A1 高三数学9月教学质量检测试题(扫描版,无答案)

2025届南宁市高三数学上学期9月检测考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()i 1i z =-，则z =（）A.2B.3D.2.若命题“2,23x x x m ∀∈++>R ”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A.(),2∞- B.[)2,∞+ C.(],2∞- D.()2,∞+3.已知向量,a b满足2,24a a b =-= ，且()20b a b +⋅= ，则b = （）A.1B.224.以下命题为假命题的是（）A.若样本数据123456,,,,,x x x x x x 的方差为2，则数据12346521,21,21,21,21,21x x x x x x ------的方差为8B.一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是11.5C.一般来说，若一组数据的频率分布直方图为单峰且不对称，且直方图在左边“拖尾”，则这组数据的平均数小于中位数.D.以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，最终求得线性回归方程为ˆ20.4zx =+，则模型中,c k 的值对应分别是0.4和2.5.已知曲线22:1C x y +=，设曲线C 上任意一点A 与定点()3,0B 连线的中点为P ，则动点P 的轨迹方程为（）A.223124x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭ B.223124x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭C.2231216x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ D.2231216x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭6.设函数()()2π2sin2,(2)86f x x axg x a x a =+=-+，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则a =（） A.1- B.0C.23D.347.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为π4，则该四棱台的体积是（）A.76B.6C.3D.28.已知(),,e xa b f x ax b ∈=-+R ，若()1f x ≥恒成立，则b aa-的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.[)1,∞+ C.[)2,∞-+ D.[)1,∞-+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()1πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 关于直线4π3x =对称C.()f x 在区间4π8π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.()f x 的一个零点为π3x =-10.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F C 上一点P 到F 和到y 轴的距离分别为12和10，且点P 位于第一象限，以线段PF 为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是（）A.4p =B.C 的准线方程为2y =-C.圆Ω的标准方程为22(6)(36x y -+-=D.若过点(0,，且与直线OP （O 为坐标原点）平行的直线l 与圆Ω相交于,A B 两点，则AB =11.已知函数()sin cos cos sin ee x xx x f x --=+，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图像是中心对称图形B.()f x 的图像是轴对称图形C.()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD.()f x 存在最大值与最小值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若25348,211a a a a +=+=，则9S =__________.13.已知tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，()tan 22αβ+=__________.14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1,2,,12 ，从盒中任取3个球，记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量2ξ=的概率是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2,cos 2cos 0c b B C =+=.（1）求cos A ；（2）若D 是边AB 上一点，12AD DB =，且CD =ABC 的面积.16.（15分）在平行四边形ABCD 中，60,1,D CD AC ∠=== .将ABC 沿AC 翻折到APC 的位置，使得PD =（1）证明：CD ⊥平面APC ；（2）在线段AD 上是否存在点M ，使得二面角M PC A --的余弦值为23913？若存在，求出AM MD 的值；若不存在，请说明理由.17.（15分）已知函数()22ln ,(0)a f x x a x a x=++<（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当[)e,x ∞∈+时，曲线()y f x =在x 轴的上方，求实数a 的取值范围.18.（17分）为防范火灾，对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的概率为34，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需要维修（1）求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差；（2）系统需要维修的概率；（3）为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工作的概率为(01)p p <<，且新增喷淋装置后有超过一半的系统能正常工作，则灭火系统可以正常工作.问：p 满足什么条件时可以提高整个灭火系统的正常工作概率？19.（17分）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为33.（1）求双曲线E 的标准方程；（2）若直线l 与E 的右支及渐近线的交点自上而下依次为C A B D ､､､，证明：AC BD =；（3）求二元二次方程2231x y -=的正整数解()()*,,,n n n n n Q x y x y n ∈N ，可先找到初始解()11,x y ，其中1x 为所有解n x 中的最小值，因为(22122231=+-=-⨯，所以()12,1Q ；因为(22221(2(277734=+-=+-=-⨯，所以()27,4Q ；重复上述过程，因为(2n与(2n 的部分互为相反数，故可设()()221(2(23n n n nnn n n x x x y =+-=+-=-⨯，所以(),n n n Q x y .若方程E 的正整数解为(),n n n Q x y ，且初始解()13,2Q ，则1n n OQ Q + 的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.南宁三中2025届高三九月测试数学答案1.C 【详解】因为()i 1i 1i z =-=+，所以z ==，故选：C.2.B【详解】若命题“2,23x x x m ∀∈++>R ”是真命题，则()2min23m x x <++，又因为2223(1)22y x x x =++=++≥，所以2m <，即实数m 的取值范围是[)2,∞+.故选：B3.D 【详解】因为()20b a b +⋅= ，即22b a b =-⋅ ，又因为2,24a a b =-= ，所以224444616a b b b -⋅+=+=，从而b = .4.D【详解】对A ：若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据1234521,21,21,21,21,21x x x x x x ------的方差为2228⨯=，故A 正确；对B ：580%4⨯=，则其第80百分位数是111211.52+=，故B 正确；对C ，一般来说，对于单峰的频率分布直方图，右边“拖尾”时平均数大于中位数，左边“拖尾”时平均数小于中位数，故C 正确；对D ，以模型e b y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，则ln ln lne ln kx z y c c kx ==+=+，由题线性回归方程为ˆ20.4z x =+，则ln 0.4,2c k ==，故,c k 的值分别是0.4e 和2，故D 错误.故选：D.5.B 【详解】设()()00P x,y ,,A x y ，因为P 为AB 的中点，所以00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00232x x y y =-⎧⎨=⎩，又因为点A 在曲线221x y +=上，所以22001x y +=，所以22(23)41x y -+=.所以点P 的轨迹方程为22(23)41x y -+=即223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.6.C【详解】令()()()()2π2sin(3)3,6h x f x g x x a x a h x =-=---∴关于直线3x =对称，()230,3h a ∴=∴=.7.B【详解】如下图所示：1,O O 分别为上下底面的中心，作1C E AC ⊥于点E ，根据题意可知111,2A B AB ==，侧棱与底面所成的角即为1C CE ∠，可知1π4C CE ∠=；因此可得1C E CE =，易知11AC A C ==，由正四棱台性质可得()111222CE AC A C =-=；所以该正四棱台的高为122C E CE ==，因此该四棱台的体积是(22112326V =++⨯=.故选：B 8.D【解析】()()e ,e xxf x ax b f x a '=-+∴=- ，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()1f x ≥不恒成立，当0a >时，令()e 0xf x a =-='，解得ln x a =，当(),ln x a ∞∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(),ln x a ∞∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，∴()()min ()ln ln ,1f x f a a a a b f x ==-+≥ 恒成立，ln 211ln 1ln 1,ln 2b a a a a a a a b b a a a a a a a--+-+≥∴≥-+∴=+- ，设()()221111ln 2,0a g a a a g a a a a a-=+->'∴=-=，令()0g a '=，解得1a =，当()0,1a ∈时，()0g a '<，函数()g a 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g a '>，函数()g a 单调递增，min ()0121,1b ag a a-∴=+-=-∴≥-，故答案[)1,∞-+.9.BC 【详解】由周期公式知最小正周期为2π4π12T ==，A 错；4π14πππsin sin 132362f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知直线4π3x =是对称轴，B 正确；4π8π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1ππ7π,2626x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，正弦函数在区间π7π,26⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，C 正确；ππsin 033f ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知π3x =-不是零点，D 错.10.ACD【详解】选项A ：因C 上一点P 到F 和到y 轴的距离分别为12和10，由抛物线定义可知，101242pPF p =+=⇒=，故A 正确；选项B ：准线方程为2x =-，故B 错误；选项C ：设()000,,0P x y y >，由P 到y 轴的距离分别为10，所以010x =，则0y =，即(10,P ，又()2,0F，所以圆心(6,，半径62PF ==，所以圆Ω的标准方程为22(6)(36x y -+-=，故C 正确；选项D ：因为直线(OP O 为坐标原点）平行的直线l ，所以4525105l OP k k ===，所以直线l的方程为255y x =+，又圆心(6,到直线l的距离为4=，所以AB ==，故D 正确.11.BD【详解】()ππ44x x f x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+，对于A 选项，()()ππππ4444x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-=+++不为常数，故A 错误.对于B选项，ππe 44xxf x f x ⎛⎫⎛⎫+=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则函数关于π4x =对称.故B 正确.对于C 选项，()()3π5π44πx x f x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=+=，则函数周期为π.故C 错.对于D选项，令()π,e e 4t t t x g t -⎛⎫⎡=-∈=+ ⎪⎣⎝⎭，由于()g t为偶函数，则只需要考虑⎡⎣部分即可.()()e e ,0,0ttg t t g t -''=->>，则()()20e g g t g=≤≤=+.故D 正确.12.63【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()11114822311a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，则()9189991362632S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.13.247【详解】因为tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，所以tan tan 3,tan tan 3αβαβ+==-因此()()()()232tan tan tan 3242tan tan 2291tan tan 41tan 7116αβαβαβαβαβαβ+++==+===--+-.14.1855【详解】从12个球中任取3个球有312C 220=种不同的方法，1到12中能被3整除的有3,6,9,12，除3余1的有1,4,7,10，除3余2的有2,5,8,11，取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有1244C C 24=；②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有1244C C 24=；③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个有1244C C 24=，则()24242418222055P ξ++===.15.【解答】解：（1）由cosB 2cosC 0+=，得2222222022a c b a b c ac ac +-+-+=，将2c b =代入得，2222224420222a b b a b b a b ab +-+-+=⋅，化简得2259a b =，即5a =，则22222229445cos 245b b b bc a A bc b +-+-===；（2）由（1）可知222222945cos ,sin 2555b b b b ac C C ab +-+-==-=则在DCB 中，由12AD DB =，()12CD CA CB CD∴-=-2133CD CA CB∴=+ 222221414()cos 33999CD CA CB b a ab C⎛⎫∴=+=++ ⎪⎝⎭2171745b ∴=解得9b a ==.故ABC 的面积1sin 272S ab C ==.16.（1）证明见解析（2）存在，14AM MD =【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形ABCD为平行四边形，60,1,D CD AC ∠===，在三角形ACD中，由正弦定理可得1,sin sin sin60sin AC CD ADC CAD CAD∠∠∠==，1sin 2CAD ∠=，又AC CD >，故30CAD ∠= ，所以90ACD ∠= ，即CD AC ⊥，因为2,1PD PC CD ===，所以222PC CD PD +=，则有CD PC ⊥，,,PC AC C AC PC ⋂=⊂平面APC ，所以CD ⊥平面APC .（2）由（1）CD ⊥平面APC ，且CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面APC .平面ADC ⋂平面APC AC =，在平行四边形ABCD 中，BA AC ⊥，即PA AC ⊥，故PA ⊥平面ADC .以点C 为坐标原点，,,CD CA AP的方向分别为,,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,0,0,,0,C D P A ，设()()1,,,0AM AD λλλ===，其中01λ ，则()()()(),,0,,0,0,CM CA AM CP λλ=+=+==，设平面MCP 的法向量为(),,m x y z =，则)0mCP z m CM x y λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取,y λ=则),1z x λ==-所以，))1,,m λλ=-，易知平面CPA 的一个法向量为()1,0,0n =，则cos ,13m n m n m n⋅<>==⋅，整理可得215210λλ+-=，因为01λ ，解得15λ=，因此，线段PC 上存在点M ，使二面角M AB C --的余弦值为13，且14AM MD =.17.（1）25y x =-+；（2）3e ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】（1）当1a =-时，()2ln f x x x x=+-()221f x x x x∴=-'-()()1312f f '∴==-∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()321,25y x y x -=--=-+；（2） 函数()()22ln af x x a x a x=++∈R ，当0a <时，()()()222221x a x a a a f x x x x-+='-+=，由()0f x '=可得2x a =-或x a =（舍去），∴当()0,2x a ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()2,x a ∞∈-+时，()()0,f x f x '>单调递增，当2e a -≤即e02a -≤<时，所以()f x 在[)e,∞+上单调递增，则()()2222e 7e e 0e e 48a f x f a a ⎛⎫≥=++=++> ⎪⎝⎭，即曲线()y f x =在x 轴的上方，当2e a ->即e2a <-时，()f x 在[)e,2a -上单调递减，在()2,a ∞-+上单调递增，则()()()23ln 2f x f a a a a ≥-=-+-，由[)e,x ∞∈+时，曲线()y f x =在x 轴的上方，()3ln 20a a a ∴-+->，解得3e 2a >-，综上，实数a 的取值范围为3e ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.（1）916（2）532（3）312p -<<【详解】记X 为系统中可以正常工作的喷淋装置的个数.（1）由题意知33,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均值为()39344E X =⨯=方差D ()339314416X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；（2）记事件A 为“该仓库灭火系统需要维修”则()()()3120133333195X 0X 1C 1C 1444646432P A P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以系统需要维修的概率为532.（2）记事件B 为“该仓库灭火系统能正常工作”，由题意可知()32123022121122323232333333C C (1)C 1C (1)C 1C 44444P X p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22182792764643264p p =-+=-+()()323122222323233327274C C 1C 1;C 4446432P X p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()33222323275C C 464P X p p ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭则()()()()345P B P X P X P X ==+=+=2222927272727927273264643264323264p p p p p p =-+-++=-++由（2）可知灭火系统原来可以正常工作概率为()527113232P A -=-=，若新增两个电子元件后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等式2927272732326432p p -++>成立，解得3322p -+<<，而01p <<.综上当312p -<<时，可以提高整个系统的正常工作概率.19.（1）22112y x -=；（2）证明见解析；（3）1【详解】（1）由题意2223322a c a b ⎧==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22112a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线E 的标准方程为22112y x -=；（2）由题意直线l 的斜率不为0，设直线:l x my t =+，因为直线l 与E 的右支交于两点，所以0t >，联立2221x my t x y =+⎧⎨-=⎩得()2222210m y mty t -++-=，所以222A B mt y y m +=--，且()22Δ4220m t =+->，即2222m t >-，联立2220x my t x y =+⎧⎨-=⎩得()222220m y mty t -++=，所以222C D mt y y m -+=-，所以222C D A B mty y y y m +=-=+-，即线段,AB CD 的中点重合，所以AC BD =.（3）由题意得方程2221x y -=的初始解为()3,2，则根据循环构造原理得(3,(3n nn n n n x x +=+-=-，从而1(3(3,(3(3224n nn n n n x y ⎡⎤⎤=++-=+--⎣⎦⎣⎦，记(),n n n OQ x y = ，则()111,n n n OQ x y +++= ，设1,n n OQ OQ +的夹角为α，则1n n OQ Q + 的面积111sin 2nn OQ Qn n S OQ OQ α++=⋅===1112n n n n x y x y ++==-，令(3,(3,1n n a b ab =+=-=，则()((()((}13333nn OQ QS a b a b a b a b +⎡⎤⎡⎤=++----++-⎣⎦⎣⎦ 2116=⨯=，于是1n n OQ Q + 的面积为定值。

