∠CAF的角平分线．(2)∵点D是AB的垂直平分线上的点，∵DB＝DA，∵∵DBA＝∵DAB．∵∵DBA＝∵E＋∵CAB，∵DAB＝∵FAD＋∵BAF，∵CAB＝∵BAF，∵∵E＝∵FAD．【点睛】本题主要考查了垂直平分线及角平分线的性质，熟练掌握垂直平分线及角平分线的性质是本题解题关键.57．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，8)，B(4，8)，C是x轴正半轴上一点，点P满足下面两个条件：①P到①AOC两边的距离相等；①PA＝PB．(1)利用尺规，作出点P的位置(不写作法，保留作图痕迹)；(2)点P的坐标为．【答案】(1)见解析；(2)P(2，2)．【解析】【分析】（1）根据尺规作图法进行画图；（2）由角平分线和垂直平分线的定义作答.【详解】（1）(2)由题可知，C的坐标为（4，0），由角平分线与垂直平分线定义知，∠POC=450，所以P 的坐标为（2，2）.，【点睛】本题考查了尺规作图的步骤、角平分线与垂直平分线的定义，熟练掌握尺规作图、角平分线与垂直平分线的定义是本题解题关键.58．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB ＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”.(1)如图1，点A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在1(1,3)P-，2(0,2)P，3(0,1)P-，4(0,4)P中，线段AB的“近轴点”是 .(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°.①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围；②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB)，若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.【答案】(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．【解析】【分析】（1）利用近轴点的意义即可得出结论；（2）①根据远轴点的定义通过图像判断即可；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB＋QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA＝QC＋AQ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．【详解】(1)P2 , P3．(2)①t＜0或t＞3．②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．当点B，C在直线l的同侧时，对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．∵QA+QC≥AC，AC≥AO∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．∵∠OAB=30°，AQ=BQ，∴∠QBA=∠QBO=30°．∴OQ=12 BQ．在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．∴3x=3．解得x=1．∴Q(1，0)．当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力、垂直平分线的性质以及运用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是正确理解题中所给“远轴点”、“近轴点”的意义，并利用所学灵活解决问题.59．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．(1)如图1，点C在线段AB上．①根据题意补全图1；②求证：∠EAC=①EDC；(2)如图2，点C在直线AB的上方，0°＜①CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①补全图形见解析；②证明见解析；(2)BE=CE+DE，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据垂直平分线的性质可得EA＝EB，CA＝CB，根据等边三角形的性质可得CA＝CD，因此CD＝CB，即可证得∠EDC ＝∠B；（2）如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．根据垂直平分线的性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC＝∠EAC，又因为∠1＝∠2，可得∠DEA＝60°，所以∠AEB＝120°，进而可推出△CEF是等边三角形，因此△CDF≌△CBE，故BE＝DF＝CE＋DE.【详解】(1)①补全图形如图所示．②∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAC=∠B．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD．∴CD=CB．∴∠EDC=∠B．∴∠EAC=∠EDC．(2)BE=CE+DE．如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．∵直线m是AB的垂直平分线，∴EA=EB，CA=CB．∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．∴∠EAC=∠EBC．∵△ACD是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=60°．∴CD=CB．∴∠EDC=∠EBC．∴∠EDC=∠EAC．∵∠1=∠2，∴∠DEA=∠ACD=60°．∴∠AEB=120°．∵EA=EB，m⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=60°．∴△CEF是等边三角形．∴∠CEF=∠CFE=60°．∴△CDF≌△CBE．∴DF=BE．∴BE=CE+DE．【点睛】本题主要考查了学生作图的能力、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些知识点并综合运用是解答的关键.60．如图，Rt①ABC中，∠ACB=90°，AD平分①BAC，作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠BAD=①BFG；(3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．【答案】(1)补图见解析；(2)证明见解析；(3)222+=，证明见解AB FD FB析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形；（2）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD．在Rt△AEH和Rt△CFH 中，根据三角形内角和定理得到∠CFH=∠CAD，等量代换即可得到结论；（3）由线段垂直平分线的性质得到AF=FD，通过证明∠BAF=90°．在Rt△BAF中，利用勾股定理即可得到结论．【详解】(1)补全图形如图；(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∵FE⊥AD，∠ACF=90°，∠AHE=∠CHF，∴∠CFH=∠CAD，∴∠BAD=∠CFH，即∠BAD=∠BFG．(3)猜想：222AB FD FB+=．证明如下：连接AF．∵EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD．∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠BAC+∠B=90°，∴222+=，∴AB AF FB 222+=．AB FD FB【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案)一、单选题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为( )A．30°B．45°C．50°D．75°【答案】B【解析】试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．AB长为半径画2．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线【答案】D【解析】由尺规作图的方法可知，线DE是AB边的垂直平分线.故选D3．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是（）A．含30°角的直角三角形B．顶角是30的等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】【详解】试题分析：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴故△P1OP2是等边三角形．故选C．考点：轴对称的性质4．如图，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【解析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，故可得出△BDC的周长=（BD+CD）+BC=AC+BC，由此即可得出结论.解：∵AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，∴AD=BD，∴△BDC的周长=（BD+CD）+BC=AC+BC =10+8=18cm.故选C.“点睛”本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.5．如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°, 将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上一点P（如图2），则六边形AEFCHG面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设AE =x ,则BE =BF =2-x ；DG =DH =x .∵∠ABC =∠ADC =60°,∴AC =AB =2， 2BD BO == ；BM=BE=2-x ，)2BM x =- ；DH =DG =x ，DN = .∴六边形AEFCHG 面积的是：S 六边形AEFCHG =S 菱形ABCD -S △BEF -S △DHG())111222222x x x x =⨯⨯---)21x =-+∴当x =1时，六边形AEFCHG 面积最大，最大面积是.故选A.6．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）A．形状没有改变，大小没有改变B．形状没有改变，大小有改变C．形状有改变，大小没有改变D．形状有改变，大小有改变【答案】A【解析】试题分析：∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，∵与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变．故选A．7．△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝70°；那么∠BAC等于( )A．55°或125°B．65°C．55°D．125°【答案】A【解析】【分析】分两种情况：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，然后根据三角形内角和定理即可解答．【详解】解：如图1，∵DE 垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠BAC=∠ABE，∵∠AEB=70°，∴∠BAC=∠ABE=55°；如图2，∵DE 垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE，∵∠AEB=70°，∴∠BAE=55°，∴∠BAC=125°．故选A．点睛：此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝24°，则∠DAB等于（）A．100°B．104°C．105°D．110°【答案】B【解析】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA.∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°,即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=24°，∴3∠DAC+24°=180°,则∠DAC=52°，∴∠DAB=2∠DAC=104°.故选B.点睛：本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质，根据菱形的性质求出∠DAB=2∴DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∴CAD+∴CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于1AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB2于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=2∠DCB C．∠ADE=∠DCB D．∠A=∠DCA 【答案】B【解析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选B．10．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（）A．10 B．16 C．18 D．20【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD)=2×10=20，故选D.点睛：此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到∠AOB两点的距离相等，且到点M、N的距离相等．【答案】答案见解析【解析】试题分析：分别作线段MN的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两线的交点即为点P.试题解析：分别作线段MN的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两线的交点即为点P．考点：(1)、中垂线的性质；(2)、角平分线的性质.92．如图，已知∠AOB和C，D两点，求作一点P，使PC=PD，并且使P 点到∠AOB两边的距离相等．【答案】详见解析【解析】【分析】由条件可知点P在线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线上，可作出图形．【详解】∠PC=PD，∠点P在线段CD的垂直平分线上，∠P点到∠AOB两边的距离相等，∠点P在∠AOB的平分线上，如图，先作线段CD的垂直平分线，再作∠AOB的平分线，则交点即为所求的点P．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线和角平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．93．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：如图，在∠ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P证明：∠点P是AB边垂直平线上的一点，∠= （）．同理可得，PB= ．∠= （等量代换）．∠（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的）∠AB、BC、AC的垂直平分线．【答案】PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，从而证出结论．证明：∠点P是AB边垂直平线上的一点，∠PB="PA" （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．∠PA=PC（等量代换）．∠点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），∠AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．故答案为PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是找出点P是AC边垂直平线上的一点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．94．在∠ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，∠ABC和∠DBC 的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC．【答案】22cm，16cm.【解析】试题分析：先根据AB的垂直平分线交AC于点D得出AD=BD，即BD+CD=AC，再根据∠ABC和∠DBC的周长分别是60cm和38cm即可得出AB 的长，再由AB=AC得出AC的长，故可得出BC的长．试题解析：∠AB的垂直平分线交AC于点D，∠AD=BD，即BD+CD=AC，∠C△ABC=AB+AC+BC=60cm，C△DBC=BD+CD+BC=AC+BC=38cm，∠AB=60-38=22cm，∠AB=AC，∠AC=22cm，∠BC=38-22=16cm．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质．95．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．【答案】作图见解析.【解析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，则P为这个中心医院的位置．96．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）AG=3DG，理由见解析.【解析】【分析】(1)、根据角平分线的性质得出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，从而得出∠DEF=∠DFE，则∠AEF=∠AFE，从而说明AE=AF，即点A、D都在EF的垂直平分线上，得出答案；(2)、根据∠BAC=60°，AD平分∠BAC得出AD=2DE，根据∠EGD=90°，∠DEG=30°得出DE=2DG，从而说明AD=4DG，即AG=3DG.【详解】(1)、∠AD为∠ABC的角平分线，DE∠AB，DF∠AC，∠DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠∠DEF=∠DFE，∠∠AEF=∠AFE，∠AE=AF ∠点A、D都在EF的垂直平分线上，∠AD垂直平分EF．(2)、AG=3DG．∠∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∠∠EAD=30°，∠AD=2DE，∠EDA=60°，∠AD∠EF，∠∠EGD=90°，∠∠DEG=30°∠DE=2DG，∠AD=4DG，∠AG=3DG．考点：(1)、角平分线的性质；(2)、中垂线的性质.97．