2019年中考数学总复习专题2规律探索与猜想精练试题

2019-2020年中考数学第二部分重难题型突破题型一规律探索题试题针对演练1. (2014岳阳)观察下列一组数：32，1，710，917，1126，…，它们是按一定规律排列的．那么这组数的第n 个数是____________．(n 为正整数)2. (2016郴州)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字．．．．是________． 3. (2016青海)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．依此规律，那么第4个图形中的x ＝________．一般地，用含有m 、n 的代数式表示y ，即y ＝________．第3题图4. (2016滨州)观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； …可猜想第2016个式子为__________________． 5. (2015郴州)请观察下列等式的规律： 11×3＝12(1－13)，13×5＝12(13－15)， 15×7＝12(15－17)，17×9＝12(17－19)，…， 则11×3＋13×5＋15×7＋…＋199×101＝________． 6. (2016贵港)已知a 1＝1t t -，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＋1＝11na -(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2016＝ ________(用含有t 的代数式表示)．7. (2016百色)观察下列各式的规律： (a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4…可得到(a－b)(a2016＋a2015b＋…＋ab2015＋b2016)＝________．8.(2016绵阳)如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用A i表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A1＝1，A2＝2，A3＝1，A4＝1，A5＝3，A6＝3，A7＝1，则A2016＝________.第8题图9. 将正整数按以下规律排列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 4 5 16 17 …第二行 2 3 6 15 …第三行9 8 7 14 …第四行10 11 12 13 …第五行……表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应，根据这一规律，数2016对应的有序数对为________．类型二图形规律针对演练1.(2016牡丹江)如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是( )…第1题图A. 71B. 78C. 85D. 892. (2016宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需________根火柴棒．第2题图3. (2016天水)将一些相同的“○”按如图所示规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n ＝________．第3题图4. (2016青海)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为( )第4题图A. (12)6B. (12)7C. (22)6D. (22)7 5. (2016聊城)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 1为边作正方形OB 1B 2C 2，再以正方形OB 1B 2C 2的对角线OB 2为边作正方形OB 2B 3C 3，依次类推…，则正方形OB 2015B 2016C 2016的顶点B 2016的坐标是________．第5题图 第6题图6.(2016天门)如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为．7. (2015云南)如图，在△ABC中，BC＝1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为________(n为正整数)．第7题图答案类型一 数式规律1.2211n n ++ 【解析】对于这组数据可以把第二个数看成是55，这组数据就成为： 32，55，710，917，1126，…，观察分子3，5，7，9，11，…，可知分子是从3开始的连续奇数，所以第n 个数的分子是2n ＋1，再看分母2，5，10，17，26，…，可知分母是从1开始的连续自然数的平方加1，所以第n 个数的分母是n 2＋1，故第n 个数为2211n n ++. 2. 1 【解析】从3的幂次方的最终结果来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数相同，于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是它的个位数与34的个位数相同，即为1.3. 63，mn ＋m 【解析】经观察发现：在中，3＝1×2＋1；在中，15＝3×4＋3；在中，35＝5×6＋5；∴在中，x ＝7×8＋7＝63；在中，y ＝mn ＋m .4. (32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2 【解析】第①个式子转化为(31－2)×31＋1＝(31－1)2，第②个式子转化为(32－2)×32＋1＝(32－1)2，第③个式子转化为 (33－2)×33＋1＝(33－1)2，第④个式子转化为 (34－2)×34＋1＝(34－1)2，…，第n 个式子为 (3n －2)×3n＋1＝(3n－1)2，∴第2016个式子为(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.5.50101 【解析】11×3＋13×5＋15×7＋…＋199×101＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(199－1101)＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋199－1101)＝12(1－1101)＝12×100101＝50101. 6. 1t【解析】∵a 1＝1t t -，∴a 2＝111a -＝111t t --＝1－t ，∴a 3＝211a -＝11(1)t --＝1t ，∴a 4＝311a -＝111t -＝1t t -，…，由此可知，a 1，a 2，a 3，...，每3个代数式为一个循环，分别是1tt -，1－t ，1t ，∵2016÷3＝672，∴a 2016＝a 3＝1t .7. a2017－b2017【解析】由题可知，(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，…(a －b )(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2＋ab n －1＋b n )＝an ＋1－bn ＋1.所以(a －b )(a2016＋a2015b ＋…＋ab 2015＋b 2016)＝a 2017－b 2017.8. 1953 【解析】根据题意，A1所在的那一行为第一行，则第1行有3个数，第2行有4个数，第3行有5个数，则第n行有n＋2个数，因为A2016表示第2016个数，故先判断第2016个数在第几行，前n行共有数字个数为3＋4＋5＋…＋n＋2＝(32)2n n++，当n＝61时，前n行共有数字2013个，则A2016是第62行从左到右第3个数，结合图形，第2行第3个数是3＝1＋2，第3行第3个数是6＝1＋2＋3，第4行第3个数是10＝1＋2＋3＋4，则第62行第3个数A2016＝1＋2＋3＋…＋62＝1953.9. (45，10) 【解析】设第n行第一个数为a n(n为正整数)，观察发现：a1＝1，a3＝9＝32，a5＝25＝52，...，∴a2n－1＝(2n－1)2.∵当2n－1＝45时，a45＝452＝2025，且第45行的数从左向右依次递减，2025－2016＋1＝10，∴数2016对应的有序数对为(45，10)．