2025届高三上学期9月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷4页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)A ．众数约为10B ．中位数约为6.5C ．平均数约为6.76D ．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.65．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）A ．5B ．9C ．8D ．106．已知数列{a n }满足，对，，都有，为数列{a n }的前n 项乘积，若{}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,3,6,7A ={}2,3,4,5B =()U A B = ð{}6,7{}1,7{}1,6{}1,6,72i z =+i z z =+3i4-1i4-3i4+1i4+1a = 2b = ()a ab ⊥+ a b b - b 14b - 14b 24y x =F F l ,A B 4AF BF +24a =m ∀*n ∈N m n m n a a a +=⋅n T，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知函数，则（ ）A ．是最小正周期是B ．是的一个极值点C ．的最小值是D ．在上单调递减10．在圆锥中，为高，，点为的中点，圆锥底面上点在以为直径的圆上（不含两点），点在上，且，当点运动时，则（ ）A ．三棱锥的外接球体积为定值B ．直线与直线不可能垂直C ．直线与平面所成的角可能为D ．54T T <101T =51512-505021012-51512()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω2529,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭2331,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭2529,66⎛⎤ ⎥⎝⎦2331,66⎛⎤ ⎥⎝⎦()()21e ,ln 2x f x x g x x x a -==-+[]12,1,2x x ∃∈()()12f x g x =a 2211ln22,ee 2⎛⎫+-- ⎪⎝⎭2211ln22,ee 2⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦2112,ln222e e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2112,ln222e e ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦()2sin sin2f x x x =+()f x 2ππ()f x ()f x 2-()f x 2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭PO PO AB 2C PA M AO A O ､H PM PA OH ⊥M M PAO -CH PA OA PAM 60o2AH HO +<11．已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（ ）A ．直线与的斜率之积为4B．若，则C ．以为直径的圆与圆相切D ．若，则点坐标为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知在的展开式中第5项为常数项，展开式中含有顶的系数为 .13．已知函数，正数满足，则的最小值为 ．14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列中，，且，为数列的前n，数列是等比数列，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和．16.（本小题15分）图1的正方形ABCD ，将沿AC 折起得到如图2所示的三棱锥，且(1)证明：平面平面ABC ；22:14x C y -=12,F F O l C ,A B P C B 12PF F V N PA PB 124PF PF ⋅=12π3F PF ∠=1PF 224x y +=120PF PF ⋅= N (n-2x )2()3log f x x =,a b ()(31)0f a f b +-=3b a ab+1111ABCD A B C D －3P 11ADD A E CD APB DPE ∠=∠APB △DPE V 9P ABE －{}n a 11a =0n a ≠n S {}n a n a ={}n b 110a b +=2233443a b a b a b ==++-{}n a {}n b 1n n n n nb c a a +=⋅{}n c n ACD V P ABC -PB PAC ⊥(2)点M 是棱PA 上不同于P ，A 的动点，设，若平面PBC 与平面MBC 的夹角的余弦值为，求的值．17.（本小题15分）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；(3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.18.（本小题17分）已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为，直线BN 的斜率为，求证：．19.（本小题17分）已知函数.(1)函数与的图像关于对称，求的解析式；(2)在定义域内恒成立，求a 的值；(3)求证：，.()01AM APλλ=<<79λ231312n A n n n P n P 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1k 2k 1213k k =()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x ()1f x ax -≤2111ln 42n k n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*N n ∈。

2024—2025学年高三9月质量检测考试数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C. 3D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（ ）A.B. C. D.4. 已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C. 51D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且，，则（ ）A. 5B. C. 4D. 36. 已知点在抛物线C：上，则C 的焦点与点之间的距离为（ ）A. 4B.C. 2D.7. 已知a ，且，，，则（ ）24i z =+z 1z -=(){}3log 22M x y x ==+<{}2024x N y y ==M N = ()2,7-()2,3-()0,7()7,+∞1O 2O 224π376π75π215π3()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()a ab ⋅+=ABC △20ac =4cos 5B =b =121,34A p p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()220x py p =>()1,2b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 1a b a bα-=+ab =A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线与圆D ：有两个交点，则整数m 的可能取值有（ ）A. 0B. －3C. 1D. 310. 已知对数函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 11. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 被10除的余数为______.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆C ：的焦距为.（1）求C 的标准方程；1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 42α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x x x a -≥(],1-∞(21,e ⎤⎦(],2-∞[)e,+∞y x =22224x y my m +-=-()()log 1x f x x =+()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x >+>[]0,15x ∈*x ∈N 21e1x y x -=-()1,0203111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △()222210x y a b a b +=>>（2）若，直线l ：交椭圆C 于E ，F 两点，且，求t 的值.16.（15分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.（1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P 的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计102840113合计85完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？（2）根据以往调图经验，列车P 在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P 经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X ，求X 的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82817.（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，.（1）仅用无刻度直尺作出四棱锥的高PH ，写出作图过程并证明；（2）若平面平面PCD ，平面平面PBC ，证明：四边形ABCD 是菱形.18.（17分）已知.（1）证明：是奇函数；5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()302x ty t =+>AEF △0.001α=1323()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -AP CP =BP DP =P ABCD -PAB ⊥PAD ⊥()()ln 0x a f x ax a x a -⎛⎫=+>⎪+⎝⎭()f x（2）若，证明在上有一个零点，且.19.（17分）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.（1）若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；（2）若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.()()()12120f x f x x x =<<()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤{}n a λ*n ∀∈N 2n ≥121n n a a a a λ-+++≥ {}n a λ{}n a 11a =21a =()123n n n a a a n --=+≥{}n a {}n a λ0M ∃>*n ∀∈N 2n ≥n a M ≤222111121111n i in a a M a a a a λ=⎛⎫≥+- ⎪+++⎝⎭∑2024—2025学年高三9月质量检测考试数学参考答案1. A 【解析】由，可得.故选A.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. A【解析】由题意可知体积之差的绝对值为.故选A.4. C 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选C.5. B 【解析】由题意可得，，由余弦定理可得，，解得.故选B.6. D 【解析】因为点在抛物线C 上，所以，整理得，解得或（舍去），故焦点为，故C 的焦点与点之间的距离为故选D.7. D 【解析】由题意可得，解得.24i z =+24i 11i 14z --=-==-=()3log 22x +<029x <+<()2,7M =-20240xy =>()0,N =+∞()0,7M N = 334425632224π4π2πππ33333⨯-⨯=-=()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()1,43,121341251a a b ⋅+=⋅=⨯+⨯= 20ac =2b a c =+()2222282cos 24725b ac ac B a c ac ac b =+-=+--=-b =121,34A p p ⎛⎫++⎪⎝⎭()2121234p p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭272102p p --=2p =14-()0,1()1,2=1sin 1ab a bα-=+2222sin cos 2sincos1sin 22221sin sin cos 2sin cos 2222a b αααααααααα+++==-+-22222sin cos 1tan π222tan 42sin cos 1tan 222ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. AC 【解析】联立，消去x 可得，则，解得故选AC.10. BCD 【解析】对于A 选项，由对数函数的定义知的定义域为，故A 错误.对于B 选项，令，则，即，解得（负值舍去），故B 正确.对于C 选项，，可知，ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭1ln e x x ≥-ln t x x =()1e e t g t t t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e 1t g t '=-10e t -≤<()0g t '<0t >()0g t '>()g t 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()0,+∞()()min 01g t g ==1a ≤22224y xx y my m=⎧⎨+-=-⎩222240y my m -+-=()()222840m m ∆=--->m -<<()f x ()()0,11,+∞ ()log 12x x +=21x x =+210x x --=x =()()()ln 1log 1ln x x f x x x+=+=()()()()2ln 1ln 11ln x x x x f x x x x-+++'=设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，易得，则，且，则，不妨设最大.对于A 选项，若，则不成立，故A 错误；对于B 选项，若，例如7，7，7，7，12，满足题意，故B 正确；对于C 选项，若，例如5，7，8，9，11，满足题意，故C 正确；对于D 选项，若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D 错误.故选BC.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.13. 1 【解析】()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()()()11log 1log 2x x f x f x x x +-+=+-+()()()2ln 1ln ln 2ln ln 1x x x x x +-⋅+⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x >+>1x 2x 3x 4x 5x ()12345185x x x x x x =++++=1234540x x x x x ++++=()()()()()2222212243588814588x s x x x x -+-+-+-+⎡⎤==⎣⎦-()()()()()22222123458888820x x x x x -+-+-+-+-=5x 513x =()()()()2222123488885x x x x -+-+-+-=-512x =511x =510x =()()()()22221234888816x x x x -+-+-+-=12342222123430496x x x x x x x x +++=⎧⎨+++=⎩33y x =-()212e x y x x -'=+1x =3y '=21e 1x y x -=-()1,033y x =-()10201010192891010103910110C 10C 10C 101==-=-⨯+⨯--⨯+，所以被10除的余数为1.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ.15. 解：（1）由题意得，，（2分）又，（4分）则，（5分）所以C 的标准方程为.（6分）（2）由题意设，，联立，整理得，（7分）则，，（8分）故.（10分）设直线l 与x 轴的交点为，()9182791010101010C 10C 10C 1⨯-⨯+⨯--=+ 2031-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =1-2c =c =c e a ==2a =2222b a c =-=22142x y +=()11,E x y ()22,F x y 2232142x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2272304t y ty ++-=12232ty y t +=-+()122742y y t =-+12y y -===3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭又，则，（11分）故，（12分）解得.（13分）16. 解：（1）补充列联表如下：车站编号满意不满意合计102812401157360合计8515100（3分）零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，（6分）所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（7分）（2）经分析，X 的可能取值为8，10，12，14.（8分）；（9分）；（10分）；（11分），（12分）则X 的分布列为X 8101214P（13分）所以.（15分）17. 解：（1）连接AC ，BD 交于点H ，连接PH ，5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭35422AD ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭12122AEF S AD y y =⋅-==△t =0H ()220.001100283571220010.8284060851517x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯0.001α=0H ()3288327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2214103339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()2122123339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()31114327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭8274929127()8421810121410279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=则PH 是四棱锥的高.（2分）由于该四棱锥底面为平行四边形，故点H 为AC 与BD 的中点.（3分）又，，故有，，（4分）又，AC ，平面ABCD ，故平面ABCD ，即PH 为四棱锥的高.（6分）（2）（方法一）证明：以H 为原点，以、的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，以垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（7分）设，，，，.则，，.（8分）设平面PAB 、平面PCD 的法向量分别为，，则，，（9分）令，解得，.所以，.（10分）因为平面平面PCD ，所以，①（11分）同理可得平面PAD 、平面PBC 的一个法向量分别为，.故，即，②（12分）P ABCD -AP CP =BP DP =PH AC ⊥PH BD ⊥AC BD H = BD ⊂PH ⊥P ABCD -BC HP (),,0A a d (),,0B b d -(),,0C a d --(),,0D b d -()0,0,P h (),2,0BA CD a b d ==- (),,BP b d h =- (),,DP b d h =-()1111,,n x y z = ()2222,,n x y z =()11111200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-++=⎩()22222200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-+=⎩122x x dh ==1112()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩2222()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩()()()12,,n dh b a h b a d =-+ ()()()22,,n dh b a h b a d =--+PAB ⊥()()2222221240n n d h b a h a b d ⋅=+--+= ()30,,n h d = ()40,,n h d =-22340n n h d ⋅=-= h d =①②联立解得.（13分）因此，.（14分）故，而四边形ABCD 是平行四边形，故四边形ABCD 是菱形.（15分）（方法二）证明：过点H 作交AB 于点E ，交CD 于点F ，过点H 作交BC 于点M ，交AD 于点N ，连接PE ，PF ，PM ，PN ，因为平面ABCD ，AB ，平面ABCD ，所以，.（7分）因为EF ，平面PEF ，所以平面PEF ，又平面PEF ，所以.（8分）易得平面PAB 与平面PCD 的交线平行于AB ，又平面平面PCD ，平面PAB ，所以平面PCD ，又平面PCD ，所以.（10分）因为MN ，平面PMN ，所以平面PMN ，又平面PMN ，所以.（11分）易得平面PAD 与平面PBC 的交线平行于BC ，又平面平面PBC ，平面PBC ，所以平面PAD ，又平面PAD ，所以.（13分）因为H 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以，，所以，所以，（14分）又，所以，所以平行四边形ABCD 是菱形.（15分）18. 证明：（1）易得的定义域为，（2分）.由奇函数的定义知是奇函数.（6分）2ab d =AD a b =--AB a b ===--AB AD =EF AB ⊥MN BC ⊥PH ⊥BC ⊂PH AB ⊥PH BC ⊥PH ⊂AB ⊥PE ⊂AB PE ⊥PAB ⊥PE ⊂PE ⊥PF ⊂PE PF ⊥PH ⊂BC ⊥PM ⊂BC PM ⊥PAD ⊥PM ⊂PM ⊥PN ⊂PM PN ⊥HE HF =HM HN =1122PH EF MN ==EF MN =AB EF BC MN ⋅=⋅AB BC =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()ln x a f x a x x a --⎛⎫--=--- ⎪-+⎝⎭()ln ln x a x a ax ax f x x a x a -+-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=--()f x（2）由对称性，不妨取，则，（7分）而.（8分）下证，设，，，，则（当且仅当，，即时取等号）.（14分）另一方面，的定义域为，.由对称性，不妨取，则，故在上单调递增.（15分）当时，；当时，.由零点存在定理知在上有一个零点，（16分）故.（17分）19. 证明：（1）当时，；（2分）当时，，（6分）故数列是1-有限数列.（7分）（2）由，得，（9分）31x x =-()()()()()()()23232323ln 0x a x a f x f x a x x x a x a ⎡⎤--+=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()()()2232323232ln 2x a x a x x f a x x x a x a ⎡⎤-+-+⎛⎫=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2323202x x f f x f x +⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭2x a m -=3x a n -=2x a p +=3x a q +=()()()()()()()()()()22232322323x a x a x a x a m n mn x a x a x a x a pq p q ⎡⎤-+---+-=-⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦()()()()()()2222pq m n mn p q pm qn qm pn p q pq p q pq +-+--++==()()()22323220a x x x x p q pq +-=≥+m n =p q =23x x =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()()2a f x a x a x a =++-'x a >()0f x a '>>()f x (),a +∞x a →()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤2n =121a a ==2n >122121n n n n n a a a a a a a ----++++>+= {}n a 121n n a a a a λ-+++≥ ()2221211n n a a a a λ-≥+++于是有（13分）.（17分）()222212112111nn i i i i a a a a a λ==-≥++++∑∑ ()()2221121121n i i i a a a a a a a λ=-≥+++++++∑ 222112112111n i i i i a a a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅-≥ ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭=∑222112112111n i i i a M a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅- ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭∑221112111n a M a a a a λ⎛⎫+- ⎪+=++⎝⎭。