如图，在∠ABC中，BD平分∠ABC，（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数.【答案】（1）见解析（2）48°【解析】试题分析：（1）按照尺规作图的基本作图的步骤作图即可；（2）根据BD平分∠ABC，可得∠FBC=24°，根据EF垂直平分BC，可得出∠FCB=∠FBC=24°，然后利用三角形外角的性质和三角形的内角和可求出∠ACF的度数.试题解析：（1）如图：（2）∠BD平分∠ABC，∠ABD=24°，∠∠FBC=24°∠EF垂直平分BC，∠BF=CF∠∠FCB=∠FBC="24°"在∠FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD="60°+24°=84°"∠DFC=∠FCB+∠FBC="24°+24°=48°"∠∠ACF="180°-84°-48°=48°"考点：1.尺规作图2.线段垂直平分线的性质3.角的计算.98．已知D、E两点在△ABC内，求作一点P，使PE=PD，且点P到△B 两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹）．【答案】见解析.【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可知点P为线段DE的垂直平分线与∠B的角平分线的交点．【详解】如图所示：∠作∠B的角平分线；∠作DE中垂线；∠两直线的交点就是所求作的点P．99．已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】先作出两条公路相交的角平分线OC，再连接ED，作出ED的垂直平分线FG，则OC与FG的交点H即为工厂的位置．【详解】解：∠以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；∠分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；∠连接ED，分别以E、D为圆心，以大于12ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；∠FG与OC相交于点H，则H即为工厂的位置．故点H即为工厂的位置．【点睛】考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．100．如图，∠ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE∠AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【答案】证明见解析【解析】试题分析：由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．试题解析：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【点睛】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 下列图形：①两个点；①线段；①角；①长方形；①两条相交直线；①三角形，其中一定是轴对称图形的有（）A．5 个B．3 个C．4 个D．6 个【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义依次判断题中图形是否为轴对称图形，如果至少能找出一条对称轴，则为轴对称图形，否则不是轴对称图形.【详解】轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；可以尝试找出各个图形的对称轴；①两个点的对称轴：把这两个点连结构成一条线段，然后再画出线段的垂直平分线即为这两个点的对称轴，这两个点所在的直线也是这两个点的对称轴；②线段的对称轴：线段的垂直平分线以及该线段所在的直线都是这条线段的对称轴；③一个角的对称轴是它的角平分线；④长方形有两条对称轴；⑤两条相交直线的对称轴：这两条相交直线构成的两对对顶角的角平分线；⑥三角形：等腰三角形有对称轴，而边长无特殊关系的三角形没有对称轴，所以三角形不一定是轴对称图形；①②③④⑤是轴对称图形，⑥不是轴对称图形；所以答案选A.【点睛】本题要求学生牢记轴对称图形的定义，并学会找出轴对称图形的对称轴.22．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是()A．ABD≌ACD B．AF垂直平分EGC．直线BG，CE的交点在AF上D．DEG是等边三角形【答案】D【解析】【分析】认真观察图形，根据轴对称图形的性质得选项A、B、C都是正确的，没有理由能够证明△DEG是等边三角形．【详解】A．因为此图形是轴对称图形，正确；B．对称轴垂直平分对应点连线，正确；C．由三角形全等可知，BG＝CE，且直线BG，CE的交点在AF上，正确；D．题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误．故选D．【点睛】本题考查了轴对称的性质；解答此题要注意，不要受图形误导，要找准各选项正误的具体原因是正确解答本题的关键．23．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的()A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能【答案】B【解析】【分析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，推出线段AD是△ABC的中线．【详解】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线．故选B．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．如图，①ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（）A．13 B．15 C．18 D．21【答案】A【解析】【分析】首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=BE；接下来，依据AE=BE可将△BEC的周长转化为AC+BC的长求解即可.【详解】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BEC的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC.∵AC=8，BC=5，∴△BEC的周长为13.故选A.【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.25．如图，①ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若①BAC=110°，则①DAE的度数为( )A．40 B．45 C．50 D．55【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，结合图形计算即可．【详解】∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∵边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）=∠BAC-（∠B+∠C）=40°，故选A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．26．如图，在△ABC中，BA＝BC，①ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（）A．36 B．24 C．18 D．16【答案】B【解析】【分析】本题运用线段垂直平分线的特点可以得到AM＝BM，BN＝CN，△BMN的周长＝BM＋MN＋NB＝MA＋NC＋MN＝AC，就可以得出结果.【详解】∵ME、NF分别为AB、BC的垂直平分线，∴AM＝MB，NB＝NC，又∵△MNB的周长＝BM＋MN＋NB＝AM＋MN＋NC＝AC，∴△BMN的周长等于24，答案选B.【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力.27．如图，在①ABC中，AB= 6 ,AC= 7,BC= 5, 边AB的垂直平分线交AC于点D，则①BDC的周长是（）A．18 B．13 C．12 D．11【答案】C【解析】【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC．【详解】∵ED是AB的垂直平分线，∴AD＝BD．∴∴BDC的周长＝DB+BC+CD，∴∴BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC ＝7+5＝12．故选C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P，若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△PBC的周长等于( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出AC=AB=5cm，再根据线段垂直平分线的性质得出AP=BP，故AP+PC=AC，由此即可得出结论．【详解】∵△ABC中，AB=AC，AB=5cm，∴AC=5cm，∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴BP=AP∴BP+PC=AC，∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=5+3=8cm．故选C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．29．在下列说法中，正确的是（）A．任何等腰三角形的顶角都大于底角B．关于某直线成轴对称的两个三角形全等C．等腰三角形的对称轴是底边中线D．等边三角形只有一条对称轴【答案】B【解析】【分析】依据等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及轴对称的性质，即可得到正确结论．【详解】A．任何等腰三角形的顶角都不一定大于底角，故本选项错误；B．关于某直线成轴对称的两个三角形全等，故本选项正确；C．等腰三角形的对称轴是底边中线所在直线，故本选项错误；D．等边三角形有三条对称轴，故本选项错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：等腰三角形的对称轴是底边中线所在直线．30．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE⊥AB交AC于点E，连接BE，△BEC的周长为15，AD＝3，则△ABC的周长为（）A．18 B．21 C．24 D．27【答案】B【解析】【分析】利用线段的垂直平分线的性质可知：△BEC的周长=BC+AC，求出AB的长，即可解决问题.【详解】∵AD=DB=3，DE⊥AB，∴AB=6，EA=EB，∵△BEC的周长为15，∴BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=15，∴△ABC的周长=6+15=21，故选B．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案)在ABC ∆中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为40，则B 等于______________度．【答案】65°或25°【解析】【分析】(1)当△ABC 是锐角三角形时，根据题目条件得到∠A=50°，利用△ABC 是等腰三角形即可求解；(2)当△ABC 是钝角三角形时，同理可得即可得出结果．【详解】解：(1)当△ABC 是锐角等腰三角形时，如图1所示由题知：DE ⊥AB ，AD=DB ，∠AED=40°∴∠A=180°-90°-40°=50°∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC=(180°-50°)÷2=65°(2)当△ABC 是钝角三角形时，如图2所示由题知：DE⊥AB，AD=DB，∠AED=40°∴∠AED+∠ADE=∠BAC∴∠BAC=90°+40°=130°∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC=(180°-130°)÷2=25°∴∠ABC=65°或25°故答案为：65°或25°【点睛】本题主要考查的是垂直平分线以及三角形的外角性质，正确的运用这两个知识点是解题的关键．72．已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC 的周长是__________.【答案】18cm【分析】由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=4cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．【详解】解：∵CD垂直平分AB，AC=4cm，AD=5cm，∴AC=BC=4cm，AD=BD=5cm，∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18cm．故答案为：18 cm．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．73．如图，在ABC中，BC的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，连接CE，若AB8=，AC5=，则AEC的周长为______．【答案】13【解析】【分析】=，所以根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得BE CEAEC的周长等于边长AB与AC的和．解：DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=，AB 8=，AC 5=， AEC ∴的周长AC CE AE AC AB 5813=++=+=+=．故答案为13．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．74．如图所示，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则CBE ∠的度数为（________）【答案】30︒【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可得出∠ABC 的度数，再根据垂直平分线定理得出AD=BD ，40A ABE ︒∠=∠=，继而可得出答案．【详解】解：,40AB AC A ︒=∠=70∴∠=∠=ABC C︒DE垂直平分ABA ABE︒∴∠=∠=40ABC ABE︒︒︒∴∠-∠=-=704030故答案为：30︒．【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．75．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC 的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．【答案】32°【解析】【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B ＝∠BAE ，∠C ＝∠CAN ，即∠B ＋∠C ＝∠BAE ＋∠CAN ＝74°，∴∠EAN ＝∠BAC −（∠BAE ＋∠CAN ）＝106°−74°＝32°．故答案为32°．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B ＋∠C ＝∠BAE ＋∠CAN ＝74°是解答此题的关键．76．如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交AC 于点D ，连接CE ，若A 34∠=，ACB 76∠=，则BCE ∠=______．【答案】42°.【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质求出ACE=A=34∠∠︒，即可得出BCE ∠的度数．【详解】解：∵ AC 的垂直平分线DE ，∵ AE=CE ，∵ACE=A=34∠∠︒ ，∵BCE=763442ACB ACE ∠∠-∠=︒-︒=︒ .故答案为42︒ ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．77．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC 于点D，E，若△ADE周长是10cm，则BC＝_____cm．【答案】10【解析】【分析】根据垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等，可知AD=BD,AE=CE,进而可求BC的长.【详解】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴AD=BD,AE=CE,∵△ADE周长是10，∴AD+DE+EA=10,∴BD+DE+EC=10,即BC=10.故答案为10.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.78．如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AC，AB于点D，E，则CD的长为_____．【答案】78【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AD＝BD＝4﹣CD，∵AC2＝AD2﹣CD2，∴32＝（4﹣CD）2﹣CD2，∴CD＝78，故答案为：78．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．79．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，则BM＝_____．【答案】3【解析】【分析】连接BD，CD，过点D作DG⊥AC，由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ADM≌△ADG，Rt△BDM≌Rt△CDG可得AM＝AG，DM＝DG，BM＝CG，即可求BM的长．【详解】如图，连接BD，CD，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G，∵OD垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAM＝∠DAG，且AD＝AD，∠AMD＝∠AGD，∴△ADM≌△ADG（AAS）∴AM＝AG，MD＝DG，且BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDG（HL）∴BM＝CG，∵AB＝AM+BM＝AG+BM＝AC+CG+BM＝AC+2BM∴10＝4+2BM∴BM＝3，故答案为3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．80．如图，△ABC的周长为15cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D、交AC边于点E，连接AD，若AE＝2cm，则△ABD的周长是_____cm．【答案】11【解析】【分析】根据垂直平分线的性质即可求解.【详解】由题意可知EC=AE＝2cm，AD=CDAB+AC+BC=15cm；∴AB +BC=15-2×2=11cm∴∵ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BC-CD+AD= AB+BC=11cm【点睛】此题主要考查周长的计算，解题的关键是熟知垂直平分线的的性质.。