类型二图形规律1. D 【解析】序数 1 2 3 4 …n 小正方形个数5 11 19 29 …找规律(1＋1)2＋1 (2＋1)2＋2(3＋1)2＋3(4＋1)2＋4…(n＋1)2＋n由上表可知，当n＝8时，(n＋1)2＋n＝(8＋1)2＋8＝89.2. 50 【解析】图案①所需火柴棒的根数为8＝7＋1；图案②所需火柴棒的根数为15＝7×2＋1；图案③所需火柴棒的根数为22＝7×3＋1，…；图案⑦所需火柴棒的根数为7×7＋1＝50，故填50.3. 16 【解析】第1个“龟图”有5个○，第2个“龟图”有2×(2－1)＋5＝7个○，第3个“龟图”有3×(3－1)＋5＝11个○，第4个“龟图”有4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出，第n个“龟图”有n(n－1)＋5个○，则n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．故n＝16.4. A 【解析】由题意，得S 1＝22，S 2＝(2×12)2＝22×12，S 3＝(2×12×12)2＝22×12×12＝22×122，S 4＝(2×12×12×12)2＝22×123，…，S n ＝22·12n －1，∴S 9＝22·129－1＝126＝(12)6，故选A.5. (21008，0) 【解析】点B 的位置依次落在第一象限、y 轴正半轴、第二象限、x 轴负半轴、第三象限、y 轴负半轴、第四象限、x 轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以B 2016落在x 轴正半轴，故B 2016的纵坐标是0；OB n 是正方形的对角线，OB 1＝2，OB 2＝2＝(2)2，OB 3＝22＝(2)3，…，∴OB 2016＝(2)2016＝21008，∴B 2016的坐标为(21008，0)．6. (52，－5132) 【解析】根据题图规律，我们观察发现，A 1，A 5，A 9，…，A 4n －3在点(2，0)右侧，A 3，A 7，A 11，…，A 4n －1在点(2，0)左侧，A 2，A 6，A 10，…，A 4n －2在第一象限，A 4，A 8，A 12，…，A 4n 在第四象限，则A 100在第四象限，我们进一步观察发现：①A 4、A 8、A 12、……A 4n的横坐标都为52，②A 4n 所在等边三角形边长为2n ＋1，故A 100所在等边三角形的边长为2×25＋1＝51，∴A 100的纵坐标为－5132，∴A 100( 52，－5132)．7.12n【解析】在△ABC 中，BC ＝1，P 1、M 1分别是AB 、AC 的中点，∴P 1M 1＝12BC ＝12，按照题设给定的规律，列表如下：图形序号 P n M n P n M n 的长度与序号的关系① P 1M 1 12 ② P 2M 2 14＝122 ③ P 3M 318＝123 ………○n P n M n12n。

2019年中考数学二轮复习规律探索型问题综合练习一．选择题1. 观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )A. 9B. 7C. 6D. 02. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，…，设碳原子的数目为n(n 为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示( )A. C n H 2n ＋2B. C n H 2nC. C n H 2n －2D. C n H n ＋33. 如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为( ) A. (12)6 B. (12)7 C. (22)6 D. (22)74. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )A. 2015πB. 3019.5πC. 3018πD. 3024π5.如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)6. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线y ＝33x 上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝33x 上，依次进行下去…. 若点A 的坐标是(0，1)，点B 的坐标是(3，1)，则点A 8的横坐标是( )．A. 33＋3B. 33-3C. 63＋6D. 63-6二．填空题7. 按一定规律排列的一列数：12，1，1， ，911，1113，1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．8.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．9. 观察下列等式：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n(n ＋1)；1＋3＋6＋10＋…＋12n(n ＋1)＝16n(n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋20＋…＋16n(n ＋1)(n ＋2)＝124n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3); 则有：1＋5＋15＋35＋…＋124n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________．10. 如图，△ABC 的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A 1B ＝AB ，B 1C ＝BC ，C 1A ＝CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1，第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1＝A 1B 1，B 2C 1＝B 1C 1，C 2A 1＝C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．11. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P 1，P 2，P 3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如：P 1(0，0)，P 2(0，1)，P 3(1，1)，P 4(1，－1)，P 5(－1，－1)，P 6(－1，2)…，根据这个规律，点P 2016的坐标为________．12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 1为边作正方形OB 1B 2C 2，再以正方形OB 1B 2C 2的对角线OB 2为边作正方形OB 2B 3C 3，依次类推…，则正方形OB 2015B 2016C 2016的顶点B 2016的坐标是________．13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA ＝2，OC ＝1.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A 1OC 1B 1，再将矩形A 1OC 1B 1以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形A 2OC 2B 2…，依此规律，得到的矩形A n OC n B n 的对角线交点的坐标为________．三．解答题14. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…，第n 个三角形数记为x n ，求x n ＋x n ＋1的值．15. 观察下列等式：第1个等式： a 1＝11＋2＝2－1，第2个等式：a 2＝12＋3＝3－2， 第3个等式：a 3＝13＋2＝2－3，第4个等式：a 4＝12＋5＝5－2， 按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：a n ＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝________．