2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。

2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。

一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。

1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。

嫌疑犯A、B、C对簿公堂。

嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。

由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。

试卷类型：A山东新高考联合质量测评9月联考试题高三数学2024.9本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.2.选择题答案必须使用2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B 铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(,),,A x y y x x y =≥∈Z ，{}2(,)log (2)B x y y x ==+，则A B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.无数个2.“21x<”是“2x >”的（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件3.已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，若94S S <，且150S >，则当n S 取得最小值时，n =（）A.3B.6C.7D.84.已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)−，则29c a b++的取值范围为（）A.[6,)−+∞B.(,6)−∞ C.(6,)−+∞ D.(,6]−∞−5.已知函数()2sin f x x ax =−，a ∈R ，若曲线()f x 在点ππ,22f处的切线方程为0x y k ++=，则函数()f x 在(0,2π)内的单调递减区间是（ ）A.π5π,33B.(0,π]C.[π,2π)D.π50,,π,2π336.若使不等式2(1)0x a x a +−−≤成立的任意一个x ，都满足不等式|32|1x +>，则实数a 的取值范围为（）A.1,3−∞B.1,3 −+∞C.1,3 −∞D.1,3 +∞7.若函数32()1f x x x x =−−−的图象与直线y k =有3个不同的交点，则实数k 的取值范围为（）A.22,227B.222,27−−C.(2,)−+∞D.22,27 −∞−8.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数.已知数列{}n a 满足21a =，2n n S na =，若()lg 1n n b a =+ ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2024T =（）A.4956B.4965C.7000D.8022二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数a ，b ，满足1a b +=，则（）A.22a b+≥+≤C.234a b +≤D.1122a b+≥+10.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A.{}n a 是递增数列 B.{}1n n a a +是等比数列C.n n S a不是等比数列 D.n S ，2n n S S −，32n n S S −，…成等比数列11.已知e ()(1)1xf x x x =>−+，()(1)e (1)xg x x x =−<，且()() 1.01f a f b ==，()()0.99g c g d ==.若a b >，c d >，则（ ）A.0a b +>B.0a d +>C.0b c +> D.0c d +>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合[,1]M a a =+，且“x M ∀∈，10xa −>（0a >，且1a ≠）”是假命题，则实数a 的取值范围为__________.13.等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若21S =−，8417S S =，则6S =__________. 14.已知曲线11y ax x=−，2(1)ln y a x =+，若曲线1y ，2y 恰有一个交点，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）解关于x 的不等式：(38)1()32m x m x −>∈−R .16.（15分）在数列{}n a 中，12a =，12112n n na a a ++=+，n +∈N . （1）求证：数列(){}lg 1n a +为等比数列；（2）设数列{}n b 满足112nn nb a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值. 17.（15分）如图，一海岛O 离岸边最近点B 的距离是120km ，在岸边距点B 300km 的点A 处有一批药品要尽快送达海岛.已知A 和B 之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km ，快艇时速为60km.设海运起点C 到点B 的距离为 k m x .2.2≈）（1）写出运输时间()t x 关于x 的函数；（2）当点C 选在何处时运输时间最短？18.（17分）已知函数()ln ()f x mx x m =+∈R .（1）当1m =−时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数2()()ln g x f x x x =++，求函数()g x 极值点的个数；（3）当1m =时，若()(1)f x k x b ≤++在(0,)+∞上恒成立，求证：(e 1)(1)b k ≥+−.19.（17分）已知数列{}n a 的首项为2，n S 为数列{}n a 的前n 项和，12n n S qS +=+，其中0q >，*n ∈N .（1）若3a 是22a 和24a +的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221n y x a −=的离心率为n e，且2e =，证明：1234663nn e e e e ++++>⋅−；（3）在（1）的条件下，记集合{}n Ax x a ==，{}*21,B x x n n ==−∈N ，若将A B 所有元素从小到大依次排列构成一个新数列{}n b ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使得112n n T b +>成立的n 的最小值.山东新高考联合质量测评9月联考 高三数学参考答案及评分标准2024.9一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B2.C3.C4.D5.A6.C7.B8.B二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD10.BCD11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.（0，1）13.21−14.()0,+∞四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）解：原不等式可化为(33)28032m x mx −+−>−，即()()3328320m x m x −+−−> .（1）当1m =时，不等式可化为6(32)0x −×−>，解得23x <.（2）当1m >时，822333m m −>−，解得23x <或8233m x m −>−. （3）当01m <<时，822333m m −<−，解得282333m x m −>>−. （4）当0m <时，282333m m −<−，解得282333m x m −<<−.（5）当0m =时，原不等式可化为1>，解集为∅.综上所述：当1m >时，不等式的解集为282,,333m m − −∞+∞ −；当1m =时，不等式的解集为2,3−∞；当01m <<时，不等式的解集为822,333m m − − ；当0m <时，不等式的解集为282,333m m −−；当0m =时，不等式的解集为∅. 16.（15分）（1）证明：因为12112n n na a a ++=+，n +∈N ，212n n n a a a +∴=+.()2211211n n n n a a a a +∴+=++=+.()()()21lg 1lg 12lg 1n n n a a a +∴+=+=+，()()1lg 12lg 1n n a a ++∴=+. 所以数列(){}lg 1n a +是以lg 3为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得()1lg 1(lg 3)2n n a −+=⋅，则1231n n a −=−，11122n n n a a a +=−+，所以1122112n n n n n b a a a a ++ =−=−.221223111*********12222123131n nn n n n S a a a a a a a a ++ ∴=−+−++−=−=−=− −− . 因为数列{}n S 递增，134n S S =≥∴.所以数列{}n S 的最小值为34.17.（15分）解：（1）由题意知||OC =，||300AC x =−，300()(0300)90xt x x −∴=+≤≤. （2）()12221202111()2609090x xt x −+×′=×−−. 令()0t x ′=，得x =当0x <<()0t x ′<，当300x <<时，()0t x ′>，所以105.6x≈时()t x 取最小值.所以当点C 选在距B 点105.6km 时运输时间最短.18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x x =−+，()11f x x′=−+， 所以(1)1f =−，(1)0f ′=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为1y =−.（2）解：22()()ln 2ln g x f x x x x mx x =++=++，()22222(0)x mx g x x m x x x++′=++=>，对于方程2220x mx ++=，216m ∆=−，①当44m −≤≤时，2160m ∆=−≤，()0g x ′≥，此时()g x 没有极值点；②当4m <−时，方程2220x mx ++=的两根为1x ，2x ，不妨设12x x <， 则1202mx x +=−>，121x x =，120x x <<，当10x x <<或2x x >时，()0f x ′>，当12x x x <<时，()0f x ′<，此时1x ，2x 是函数()g x 的两个极值点；③当4m >时，方程2220x mx ++=的两根为3x ，4x ，且3402mx x +=−<，341x x =，故30x <，40x <，当(0,)x ∈+∞时，()0g x ′>，故()g x 没有极值点；综上，当4m <−时，函数()g x 有两个极值点； 当4m ≥−时，函数()g x 没有极值点.（3）证明：由()(1)f x k x b ≤++在(0,)+∞上恒成立，得ln (1)x x k x b +−+≤在(0,)+∞上恒成立，设()ln (1)h x x x k x =+−+，1()1h x k x′=+−，当1k ≤时，()0h x ′≥，()h x 在(0,)+∞上单调递增，此时()b h x ≥显然不恒成立.当1k >时，若10,1x k ∈ − ，则()0h x ′>，()h x 在10,1k −上单调递增，若1,1x k ∈+∞− ，则()0h x ′<，()h x 在1,1k+∞ −上单调递减，所以max 1111()ln 1ln(1)11111h x h k k k k k k k==+−+=−−−−−−−−，所以ln(1)1k k b −−−−≤.要证(e 1)(1)b k ≥+−成立，因为1k >，即证明e 11bk ≥−−−.因为ln(1)111b k k k k −−−−≥−−令1(0)k t t −=>，ln 2()t t p t t −−−=，2ln 1()t p t t +′=，令()0p t ′=得1e t =， 当10,e t∈ 时，()0p t ′<，()p t 在10,e上单调递减，当1,e t ∈+∞ 时，()0p t ′>，()p t 在1,e +∞上单调递增，所以min 1()e 1e p t p ==−−，所以e 11bk ≥−−−，所以(e 1)(1)b k ≥+−成立.19.（17分）（1）解：由12n n S qS +=+①可知， 当2n ≥时12n n S qS −=+②，两式相减可得1n n a qa +=，所以{}n a 从第二项开始是公比为q 的等比数列，当1n =时，代入可得1212a a qa +=+，即22a q =，所以{}n a 是公比为q 的等比数列.又3a 是22a 和24a +的等差中项，所以322224a a a ++，即22320q q −−=， 解得2q =或12−（舍去），所以()*2n n a n =∈N . （2）证明：由双曲线的性质可知，ne =，由（1）知{}n a 是首项为2，公比为q的等比数列，故2e =43q =， 所以()1*423n n a n −=∈N .所以1423n n e − >=，则21123414444322222664333313nn nn e e e e −−++++>+⋅+⋅++⋅=⋅=⋅−− . （3）解：{2,4,8,16,32,64,128,}A = ，与集合B 相比，元素间隔大，所以在集合B 中加了几个A 中的元素考虑，1个：112n =+=，23T =，31236b =； 2个：224n =+=，410T =，51260b =； 3个：437n =+=，730T =，812108b =； 4个：8412n =+=，1294T =，1312204b =； 5个：16521n =+=，21318T =，2212396b =； 6个：32638n =+=，381150T =，3912780b =；发现2138n ≤≤时，112n n T b +−与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：30687T =，3112612b =，所以所求n 应在2229−之间， 25462T =，2612492b =，所以所求n 应在2629−之间，27546T =，2812540b =， 26503T =，2712516b =，因为272812T b >，而262712T b <，所以使得112n n T b +>成立的n 的最小值为27.。