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案)如图，五边形ABCDE 是正五边形，点D 在2l 上，若12//l l ，1120∠=︒，则2∠=__________．【答案】24° 【解析】 【分析】过点B 作直线n 平行于l 1，易得2//n l ，先求出五边形的内角，根据平行线的性质求出∠5的度数，再根据三角形内角和定理求出2∠的度数．【详解】解：如图，过点B 作直线n 平行于l 1，∵12//l l ，∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴()18052A=ABC=1085︒⨯-∠∠=︒，∵2//n l ，1120∠=︒，∴360∠=︒，41086048∠=︒-︒=︒， ∵1//n l∴5448∠=∠=︒，∴2180524A ∠=︒-∠-∠=︒， 故答案为：24°． 【点睛】本题考查正多边形的内角度数、平行线的性质和三角形内角和定理，解题的关键是正确求出五边形的内角度数．92．计算：116-⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．【答案】6 【解析】 【分析】根据公式1(0)pp a a a-=≠即可求解． 【详解】解：原式=1=16=616⨯．故答案为：6．本题考查了负整数指数幂的求法，熟练掌握公式1(0)pp a a a-=≠是解决本题的关键．93．若22a b 9-=，9a b +=，则a b -=______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平方差公式将原式进行因式分解，从而得出答案． 【详解】根据题意可得：(a +b )(a －b )=9， ∴9(a －b )=9， 解得：a －b =1． 【点睛】本题主要考查的就是利用平方差公式进行因式分解，计算代数式的值，属于基础题型．利用平方差公式进行因式分解是解决此题的关键．94．2019新型冠状病毒()2019mCoV -，利用电子显微镜发现新型冠状病毒的直径大小约为0.000001215米，则数据0.000001215用科学记数法表示为______．【答案】61.21510-⨯ 【解析】 【分析】科学记数法标准形式为10n a ⨯（110a ≤＜，n 为整数），按照该定义书写即可．【详解】按照科学记数法定义0.000001215应写成6⨯，1.21510-故答案为：6⨯．1.21510-【点睛】本题考查科学记数法，其中难点主要在于n的确定，注意n的绝对值与小数点移动位数相同．95．如图，在△ABC中，∠A=∠C，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE．其中正确的是___________________（写出正确结论的序号）．【答案】①②⑤【解析】【分析】①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；②根据ASA进而得出△A1BF≌△CBE，即可得出A1E=CF；③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以DF与FC不一定相等；④AE不一定等于CD，则AD不一定等于CE，⑤用角角边可证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．【详解】∵△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，∴∠CBC1=α，∠C=∠C1，∵∠BFC1=∠DFC，∴∠CDF=∠CBC1=α，故①正确，∵AB=BC，∴∠A=∠C，∴∠C=∠A1在△A1BF和△CBE中，∠C=∠A1，A1B=BC，∠A1BF=∠CBE，∴△A1BF≌△CBE，∴BE=BF，A1F=CE，故⑤正确，∵A1B=BC，∴A1B-BE=BC-BF，即A1E=CF，故②正确，∵∠CDF=α，α是可变化的角，∠C是固定角，∴∠CDF不一定等于∠C，∴DF不一定等于CF，故③错误，∵AE不一定等于CD，∴AD不一定等于CE，故④错误．综上所述：①②⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．96．已知a ≠0，12S a =，212S S =，322S S =，…，201020092S S =，则2012S =_______(用含a 的代数式表示)．【答案】1a【解析】 【分析】先把1S 的值代入2S 的表达式中，求出2S ，以此类推求出3S 、4S ，从而可发现规律：所有的奇次项都等于2a ，所有的偶次项都等于1a．【详解】 ∵12S a =， ∴212212S S a a===， 312221S aS a ===，∴每2个式子为一个周期循环， ∴20121S a=故答案为：1a． 【点睛】本题主要考查了分式乘除的混合运算与数字的变化规律，解题的关键是根据题意得出序数为奇数时为2a ，序数为偶数时为1a．97．用换元法解分式方程221231x xx x +-=+时，如果设21x y x =+，那么原方程可以化为关于y 的方程是____________．【答案】123y y-= 【解析】 【分析】设21xy x =+，则211,x x y += 再把原方程变形，进行等量代换即可得到答案． 【详解】 解：221231x x x x +-=+， 22123,11x xx x +∴-⨯=+设21xy x =+，则211,x x y += 123,y y∴-= 故答案为：123y y-=．【点睛】本题考查换元的方法解分式方程，寻找相关联的整体进行换元是解题的关键．98．计算：31()2---=____________． 【答案】9 【解析】 【分析】先用零次幂和负整数次幂进行化简，然后再计算． 【详解】解：31()2---=1-（-8）=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了零次幂和负整数次幂运算法则的应用，掌握相关运算法则是解答本题的关键．99．在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A =_________．【答案】80° 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B ，从而求出∠A 的度数．【详解】∵∠ACD=∠A+∠B ，∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°． 故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 100．分解因式：24x x -=_______． 【答案】(4)x x -【解析】 【分析】利用提公因式法直接分解因式即可． 【详解】解：()244.x x x x -=-故答案为：(4)x x -． 【点睛】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式，及提公因式法分解因式是解题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线.已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线.小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于1AB的长2为半径作弧，两孤相交于C，D两点；（2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线.老师说：“小芸的作法正确.”请回答：小芸的作图依据是____________________，【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上：两点确定走一条直线．【解析】试题分析：本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于1AB的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，2连接CD, 根据线段垂直平分线的性质和线的性质可得线段AB的垂直平分线.考点：线段垂直平分线的作法；直线的性质42．如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，AC=6，DE垂直平分BC，则BE=___．【答案】12【解析】【分析】根据三角形的内角和求出∠B=15°，再根据垂直平分线的性质求出BE=EC，∠1=∠B=15°，然后解直角三角形计算．【详解】如图：∵△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，∴∠B=15°，连接EC，∵DE垂直平分BC，∴BE=EC，∠1=∠B=15°，∴∠2=∠ACB-∠1=75°-15°=60°，在Rt△ACE中，∠2=60°，∠A=90°，∴∠3=180°-∠2-∠A=180°-60°-90°=30°，故EC=2AC=2×6=12，即BE=12．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形.43．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC 的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若∠BAC=110º，则∠EAG= º．【答案】40.【解析】试题分析：∵DE是AB的垂直平分线∵BE=AE∵∵EBD=∵EAD同理：∵GAF=∵GCF∵∵BAG=∵BAE+∵EAG+∵GAF=110°而∵EBD+∵GCF=180°-110°=70°∵∵EAG=40°考点：线段垂直平分线的性质.44．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC•的周长为9cm，则△ABC的周长是____ ___【答案】15cm【解析】【分析】【详解】在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，AE=BE，AD=BD，△ADC•的周长为9cm，即AC+CD+AD=9，则△ABC的周长=AB+BC+AC=AE+BE+BD+CD+AC=AE+BE+AD+CD+AC=6+9=15cm 【点睛】本题考查垂直平分线，解答本题的关键是掌握垂直平分线的概念和性质，运用其来解答本题45．如图，在ABC中，AP=DP，DE=DF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：①.AD平分∠BAC；②.△BED≌△FPD；③.DP∥AB；④.DF是PC的垂直平分线．其中正确的是= _________ .（写序号）【答案】①③【解析】试题分析：根据角平分线性质得到AD平分∵BAC，由于题目没有给出能够证明∵C=∵DPF的条件，无法根据全等三角形的判定证明∵BED∵∵FPD，以及DF 是PC的垂直平分线，先根据等腰三角形的性质可得∵PAD=∵ADP，进一步得到∵BAD=∵ADP，再根据平行线的判定可得DP∵AB．试题解析：∵DE=DF，DE∵AB于E，DF∵AC于F，∵AD平分∵BAC，故①正确；由于题目没有给出能够证明∵C=∵DPF的条件，只能得到一个直角和一条边对应相等，故无法根据全等三角形的判定证明∵BED∵∵FPD，以及DF是PC的垂直平分线，故②④错误；∵AP=DP，∵∵PAD=∵ADP，∵AD平分∵BAC，∵∵BAD=∵CAD，∵∵BAD=∵ADP，∵DP∵AB，故③正确．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．46．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，且△ABC的周长为22cm，过腰AB的中点D作AB的垂线，交另一腰AC于E，连接BE，若△BCE的周长是14cm, 则BC= 。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．【答案】（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）．（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∠∠AP1B+∠BP1C=180度．∠P1在AC上，同理，P2也在AC 上，再利用ASA证明∠DP1P2∠∠BP1P2而，那么∠P1DP2和∠P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点【详解】（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）．（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，∠∠AP1B+∠BP1C=180度．∠P1在AC上，同理，P2也在AC上．在∠DP1P2和∠BP1P2中，∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，∠∠DP1P2∠∠BP1P2．所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称．设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，所以点P是四边形的半等角点．22．按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）已知点P、Q分别在∠AOB的边OA，OB上（如图所示）①作直线PQ；②过点P作OB的垂线；③过点Q作OA的平行线．【答案】详见解析【解析】【分析】①用直尺过Q，P画直线即可；②让三角尺的直角的一边与OB重合，另一直角边经过点P画出垂线，即为0B边上的垂线；③过点Q作∠EQB=∠O，即可得出OA的平行线．【详解】解：如图所示：【点睛】此题考查学生的基本作图能力．23．如图，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠BCD各角的度数.【答案】15o【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质可得AD=BD，证∠DAB=∠DBA，∠ABC=∠ACB=65o可得结论.【详解】解：∵MN垂直平分AB∴AD=BD∴∠DAB=∠DBA=50o∴∠BDC=100o∵AC=BC∴∠ABC=∠ACB=65o又∵∠DBA=50o∴∠DBC=15o【点睛】线段垂直平分线性质.24．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．【答案】略【解析】【详解】证明：连接AC，AD∵AF⊥CD且F是CD的中点∴可知AF 是CD 的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等∴AC=AD ，在ABC ∆和AED ∆中{AB AEBC ED AC AD===()ABC AED SSS ∴∆≅∆B E ∴∠=∠25．已知: ∠AOB,点M 、N.求作：点P ,使点P 在∠AOB 的平分线上,且PM=PN.（要求：用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）【答案】点P 就是所求的点【解析】作出∠AOB 的平分线；连接MN ，作出MN 的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点．26．环城一周的民心河是石家庄一道靓丽的风景线，民心河的水源来自滹沱河上游的水库，年耗水量达3000多万立方米，占石家庄用水量的八分之一．为了缓解这种用水负担，现规划一座污水处理厂，向民心河东线和西线供水，为了节约资金，计划把处理厂建在到东线和西线距离相等的位置，但还要求处理厂到两个污水储存池M、N的距离也相等，如果你作为设计师你认为应把污水处理厂建在何处？并简要说明你设计的理由．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，作出东线与西线夹角的平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作出MN的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点就是污水处理厂的位置.【详解】如图所示，污水处理厂建在P点，理由如下：根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得P点到东线与西线的距离相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得P点到M,N的距离相等，所以P点就是污水处理厂的位置.27．如图（1），一群小孩以同样的速度同时从A村出发到B村，要过一条公路a,其中只有一个小孩用最快的时间到达B村．你知道这个聪明的小孩的行程路线吗？在图上标出示意图．如图（2），在公路的同侧有两村庄，要在公路上建立一个站点，使到A、B 两村的距离相等，请标出站点位置．【答案】0，4【解析】（1）根据两点之间，线段最短可知，连接AB，线段AB就是小孩的行程路线；（2）到两村距离相等，即作出线段AB的中垂线与a相交，交点即为站点位置．28．如图，AD是∠ABC的角平分线，DE，DF分别是∠ABD和∠ACD的高．AD和EF有什么关系？请说明理由．【答案】AD垂直平分EF，理由见解析【解析】【分析】先利用角平分线的性质证明∠AED∠∠AFD，及DE=DF，再利用全等三角形的性质得到AE=AF，即可得到AD垂直平分EF【详解】解：AD垂直平分EF，理由如下∠AD是∠ABC的角平分线，且DE，DF分别是∠ABD和∠ACD的高∠DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°,在Rt∠AED和Rt∠AFD中AD=AD∴Rt∠AED∠Rt∠AFD∴AE=AF又DE=DF∠AD垂直平分EF29．如图，在∠ABC中，∠A=50°，∠C=65°，AB=12，BC=10，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点.求：（1）∠EBC的度数；（2）∠BCE的周长.【答案】(1) 15°；(2)22【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，根据等边对等角的性质求出∠ABE=∠A，然后求解即可；（2）根据角的度数求出∠ABC=∠C，再根据等角对等边可得AB=AC，然后求出△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】解：（1）在△ABC中，∠A=50°，∠C=65°，∴∠ABC=180°-（∠A+∠C）=180°-（50°+65°）=65°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠ABE=∠A=50°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°；（2）∵∠ABC=∠C=65°，∴AC=AB=12，∵EA=EB，∴EB+EC=EA+EC=AC=12，∴△BCE的周长=AC+BC=12+10=22．【点睛】考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．30．如图，∠ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交BC于点D, 若AB＝DC，∠C＝35°，求∠B的度数．【答案】70∘【解析】【分析】连接AD,根据垂直平分线的性质得AD=CD，则∠DAC=∠C=35∘，再利用三角形的外角定理得∠ADB=∠DAC+∠C=35∘+35∘=70∘，再根据等腰三角形的性质得∠B=∠ADB=70∘.【详解】解：连接AD，∵DE垂直平分AC ，∴DA=DC，∵∠C=35∘，∴∠DAC=∠C=35∘∴∠ADB=∠DAC+∠C=35∘+35∘=70∘∵AB=DC，∴AB=AD，∴∠B=∠ADB=70∘.。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为___cm．【答案】6【解析】【详解】∵l垂直平分BC，∴DB=DC。

∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm42．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，AC CD BD==，M是AB 上一动点，CM+DM的最小值是____cm．【答案】8【解析】试题分析：做点C关于直线AB的对称点C′，连接C′D就是CM+DM的最小值，根据弧相等可得C′D为圆的直径，即最小值为8.考点：利用对称性求最值43．已知△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E.若∠EBC=42°，则∠BAC 的度数为_________【答案】32°或152°【解析】图（1）设42A ABE x ACB x ∠=∠=∠=+︒， 则34242180,32x x +︒+︒=︒=︒ 图（2）设,180,42(180)138,=902x BAC x EAB EBA x ABC x x C ∠=∠=∠=︒-∠=︒-︒-=-︒∠︒- 138902x x -︒=︒- ，152x =︒ 综上述，42152BAC ∠=︒︒或44．如图，在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，则△DEF 的面积为______．【答案】cm【解析】 ∵AD 是△ABC 的角平分线,∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠CAD=∠EAD ，DE=CD ，AE=AC=2，∠B=45°∵AD 的垂直平分线交AB 于点E ，∴AF=DF ，∴∠ADF=∠EAD ，∴∠ADF=∠CAD ，∴AC ∥DF ，∴∠BDF=∠C=90°，∵∴△BDF 、△BED 是等腰直角三角形，设DE=x ，则EF=BE=x ，BD=DF=2−x ，在Rt △BED 中2BD = ，∴222(2)x x x +=-，解得12x =--负值舍去),22x =-+∴△DEF 的面积为(−)×(−)÷2=6−4. 故答案为：6-点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.45．如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_____．【答案】1.5【解析】【分析】如图，连接CD ，BD ，根据角平分线的性质可得DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，即可得AE=AF ，然后根据垂直平分线的性质可得CD=BD ，则可通过HL 证明Rt ∠CDF ∠Rt ∠BDE ，得到BE=CF ，然后即可得到答案.【详解】如图，连接CD ，BD ，∠AD 是∠BAC 的平分线，DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∠AE=AF ，∠DG 是BC 的垂直平分线，∠CD=BD ，在Rt ∠CDF 和Rt ∠BDE 中，CD BD DF DE =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠CDF ∠Rt ∠BDE （HL ），∠BE=CF ，∠AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∠AB=6，AC=3，∠BE=1.5．故答案为：1.5．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.46．如图，菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD的上点，且MC＝2MB，ND＝2NC．点P是对角线上BD上一点，则PM＋PN的最小值是_____．【答案】6【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP 的值最小【详解】连接AC，求出BM=BQ=13BC=2、CN=13CD=2，则MP+NP=QN=BC=6．47．如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝________．【答案】3【解析】【分析】根据相等垂直平分线性质得AE=CE,则△BCE周长：CE+BE+BC=AE+EB+BC =AB+BC,再代入数据，即可求解.【详解】解：∵ED垂直平分AC,∴AE=CE,∴△BCE周长CE+BE+BC=AE+EB+BC=AB+BC,∵AB=5,△BCE周长=8，∴BC=8-5=3.【点睛】本题考查等腰三角形性质及线段垂直平分线性质，得出△BCE周长=AB+BC 是解此题关键.48．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为______cm．【答案】3【解析】试题分析：根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，∵NB=NA，∵BCN的周长=BC+CN+BN=7cm，∵BC+AC=7cm，又AC=4cm，∵BC=3cm，故答案为3．考点：线段垂直平分线的性质．49．如图，在∆ABC中，∠ACB=900，∠B=150，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，BE=6cm,则AC等于_________.【答案】3cm【解析】∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°，∴∠BAC=90°−15°=75°，∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，∴BE=AE=6cm，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠EAC=75°−15°=60°，∵∠C=90°，∴∠AEC=30°，∴AC=12AE=12×6cm=3cm，故答案为：3cm50．如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_________.【答案】10【解析】分析：本题利用垂直平分线的性质解决，注意三角形周长的转换即可.解析：∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，∠AE=BE,∴△BCE的周长为：AE+EC+BC=AC+BC=6+4=10.故答案为10.。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案)如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝10，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 D 、E 两点，连接 DE 交 BC 于点H ，连接 AH ，则 AH 的长为（ ）A ．5B ．5CD ．5【答案】C【解析】【分析】 先利用勾股定理计算出 BC ＝ BH ＝CH ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．【详解】∵∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝10，∴BC ＝ = 由作法得 DE 垂直平分 BC ，∴BH ＝CH ，∴AH 为 Rt △ABC 斜边上的中线，∴AH ＝ 12BC ＝ ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．22．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN 的同一侧，BC交MN于P点，则( )A．BC>PC+AP B．BC<PC+AP C．BC=PC+APD．BC≥PC+AP【答案】C【解析】【分析】从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．【详解】∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．23．下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】①线段AB、CD互相垂直平分，则线段AB所在的直线是线段CD的对称轴，线段CD所在的直线是线段AB的对称轴，故错误；②如平行四边形的一组对边符合两条线段相等，但不关于任何一条直线对称，错误；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，错误．错误的个数是3个，故选D．【点睛】掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．并且注意对称轴一定是直线．24．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，已知∠CAD：∠DAB=1：2，则∠B=（）A．34°B．36°C．60°D．72°【答案】B【解析】【分析】先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B=∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：1可设出∠B的度数，再根据直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．【详解】∵D是线段AB垂直平分线上的点，∴AD=BD，∴△DAB是等腰三角形，∠B=∠DAB，∵∠CAD：∠DAB=1：2，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，∴x+2x+2x=90°，∴x=18°，即∠B=36°，故选B．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．25．在△ABC 中，边AC，BC 的垂直平分线的交点O 落在边AB 上，则△ABC 的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形【答案】B【解析】【分析】由边AC，BC 的垂直平分线的交点O，可得O为△ABC的外心，由O落在边AB 上，可得△ABC的形状.【详解】解：方法一：如图OE，OD是边AC，BC的垂直平分线，则OA=OC=OB,∴∠1=∠2，∠3=∠4又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°所以∠1+∠3=90°∴△ABC是直角三角形.方法二：在△ABC 中，边AC，BC 的垂直平分线的交点O 落在边AB 上，可得O为△ABC的外心，其中锐角三角形的外心在三角形内, 钝角三角形是在三角形外, 直角三角形是在斜边的中点上，故答案为:B.【点睛】本题主要考查三角形外心的性质.26．如图，已知△ABC，△ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE△AB交MN于点E，连接AE、CD．则四边形ADCE的周长为（）A．10 B．20 C．12 D．24【答案】A【解析】【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．【详解】AC的长为半径在AC两边作弧，交于：∵分别以A、C为圆心，以大于12两点M、N，∴MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CD∥AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形；∴OA=OC=12AC=2，OD=OE，AC⊥DE，∵∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12BC=12×3=1.5，∴，∴菱形ADCE的周长=4AD=10．故选A．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．27．如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于()A．15∘B．28∘C．25∘D．20∘【答案】D【解析】【分析】根据折叠的性质得出∠C=∠AED，再利用线段垂直平分线的性质得出BE=DE，进而得出∠B=∠EDB，进而得出∠C=2∠B，利用三角形内角和解答即可．【详解】解：∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，∴∠C=∠AED，∵BD的垂直平分线交AB于点E，∴BE=DE，∴∠B=∠EDB，∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=∠B+2∠B+120°=180°，解得：∠B=20°，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．二、解答题28．在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方的指挥部P设在S区．到公路a与公路b的距离相等，并且到水井M与小树N的距离也相等，请你帮助侦查员在图上标出蓝方指挥部P的位置．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析.【解析】【分析】作公路a与公路b的交角AOB的平分线OC，连接MN，作线段MN的中垂直平分线EF，两线的交点就是所求．【详解】如图所示；【点睛】本题考查角平分线的性质和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的动手操作能力和理解能力．29．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，在△MON的内部，求作点P，使得点P到OM、ON的距离相等，且点P到点A、B的距离也相等．【答案】见解析【解析】【分析】作∠MON的平分线和AB的垂直平分线，它们的交点即为P点．【详解】如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．30．如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，作AD的中点P；（2）在图2中，作AB的中点Q．【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析.【解析】【分析】（1）先连接矩形的对角线交于点O，再连接MO并延长，交AD于P，则点P即为AD的中点；（2）先运用（1）中的方法，画出AD的中点P，再连接BP，交AC于点K，则点E，再连接DK并延长，交AB于点Q，则点Q即为AB的中点．【详解】(1)如图点P即为所求；(2)如图点Q即为所求；【点睛】本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．【详解】①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于F点；③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于12AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求．【点睛】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．42．阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，∠MON，点A在射线OM 上，点B在∠MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a．点P到A，B两点的距离相等；b．点P到∠MON的两边的距离相等．小明的作法是：①连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；②作∠MON的平分线交EF于点P．所以点P即为所求．根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等（填推理的依据）．所以点P 即为所求．【答案】（1）见解析；（2）PB，角平分线上的点到角两边的距离相等．【解析】【分析】（1）利用基本作图方法，作∠MON的平分线OP即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，再根据角平分线的性质得到点P到∠MON的两边的距离相等，从而判断P点满足条件．【详解】（1）解：如图，（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，∴PA＝PB．∵OP平分∠MON，∴点P到∠MON的两边的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）．所以点P即为所求．故答案为PB；角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．43．如图，在△ABC 内找一点D ，使得直线AD ⊥BC ，且点D 到直线BA 、BC 的距离相等．（不写作法，只保留作图痕迹）【答案】详见解析【解析】【分析】先作AE BC ⊥，再作BF 平分ABC ∠，则AE 与BF 的交点为D ．【详解】根据角平分线的性质可知，点D 在ABC ∠的角平分线上因此，分以下两步作图：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E（2）作ABC ∠的角平分线BF ，交AC 于点F则AE 与BF 的交点即为所作的点D ，如图所示：【点睛】本题考查了垂线、角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据角平分线的性质判断出点D 的位置是解题关键．44．已知：线段c，直线l及l外一点A．求作：Rt△ABC，使直角边AC（AC⊥l，垂足为点C），斜边AB=c．（用尺规作图，写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．【答案】见解析【解析】【分析】首先过点A作直线l的垂线，以点A为圆心c为半径画弧，交直线l于点B，连接线段AB，则△ABC即为所求三角形.【详解】如图所示：则Rt△ABC就是所求作的三角形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．∆的角平分线45．如图，BD是ABC⊥，垂足为F（不写作法，保留作图痕（1）用直尺和圆规过点D作DF BC迹）（2）若10,12,55ABC BC AB S ∆===，求DF 的长.【答案】（1）见解析 （2）5【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方法按要求作图即可；（2）作DE ⊥AB 于E ，利用角平分线的性质得到DE ＝DF ，再根据三角形面积公式得到12DF •（10＋12）＝55，从而可计算出DF ． 【详解】解：（1）如图，DF 为所作；（2）作DE ⊥AB 于E ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴DE ＝DF ，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AB •DE ＋12BC •DF ， ∴12DF •（10＋12）＝55， ∴DF ＝5．