16. 将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n 的值是多少？17. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，求经第n 次作图后，点B n到ON的距离．18. 如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6，…，按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为____________．19. 如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，求A100的坐标．20. 如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n(n为正整数)点时，求A n的坐标．参考答案1-6 DAADBC7. 18. 19. 1120n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 10. 四11. (504，－504)12. (21008，0)13. (－3n 2n ，3n2n ＋1) 14. 解：∵x 1＋x 2＝1＋3＝4＝22，x 2＋x 3＝3＋6＝9＝32，x 3＋x 4＝6＋10＝16＝42，x 4＋x 5＝10＋15＝25＝52，x 5＋x 6＝15＋21＝36＝62，∴x n ＋x n ＋1＝(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋1.15. 解：∵a 1＝11＋2＝2－1，a 2＝12＋3＝3－2，a 3＝13＋4＝4－3，…， ∴a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，将上面n 个式子左右相加得：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n ＋1－1.16. 解：根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为17，得出第n 个图形中小圆的个数为n(n －1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n 的值． 方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n 个图形有：n(n －1)＋5个○，则可得方程n(n －1)＋5＝245，解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：n=16.方法②：设y ＝an 2＋bn ＋c ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝54a ＋2b ＋c ＝79a ＋3b ＋c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1c ＝5，∴y ＝n 2－n ＋5.当y ＝245时，可得：n 2－n ＋5＝245.解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：n=16.17. 解：由题可知，∠MON ＝60°，不妨设B n 到ON 的距离为h n ， ∵正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，则A 1B 1＝1，易知△A 1OF 1为等边三角形， ∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴OB 1＝2，则h 1＝2×32＝3，又OA 2＝A 2F 2＝A 2B 2＝3， ∴OB 2＝6，则h 2＝6×32＝33， 同理可求：OB 3＝18，则h 3＝18×32＝93，…， 依此可求：OB n ＝2×3n －1， 则h n ＝2×3n －1×32＝3n －13， ∴B n 到ON 的距离h n ＝3n －1 3.18. 解：∵A 1(1，0)，∠A 1A 2O ＝30°，∴A 2(0，3)，∵A 3A 2⊥A 1A 2 ，∴∠A 3A 2O ＝60°，∴∠A 2A 3O ＝30°，∴A 3(－3，0)，同理：A 4(0，－33)，A 5(9，0)，A 6(0，93)，A 7(－27，0)，A 8(0，－273)，…， 即：A 2(0，3)，A 4(0，－33)，A 6(0，93)，A 8(0，－273)， 列表如下：∴n ＝1007，∴A 2016的纵坐标是－31007 3.19. 解：如图，继续排列图形如下，观察发现，A 1、A 5、A 9、…、A 4n －3在点(2，0)的右侧，A 3、A 7、A 11、…、A 4n －1在点(2，0)的左侧，A 2、A 6、A 10、…、A 4n －2在第一象限，A 4、A 8、A 12、…、A 4n 在第四象限， ∴A 100在第四象限，进一步观察发现：② A 4、A 8、A 12、A4n 的横坐标都为52，②A 4n 所在等边三角形边长为2n ＋1，可求得A 100所在等边三角形边长为2×25＋1＝51， 进一步可求点A 100的纵坐标为－(32×51)＝－5132， 从而解得A 100的坐标为(52，－5132)．20. 解：∵A 1(2，0)＝(2×30，0)，且A 1B 1⊥x 轴，与直线y ＝2x 交于点B 1， ∴B 1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A 1B 1A 2是等腰直角三角形， ∴A 2(6，0)＝(2×31，0)，∵A 2B 2⊥x 轴，且与直线y ＝2x 交于点B 2，∴B 2(6，12)，∴A 3(18，0)＝(2×32，0)，如此反复作等腰直角三角形，A n (2×3n －1，0)．。

规律探索综合题（⼏何）-全国各地2019年中考数学压轴题⼏何⼤题题型分类汇编（解析版）2019全国各地中考数学压轴⼤题⼏何综合⼋、规律探索综合题1.（2019?⼗堰）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内⼀点，将△CAD绕点C按逆时针⽅向旋转⾓α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同⼀直线上．（1）填空：∠CDE＝（⽤含α的代数式表⽰）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满⾜∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针⽅向旋转⾓α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针⽅向旋转⾓60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三⾓形，且CF⊥DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（3）如图，当点G在AB上⽅时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下⽅，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．2.（2019?宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝EF，∴点A在⊙O上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，⼜FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FH，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直⾓三⾓形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．3.（2019?襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正⽅形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为1；（2）类⽐探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A 落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应⽤：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．