2021年高三上学期9月质检数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．20．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄三中高三（上）9月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（△￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．【考点】定积分．【分析】直接利用定积分的运算法则求解即可．【解答】解：由题意==8．故答案为：8．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】易得p：k＞0，q：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．【解答】解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴；②若p假q真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（I）因为f（﹣1）=f（2），函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，则，利用线性规划可得2b+c的取值范围．【解答】解：（I）因为f（x）=x2+bx+c，f（﹣1）=f（2），所以1﹣b+c=4+2b+c，解得：b=﹣1，…又因为函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），即y=x2﹣2x+c的值域为[0，+∞），故=0，解得：c=1，所以f（x）=x2﹣x+1；…（Ⅱ）因为f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且c＜0，所以有，即其对应的平面区域如图所示：…令Z=2b+c，则当b=﹣1，c=0时，Z取最小值﹣2，当b=1，c=0时，Z取最大值2，由于可行域不包括（﹣1，0）和（1，0）点故﹣2＜2b+c＜220．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f（x）=4y=，分类讨论解出f（x）≥4即可；（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，可得浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]，变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f（x）=4y=则当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴4∈[4，8]，故当且仅当14﹣x=4时，y有最小值为8﹣a﹣4．令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年10月13日35430 8A66 試l|33559 8317 茗34175 857F 蕿\22566 5826 堦< 21226 52EA 勪/•}25607 6407 搇。

高三理科质量检测试题数学（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分考生作答时，将第Ⅰ卷答案涂在在答题卡上，第Ⅱ卷答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡及答题纸规定的位置上2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题纸规定的位置上3．所有题目必须在答题卡或答题纸上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 已知集合{}M=,,a b c ，{}N=,,b c d ，则 A.{},M N a d =U B.{},M N b c =I C ．M N ⊆ D. N M ⊆2.已知函数2log ,0,()3,0.xx x f x x >⎧=⎨≤⎩ 则1(())4f f = A ．19 B ．9 C ．19- D ．9-3．下列函数中,不满足:(2)2()f x f x =的是A.()f x x =B.()f x x x =- C ．()f x x =+1 D.()f x x =-4.当0<x ≤12时,4log x a x <,则a 的取值范围是A. (0,22) B. (22,1) C. (1,2) D. (2,2) 5.已知ln x π=,5log 2y =,12z e-=,则A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x << 6.“函数2()2f x x x m =++的图像与x 轴有公共点”是“1m <”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.2B.1C.23D.138．已知正实数a ,b 满足不等式1ab a b +<+,则函数()()log a f x x b =+的图象可能为9.函数()cos f x x =在[0,)+∞内A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 10．若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )M αα，则 A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：把答案填在答题纸相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若集合{}1,2,3A =，{}1,,4B x =，{}1,2,3,4A B =U ，则x = . 12. 函数2cos cos 1y x x =+-的值域为 . 13.函数()f x =的定义域为 .14.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是 .15. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()(2)5f x f x +=，若(2)3f =，则(2012)f = .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.16．（本小题共12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=.0 ,21,0 ,2,0 ,4)(2x x x x x x f(Ⅰ）求)]2([-f f 的值；(Ⅱ）求)1(2+a f （a R ∈）的值；(Ⅲ）当34<≤-x 时，求函数)(x f 的值域．17.（本小题共12分）已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对任意x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．18．（本小题共12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(Ⅰ)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式； (Ⅱ)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．19．（本小题共12分）如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BDC ∠=o（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求AE uuu r 与DB u u u r夹角的余弦值．20.（本小题满分13分）设函数()ln ln(2)f x x x ax =+-+(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．21．（本小题满分14分） 已知311(log )()log 12a a f x x x =+- (0a >且1)a ≠ (Ⅰ）求()f x ；(Ⅱ）讨论()f x 的奇偶性；(Ⅲ）求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立．高三理科数学质量检测参考答案 2012.9一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 1. B. 2. A ． 3． C ． 4.B. 5. D. 6. B. 7. B. 8．B ． 9. B ． 10． D. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 2或3； 12. 5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 13. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦； 14.由高到低第2档（或由低到高第9档）. 15. 53. 三、解答题：（本大题共6小题，共75分）. 16．（本小题共12分）解：（Ⅰ） []2(2)5=45=21f f f -=--（） （3分） (Ⅱ）22242(1)4(1)23f a a a a +=-+=--+ （6分） (Ⅲ）①当40x -≤<时，∵()12f x x =- ∴1()9f x <≤②当0x =时，(0)2f =③当03x <<时，∵2()4f x x =-∴ 5()4f x -<<故当43x -≤<时，函数()f x 的值域是(]5,9- （12分）17.（本小题共12分）解：由命题p ，得a >1，对于命题q ，因x ∈R ，ax 2－ax ＋1>0恒成立，又因a >0，所以Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4.由题意知p 与q 一真一假， 6分当p 真q 假时 ，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤0或a ≥4.所以a ≥4 8分当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0<a <4，即0<a ≤1 10分综上可知，a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞) 12分18．（本小题共12分） 解：(1)设日销量x k q e =，则30100ke=，∴k ＝10030e ， ∴日销量30100xe q e =， （3分）∴30100(20)xe x t y e--= (25≤x ≤40)． （6分） (2)当t ＝5时，30100(25)xe x y e -=，30100(26)xe x y e -'=， （9分）由0y '>，得26x <，由0y '<，得26x >，∴y 在[)25,26上单调递增，在(]26,40上单调递减， ∴当x ＝26时，y max ＝1004e .当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为1004e 元．（12分） 19．（本小题共12分）解：（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， （3分）∵AD 平面平面BDC ．∴平面ABD ⊥平面BDC. （6分）（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝90︒及（Ⅰ）知DA ，ＤＢ，DC 两两垂直，以D 为坐标原点，以DB uuu v、DC uuu v 、DA uuu v所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D （0,0,0），B（1,0,0），C （0,3,0），A （0,0E （12，32，0），∴AE uuu v =13,,22⎛ ⎝，DB uuu v=（1，0, 0）， （9分） ∴AE uuu v 与DB uuu v夹角的余弦值为cos ＜AE uuu v ，DB uuu v＞122AE DB AE DB===uuu v uuu vg uuu v uuu v g （12分） 20.（本小题满分13分）设函数()ln ln(2)f x x x ax =+-+(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． 解： 函数()f x 的定义域为(0,2)，（2分） 11()2f x a x x'=-+-， （5分） （Ⅰ）当1a =时，22()(2)x f x x x -+'=-，∴ ()f x的单调递增区间为，单调递减区间为， （9分）（Ⅱ）当(01]x ∈，时，22()0(2)xf x a x x -'=+>-∴ ()f x 在(0,1]上单调递增， （11分） 故()f x 在(0,1]上的最大值为(1)f a =，因此 12a =． （13分）21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ）设log a x t =，则ta x =，（2分）所以311()()(0)12t f t t t a =+≠-， 即33111()()(0)122(1)x x xa f x x x x a a +=+=≠-- （5分） （Ⅱ）31()()2(1)x x a f x x a --+-=--， 3311()2(1)2(1)x x x x a a x x f x a a ++=-==--故()f x 为偶函数。

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）A. B.C. D.3.已知等差数列满足，则（ ）A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）A.B.C.D.7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣A B ⋂={}1,2{}1,2,3{}3,4{}41y x=-2ln y x =32y x =e xy x ={}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A ()2:20C y px p =>A A x p =()23f x -[]2,3()f x (),21xA f -B x A ∈x B ∈()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x ()h x ()f x e 2e51x ⎫⎪⎭A.B. C. D.8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）20242025A.B.服从两点分布C.D.10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.的定义域为，当且仅当B.的值域为，当且仅当C.的最大值为2，当且仅当D.有极值，当且仅当11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.B.的图象关于直线对称C.的一个周期是4D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安25351323221:220C x y x y +--=x y M N 2C 1C 22C M C N ⋅X ,m n X Pm n1m n +=X ()20242025E X <<()D X mn=()()214log 21f x ax ax =-+()f x R 01a <<()f x R 1a …()f x 1516a =()f x 1a <R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +()00f =()g x 2x =()f x 20251()0k g k ==∑()0,0(0x y a a =>1)a ≠顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形中实心区域的面积为.（1）写出数列和的通项公式；（2）设，证明.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.（1）若点为线段的中点，求证：平面；（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==()()()112233x f x x f x x f x ++n n n a n b {}n a {}n b 121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <…111A B C ABC -111A B C V ABC V 111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC H BC H BC 1A B ∥1C GH 1C GH 111A B C ABC -2:511C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.（1）分别求和的方程；（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m-=M ()2,2,N M N l M ,A B N C AB CD=l 222:O x y a +=[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,10022⨯0.01α=P P X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.（i ）求的取值范围；（ii ）若，证明：.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α3sin33sin 4sin θθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<a 1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.，故选B.4.设点，则整理得，解得或，故选C.5.的定义域为.当时，的定义域为，即.令，解得的定义域为，即.“”是“”的必要不充分条件，故选B.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=1y x=-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+32y x ==[)0,∞+e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<()1,x ∞∈-+0y '>x e y x ∴=(),1∞--()1,∞-+53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =()23f x - []2,323x ……()1233,x f x -∴……[]1,3[]1,3A =1213x -……()12,21xx f ∴-……[]1,2[]1,2B =,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以，即时，等号成立，C.7.设的二项展开式的通项公式为，，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.8.由题，，即圆心为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；对于D 选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.10.令，对于A 选项，的定义域为或，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x xf x -=+()3e 2e xxf x -=+…3e 2e x x -=12ln 23x =min ()f x ∴=51x ⎫⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭3,4,50,2,4k =1,3,5k =223326C C 2C 5+=221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C ()()2,0,0,2M N MN 1C 1C 2C 12C C ∴=+=()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…22C M C N =22C M C N ⋅()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn =-=()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R 0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…()f x ()g x ⇔R，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值且，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A 错误；对于B 选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案144【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……()f x ()2g x ⇔()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠()1g x +()10g =()()11g x f x --=()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'()()3,f x g x C C =++()()11g x f x --=()()11g x f x --=()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=()f x ()1g x +()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x 20251()(1)0k g k g ===∑e33e 6-(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln x y a a x =⋅(),tt aln tta a t a ⋅=1log e,ln a t a==∴e log e t a a a ==22A 13C余元素共有种排法，故共有种不同的方案.14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.（2）证明：由（1）可得因为，所以，所以.16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，44A 214234A C A 144⋅⋅=()()()123f x f x f x t ===()f x 23t <…1232,ln x x x t +=-= ()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…(]2,3()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-{}n a 11133n n n a --=⨯={}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-2114314411334n n nnn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦413n n c a <…43n n n a c a <…1AC 11AC C G O ⋂=1,HO A G三棱台，则，又，四边形为平行四边形，则.点是的中点，.又平面平面，平面.（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，所以，即，化简得，此时点与点重合.，且都在平面，则平面，111A B C ABC -11AC ∥AC 122CG AC ==∴11AC CG 1CO OA = H BC 1BA ∴∥OH OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 1A B ∴∥1C HG 1C GH 111A B C ABC -2:511127C GHC AB V V B C ABC -=-()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅+⋅V V V 12GHC ABC S S =V V H B 1190C CA BCC ∠∠== 11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC又为等腰直角三角形，则.又由（1）知，则平面，建立如图2所示的坐标系则，设平面的法向量，则令，解得，设平面的法向量，则令，解得.设二面角的平面角为，，所以，所以二面角.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，解得，即双曲线.因为双曲线与双曲线的离心率相同，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.ABC V BG AC ⊥1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC ,G xyz -()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 11C GH B --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== sin θ==11C GH B --N =21m =22:12y N x -=M N M 222y x λ-=M ()2,242λ-=2λ=M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得此时可得，当时，由韦达定理得；当时，由韦达定理得，则，化简可得，由（1）可知圆，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在内有（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只l l ()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=()()222222Δ44220,20,2k t k tt k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <2λ=212122224,22kt t x x x x k k--+==--1λ=234342222,22kt t x x x x k k--+==--ABCD ====222t k +=22:2O x y +=O l d ====l O [)0,200.00252020010⨯⨯=[20,400.006252020025⨯⨯=[40,600.008752020035⨯⨯=[60,800.025********⨯⨯=[]80,1000.00752020030⨯⨯=10253570++=指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件发生的概率分别为，则，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii ）由题意，知随机变量，所以.又，设时，最大，所以解得，因为是整数，所以.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：若选②，证明如下：.0H 220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.01α=A =B =C =,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=0.9P =()100,0.9X B ~()1000.990E X np ==⨯=()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩089.990.9k ……0k 090k =()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；当时，令，得；令，得令，得或所以在上单调递减，在上单调递增.有三个零点，则即解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理所以在上有唯一一个零点.又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.（ii ）证明：设，则.又，所以.此时，方程的三个根均在内，方程变形为，令，则由三倍角公式.因为，所以.()233f x x a =-'0a …()0f x '…()f x (),∞∞-+0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<()0f x '>x <x >()f x ((),,∞∞-+()f x (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<04a <<4a +>()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>()f x )4a +()2220,g a -<-=-=-<()f x (-()f x (()f x a ()0,4()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---()212301f a x x x ==-=04a <<1a =()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>3310x x -+=()2,2-3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，所以.123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。