【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图的步骤是解题的关键．46．如图,已知△ABC中,AB＞AC．试用直尺(不带刻度)和圆规在图中过点A作一条直线L,使点C关于直线L的对称点在边AB上(不写作法,也不必说明理由,但要保留作图痕迹).【答案】见详解.【解析】【分析】根据对称的性质应用线段的垂直平分线的性质得到要求的直线L【详解】以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于C',连结CC',作线段CC'的垂直平分线AM,即直线AM即为所求的直线L.【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于作图.47．数学课上，老师提出如下问题：已知点A，B，C是不在同一直线上三点，求作一条过点C的直线l，使得点A，B到直线l的距离相等.小明的作法如下：①连接AB；②分别以A，B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于M、N两点；③作直线MN，交线段AB于点O；④作直线CO，则CO就是所求作的直线l.老师肯定了小明的作法，根据上面的作法回答下列问题：（1）小明利用尺规作图作出的直线MN是线段AB的；点O是线段AB的；（2）要证明点A，点B到直线l的距离相等，需要在图中画出必要的线段，请在图中作出辅助线，并说明线段的长是点A到直线l的距离，线段的长是点B到直线l的距离；（3）证明点A，B到直线l的距离相等.【答案】（1）垂直平分线；中点；（2）作图见解析，AE，BF；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据基本作图可判断直线MN是线段AB的垂直平分线，则点O是线段AB的中点；（2）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线），作点A作AE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F；根据点到直线的距离可判断线段AE 的长是点A到直线l的距离，线段BF 的长是点B到直线l的距离；（3）证明△AEO≌△BFO即可得到AE＝BF.【详解】解：（1）直线MN 是线段AB 的垂直平分线；点O 是线段AB 的中点；（2）过点A 作AE ⊥l 于点E ，过点B 作BF ⊥l 于点F ；线段AE 的长是点A 到直线l 的距离，线段BF 的长是点B 到直线l 的距离；（3）∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴∠AEO ＝∠BFO ＝90°在△AOE 和△BOF 中，AEO BFO AOE BOF OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEO ≌△BFO ，∴AE ＝BF ，即点A ，B 到直线l 的距离相等.【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题关键，也考查了全等三角形的判定和性质.48．已知，如图，ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒．（1）作AB边上的垂直平分线，垂足为M，交AC于点N；（不写作法，保留作图痕迹）BC=，求BN的长．（2）连接BN，若12【答案】（1）见解析；（2）12．【解析】【分析】（1）由题意根据题干描述进行作图即可，注意保留作图痕迹；∠=∠，进而（2）根据题意先连接BN，直线MN垂直平分AB求得BNC C求出BN的长．【详解】解：（1）如解图所示，MN即为所求；（2）如解图，∵AB AC =，36A ∠=︒，∵72ABC C ∠=∠=︒，∵直线MN 垂直平分AB ，∵AN BN =，36ABN A ∠=∠=︒，∵36CBN ∠=︒，∵72BNC ∠=︒，∵BNC C ∠=∠，∵12BN BC ==．【点睛】本题主要考查基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．49．（1）如图1，已知EK 垂直平分BC ，垂足为D ，AB 与EK 相交于点F ，连接CF ．求证：AFE CFD ∠=∠．（2）如图2，在Rt GMN ∆中，90M ∠=︒，P 为MN 的中点．①用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得GQM PQN ∠=∠（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果60G ∠=︒，3GM =,P 为MN 中点,求MQ 的长度.【答案】（1）见解析；（2）①作点P 关于GN 的对称点P '，连接P M '交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．理由见解析；②MQ=3 .【解析】【分析】（1）证明FC=FB，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．（2）①作点P关于GN的对称点P′，连P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②想办法证明GQ=GN即可．【详解】（1）证明：如图1中，EK垂直平分线段BC，FC FB∴=，∴∠=∠，CFD BFD∠=∠，BFD AFEAFE CFD∴∠=∠．（2）①作点P关于GN的对称点'P，连接'P M交GN于Q，连接PQ，点Q 即为所求．PP，理由：GN垂直平分'∠=∠，∴=，'KQP KQPQP QP'∠=∠，GQM KQP'∴∠=∠，GQM PQK∴点P即为所求．②∵P，P′关于GN对称，∴GN⊥PP′，PK=KP′，∴∠PKN=90°，∵∠N=30°，∴∠PNK=60°，∴PN=2KP=PP′，∵PM=PN，∴PM=PP′，∵∠NPK=∠PMP′+∠P′，∴∠PMP′=∠P′=30°，∴∠QMN=∠N=30°，∴MQ=NQ，∵∠G=∠QMG=60°，∴QG=QM ，∴MQ=QG=NQ ，∵GM=3，∠N=30°，∠NMG=90°，∴GN=2GM=6，∴MQ=3．【点睛】考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.50．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知ABC ∆，AB BC <，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA PC BC +=.作法：（1）作线段AB 的垂直平分线1.（2）直线1交BC 于点P .则点P 就是所求的点.证明：连接PA直线L 垂直平分线段AB∴PA PB = (填写正确的依据)=+BC PB PC∴PA PC BC+=.解决下列问题：（1）利用尺规作图确定P点的位置；（2）补全证明过程中的依据；<条件，在线段BC上点P不一定存在，在请画图（3）如果题干无AB BC说明．【答案】（1）如图所示见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）如图所示见解析．【解析】【分析】（1）根据尺规作图的作图方法作图即可；（2）利用垂直平分线的性质作答即可；（3）分两种情况进行讨论，分别画图即可；【详解】（1）如图，以A、B两点为圆心，大于1AB为半径画弧，即可得到直线，2（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等＞，点P在BC （3）当AC=BC时，点P与点C重合，可作图；当AB BC的延长线上；【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线的知识点，掌握作图的方法是解题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，P1P2分别交OA，OB 于点C，D，P1P2=6cm，则△PCD的周长为___________．【答案】6【解析】连接PC、PD∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∵PC=P1C，PD=P2D∵∵MNP的周长等于P1P2=6cm.点睛：本题主要考查了轴对称的性质的应用，难度适中，属于中档题，解题的关键熟记轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分；轴对称图形对应线段相等，对应角相等.62．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，每次反弹的路径与原路径成90度角（反弹后仍在矩形内作直线运动），当点P第1次碰到矩形的边时，点P的坐标为(3,0)；当点P第4次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________；当点P第2017次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________．【答案】(5,0)，(3,0)【解析】（1）如图所示：点P的运动轨迹为一个循环，每个周期会碰到矩形的边6次，当第4次碰到矩形的边时，(5,0)P，÷=，（2）∵201763361∴点P第2017次碰到矩形的边时，点P的坐标为(3,0)．故答案为：（1）（5，0）；（2）（3，0）.63．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC=1，点F是边BC上不与点B、C 重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为________．【解析】 试题解析：∵等腰Rt △ABC 中，AB=AC=1，∴分两种情况：①当AF=CF 时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC ， ∵直线l 垂直平分BF ，∴BD=12；②当CF=CA=1时，1，∵直线l 垂直平分BF ，∴BD=12BF=12；12． 64．如图，将一条长为60cm 的卷尺铺平后沿着图中箭头的方向折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分沿与卷尺的边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度比为1：2：3，则折痕对应的刻度可能的值有______．【答案】20，25，35，40【解析】试题解析：∵三段长度由短到长的比为1：2：3，∴三段长度分别为：10cm，20cm，30cm．①当剪切处右边上部分的长度为10cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，=20cm；折痕处为：10+202②当剪切处右边上部分的长度为10cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，=25cm；折痕处为：10+302③当剪切处右边上部分的长度为20cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，=25cm；折痕处为：20+102④当剪切处右边上部分的长度为20cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，=35cm；折痕处为：20+302⑤当剪切处右边上部分的长度为30cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，=35cm；折痕处为：30+102⑥当剪切处右边上部分的长度为30cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，=40cm；折痕处为：30+202综上所述，折痕对应的刻度有4种可能：20cm，25cm，35cm，40cm.故答案为20cm，25cm，35cm，40cm.65．如图，△ABC申，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，若∠BAC=82︒，则∠BDC=____.【答案】98【解析】【分析】首先过点D 作DF ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，易证得△DEB ≌△DFC （HL ），即可得∠BDC=∠EDF ，又由∠EAF+∠EDF=180°，即可求得答案；【详解】解：过点D 作DE ⊥AB ，交AB 延长线于点E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 是∠BOC 的平分线，∴DE=DF ，∵DP 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD ，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，DB DC DE DF ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DEB≌Rt△DFC．∴∠BDE=∠CDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠DEB=∠DFC=90°，∴∠EAF+∠EDF=180゜，∵∠BAC=82°，∴∠BDC=∠EDF=98°，故答案为98°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．66．如图，在Rt ABC中，90∠，AC的垂直平分线分别交AC、BC于B=点D、E.已知16∠，则C∠的度数为__________．BAE=【答案】37°【解析】【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质，得到EA=EC，进而得到∠EAD=∠ECD，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．【详解】∵ED是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，又∵∠BAE=16°，∠B=90°，∴∠EAC+∠C+∠BAE+∠B=180°，即：2∠C+16°+90°=180°，解得∠C=37°．故答案为37．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．要理解线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，得到并应用∠EAC=∠C是正确解答本题的关键．67．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是_____．【答案】12cm【解析】试题分析：根据线段中垂线的性质可得：AE=BE ，则△ACE 的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=4+8=12cm ．68．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E . 已知10BAE ∠=︒，则C ∠的度数为___________.【答案】40°.【解析】【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10°⇒∠AEB ，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C ．【详解】∵ED 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE∴∠EAC=∠C ，又∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠AEB=80°，又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C ，∴∠C=40°.故答案为：40°.【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于掌握其性质.69．如图，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD+PE的最小值为_____．【答案】2【解析】连接BD，与AC交于点F，则BE与AC交点为P，连接PD，∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小.又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2.即所求最小值为2.故答案是：2.70．成轴对称的图形______是全等图形，全等图形_____是轴对称图形（选填“一定”或“不一定”）.【答案】一定不一定【解析】根据轴对称的概念可知:成轴对称的两个图形是全等图形,但全等图形不一定成轴对称,由于两个图形摆放的位置，不一定能使得沿一条直线翻折后两个图形重合.。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图，已知点P在∠AOB内部，请你利用直尺（没有刻度）和圆规在∠AOB 的角平分线上求作一点Q，使得PQ∠OB．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）【答案】答案见解析【解析】【分析】先做出角平分线，然后过P点作PQ⊥OB，交PQ于点Q，即为所求．【详解】解：如图：【点睛】本题考查了尺规作图，在作图的过程中一定要注意保留作图痕迹，且作垂线可以利用三角板，无需用尺规作图．82．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到△A的两边的距离相等，且PA ＝PB．要求：尺规作图，并保留作图痕迹．【答案】见解析【解析】【分析】画⊥A的平分线AD和AB的中垂线MN，两线的交点P就是所求的答案．【详解】解：画⊥A的平分线AD，画AB的中垂线MN，两线相交于点P，则P为所求考点：作图—复杂作图．83．“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路L1、L2和两个城镇A，B，准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）【答案】见解析【解析】试题分析：根据尺规作图的画法画出即可.试题解析：如图：考点：尺规作图84．如图，△ABC中，∠A=60°．(1)求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且点P到AB、BC 的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在(1)的条件下，若∠ACP=15°，求∠ABP的度数．【答案】（2）35°【解析】【分析】（1）有题意知，点P不但要在⊥B的平分线上，而且也要在BC的垂直平分线上，故P点是二者的交点·【详解】（1）有题意知，点P不但要在⊥B的平分线上，而且也要在BC的垂直平分线上，故P点是二者的交点·（2）有角平分线和中垂线的性质可以得到⊥ABP=⊥BPC=⊥BCP,然后由⊥A=60°，⊥ACP=15°可以求的结果.85．如图,在△ABC中, △BAC是钝角,按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）①用尺规作△BAC的角平分线AE．②用三角板作AC边上的高BD．③用尺规作AC边上的垂直平分线MN．【答案】①见解析；②见解析；③见解析；【解析】试题分析：1）根据角平分线的做法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与AC重合，另一条直角边过点B，再画垂线即可；（3）根据线段垂直平分线的作法作图．试题解析：如图所示：考点：作图—复杂作图．86．