（1）①证明：∵四边形ABCD是正⽅形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：结论：＝1．理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平⾏四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴K＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．4.（2019?天门）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满⾜的等量关系式：AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满⾜的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三⾓形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB⾄点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于圆O，∴∠MBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD=45°，∴BD=CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD=AD，∠M=∠ACD=45°，∴MD⊥AD．∴AM＝，即AB+BM＝，∴AB+AC＝；（3）如图③，延长AB⾄点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，⼜AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴＝．5.（2019?岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上⼀动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂⾜分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平⾏四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平⾏四边形PMQN的周长；（3）类⽐探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试⽤含a、b的式⼦表⽰QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接⽤含a、b的式⼦表⽰QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴?BF?EH＝?BE?PM+?BF?PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平⾏四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平⾏四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．6.（2019?常德）在等腰三⾓形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取⼀动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC 交NB的延长线于点F，求证：AM?PF+OM?BN＝AM?PE．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴＝，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴＝，∴+＝+＝1，∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的⽅法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，⼜∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴＝，∴AM?MB＝OM?MC，∴AM×（PE﹣PF）＝OM?BN，∴AM?PF+OM?BN＝AM?PE．7.（2019?连云港）问题情境：如图1，在正⽅形ABCD中，E为边BC上⼀点（不与点B、C重合），垂直于AE的⼀条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂⾜P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂⾜P在正⽅形ABCD的对⾓线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正⽅形ABCD 的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最⼩值．问题拓展：如图4，在边长为4的正⽅形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正⽅形ABCD 沿着MN翻折，使得BC 的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂⾜分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：∵四边形ABCD是正⽅形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所⽰：∴四边形MBFN为平⾏四边形，∴NF＝MB，∴BF⊥AE，∴∠BGE＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵DN+NF+CF＝BE+EC，∴DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所⽰：∵四边形ABCD是正⽅形，。

专题二规律探索与猜想一、选择题1．(2019长沙中考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为( C )A．24里 B．12里C．6里 D．3里2．(2019重庆中考B卷)下列图像都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为( B )A．116 B．144 C．145 D．1503．(2019自贡中考)填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律可求出m的值为( C )A．180 B．182C．184 D．1864．(2019武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△A BC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D ) A．4 B．5 C．6 D．75．(2019西宁中考)如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm 的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC—CB以每秒2 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图像中能大致反映y与x之间的函数关系的是( A ),A) ,B),C) ,D)6．(2019湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中(如图①)，从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形(如图②)，则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是( B )A．13 B．14 C．15 D．167．