B 2 ⎪ a (2a 2021-2022 学年度上学期 9 月教学质量检测理科数学一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1．已知集合A = {x | x 2 - 2x - 3 < 0} ，集合B = {x | 2x +1 > 1}，则C A = （ ）A ．[3, +∞)C ．(-∞, -1] ⋃[3, +∞) B ．(3, +∞) D ．(-∞, -1) ∪ (3, +∞) 2．已知函数 f ( x ) = e x ，记a = f (log 3) ， b = f ⎛ log 1 ⎫ ， c = f (2.11.2) ，则a ， b ， c2 3 2 ⎪的大小关系为（ ）A. a < b < cB. c < b < a⎝ ⎭C ． b < a < cD ．b <c < a 3．设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x ∈ R ，都有 f ( x - 2) = f ( x + 2) ，且当x ∈[-2, 0] 时， f ( x ) = ⎛ 1⎫x-1．若在区间(-2, 6] 内关于 x 的方程⎝ ⎭f ( x ) - log a ( x + 2) = 0 (a > 1) 恰有3 个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ． ( 34, 2)C ． (1, 3 4)4．函数 f ( x ) =ln | x |e x - e- x B ． (2, +∞)D ．(1, 2)的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知向量 →= (-1, 2), b = (3, -2), c = (t , 2 - t ) ，若→ + b ) / /c ，则t = （ ）A. - 32B.3 2C. - 23D.236. “百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最2 2⎨ 124 ⎢ ⎥ ⎨ ⎝ ⎭大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造 了一个经过时间t (30 ≤ t ≤ 100) （单位：天），增加总分数 f (t ) （单位：分）的函数模型：f (t ) = kP 1+ lg (t +1) ， k 为增分转化系数， P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f (60) = 1P ．现有某学生在高考前100 天的最后一次模考总分为400 分，依据此模型估6计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（lg 61 ≈ 1.79 ） A ． 440 分B ． 460 分C ． 480 分D ．500 分 ⎧x 2 + x + 2a (x < 0) 7. 已知函数 f (x ) = ⎪- (x > 0)的图象上存在不同的两点 A , B ，使得曲线 y = f (x ) ⎩⎪ x在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (-∞, - 1) 8B ． (-1, 1) 8 D ．(-∞,1) ⋃ (1, +∞) 8 C ．(1, +∞) 8. 已知复数z 在复平面内对应的点在直线 y = -x 上，且 z = ，则z (1+ i ) = （ ）A. 2B. -2C. ±2D. 2i9. 已知函数 f (x ) = 3 sin ωx - cos ωx (ω> 0) ，实数 x 1 ， x 2 满足 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = 4 ，且x - x 的最小值为π，由 f ( x ) 的图象向左平移π个单位得到函数 g ( x ) ，则 g ⎛ π ⎫的 1 2 23⎪ 值为（）A ．6 + 2 2B ．1C ．D ． 10. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x < 0 时， f (x ) = x 2 + 2x ，若存在实数a , b (a ≠ b ) ，使 f (x ) 在[a , b ] 上的值域为⎡ 1 , 1 ⎤，则a +b 的值为（ ）⎣ b a ⎦A ． -1- 2 C ． 3 + 2 5 5 或-1- 25 ⎧xe x+ 1 , x ≤ 0B ． 3 + 2 D ． 3 + 2 55 或-3 - 5 2 11. 已知函数 f (x ) = ⎪e .若函数 y =f ( f ( x ) - a ) 有四个零点，则实数 a 的取值范围为（）A ． ⎛ 0, 1 ⎫⎪⎩ x 2 - 2x , x > 0B ． ⎛1,1+ 1 ⎫C ．(2, e )D ．(-1, e )e ⎪e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭3⎝ ⎭ )12. 设函数 y = f (x ) 和 y = g (x ) 的定义域均为 R ，对于下列四个命题：①若对任意 x ∈ R ，都有 f ( f [x ]) = [ f (x )]2，则 f (x ) 存在且唯一；②若 y = f (x ) 为 R 上单调函数， y = g (x ) 为周期函数，则 y = f ( g (x )) 在 R 上既是单调函数又是周期函数；③若对任意 x ∈ R ，都有 f ( g (x )) = x ，则当 g ( x 0 ) = g ( y 0 ) 时，必有 x 0 = y 0 ； ④若函数 y = f (x ) 不存在反函数，则 f (x ) 在 R 上不是单调函数. 其中正确的命题为（）A ．①②B ．②④C ．①③④D ．③④二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13．已知命题p : ∃x 0 > 0 ， ln x 0 < 0 ，则⌝p 为 ．14．若不等式(x - a )2< 1 成立的充分不必要条件是1 < x < 2 ，则实数a 的取值范围是． 15．已知向量 → = (2, 2 3 )， → = (m , 3 ).若向量 ， 的夹角为π，则实数m =.a ba b 3α∈⎛π⎫2316．已知 2 ,π⎪ ，且cos α+ sin (π+ 2α) = 10，则tan α= ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17．（10 分）设集合 A = {a a = x + （1） 证明：若m ∈ A ，则m 2 ∈ A ：2 y , x , y ∈ N }．（2） 已知集合 B = {x 2 < x < t }，若 A ∩ B 的子集共有8 个，求t 的取值范围．18．（12 分）已知 p ：函数 f ( x ) = (a - m )x 在R 上单调递减， q ：关于 x 的方程x 2 - 2ax + (a - 1)(a + 1) = 0 的两根都大于 1.（1） 当m = 5 时， p 是真命题，求a 的取值范围；（2） 若 p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围.19．（12 分） ABC 的内角 A , B , C 的对边为a , b , c ，已知c sin A = a cos(C - π . 6（1）求C ；（2）若 ABC 为锐角三角形，且c cos B + b cos C = 1 ，求 ABC 面积的取值范围. 20．（12 分）已知函数 f (x ) = ax 2 + x - ln x (a ∈ R ) ．36⎝ ⎭ （1） 当a = 1时，求 f ( x ) 在区间[1,1] 上的最值；3（2） 若 g (x ) = f ( x ) - x 在定义域内有两个零点，求a 的取值范围．21．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设向量→ → → ⎛ 1⎫ a = (cos α, s in α), b = (-sin β, cos β), c = - 2 , 2 ⎪ .（1）若| a + b |=| c |，求sin(α- β) 的值； （2）设α=5π, 0 < β< π ，且a ∥( b + c )，求 β 的值. 22．（12 分）设函数 f (x ) = 1x 2 - 2a ln x - (a - 2)x ， a ∈ R ．2（1） 求函数 f ( x ) 的单调区间；（2） 若方程 f (x ) = c (c ∈ R ) 有两个不相等的实数根 x 、 x ，求证： f '⎛ x 1 + x 2 ⎫> 0 ． 1 22 ⎪ ⎝ ⎭2 23 ⎛ 1 ⎫x参考答案1．A解析： A = {x | x 2 - 2x - 3 < 0} = {x | -1 < x < 3}， B = {x | 2x +1 > 1}= {x | x > -1} ， ∴C B A = {x | x ≥ 3} = [3, +∞) ，故选 A ． 2．C解析：函数 f ( x ) = e x，其定义域为 R ，且 f (-x ) = e - x= e x= f ( x ) ，所以 f ( x ) 为偶函数， 当x > 0 时， f ( x ) = e x，即函数 f ( x ) 在(0, +∞) 上单调递增，∵ 2 = log 2 4 > log 2 3 > log 2 2 = 1 ， 0 < log 3 2 < log 3 3 = 1 ， 2.11.2 > 2.11 = 2.1 > 2∴ 2.11.2 > log 3 > log 2 > 0， ∴ f (2.11.2) > f (log 3) > f (log 2) 即 f (2.11.2)> f (log 3) > f ⎛ log1 ⎫ ，则b < a < c ，选项 C 正确，选项 ABD 错误.故选：C.23 2 ⎪⎝ ⎭3．A解析：由 f ( x ) - log a ( x + 2) = 0 (a > 1) 可得 f ( x ) = log a ( x + 2) ，所以，函数 y = f ( x ) 和函数 y = log a ( x + 2)(a > 1) 在(-2, 6] 上的图象有3 个交点， 因为对任意的 x ∈ R ，都有 f ( x - 2) = f ( x + 2) ，即 f ( x ) = f ( x + 4) ， 所以，函数 f ( x ) 是周期为4 的周期函数，因为 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x ∈[-2, 0] 时， f ( x ) = ⎪ ⎝ 2 ⎭-1，则 f (-2) = 3 .作出函数 y = f ( x ) 和函数 y = log a ( x + 2)(a > 1) 在(-2, 6] 上的图象如下图所示：ln -x ln x ln x ⎪ ⎩ 2a (2a 1 1 1 1x xx x要使得函数 y = f ( x ) 和函数 y = log a ( x + 2)(a > 1) 在(-2, 6] 上的图象有3 个交点，⎧log a 4 < 3 则⎨log a 8 > 3 ，解得 3 4 < a < 2 . ⎪a > 1 因此，实数a 的取值范围是( 34, 2).故选：A.4．D解析：因e x - e -x ≠ 0 且| x |> 0 ，则 x ≠ 0 ，于是得函数 f ( x ) 定义域为{x | x ≠ 0}， 又 f (-x ) = = - = - f ( x ) ，即 f ( x ) 为奇函数﹐C 不正确；e - x - e x e x - e - x 而f (1) = 0 ，B 不正确；因 x ∈(0,1) 时， ln | x |< 0 ， e x - e -x > 0 ，则 f ( x ) = < 0 ，A 不正确，D 符合.故选：De x - e - x5．D解析：由 → + b = (1, 2) ，又→+ b ) / /c ，∴ 2t = 2 - t ，可得t = 2.故选：D3 6．B解析：由题意得： f (60) =kP=kP= 1 P ，∴ k ≈ 2.79 = 0.465 ；1+ lg 61 2.79 6 6 ∴ f (100) =0.465⨯ 400 = 186 ≈ 186 = 62 ， 1+ lg101 1+ lg100 + lg1.01 3∴ 该学生在高考中可能取得的总分约为400 + 62 = 462 ≈ 460 分.故选：B.7．B解析：当 x < 0 时， f (x ) = x 2 + x + 2a 的导数为 f '(x ) = 2x + 1 ；当 x > 0 时， f (x ) = - 1 的导数为 f '(x ) = 1，xx 2设 A (x 1 ， f (x 1 )) ， B (x 2 ， f (x 2 )) 为该函数图象上的两点，且 x 1 < x 2 ， 当 x 1 < x 2 < 0 ，或0 < x 1 < x 2 时， f '(x 1 ) ≠ f '(x 2 ) ，故 x 1 < 0 < x 2 ， 当 x 1 < 0 时，函数 f (x ) 在点 A (x 1 ， f (x 1 )) 处的切线方程为：y - (x 2+ x + 2a ) = (2x +1)(x - x ) ；当 x > 0 时，函数 f (x ) 在点 B (x ， f (x )) 处的切线方程为 y +1=1 (x - x ) ．22222221 两直线重合的充要条件是 = 2x + 1 ①，- 2= -x 2 + 2a ②，21122由①及 x< 0 < x 得0 < 1 < 1，由①②令t = 1 ，则0 < t < 1 ， 1 222 x x2 a 2 + b 2 2 1+3 2 2 8+4 3 424 ⎩且2a = 1 (t 4 - 2t 2 - 8t + 1) ，记 y = 1(t 4 - 2t 2 - 8t + 1)44导数为 y ' = t 3 - t - 2 ，且 y ' < 0 在(0,1) 恒成立， 则函数 y = 1(t 4 - 2t 2 - 8t + 1) 在(0,1) 为减函数，4∴-2 < 2a < 1，4∴实数a 的取值范围是(-1, 1) ．故选：B88．C解析：设 z = a + b i ，因为复数 z 在复平面内对应的点在直线 y = -x 上， 所以b = -a ， 又 z = ，所以 z = = ，解得 z = 1- i 或 z = -1+ i ， 所以 z (1+ i ) = ±2 ，故选：C 9．