如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）【答案】图形见解析．【解析】试题分析：分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可．试题解析：如图所示：外接圆（图1），内切圆（图2）．考点：1.三角形的外接圆与外心2.三角形的内切圆与内心．87．如图，在△ABC中，先作△BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A、D两点作△O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）【答案】作图见解析【解析】试题分析：首先作出角的平分线AD，然后作线段AD的垂直平分线，与AC的交点即为O，以点O为圆心，以OA长为半径作圆即可试题解析：作出角平分线AD，作AD的中垂线交AC于点O，作出⊙O，⊙⊙O为所求作的圆．考点：1、角平分线的作法；2、中垂线的作法；3、圆的作法88．如图，△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，AD△BC，垂足是D，AE平分△BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA△AE，FC△BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME△BC；②DE=DN.【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】试题分析：（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到⊙BAE=⊙CAF 和⊙B=⊙FCA，从而ASA证明⊙ABF⊙⊙ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论.（2）①过E点作EG⊙AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论.②通过证明Rt⊙AMC⊙Rt⊙EMC和⊙ADE⊙⊙CDN来证明结论.试题解析：（1）如图，⊙⊙BAC=90°，FA⊙AE，⊙⊙1+⊙EAC=90°，⊙2+⊙EAC=90°.⊙⊙1=⊙2.又⊙AB=AC，⊙⊙B=⊙ACB=45°.⊙FC⊙BC，⊙⊙FCA=90°-⊙ACB=45°.⊙⊙B=⊙FCA.⊙⊙ABF⊙⊙ACF（ASA）.⊙BE=CF.（2）①如图，过E点作EG⊙AB于点G，⊙⊙B=45°，⊙⊙CBE是等腰直角三角形.⊙BG=EG，⊙3=45°.⊙BM=2DE，⊙BM=2BG，即点G是BM的中点.⊙EG是BM的垂直平分线.⊙⊙4=⊙3=45°.⊙⊙MEB=⊙4+⊙3=90°.⊙ME⊙BC.②⊙AD⊙BC，⊙ME⊙AD.⊙⊙5=⊙6.⊙⊙1=⊙5，⊙⊙1=⊙6.⊙AM=EM.⊙MC=MC，⊙Rt⊙AMC⊙Rt⊙EMC（HL）.⊙⊙7=⊙8.⊙⊙BAC=90°，，AB=AC，⊙⊙ACB=45°，⊙BAD=⊙CAD=45°.⊙⊙5=⊙7=22.5°，AD=CD.⊙⊙ADE=⊙CDN=90°，⊙⊙ADE⊙⊙CDN（ASA）.⊙DE=DN.考点：1.等腰直角三角形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.线段垂直平分线的判定和性质.89．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC∠OA，ED∠OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．【答案】见解析【解析】试题分析：（1）根据角平分线性质可证ED=EC，从而可知⊥CDE为等腰三角形，可证⊥ECD=⊥EDC；（2）由OE平分⊥AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可证⊥OED⊥⊥OEC，可得OC=OD；（3）根据ED=EC，OC=OD，可证OE是线段CD的垂直平分线．试题解析：证明：（1）⊥OE平分⊥AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，⊥ED=EC，即⊥CDE为等腰三角形，⊥⊥ECD=⊥EDC；（2）⊥点E是⊥AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，⊥⊥DOE=⊥COE，⊥ODE=⊥OCE=90°，OE=OE，⊥⊥OED⊥⊥OEC（AAS），⊥OC=OD；（3）⊥OC=OD，且DE=EC，⊥OE是线段CD的垂直平分线．点睛：本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相关知识．关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．90．已知：如图，△MON 及边ON 上一点A ．在△MON 内部求作：点P ，使得PA △ON ，且点P 到△MON 两边的距离相等．（请尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法，不必证明）．【答案】见作图．【解析】试题分析：P 到MON ∠的两边的距离相等，P 在MON ∠的角平分线上；PA ⊙ON ，则点P 在ON 过点A 的垂线上，综上所述，P 是ON 过点A 的垂线和MON ∠的角平分线的交点．试题解析：如图，过点A 作ON 的垂线EF ；作MON ∠的平分线OG ，EF 与OG 的交点为P ，则点P 即为所求作的点．考点：作图—复杂作图。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm【答案】B【解析】试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，∵AD=CD，∵∵ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∵AC=2AE=2×4=8cm，∵∵ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．考点：线段垂直平分线的性质．22．下列说法中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①两个全等三角形合在一起，由于位置关系不确定，不能判定是否为轴对称图形，错误；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误；③等边三角形一边上的高所在的直线是这边的垂直平分线，故错误；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，正确．故选A．23．如图，0∠=，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打330白球时，必须保证1∠的度数为（）A．30B．45C．60D．75【答案】C【解析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，必须∵2+∵3=90°，∵∵3=30°，∵∵2=60°．∵根据入射角等于反射角，得∵1=∵2=60°．故选C．24．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（）A．形状没有改变，大小没有改变B．形状没有改变，大小有改变C．形状有改变，大小没有改变D．形状有改变，大小有改变【答案】A【解析】试题分析：∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，∵与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变．故选A．25．如图，在△ABC中，△C=90°，△B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是①AD是△BAC的平分线；②△ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】【详解】①根据作图的过程可知，AD是①BAC的平分线.故①正确.①如图，①在①ABC中，①C=90°，①B=30°，①①CAB=60°. 又①AD是①BAC的平分线，①①1=①2=①CAB=30°，①①3=90°﹣①2=60°，即①ADC=60°.故①正确.①①①1=①B=30°，①AD=BD.①点D在AB的中垂线上.故①正确.①①如图，在直角①ACD中，①2=30°，①CD=12 AD.①BC=CD+BD=12AD+AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD.①S△ABC=12AC•BC=12AC•A32D=34AC•AD.①S△DAC：S△ABC13AC AD?AC AD1344：：⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故①正确.综上所述，正确的结论是：①①①①，，共有4个．故选D.26．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE ＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是( )A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm【答案】C【解析】分析：由DE是∵ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由∵ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得∵ABC的周长．解答：解：∵DE是∵ABC中边AB的垂直平分线，∵AD=BD，AB=2AE=2×3=6（cm），∵∵ADC的周长为9cm，即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，∵∵ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．∵∵ABC的周长为15cm故答案选C．27．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、AB长为半径作弧，两弧交OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于12于点C．若点C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为（）A．m＋2n=1 B．m－2n=1 C．2n－m=1 D．n－2m=1【答案】B【解析】【分析】【详解】解：如图，根据题意作图知，OC 为①AOB 的平分线，点C 的坐标为(m －1,2n)且在第一象限，点C 到x 轴CD=2n ，到y 轴距离CE= m －1．根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m －1=2n ，即m －2n=1 ．故选B ．28．已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ）A ．a 1<-B ．31a 2-<<C ．3a 12-<<D ．3a 2> 【答案】B【解析】关于x 轴对称的点的坐标，一元一次不等式组的应用．【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可：∵点P （a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，∵点P 在第四象限． ∵a+10{2a 30>-<①②． 解不等式①得，a ＞－1，解不等式②得，a ＜32， 所以，不等式组的解集是－1＜a ＜32．故选B ． 29．如图，梯形ABCD 中，AD △BC ，AD=3，AB=5，BC=9，CD 的垂直平分线交BC 于E ，连接DE ，则四边形ABED 的周长等于（ ）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】A【解析】梯形和线段垂直平分线的性质．【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．二、填空题30．如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，△BAE=20°，则△C= ．【答案】35°．【解析】试题分析：由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt∵ABC中，∵ABC=90°，∵BAE=20°，即可求得∵C的度数．解：∵DE是AC的垂直平分线，∵AE=CE，∵∵C=∵CAE，∵在Rt∵ABE中，∵ABC=90°，∵BAE=20°，∵∵AEB=70°，∵∵C+∵CAE=70°，∵∵C=35°．故答案为35°．考点：线段垂直平分线的性质．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 下列说法中，错误的是( ).A．对称轴是连接对称点线段的垂直平分线B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等C．任何一个角都是轴对称图形D．两个三角形全等，这两个三角形一定成轴对称【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称图形的定义逐项分析解答即可.【详解】A. 对称轴是连接对称点线段的垂直平分线，正确；B. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确；C. 任何一个角都是轴对称图形，正确；D. 两个三角形全等，这两个三角形不一定成轴对称，但两个三角形成轴对称，这两个三角形一定全等，故不正确.故选D.【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称图形的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.32．如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．19【答案】B【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．【详解】根据题意得：D在AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．故选：B．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．33．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于( )A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D【解析】【分析】由在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，又由∠BAC=110°，易求得∠PAB+∠CAQ的度数，继而求得答案．【详解】∵在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∴PA=PB，AQ=CQ，∴∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，∴∠PAB=∠CAQ=80°，∴∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠CAQ）=100°-80°=20°．故答案为：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．34．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为( )A．13 B．15C．17 D．19【答案】C【解析】【分析】根据垂直平分线性质得AE=CE,AD=DC,把△ABD的周长表示成AB+BC即可解题.【详解】解：∵DE垂直平分AC,∴AE=CE,AD=DC,由题可知,CE=AE=4,AB+BC+AC=25,∵△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=25-8=17,故选C.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质,属于简单题,找到相等线段进行等量代换是解题关键.二、解答题35．在△ABC中，F是BC上一点，FG⊥AB，垂足为G.（1）过C点画CD⊥AB，垂足为D；（2）过D点画DE//BC，交AC于E；（3）说明∠EDC=∠GFB的理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）以C为圆心画弧，与AB交于两点，分别以两点为圆心，大于两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过这一点与点C作直线，与AB相交于点D，则CD即为所求；（2）以D为顶点，作∠ADE=∠B，利用同位角相等两直线平行即可确定出DE；（3）由FG与CD都与AB垂直，得到FG与CD平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由DE与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换即可得证．【详解】解：（1）画CD⊥AB，如图所示；（2）画DE∥BC，如图所示；（3）解：因为DE//BC，所以∠EDC=∠BCD，因为FG⊥AB，CD⊥AB，所以CD//FG，所以∠BCD=∠GFB，所以∠EDC=∠GFB.【点睛】此题考查了作图-复杂作图，以及平行线的判定与性质，作出正确的图形是解本题的关键．36．如图，已知△ABC中，∠BAC＞90°，请用尺规求作AB边上的高（保留作图痕迹，不写作法）【答案】如图所示，CD即为所求．见解析.【解析】【分析】以三角形的点C为圆心,以适当长度为半径划弧,和AB的延长线交于两点，分别以这两个交点为圆心,以大于二分之一的两交点间的距离为半径划两弧，其交点为F,连接FC即可.【详解】如图所示，CD即为所求．【点睛】本题考查的是作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键.37．如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，0)，B(2，0)．⑴画出等腰三角形ABC（画一个即可）；⑵写出⑴中画出的三角形ABC的顶点C的坐标．【答案】（1）见解析；（2）C（0，3）．【解析】【分析】（1）由题意可得，AB的中垂线是y轴，则在y轴上任取一点即可；（2）根据所画的点写出坐标即可；【详解】（1）如图所示；（2）C（0，3）．【点睛】本题综合考查了图形的性质和坐标的性质、垂直平分线的性质、及等腰三角形的判定；发现并利用AB的中垂线是y轴是正确解答本题的关键38．已知如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE．（1）求∠AEC的度数；（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）90°；（2）AE2+EB2＝AC2，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意得到DE是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；（2）根据勾股定理解答．【详解】解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°；（2）AE2+EB2＝AC2．∵∠AEC＝90°，∴AE2+EC2＝AC2，∵EB＝EC，∴AE2+EB2＝AC2．