(2019连云港中考)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是( A )A．4 B．2 3 C．2 D．08．(2019宁波中考)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是( A )A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．(2019宁波中考)如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有__19__个黑色棋子．10．(2019滨州中考)观察下列各式：21×3＝11－13； 22×4＝12－14； 23×5＝13－15； ……请利用你所得结论，化简代数式：21×3＋22×4＋23×5＋…＋2n （n ＋2）(n≥3且为整数)，其结果为__3n 2＋5n2（n ＋1）（n ＋2）__．11．(2019安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 顶点B n 的横坐标为__2n ＋1－2__．12．(2019衢州中考)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限．△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是；翻滚2 017次后AB 中点M 经过的路径长为__⎭⎪⎫3＋896π__,.)三、解答题13．(2019郴州中考)如图①，△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6 cm ，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1 cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.图①(1)求证：△CDE 是等边三角形；(2)如图②，当6＜t ＜10时，△BDE 周长是否在最小值？若存在，求出△BDE 的最小周长；若不存在，请说明理由．图②(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．图③解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；(2)存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2 3 cm，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝23＋4；(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CDA＝∠CEB，∠CDE＝∠CDA＋∠BDE＝60°，则∠BDE＋∠CEB＝60°，又∠EDB＋∠DEC＋∠CEB＋∠DBE＝180°，∴∠DBE＝180°－60°－60°＝60°，即∠ABE＝60°，∠BDE＝60°，∴∠DEB可能为直角，由(1)可知，△CDE是等边三角形，∠DBE＝60°，∴∠CEB＝30°，则∠BED＝90°.∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°.∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，∴t＝2÷1＝2 s；③当6＜t＜10 s时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10 s时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14 cm，∴t＝14÷1＝14 s.综上所述，当t＝2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．14．(2019临沂中考)数学课上，张老师出示了问题：如图①，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BD，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图②，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图③，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图④，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．(2)小华提出：如图⑤，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．解：(1)BC＋CD＝2AC.理由：如答图①，延长CD至E，使DE＝BC，连接AE.∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝90°，∵∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，∴△A BC≌△ADE(SAS)，∴∠ACB ＝∠AED＝45°，AC ＝AE ， ∴△ACE 是等腰直角三角形， ∴CE ＝2AC ，∵CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋BC ， ∴BC ＋CD ＝2AC ；(2)BC ＋CD ＝2AC·cos α. 理由：答如图②，延长CD 至E ，使DE ＝BC ，连接AE ， ∵∠ABD ＝∠ADB＝α，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－2α， ∵∠ACB ＝∠ACD＝α， ∴∠ACB ＋∠ACD＝2α， ∴∠BAD ＋∠BCD＝180°， ∴∠ABC ＋∠ADC＝180°， ∵∠ADC ＋∠ADE＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADE，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS)， ∴∠ACB ＝∠AED＝α，AC ＝AE ， ∴∠AEC ＝α， 过点A 作AF⊥CE 于F ，∴CE ＝2CF ，在Rt △ACF 中，∠ACD ＝α，CF ＝AC·cos ∠ACD ＝AC·cos α， ∴CE ＝2CF ＝2AC·cos α， ∵CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋BC ， ∴BC ＋CD ＝2AC·cos α.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，直线y x m =-+与()40ynx n n =+≠的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的整数解为（ ）.A ．1-B ．5-C ．4-D ．3-2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，S △ABC ＝15，DE ＝3，AB ＝6，则AC 的长是( )A.4B.5C.6D.73．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A ，B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t ＝32或t ＝72，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数y ＝kx+b 与y ＝kbx在同一坐标系的图象可能是（ ）A. B.C. D.5．如图，是小明作线段AB的垂直平分线的作法及作图痕迹,则四边形ADBC一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定6．-4的倒数是( ).A．4 B．-4 C．14D．-147．如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案关系为（）A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.重合D.宽度不变，高度变为原来的一半8．