A解析：由题得 f (x ) =3 sin ωx - cos ωx = 2sin(ωx - π) ，函数的最大值是 2，最小值是-2.6因为 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = 4 ，所以 f ( x 1 ) = 2, f ( x 2 ) = -2 ，因为 x 1 - x 2 π π 的最小值为 ，所以函数的最小正周期为 ⨯ 2=π， 2 2 所以π= 2π ∴ω=2 .所以 f (x ) = 2 s in(2x - π， ， ) ω 6 由 f ( x ) 的图象向左平移π个单位得到函数 g ( x ) = 2 sin[2(x + π - π = 2 sin(2x + π3= 2 cos 2x ，所以g ⎛ π ⎫= 2 cos π =2= 2= ) ])3 6 2= ⎪⎝ ⎭= 8+2 12 =6 + 2 .故选：A 4 210．D⎧2x - x 2 , x ≥ 0解析：因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (x ) = ⎨x 2 + 2x , x < 0 ，如图，1+ cos π 6 2 2 + 312⎨⎪⎨ ⎨⎧a < b⎪由区间概念可推知 1 1 ，得ab > 0 ，<⎩b a（1）当0 < a < b 时， f (x ) = -(x -1)2+1 ≤ 1 ，从而 1 ≤ 1 ，即a ≥ 1 ，所以1 ≤ a < b ，由图得 a⎧f (a ) = 1 y = f (x ) 在[a , b ] 上为减函数，所以⎪ a ，这两个关系等价于“ a ， b 是方程 f (x ) = 1的两个根，且1 ≤ a < b ”，⎨ ⎪ f (b ) = 1 x⎩ b由方程2x - x 2 = 1，得 x 3 - x 2 - ( x 2 -1) = 0 ，解得 x = 1 ， x = 1+ 5 ，x 所以a = 1， b = 1+ 2 225，即a + b = 3 + 5 ； 2 （2）当a < b < 0 时，f (x ) = ( x +1)2-1 ≥ -1，从而 1 ≥ -1 ，即b ≤ -1，所以a < b ≤ -1，b⎧f (a ) = 1 由图得 y = f (x ) 在[a , b ] 上为减函数，所以⎪⎪ f (b ) = ⎩a，这两个关系等价于“ a ， b 是方程 1b f (x ) = 1的两个根，且a < b ≤ -1”，x由方程2x + x 2 = 1 ，得 x 3 + x 2 + (x 2 -1) = 0 ，解得 x = -1， x= -1- 5 ， x 1 22解得a = -1- 2 5 ， b = -1，即a + b = -3 - 25，故选：D.11．B解析：⎧xe x + 1, x ≤ 0 函数 f (x ) = ⎪ e，函数性质分段讨论如下： 1⎪⎩ x 2 - 2x , x > 0当 x > 0 时， f (x ) = x 2 - 2x = (x -1)2 -1, 最小值为-1，当 x ≤ 0 时，令 f ' (x ) = (x +1)e x = 0, 解得： x = -1 ，所以 x ∈(-∞, -1) 函数递减， (-1, 0) 函数递增,且 f (0) = 1 , x → -∞ 时， f (x ) → 1,e e 综合以上分析，作出函数图象，如图.由图可知，函数 y = f ( x ) 有两个零点， x = -1 和 x = 2 （*），再考察函数 y = f ( f ( x ) - a ) 的零点，由（*）可知，, f (x ) - a = -1或 f (x ) - a = 2 ，即f (x ) = a -1或 f (x ) = a + 2, 根据题意，这两个方程共有四个根，结合函数图象 a -1∈⎛ 0, 1 ⎫， e ⎪⎝ ⎭ 解得， a ∈⎛1,1+ 1 ⎫ .故选：Be ⎪ ⎝ ⎭ 12．D解析：若 f (x ) = 0 或 f (x ) = 1，都满足对任意 x ∈ R ，都有 f ( f [x ]) = [ f (x )]2，故①错误；不妨设函数 y = g (x ) 的周期为T ，则 f ( g ( x + T )) = f ( g (x )) ，故 y = f ( g (x )) 在 R 上不是单调函数，故②错误；∵ g ( x 0 ) = g ( y 0 ) ，∴ f ( g ( x 0 )) = f ( g ( y 0 )) ，又∵ f ( g (x )) = x ，∴ x 0 = y 0 ；故③正确； ∵若 f (x ) 在 R 上是单调函数，则函数 y = f (x ) 存在反函数；3 + m 2⎦ ∴若函数 y = f (x ) 不存在反函数，则 f (x ) 在 R 上不是单调函数，故④正确. 故选：D.13． ∀x > 0 ， ln x ≥ 0解析：根据题意，命题 p : ∃x 0 > 0 ， ln x 0 < 0 是特称命题， 则⌝p : ∀x > 0 ， ln x ≥ 0 ， 故答案为： ∀x > 0 ， ln ≥ 0 ．14．[1, 2] 解析：由(x - a )2< 1 得a -1 < x < a +1， 因为1 < x < 2 是不等式(x - a )2< 1 成立的充分不必要条件，⎧a -1 ≤ 1 ⎧a ≤ 2 ∴满足⎨a +1 ≥ 2 且等号不能同时取得，即⎨a ≥ 1，解得1 ≤ a ≤ 2 ．故答案为： [1, 2] ⎩15． -1→ → πa ⋅b ⎩2m + 6 解析：由题意cos < a , b >= cos= → → =∴m + 3 = 13 | a || b |4 × m 2 + 3两边平方化简得6m + 6 = 0 ，解得m = -1故答案为：-1 16．-7 【解析】3 1+ cos 2α3 1+1- tan 2α 22 tan α3 cos 2α+ sin(π+ 2α) =∴ - sin 2α= ∴ 1+ tan α - = ∴tan α= -7, tan α= 110210 2 1+ tan 2α 10（舍）．17．（1）证明见解析；（2） (3, 2 + 2 ⎤ ．解析：（1）设m = x + 2 y ， x ， y ∈ N ，则m 2 = x 2 + 2 y 2 + 2 2xy因为 x ， y ∈ N ，所以 x 2 + 2 y 2 ∈ N ， 2xy ∈ N所以m 2 ∈ A2 23 ⎦ （2）因为 A ∩ B 的子集共有8 个元素，所以 A ∩ B 恰有3 个元素．因为 B = {x 2 < x < t }， 所以这三个元素分别为2 ， 3 ，1+ 2 ， 又集合A 中比3 大的元素的最小值为2 + ，所以t 的取值范围为(3, 2 + 2 ⎤ ．18．（1） (5, 6) ；（2） m ≥ 2 .解析：（1）因为m = 5 ，所以 f ( x ) = (a - 5)x ，因为 p 是真命题，所以0 < a - 5 < 1，解得5 < a < 6 .故a 的取值范围是(5, 6) .（2）若 p 是真命题，则0 < a - m < 1 ，解得m < a < m +1 .关于 x 的方程 x 2 - 2ax + a 2 -1 = 0 的两根分别为a -1和a +1 .若q 是真命题，则a -1 > 1，解得a > 2 .因为 p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以m ≥ 2 .19．（1） C = π ；（2） ⎛ 3 3 ⎫ ， . 3 8 2 ⎪ ⎝ ⎭ 解析：（1）∵c sin A = a cos ⎛ C - π ⎫ ，∴sin C sin A = sin A c os ⎛ C - π ⎫ 6 ⎪ 6 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∵sin A ≠ 0 ，∴ sin C = cos ⎛ C - π ⎫ = 3 cos C + 1 sin C 6 ⎪ 2 2∴sin C = ⎝ ⎭ 3 cos C ，∴ tan C = ，∵ 0 < C < π ，∴C = π 3（2） c • cos B + b • cos C = c • a 2 + c 2 - b 2 2ac + b • a 2 + b 2 - c 2 2ab= a ，∴ a = 1， ∵ a sin A = b sin B ， sin ⎛ A + π ⎫1 sin A + 3 cos A ∴ a sin B 3 ⎪2 2 1 b = = ⎝ ⎭ = = + sin A sin Asin A 2 2 tan A ∵ ABC 为锐角三角形，∴ π < A < π ，∴ tan A > 3 6 2 3 ∴ 0 < 1 < tan A 3 ，∴ 0 < 3 < 3 2 tan A 2 ∴b ∈⎛ 1 ，2 ⎫ ， 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ S = 1 ab sin C = 3 b ∈⎛ 3 ， 3 ⎫ ． ABC 2 4 8 2 ⎪ ⎝ ⎭33 f ( ) 3 20．（1） f (x ) = ln 2 + 3 ， f (x ) = 2 ；（2） ⎛ 0, 1 ⎫ . min4 max 2e ⎪ ⎝ ⎭ 解析：（1）当a = 1时， f ( x ) = x 2 + x - ln x ， f '(x ) = (2x -1)(x +1) ， x f (x ) 1 1 1 ∴ 在[ , ) 单调递减，在( ,1] 单调递增， 3 2 2 f ⎛ 1 ⎫ = 1 + 1 - ln 1 = 4 + ln 3 ， f (1) = 2 = 4 + 14 ln e > f ⎛ 1 ⎫ ， ⎪ ⎝ ⎭ ∴ f (x ) 9 3 3 9 = 1 = ln 2 + 3 ， f (x ) ⎪ ⎝ ⎭ = f (1) = 2 . min 2 4 max （2） g (x ) = f ( x ) - x = 0 ⇔ a = ln x = h (x ) ，则h '(x ) = 1- 2 ln x ， x 2 x 3∴ h (x ) 在(0, e ) 单调递增，在( e , +∞) 单调递减，h ( e ) = 1，当 x → 0 时， h (x ) → -∞ ，当 x → +∞ 时， h (x ) → 0 ，2e 作出函数h (x ) =ln x 和 y = a 得图像， x2 ∴由图象可得， a ∈(0, 1 ) . 2e21．（1）- 1 ；（2） π. 2 2 →解析：（1）a +b = (cos α- sin β, sin α+ cos β) ， 9 93 ⎫ → →→ ∴ a + b == 2 + 2 s in (α- β) ， c = 1 ，∴ 2 + 2 s in (α- β) = 1，解得： sin (α- β) = - 1 ；2 → → ⎛ 1 （2） b + c = -sin β- 2 , cos β+ 2 ⎪ ， ⎝ ⎭→ → → ⎛ ⎛ 1 ⎫ a / / (b + c )，∴cos α cos β+ 2 ⎪ - sin α -sin β- 2 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ α= 5π，∴- 3 ⎛cos β+ 3 ⎫ - 1 ⎛ -sin β- 1 ⎫ = 0 ，6 2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 1 sin β- 3 cos β= 1 ，化简为sin ⎛β- π⎫ = 1 ，3 ⎪ 2 2 22 ⎝ ⎭ 0 < β< π π π 2π π π ， - < β- <3 3 3 ，∴β- = ， 3 6 解得： β= π 222．（1） f ( x ) 的单调增区间为(a , +∞) ，单调减区间为(0, a ) ；（2）证明见解析.' 2a x 2 - (a - 2)x - 2a (x - a )(x + 2) 解析：（1）解： f (x ) = x - (a - 2) - = = x x x当a ≤ 0 时， f '( x ) > 0 ，函数 f ( x ) 在(0, +∞) 上单调递增，函数 f ( x ) 的单调增区间为(0, +∞) ；当a > 0 时，由 f '( x ) > 0 ，得 x > a ；由 f '( x ) < 0 ，得0 < x <a ． 所以函数 f ( x ) 的单调增区间为(a , +∞) ，单调减区间为(0, a )(x > 0) ． （2）证明：因为 x 1 、 x 2 是方程 f ( x ) = c 的两个不等实根，由（1）知a > 0 ． 不妨设0 < x < x ，则 1 x 2 - 2a ln x - (a - 2)x = c ， 1 x 2 - a ln x - (a - 2)x = c ． 1 2 2 1 1 1 2 22 2 两式相减得 1 x 2 - 2a ln x - (a - 2)x - 1 x 2 + 2a ln x + (a - 2)x = 0 ， 2 1 1 1 2 22 2 即 1 x 2 + 2x - 1 x 2 - 2x = ax + 2a ln x - ax - 2a ln x = a ( x + 2 ln x - x - 2 ln x ) ．2 1 1 2 22 1 1 2 2 1 1 2 2 1 x 2 + 2x - 1 x 2 - 2x所以a = 2 11 2 2 2 ． x 1 + 2 ln x 1 - x 2 - 2 ln x 2因为 f ' (a ) = 0 ，3 ⎫ (cos α- sin β)2 + (sin α+ cos β)21 2 1 2 1 2 1 1 2 2 当 x ∈(0, a ) 时， f '( x ) < 0 ，当 x ∈(a , +∞) 时， f '( x ) > 0 ， '⎛ x + x ⎫ x + x 1 x 2 + 2x - 1 x 2 - 2x 故要证 f 1 2 ⎪ > 0 ，只需证 1 2 > a 即可，即证明 x 1 + x 2 > 2 1 1 2 2 2 ，⎝ 2 ⎭ 2 2 x + 2 ln x - x - 2 ln x 即证明 x 2 - x 2 + 2 ( x + x )(ln x - ln x ) < x 2 + 4x - x 2 - 4x ， 即证明lnx 1 < 2x 1 - 2x 2 ．设t = x 1 (0 < t < 1) ． 1 1 2 2x 2 x 1 + x 2 x 2 2t - 2 ' 1 4 (t -1)2 令 g (t ) = ln t - ，则 g (t ) = - = ． t +1 t (t +1)2 t (t +1)2 因为0 < t < 1 ，所以 g '(t ) > 0 ，所以 g (t ) 在(0,1) 上是增函数． 所以 g (t ) < g (1) = 0 ，所以 f '⎛ x 1 + x 2 ⎫ > 0 成立． 2 ⎪ ⎝ ⎭。