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．39．如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．（1）市场P应修建在什么位置？（请用文字加以说明）（2）在图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕遼，写出结论）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分析得出答案；（2）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案．【详解】（1）点P应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点处；（2）如图所示：点P即为所求．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．40．如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC 且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=CN．【答案】见解析【解析】【分析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．【详解】证明：连接BD，DC，如图：∵DE 所在直线是BC 的垂直平分线，∴BD=CD ，∵AD 平分∠BAC ，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ，∴DM=DN ，在Rt △BMD 与Rt △CDN 中，BD DC DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △BMD ≌Rt △CDN （HL ），∴BM=CN ；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图，已知△ABC，按下列要求作图（第（1）、（2）小题用尺规作图，第（3）小题不限作图工具，保留作图痕迹）．（1）作∠B的角平分线；（2）作AC的中垂线；（3）以BC边所在直线为对称轴，作△ABC的轴对称图形．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【解析】【分析】根据角平分线、中垂线和轴对称图形的作图方法进行解答.【详解】解：（1）如图，射线BD即为所求；（2）如图所示，直线EF 即为所求；（3）如图所示，△GBC 即为所求．【点睛】本题的解题关键是掌握角平分线、中垂线和轴对称图形的作图方法.32．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，求作BC 边的中点E ，连接DE ，在边BC 的延长线上求作点F ，使DE ＝EP ，并求出CF BC的值．（要求，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析12CF BC = 【解析】【分析】 根据线段垂直平分线和线段的作法画出图形，再利用正方形的性质和勾股定理解答即可．【详解】如图所示：点E ，F 即为所求：∵边长为2的正方形ABCD 中，∴CD=BC=2，∠DCB=90°，∵BE=EC=1，∴=，∴CF=EF ﹣EC=DE ﹣，∴CF BC =. 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是根据线段垂直平分线和线段的作法画出图形．33．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，D 是BC 的延长线上一点，EH 是BD 的垂直平分线，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE=DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEH=∠DEH，根据平行线的性质得到∠BEH=∠BAC，∠DEH=∠AFE，等量代换得到∠EAF=∠AFE，根据得到结论．【详解】证明：∵EH垂直平分BD，∴BE=DE，∴∠BEH=∠DEH，∵∠ACB=90°，∴EH∥AC，∴∠BEH=∠BAC，∠DEH=∠AFE，∴∠EAF=∠AFE，∴AE=EF，∴点E在AF的垂直平分线上．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．34．已知，线段a，直线1及1外一点A，求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，且点B、C在直线1上．【答案】见解析.【解析】【分析】先做线段a的垂直平分线，再过点A作l的垂线AO，O点为垂足，然后以点O为圆心，1a为半径画弧交l于B、C两点，则△ABC满足条件．2【详解】如图所示，△ABC即为所求．【点睛】本题考查的知识点是作图—复杂作图，等腰三角形的性质，解题关键是熟记作图的步骤.35．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE.(1)若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数；(2)若∠BAC＝θ(0°＜θ＜180°)，求∠DAE的度数．(用含θ的式子表示)【答案】(1) 40°；(2) ①∠DAE＝2θ－180°，②∠DAE＝180°－2θ.【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据等腰三角形的性质解答即可；（2）分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，再根据角的和差关系进行计算即可．【详解】(1)∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴DB＝DA，EC＝EA.∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°.∵DB＝DA，EC＝EA，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB＋∠EAC＝70°，∴∠DAE＝110°－70°＝40°.(2)分两种情况：①如答图1所示，当∠BAC≥90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD.同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ，∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝θ－(180°－θ)＝2θ－180°.答图1 答图2②如答图2所示，当∠BAC＜90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD.同理可得，∠C＝∠CAE，∴∠BAD＋∠CAE＝∠B＋∠C＝180°－θ，∴∠DAE＝∠BAD＋∠CAE－∠BAC＝180°－θ－θ＝180°－2θ.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题关键是熟记性质．36．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线MN．【答案】作图见解析.【解析】【分析】根据垂直平分线的作法即可解题,见详解.【详解】解：作法：（1）分别以A，B点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（2）作直线MN，MN即为线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查了基本作图,属于简单题,熟知线段垂直平分线的做法是解题关键.37．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保郎画图痕迹．已知：线段a，a∠∠=∠．求作：菱形ABCD，使BD a=，ABCα【答案】详见解析【解析】【分析】①作MBN α.②∠∠=作MAN ∠的平分线BE ，在射线BE 上截取BD a.=③作线段BD 的垂直平分线交BM 于点A ，交BN 于点C ，连接AD ，CD ，菱形ABCD 即为所求．【详解】解：①作MBN α∠∠=②作MAN ∠的平分线BE ，在射线BE 上截取BD a =．③作线段BD 的垂直平分线交BM 于点A ，交BN 于点C ，连接AD ，CD ． 菱形ABCD 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．38．如图，△ABC （△B ＞△A ）．（1）在边AC 上用尺规作图作出点D ，使△CDB=2△A （保留作图痕迹）；（2）在（1）的情况下，连接BD ，若CB=CD ，△A=35°，求△C 的度数．【答案】（1）详见解析；（2）∠C=40°．【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于点D,则DA=DB;（2）由（1）得∠CDB=2∠A，因为CB=CD，所以∠CBD=∠CDB，再根据三角形内角和定理即可求解.【详解】解：（1）如图，点D为所作；（2）由（1）得∠CDB=2∠A=2×35°=70°，∠CB=CD，∠∠CBD=∠CDB=70°，∠∠C=180°﹣70°﹣70°=40°．【点睛】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.39．已知∠AOB，用直尺和圆规作图：（1）作∠AOB的平分线；（2）过∠AOB边OA上一点P分别作边OA、OB的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析.【解析】【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；（2）分别过已知点作已知直线的垂线即可．【详解】（1）（2）如图：【点睛】考查角平分线及线段垂线的基本作图；掌握基本作图的作法是解决本题的关键．40．已知：如图，∠ABC ，射线BC 上一点D ．(1)求作：等腰△PBD ，使线段BD 为等腰△PBD 的底边，点P 在∠ABC 内部，且点P 到∠ABC 两边的距离相等.(2)在(1)的条件下，若DP ⊥AB ，求∠ABC 的度数.【答案】(1)作图见解析；(2)60°.【解析】【分析】(1)作∠ABC 的平分线BK ，线段BD 的垂直平分线MN ，射线BK 与直线MN 的交点P 即为所求；（2）根据DP ⊥AB ，可知BAD Rt ∆∆为，根据线段BD 的垂直平分线MN ，可知,PBD PDB ∠=∠ 根据BP 是∠ABC 的平分线，可知,ABP PBD ∠=∠等量代换可知,ABP PBD PDB ∠=∠=∠直角三角形两锐角互余，30,ABP PBD PDB ∠=∠=∠=从面求得∠ABC 的度数.【详解】(1)如图所示；点P 是∠ABC 的平分线与线段BD 的垂直平分线的交点，如图点P 即为所求；(2) 在(1)的条件下，若DP ⊥AB ，如图：由(1)可知：∠ABC 的平分线BK ，线段BD 的垂直平分线MN ，射线BK 与直线MN 的交点P ,ABP PBD ∴∠=∠（角平线的定义）PBD PDB ∠=∠（垂直平分线的性质）,ABP PBD PDB ∴∠=∠=∠DP ⊥AB,90ABD PDB ∴∠+∠=ABD ABP PBD ∠=∠+∠,且ABP PBD PDB ∠=∠=∠（已证） 19030,3ABP PBD PDB ∴∠=∠=∠=⨯= ABC ABP PBD ∠=∠+∠,303060.ABC ∴∠=+=【点睛】本题考查复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE＝3cm，△BCD的周长为13cm，则△ABC的周长为_________.【答案】19 cm．【解析】【分析】由DE是AB的垂直平分线，AE=3cm，可得AB=6cm，AD=BD，又由△BCD 的周长为13cm，可得AC+BC=13cm，继而求得答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=3cm，∴AD=BD，BE=AE=3cm，∴AB=6cm，∵△BCD的周长为13cm，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=13cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=19（cm）．故答案为：19 cm．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形的周长计算公式．注意掌握数形结合思想的应用．52．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，PE＝3 cm，则点P到直线AB的距离是________ cm.【答案】3【解析】【分析】由已知条件,根据垂直平分线的性质得出AB=AC,可得到∠ABD=∠DBC,再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到答案.【详解】过点P作PM⊥AB与点M，∵BD垂直平分线段AC，∴AB=CB，∴∠ABD=∠DBC，即BD为角平分线，又PM⊥AB，PE⊥CB，∴PM=PE=3．故答案为3【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 解题关键点：理解线段垂直平分线性质和等腰三角形性质.53．如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.【答案】3【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得AN=BN，NC+BC=AN+NC=AC，由∠BCN 的周长是8cm，得AC+BC=8（cm），所以可求出BC．【详解】∠MN是线段AB的垂直平分线，∠AN=BN，∠∠BCN的周长是8cm，∠BN+NC+BC=8（cm），∠AN+NC+BC=8（cm），∠AN+NC=AC，∠AC+BC=8（cm），又∵AC=5cm，∠BC=8﹣5=3（cm）．故答案为3．【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线．解题关键点：熟记线段垂直平分线的性质．54．如图，正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1．点P在BD上，则PE与PC的和的最小值为__．【解析】分析：连接AC、AE,由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称,故AE的长即为的最小值,再根据勾股定理求出AE的长即可.详解：连接AC、AE,∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于直线BD对称,∴AE的长即为PE+PC的最小值,∵BE=2,CE=1,∴BC=AB=2+1=3,在RT△ABE中,,∴PE与PC的和的最小值为13.故答案为: 13.点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质,熟知“两点之间,线段最短”是解答此题的关键.55．如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积的值是______．【答案】3【解析】分析：通过轴对称可以知道S△BEF=S△CEF，阴影部分的面积等于三角形ABC 面积的一半.详解：∵△ABC关于直线AD成轴对称，∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC，∵E，F是AD上的两点，∴△EFB与△EFC关于直线AD成轴对称，∴S△BEF=S△CEF.∵S△ABC=4×3÷2=6，∴S阴影部分=12S△ABC=3.点睛：本题考查了轴对称，三角形的面积.56．如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AB=6cm，BC=3cm，则△DBC的周长是_______cm．【答案】9【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DB，再根据△DBC的周长=BC+BD+DC=BC+DA+DC=BC+AC即可求得结果.【详解】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵AD=BD，AB=AC，AB=6cm，BC=3cm，∴AD+CD=BD+CD=AC=6cm，∴△DBC的周长=（BD+CD）+BC=6+3=9cm．故答案：9【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.57．如图所示,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AB和AC,交BC于点D,E,若∠DAE=50°°,则∠BAC=________,若△ADE的周长为19cm,则BC=_____cm.【答案】115°19【解析】分析：根据中垂线的性质可知∠B=∠BAD、∠C=∠CAE，所以∠BAC+∠B+∠C=∠DAE+2（∠B+∠C）=180°，所以∠BAC=180°-（∠B+∠C）．详解：∠∠DM、EN分别垂直平分AB和AC，∠AD=BD，AE=EC，∠∠B=∠BAD，∠C=∠EAC（等边对等角），∠∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE，∠∠BAC=∠DAE+∠B+∠C；又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°，∠∠BAC=115°；∠∠∠ADE的周长为19cm，∠AD+AE+DE=19cm，由①知，AD=BD，AE=EC，∠BD+DE+EC=19，即BC=19cm．故答案为115°，19．点睛：考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．58．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN 交AC于点D，则∠DBC的度数是_____．【答案】15︒【解析】∠∠ABC中，AB=AC，∠C=65°，∠∠ABC=∠C=65°，∠∠A=180°-65°-65°=50°，∠DM垂直平分AB，∠DB=DA，∠∠ABD=∠A=50°，∠∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.故答案为15°.59．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为_____．【解析】试题解析：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD BC ⊥，1141222ABC S BC AD AD ∴=⋅=⨯⨯=， 解得AD =6，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CP PD +的最小值，∴CDP 的周长最短116462822CP PD CD AD BC =++=+=+⨯=+=（）． 故答案为8.60．如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠BAD=100°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，当△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数是_____．【答案】160°．