2024届山东省高三数学上学期9月质量检测联考卷2023年9月（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}23A x x x =≥-，{}22x B x y -==，则()A B ⋃=Rð（）A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．复数()2i 1i iz =---的模为（）A ．52B ．2C ．32D ．33．已知()f x 是R 上的奇函数，则函数()()12g x f x =+-的图象恒过点（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()1,2--4．某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）A ．64B ．65C ．66D ．675．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，E 为AD 的中点，F 为CO 的中点，若EF xOC yOD =+，则2x y -=（）A ．1B ．2C ．53D ．326．过点()1,1A ，()3,3B 且圆心在直线3y x =上的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，则PQ =（）A ．3B ．32C ．23D ．47．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5π5π,126⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，将函数()f x 的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π128．如图，A ，B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点P 在以AB 为直径的圆O 上（点P异于A ，B 两点），线段AP 与椭圆C 交于另一点Q ，若直线BP 的斜率是直线BQ 的斜率的4倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．33B ．12C ．32D ．34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，314a a =-，7154S =，则（）A ．2d =-B ．130a =C ．320-是数列{}n a 中的项D ．n S 取得最大值时，14n =10．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，AB ，CD 分别为上、下底面的直径，AC ，BD 为圆台的母线，E 为弧AB 的中点，则（）A ．圆台的侧面积为6πB ．直线AC 与下底面所成的角的大小为π3C ．圆台的体积为3D ．异面直线AC 和DE 所成的角的大小为π411．已知函数()ln 1f x x x ax =-+，则（）A ．当0a =时，函数()f x 的最小值为11e-B ．当1a =时，函数()f x 的极大值点为1x =C ．存在实数a 使得函数()f x 在定义域上单调递增D ．若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为1a ≤12．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过y 轴上异于坐标原点的任意一点P 作抛物线C 的一条切线，切点为Q ，且直线PQ 的斜率存在，O 为坐标原点.则（）A ．2p =B ．当线段PF 的中点在抛物线C 上时，点P 的坐标为()0,22C ．PF PQ ⊥D ．PQ OF OP PF⋅=⋅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．3名男生和3名女生站成一排照相，则男生站在一起，且女生站在一起的概率为.14．曲线()322f x x x =-过原点的切线方程为.15．已知cos 0α≠，3sin 2cos 21αα-=，则tan 2α=.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PC ⊥平面ABCD ，4AB =，3PC BC ==，E F G 、、分别为AD ，AB ，PC 的中点，点H 在棱PC 上，且//BH 平面EFG ，则三棱锥H ABD -的外接球的表面积为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin a c a c C c b c B -+=-.(1)求A ；(2)若ABC 的面积为3，1sin sin 4B C =，求a 的值.18．在前n 项和为n S 的等比数列{}n a 中，12a =，3232S a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记22log 1n n b a =-，将数列{}n a 和数列{}n b 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项的和.19．零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）[)1.0,1.2[)1.2,1.4[)1.4,1.6[)1.6,1.8[]1.8,2.0零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布()2,N μσ，μ，2σ分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.(1)分别求μ，2σ的值；(2)试估计这批零件直径在[]1.044,1.728的概率；(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在[]1.044,1.728的个数.参考数据：0.0520.228≈；若随机变量()2,N ξμσ ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈，()330.9973P μσξμσ-≤≤+≈.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，BC AD ∥，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA PB =，AP BP ⊥，2BA =，1BC =，3AD =，()01PE PD λλ=<<.(1)若CE ∥平面PAB ，求λ的值；(2)若12λ=，求平面ABE 与平面PCD 的夹角的余弦值.21．已知函数()221e 3e 22xx f x a a x =-+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点，求实数a 的取值范围.22．如图，已知点()13,5T -和点()25,21T -在双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>上，双曲线C 的左顶点为A ，过点()2,0L a 且不与x 轴重合的直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与圆222:O x y a +=分别交于M ，N 两点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；(3)证明：直线MN 过定点.1．A【分析】解不等式结合集合的混合运算即可求解.【详解】由题意解不等式23x x ≥-，得1x ≥，所以{}{}23|1A x x x x x =≥-=≥；由二次根式2x -有意义的条件知20x -≥，解得2x ≥，所以{}{}22|2x B x y x x -===≥.所以{}|1A B x x ⋃=≥，所以(){}()|,11A B x x =⋃=<-∞R ð.故选：A.2．B【分析】根据题意，由复数的运算化简，即可求得z ，从而得到其模长.【详解】因为()22i 1i i 1i i z =---=---，则i 21i 1i z =-+-=--，则21i i 1i 1i iz ---+===-，则()22112z =-+=.故选：B 3．D【分析】根据定义域为R 的奇函数()00f =并结合赋值法得出结果.【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，又函数()()12g x f x =+-，令10x +=，即=1x -，所以()()1022g f -=-=-，所以函数()g x 的图象恒过点()1,2--.故选：D.4．C【分析】根据百分位数的定义及频率分布直方图计算即可.【详解】由图可知()0.0150.0250.0350.0051010.010a a a +++++⨯=⇒=，0.0100.0150.0250.05++=，即第40百分位数位于区间[)60,70，设第40百分位数为x ，则600.40.2566700.50.4x x x --=⇒=--.故选：C 5．B【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得12EF OC OD =-,进而求得,x y 的值，进一步计算即可.【详解】如图：因为1111()2222EF OF OE OC CD OC OD OC =-=-=-- 12OC OD =-,所以11,,22,2x y x y ==--=故选：B.6．C【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为(),3,a a r ，则圆的方程为()()2223x a y a r -+-=，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令0x =，即可求出P ，Q 两点的坐标，由此即可得解.【详解】因为圆心在直线3y x =上，所以设圆的圆心、半径分别为(),3,a a r ，则圆的方程为()()2223x a y a r -+-=，将()1,1A ，()3,3B 代入圆的方程有()()()()222222113333a a ra a r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得214a r =⎧⎨=⎩，所以圆的方程为()()22134x y -+-=，在圆的方程中令0x =得()2314y -+=，解得33y =±，所以()()333323PQ =+--=.故选：C.7．D【分析】根据函数单调性，得出极值点，列出等式与不等式，求出ω，再由图象平移及诱导公式得解.【详解】因为函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5π5π,126⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调，所以5πππ2π,Z 1232π5π12k k ωω⎧-=+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即242,Z 51205k k ωω⎧=+∈⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，解得2ω=，由题意，()ππsin[2()]sin(22)33g x x x ϕϕ=+-=+-，因为函数()g x 为偶函数，π02ϕ<<，所以ππ232ϕ-=，解得5π12ϕ=.故选：D 8．C【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设()()1122,,P x y Q x y 、，易知()(),0,0A a B a -、，则()22222222222221b a x x y y a b a -+=⇒=，222222222222001AQ BQ y y y b k k e x a x a x a a --⋅=⋅==-=-+--，又212121210010044AQ BP BQBP y y k k x a x a y y k k x a x a --⎧⋅=⋅=-⎪+-⎪⎨--⎪===⎪--⎩，所以()2344112AP BP AP BQ k k k k e e ⋅=⋅=-=-⇒=.故选：C 9．AC【分析】根据等差数列的定义及求和公式一一计算判定即可.【详解】由题意可得311242a a d a d =+=-⇒=-，()71115472628S a d d d a ==++++⇒= ，则()()()111302,292n n n a a n a a n d n S nn +=+-=-==-.显然A 正确，B 错误；令320175n a n =-⇒=，即C 正确；结合二次函数的对称性及单调性可知14n =或15n =，n S 取得最大值，即D 错误.故选：AC 10．ABD【分析】由圆台的侧面积公式以及体积公式即可判断AC ，由线面角的定义即可判断B ，由异面直线所成角的定义即可判断D.【详解】由题意可得上底面半径为11r =，下底面圆半径为22r =，母线2l =，则圆台的侧面积为()()12ππ1226πS r r l =+⋅=+⨯=，故A 正确；做圆台的轴截面如图所示，做,CM AB DN AB ⊥⊥，则直线AC 与下底面所成的角为CAB ∠，且2CD MN ==，则1AM BN ==，且2AC =，则1cos 2AM CAB AC ∠==，所以π3CAB ∠=，故B 正确；因为上底面圆的面积221122ππ,π4πS r S r ====，圆台的高22213h CM ==-=，则圆台的体积为()()12121173π4ππ4π3π333V S S S S h =++⋅⋅=++⋅⨯=，故C 错误；取AB 中点O ，连接,,OD OE DE ，由E 为弧AB 的中点，可得OE AB ⊥，过点D ，作DH AB ⊥，连接EH ，则112OH OB ==，且2OA CD ==，且OA//CD ，则四边形AODC 为平行四边形，所以//AC OD ，则异面直线AC 和DE 所成的角即为OD 与DE 所成角，即为ODE ∠，又3DH h ==，2222215EH OE OH =+=+=，所以223522DE DH EH =+=+=，在ODE 中，2OD DE ==，22DE =，则ODE 为等腰直角三角形，则π4ODE ∠=，故D 正确；故选：ABD.11．AD【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB ，由()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立即可判断C ，分离参数，构造函数()1ln g x x x =+求得其最小值，即可判断D.【详解】因为函数()ln 1f x x x ax =-+，则()ln 1f x x a '=+-，其中()0,x ∈+∞，当0a =时，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，可得1ex =，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，则函数()f x 单调递增，当1e x =时，()f x 有极小值，即最小值111e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；当1a =时，则()ln f x x '=，令()0f x '=，可得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，则函数()f x 单调递增，当1x =时，函数()f x 有极小值，则1x =为极小值点，故B 错误；假设存在实数a 使得函数()f x 在定义域上单调递增，则()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即ln 10x a +-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以()min ln 1a x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为ln y x =的值域为R ，所以函数ln 1y x =+无最小值，故不存在实数a 使得函数()f x 在定义域上单调递增，故C 错误；若()0f x ≥恒成立，即ln 10x x ax -+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即1ln a x x≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，令()1ln g x x x =+，则()22111x g x x x x-'=-=，令()0g x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1x =时，()g x 有极小值，即最小值()()min 11g x g ==，所以1a ≤，故D 正确；故选：AD 12．ACD【分析】对于A 选项：由焦点F 到准线的距离为2即可验证；对于B 选项：设点P 的坐标为()0,m ，根据中点坐标公式以及线段PF 的中点在抛物线C 上即可验证；对于C 选项：可转换为相应的斜率的乘积是否为1-即可验证；对于D 选项：表示出相应的线段长度即可验证.【详解】如下图所示：对于A 选项：由题意焦点F 的坐标以及准线方程分别为,0,22p p F x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以焦点F 到准线的距离为222p p d p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，因此A 选项符合题意；对于B 选项：由题意设点P 的坐标为()0,m ，又由A 选项分析可知()1,0F ，抛物线方程为2:4C y x =，所以线段PF 的中点坐标为1,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入抛物线方程得21422m ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，解得22m =±，此时点P 的坐标为()0,22±，因此B 选项不符合题意；对于C 选项：由题意设点P 的坐标为()0,m ，切线PQ 的方程为()()0,0x t y m t -=-≠，将其代入抛物线方程2:4C y x =得()24y t y m =-，整理得2440y ty tm -+=，所以()()244140t tm ∆=--⨯⨯=，因为0t ≠，所以解得t m =，所以切线PQ 的斜率为11PQ k t m==，又因为点P 的坐标为()0,m ，()1,0F ，所以直线PF 的斜率为001PF m k m -==--，所以()11PQ PF k k m m⋅=⋅-=-，所以PF PQ ⊥，因此C 选项符合题意；对于D 选项：由C 选项分析可知2440y ty tm -+=，又t m =，所以有()220y m -=，解得2y m =，将其代入切线PQ 的方程()()0,0x t y m t -=-≠，解得2x m =，所以切点Q 的坐标为()2,2m m ，又因为()0,P m ，()1,0F ，()0,0O ，所以()()2222021PQ mm m m m =-+-=⋅+，101OF =-=，0OP m m =-=，()()2220101PF m m =-+-=+，所以22110PQ OF OP PF m m m m ⋅-⋅=+⋅-+⋅≡，即PQ OF OP PF ⋅=⋅，因此D 选项符合题意.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题AB 两选项常规验证即可，对于C 选项关键是要将所验证的转换为相应的斜率的乘积是否为1-，对于D 选项关键是要想办法表示所有线段的长度，然后作差验证是否恒为0即可.13．110##0.1【分析】先用捆绑法求出符合题意的排法数，再求出6个人的全排列数，由此即可得解.【详解】一方面：先将男生捆绑在一起，一共有33A 3216=⨯⨯=种排法，同理再将女生捆绑在一起，也有33A 3216=⨯⨯=种排法，且注意到男生整体与女生整体的相对位置关系有22A 212=⨯=种，因此符合题意的排法数有332332A A A 66272⋅⋅=⨯⨯=；另一方面：注意到6个人的全排列数为66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=，因此男生站在一起，且女生站在一起的概率为33233266A A A 721A 72010P ⋅⋅===.故答案为：110.14．0y =或0x y +=.【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】由题意可得()234f x x x '=-，设切点为()()()000,0x f x x ≠，则()()23200000034,2f x x x f x x x =-=-'，所以函数过原点的切线方程为()()3202000000002340f x x x f x x x x x --=⇒=--'，解之得01x =，则()()001,1f x f x '=-=-，此时切线方程为()()1110y x x y --=-⨯-⇒+=，若切点为原点，则()()00,00f f '==，此时切线方程为0y =.故答案为：0y =或0x y +=.15．0或34【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：()22222sin 2cos 21sin 23sin 21110sin 26sin 203sin 2cos 21αααααααα⎧+=⇒+-=⇒-=⎨-=⎩，所以sin 20,cos 21αα==-或34sin 2,cos 255αα==，所以sin 2tan 20cos 2ααα==或34.故答案为：0或3416．26π【分析】根据线面平行先确定H 点位置，再结合长方体的外接球的性质确定球心及球半径计算表面积即可.【详解】如图所示，由题意可将四棱锥P ABCD -补形为长方体，延长CB EF 、交于I 两点，连接G I ，过点B 作//BH GI 交PC 于点H ，易知此时//BH 平面EFG ，则由平行线分线段成比例及已知条件可得：112BI AE GH CH BC BC HC===⇒=，由长方体的外接球性质可知，三棱锥H ABD -的外接球的球心O 为其体对角线AH 的中点，直径为对角线AH ，设球半径为r ，则22222244π26πAH AB BC CH r S r =++=⇒==.故答案为：26π.17．(1)π3A =(2)23【分析】（1）根据正弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由正弦定理及面积公式求解.【详解】（1）因为()()()sin sin a c a c C c b c B -+=-，所以()()()a c a c c c b c b -+⋅=-⋅，即222122b c a bc +-=，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.（2）由正弦定理知，2sin sin sin a b c R A B C===，所以221(2)sin sin (2)4bc R B C R ==⋅，所以2211π1sin (2)sin (2)3328316ABC S bc A R R ===⋅⋅=△，解得24R =，所以32sin 4232a R A ==⨯=.18．(1)2nn a =(2)2062【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，讨论q 是否为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得q ，进而得到所求通项公式；（2）求得数列{}n b 的通项公式，分析新的数列{}n c 中数列{}n a 和数列{}n b 所含的项数，代入数列的求和公式即可求解.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则31368S a ==≠，与题意不符；若1q ≠，则332(1)3221q S q q⨯-==⨯⨯+-，解得2q =，所以112n n n a a q -==；（2）由（1）知：22log 121n n b a n =-=-，将数列{}n a 和数列{}n b 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列{}n c ，因为74461288764a b a =>=>=，所以新的数列{}n c 的前50项中数列{}n a 有6项，数列{}n b 有44项，所以数列{}n c 的前50项的和62(12)4443144212619362062122S ⨯-⨯=+⨯+⨯=+=-.19．(1)=1.5μ，20.052σ=;(2)0.8186;(3)1637．【分析】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.（3）根据区间[]1.044,1.728上的概率计算即可.【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：()()()110 1.125 1.330 1.525 1.710 1.9100110 1.1 1.925 1.3 1.730 1.510011501001.5.μ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯++⨯++⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=()()()()()[]222222110 1.1 1.525 1.3 1.530 1.5 1.525 1.7 1.510 1.9 1.51001100.16250.04300250.04100.1610015.21000.052.σ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=故=1.5μ，20.052σ=.（2）设ξ表示零件直径，则()2,N ξμσ ，即()21.5,0.228N ξ~.()()= 1.50.228 1.50.228=0.6827P P μσξμσξ-≤≤+-≤≤+，由对称性得，()2 1.5 1.728=0.6827P ξ≤≤，即()1.5 1.728=0.34135P ξ≤≤.同理，()()22= 1.520.228 1.520.228=0.9545P P μσξμσξ-≤≤+-⨯≤≤+⨯，()2 1.044 1.5=0.9545P ξ≤≤，即()1.044 1.5=0.47725P ξ≤≤.()()()1.044 1.7.28= 1.044 1.5+ 1.5 1.728=0.477250.34135=0.8186P P P ξξξ≤≤≤≤≤≤+.故这批零件直径在[]1.044,1.728的概率为0.8186.（3）由（2）知，()1.044 1.7.28=0.8186P ξ≤≤，所以在这2000个零件中，零件的直径在[]1.044,1.728的有20000.81861637⨯≈个.20．(1)13λ=；(2)1530.【分析】（1）根据条件判定垂直关系，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；（2）利用空间向量求得两平面的法向量计算即可.【详解】（1）分别取AB CD 、中点O F 、，连接PO OF 、，由已知底面ABCD 是直角梯形，BC AD ∥，AB BC ⊥，PA PB =，易得OF AB PO AB ⊥⊥、，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面=ABCD AB ，∴PO OF ⊥，以O 为中心，以OB OF OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，由题意知PAB 为等腰直角三角形，112OP AB ==，22AD BCOF +==,则()()()()()()0,0,11,0,01,0,01,1,01,3,00,2,0P A B C D F --、、、、、，∴()()1,1,1,1,3,1CP PD =--=-- ，∵()01PE PD λλ=<< ，∴()1,31,1CE CP PE λλλ=+=---- ，显然()0,2,0OF = 是平面的一个法向量，若CE ∥平面PAB ，则()123103CE OF λλ⋅=-=⇒= ，即13λ=；（2）由（1）知()2,0,0AB = ，()()1,1,1,1,3,1CP PD =--=-- ，当12λ=时，∴1313,,2222BE BC CP PE BC CP PD ⎛⎫=++=++=- ⎪⎝⎭ ，设()(),,,,m a b c n x y z == 、分别为平面ABE 与平面PCD 的一个法向量，则有203130222m AB a m BE a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，030n CPx y z n PD x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，不妨令3,1b x ==，则0,1,1,2a c y z ==-==，则()()0,3,11,1,2m n =-= 、，设平面ABE 与平面PCD 的夹角为α，故115cos cos ,30106m n m n m n α⋅====⋅⨯ ,即平面ABE 与平面PCD 的夹角的余弦值为1530.21．(1)见详解；(2)524e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论即可；（2）结合（1）的结论及零点存在性定理计算即可.【详解】（1）由题意可得()()()22e 3e 2e e 2x x x x f x a a a a =-+=--'，①若0a ≤，则()2e 0'=>x f x ，即函数()f x 在R 上单调递增，②若0a >，令()()0e ,2x f x a a ⇒'<∈，即()ln ,ln 2x a a ∈，令()()0,ln f x x a ∞>⇒∈-'或()ln 2,x a ∈+∞，即函数()f x 在()ln ,ln 2a a 上单调递减，在(),ln a -∞和()ln 2,a +∞上单调递增，综上：0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增；0a >时，函数()f x 在()ln ,ln 2a a 上单调递减，在(),ln a -∞和()ln 2,a +∞上单调递增.（2）由（1）知0a >，欲满足题意则需：()()()252425ln 2ln 02e ,e ln 22ln 240f a a a a f a a a ⎧⎛⎫=->⎛⎫⎪ ⎪⇒∈⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪=-<⎩，当x →-∞时()2211e 3e 3e 2022x x x a f x a a x <⇒=-+<，当x →+∞时，()2211e 3e 3e 2022x x x a f x a a x >⇒=-+>，即函数()f x 存在三个零点从小到大分布在区间()()(),ln ln ,ln 2ln 2,a a a a ∞∞-+、、上，故实数a 的取值范围为524e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．(1)22144x y -=(2)13-(3)直线MN 过定点(1,0),证明见解析.【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；（2）利用韦达定理运算求解即可；（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得,M N 的坐标，猜想MN 过定点(1,0)，并用三点共线与斜率的关系证明求解.【详解】（1）因为点()13,5T -和点()25,21T -在双曲线上，所以222295125211a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2244a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线C 的标准方程为22144x y -=.（2）由题可知，直线l 的斜率不等于零，故可设直线l 的方程为4x my =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立221444x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(1)8120m y my -++=，若21m =，即1m =±，直线l 的斜率为1±，与渐近线y x =±平行，此时直线l 与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以21m ≠，所以121222812,,11my y y y m m -+==--2212122228888()8111m m x x m y y m m m ---+=++=+=---，222221212122222123216164164()161111m m m m x x m y y m y y m m m m ----=+++=++=----，因为(2,0)A -,所以121212121212222()4AP AQ yyy y k k k k x x x x x x ==⨯=+++++2222221212114161644363111m m m m m m -==------++---，所以1213k k =-.（3）（i ）当MN x ⊥轴时，12,k k =-且1213k k =-，所以1233,33k k ==-，则()3:23AP y x =+，联立()224323x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得221(2)43x x ++=，即220x x +-=，解得2x =-或1x =，当1x =时，3y =，所以(1,3)M ，由于对称性，(1,3)N -，此时直线MN 过定点(1,0)；（ii ）当MN 不垂直于x 轴时，以下证明直线MN 仍过定点设为(1,0)B ，因为()1:2AP y k x =+，所以联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，即2221(2)4x k x ++=，所以2222111(1)4440k x k x k +++-=，解得2x =-或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224(,)11k kM k k -+++,同理，将上述过程中1k 替换为2k 可得2222222224(,)11k k N k k -+++，所以1211221121414223111BM k k kk k k k +==-+-+-+，2222222222414223111BN kk k k k k k +==-+-+-+，因为1213k k =-，所以2113k k =-，所以2111222221114434413131313()13Bn BM k k k k k k k k k k --=====-+--+--+，所以,,M N B 三点共线，即此时直线MN 恒过定点(1,0)，综上直线MN 过定点(1,0).。