分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠AA″A′=80°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．详解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=100°，∴∠AA′M+∠A″=80°．由轴对称图形的性质可知：∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160°．故答案为：160°．点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 如图所示，小兰用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：①分别以点DE为圆心，大于DE的一半长为半径作弧两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K使K和B在AC的两侧；所以BH就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）A．①②③④B．④③①②C．②④③①D．④③②①【答案】B【解析】【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．【详解】用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，做法如下：④取一点K使K和B在AC的两侧；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；①分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；【点睛】考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．22．如图，在△ABC中，∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，则AD＋BD与BC的关系是A．AD＋BD＞BC B．AD＋BD＜BCC．AD＋BD＝BC D．不能确定【答案】B【解析】【分析】首先利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，进而得出AC=AD+BD，进而利用在同一三角形中大角对大边得出即可．【详解】∵边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，∴DB=DC，∴DB+AD=AC，∵∠A＞∠ABC，∴BC＞AC，∴AD+BD＜BC，故选：B．此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及同一三角形中角边关系，得出DB+AD=AC是解题关键．AB的长为半23．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC 的周长为8，AB=6，则△ABC的周长为（）A．20 B．22 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】由在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两2弧相交于点M、N，作直线MN，可得MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，由△ADC的周长为8，即可得AC+BC=8，继而求得答案．【详解】根据题意得：MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ADC的周长为8，∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8，∵AB=6，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=14．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．24．如图，DE⊥AC，垂足为E，CE＝AE,若AB＝12cm，BC＝10cm，则△BCD的周长是（）A．22cm B．16cm C．23cm D．25cm【答案】A【解析】【分析】本题可以运用等量代换，由CE＝AE和DE⊥AC可知∆ADC为等腰三角形，即可得到CD=AD，再由△BCD的周长=BD+CB+CD=22cm,代换后可得出答案.【详解】△BCD的周长=BD+CB+CD，CE＝AE和DE⊥AC可知∆ADC为等腰三角形，所以CD=AD，代换后得△BCD的周长=BD+CB+AD=BC+AB=22cm，所以答案选择A项.【点睛】本题考查了几何中的等价代换，熟悉掌握概念是解决本题的关键.25．如图，在四边形ABCD中，点D在线段AB、BC的垂直平分线上，若∠D=110°，则∠B度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°【答案】D【解析】【分析】连接BD，根据线段的垂直平分线性质可得BD=AD，DC=BD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，即可得∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C，根据四边形的内角和为360°即可求出答案．【详解】解：连接BD，∠点D在线段AB、BC的垂直平分线上，∠BD=AD，DC=BD，∠∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，∠∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C，∠∠ABC=（360°﹣∠D）÷2=125°．故选D．【点睛】本题考查了四边形的内角和定理、等腰三角形的性质和判定及线段垂直平分线性质的应用，解题时应注意线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．26．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（）个.A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形,折痕所在的这条直线叫做对称轴,根据题意分析可得:分别找出入射点B和反射点B,看看是否符合即可．【详解】解：由图可知可以瞄准的点有2个．．故选B．【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义和性质,解决本题的关键是利用轴对称的性质找准入射点和反射点．27．如图，△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称，∠BCD＝70°，∠B ＝80°，则∠DAC的度数为( )A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】B【解析】【分析】根据轴对称的性质:对应角相等,可得∠D,∠ACD的度数,根据三角形的内角和定理,可得答案．【详解】解:由△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称,∠BCD=70°,∠B=80°,得∠D=∠B=80°,∠ACD=∠ACB=12∠BCD=12×70°=35°．由三角形内角和定理,得:∠DAC=180°-∠D-∠ACD=180°-80°-35°=65°,故选:B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,解决本题的关键是要利用了轴对称的性质,三角形的内角和定理．28．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．ABC三条角平分线的交点B．ABC三边的中垂线的交点C．ABC三条高所在直线的交点D．ABC的三条中线的交点【答案】A【解析】【分析】根据凉亭到草坪三条边的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等，可知凉亭的位置是△ABC三条角平分线的交点，由此可得正确答案．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选：A．【点睛】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解决此题的关键．29．如图，∠ABC与∠ADC关于AC所在的直线对称，∠BCA=35°，∠D=80°，则∠BAD的度数为（）A．170∠B．150∠C．130∠D．110∠【答案】C【解析】【分析】已知△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称，根据轴对称的性质可得∠B=∠D=80°，∠BAC=∠DAC，在△ABC中，根据三角形的内角和定理求得∠BAC=65°，即可得∠BAD=2∠BAC=130°.【详解】∵△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称，∴∠B=∠D=80°，∠BAC=∠DAC，在△ABC中，∠BCA=35°，∠B=80°，∴∠BAC=65°，∴∠BAD=2∠BAC=130°.故选C.【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解决问题的关键．30．如图所示，在ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于∠的周长是（）点E，如果5,4==，则BCDAC BCA．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，推出CD＋BD＝5，即可求出答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∵AC＝5，∴AD＋CD＝5，∴CD＋BD＝5，∵BC＝4，∴△BCD的周长为：CD＋BD＋BC＝5＋4＝9，故选D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．二、填空题。

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案)=，且点P到边AB、AC的距离用直尺和圆规在ABC内作点P，使PA PB相等.(保留作图痕迹，不写作法)【答案】作图见解析.【解析】【分析】∠的平分线，它们的交点为P点．作AB的垂直平分线和BAC【详解】如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．72．已如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，AB=9，BC=7，求△BCD的周长．【答案】16【解析】【分析】根据题意知△BCD的周长=BD+CD+BC，根据垂直平分线性质得BD+CD=AD+CD=AC=BC，即可得到答案．【详解】∵DE是AB的垂直平分线∴DA=DB∴C△BCD=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC又AB=AC,AB=9，BC=7∴C△BCD =AB+BC=16 .【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质.73．已知：如图，在Rt△ABC 中，△A=30°，△B=60°．（1）作Rt△ABC 的外接圆⊙O，圆心为O（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）连接圆心O 和C 点，求证：△BOC 是等边三角形．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出圆心位置在AB的中点，进而得出答案；（2）利用直角三角形的性质结合各内角度数进而得出答案．【详解】（1）解：如图所示：∴O 即为所求；（2）证明：依题意得在Rt∴ABC 中因为∴A=30°，所以BC=AB，因为O 是AB 的中点，连接OC，可知OC=AB，即OC=BC=OB= AB，所以∴BOC 是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的判定方法.74．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．【答案】90°【解析】【分析】根据线段垂直平分线得出BE=AE，推出∠B=∠BAE=30°，求出∠BAC=2∠BAE=60°，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】∵DE是△ABC的AB边的垂直平分线，∴BE=AE，∵∠B=30∘，∴∠B=∠BAE=30∘，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=60∘，∴∠C=180∘−∠B−∠BAC=90∘.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握性质.75．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BE平分△ABC交AC于E，DE垂直平分AB交AB于D.试说明：BE＋DE＝AC.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质定理，结合已知条件可证得CE＝DE；已知DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，由AE＋CE＝AC即可得BE ＋DE＝AC.【详解】∴∴ACB＝90°，∴AC∴BC.∴ED∴AB，BE平分∴ABC，∴CE＝DE.∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴AE＋CE＝AC，∴BE＋DE＝AC.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及线段垂直平分线的性质定理，熟练运用角平分线的性质定理及线段垂直平分线的性质定理是解决问题的关键.76．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？【答案】（1）8 （2）56°【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，CE=AE，求出△ADE的周长=BC，即可得出答案；（2）由∠BAC=118°，即可得∠B+∠C=62°，又由DA=DB，EA=EC，即可求得∠DAE的度数．【详解】（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，∵BC=8，∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；（2）∵∠BAC=118°，∴∠B+∠C=62°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，∴∠BAD+∠EAC=62°，∠DAE=ο56【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．77．如图，在△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分线交BC于E，交AC于D，且AD=DE（1）求证：∠ABD=∠C；（2）求∠C的度数．【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质可知DB=DC，故此可得到∠C=∠DBC，然后利用角平分线的性质定理的逆定理可得到BD平分∠ABC，故此可证得∠ABD=∠C；（2）依据∠C+∠ABC=90°求解即可．【详解】（1）证明：∵DE⊥BC，∠A=90°即DA⊥AB且AD=DE，∴BD平分∠ABC．∴∠ABD=∠DBC．∵DE垂直平分BC，∴BD=CD．∴∠DBC=∠C．∴∠ABD=∠C．（2）∵∠ABC+∠C=90°，∠ABD=∠CBD=∠C，∴3∠C=90°．∴∠C=30°．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线和角平分线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．78．已知：B−O−A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．（1）如果要从P处移动到公路上路径最短，除图中所示PM外，还可以选择PN，求作这条路径，两条路径的关系是______，理由是___________．（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，表明点C的位置．（3）D点在公路OB上，O点到D点的距离与C点相等，作出△CDP，求证：△CDP为等腰三角形．【答案】（1）对称；点到直线的距离，垂线段最短．（2）画图见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）过点P作OA的垂线即可得；（2）作点P关于OA的对称点P′，连接P′Q，与OA的交点即为所求点C；（3）过点C作OQ的垂线，交OB于点D，依据中垂线和角平分线的性质证明即可得．【详解】（1）线段PN为所求．（2）P→C→Q路径最短，点C即为所求．（3）如图，△CDP即为所求．由题意得：OC=OD，∠AOQ=∠BOQ，OP=OP，∴△COP≌△DOP（SAS），∴CP=DP，∴△CDP为等腰三角形．【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线的尺规作图与中垂线、角平分线的性质及等腰三角形的判定．79．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．（1）作线段AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接AM，判断△AMC的形状，并给予证明；（3）求证：CM=2BM．【答案】（1）见解析；（2）△AMC为直角三角形；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）尺规作图，要按照规范画图进行，要显示作图痕迹．（2）明确△ABC各内角的度数，根据垂直平分线的性质，连接AM，即可求出∠MAC的度数；（3）由（2）知△AMC为直角三角形，得出CM与AM的数量关系即可得出结论；【详解】（1）（2）△AMC为直角三角形．连接AM，则BM=AM，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=30°，∠MAC=90°，∴△AMC为直角三角形；（3）∵∠CAM=90°，∠C=30°，∴CM=2AM．∵MN垂直平分AB，∴AM=BM，∴CM=2BM．【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形和直角三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．80．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．【答案】PA＝PC，理由详见解析.【解析】【分析】连接PB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【详解】PA＝PC．理由如下：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，∴PA＝PB，PC ＝PB，∴PA＝PC．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．。