由个大小相同的正方形搭成的几何体，被小颖拿掉两个后，得到如图所示的几何体，如图是原几何体的三视图，请你判断小颖拿掉的两个正方体原来放在（）A ．4号的左右B ．3号的前后C ．1号的前后D ．2号的前后9．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则sin ∠FCD ＝（ ）A ．34B ．35C ．45D ．10．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定11．如图，在热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，热气球C 的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B ．米C ．D ．1001)米12．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．14+1）0＝_____．15．在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______．16．如图，点P 是第一象限内一点，OP=4，经过点P 的直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于点A 、点B ，若OP 平分∠AOB ，则11OA OB+=______．17．已知反比例函数y ＝的图象经过点（2，﹣1），则k ＝_____． 18．将数67500用科学记数法表示为____________． 三、解答题19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD.（结果取整数，参考数据:tan58°≈1.60,tan48°≈1.11）.20．计算：011)6sin30-︒－21．如图1，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点．tanB ＝2．（1）求证：AD ＝AE ；（2）如图2．点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC，上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？请在图3中补全图形，直接写出结论．22．图①、图②均为3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，请在图①、图②中各画一个顶点在格点的三角形．要求：（1）所画的三角形为钝角三角形；（2倍；（3）图①、图②中所画的三角形不全等．23．某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为图①中m的值为；（2）本次调查获取的样本数据的众数为，中位数为；（3）求本次调查获取的样本数据平均数；（4）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：GD为⊙O切线；（2）求证：DE2=EF·AC；（3）若tan∠C=2，AB=5，求AE的长．25．在方程3523ax by ax by -=⎧⎨+=⎩ 中，如果121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．3514．015．516．417．-218．46.7510⨯三、解答题19．乙建筑物的高度CD 约为38m.【解析】【分析】作AE ⊥CD 于E ，根据正切的定义分别求出CE 、DE ，得到答案．【详解】解：如图，作AE ⊥CD 交CD 的延长线于点E ，则四边形ABCE 是矩形.∴AE=BC=78在Rt△ACE中，tan58°=CE AE∴CE=AE ·tan58°≈78×1.60=124.8(m)在Rt△ADE中，tan48°=DE AE∴DE= AE ·tan48°≈78×1.11=86.58(m)∴CD=CE—DE=124.8—86.58≈38(m)即乙建筑物的高度CD约为38m.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．-1【解析】【分析】直接利用绝对值、算术平方根、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案.【详解】11)6sin30-︒－=1 1+2162--⨯=2-3=-1.【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.21．（1）见解析；（2）DF﹣EF，见解析；（3）①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF，②当点F在PD上，DF+EF AF，③当点F在PD的延长线上，EF﹣DF AF，见解析.【解析】【分析】（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG 是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．【详解】（1）证明：如图1中，∵tanB＝2，∴AE＝2BE；∵E是BC中点，∴BC＝2BE，即AE＝BC；又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DPC；∵∠AEP＝∠EFP＝90°，∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，∴△AFE≌△AGD，∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；∴FG，且DF＝DG+GF＝EF+FG，故DF﹣EF AF；（3）解：如图3，①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF AF，证明方法类似（2）．②如图3﹣1中，点F在PD上，DF+EF AF．理由：将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG∴△AEF≌△ADG，同（1）可得：DG＝EF，AG＝AF，GF，则EF+DF AF．③如图3﹣2，点F在PD的延长线上，EF﹣DF AF，证明方法类似（2）．【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．22．见解析【解析】【分析】利用勾股定理作出符合条件的三角形三边，将原三角形扩大两倍即可【详解】解：如图所示；【点睛】此题考查勾股定理和作图-相似变换，解题关键在于掌握作图法则23．（1）40，25；（2）5，6；（3）平均数为5.8；（4）该校一周的课外阅读时间大于6h的学生共360人．【解析】【分析】（1）本次接受随机抽样调查的学生人数6÷15%＝40（人），10÷40＝25%，m＝25；（2）阅读5小时的人数最多，所以本次调查获取的样本数据的众数5，本次共调查40名同学，中位数为第20、21位同学的平均数，落在阅读6小时段内，中位数为6；（3）求本次调查获取的样本数据平均数64+125+106+87+48x==5.840⨯⨯⨯⨯⨯（小时）；（4）该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数：1200×（1﹣15%﹣30%﹣25%）＝360（人）．【详解】（1）本次接受随机抽样调查的学生人数6÷15%＝40（人），10÷40＝25%，m＝25，故答案为40，25；（2）阅读5小时的人数最多，所以本次调查获取的样本数据的众数5，本次共调查40名同学，中位数为第20、21位同学的平均数，刚好落在阅读6小时段内，因此中位数为6，故答案为5，6；（3）求本次调查获取的样本数据平均数64+125+106+87+48x==5.840⨯⨯⨯⨯⨯答：平均数为5.8；（4）该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数：1200×（1﹣15%﹣30%﹣25%）＝360（人），答：该校一周的课外阅读时间大于6h的学生共360人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=3.【解析】【分析】(1)欲证明FG 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥FG ；(2) 连接AD ，然后求证Rt △CDF ∽Rt △CAD,即可解答;（3）由题意得出∠ABC=∠C ，tan ∠ABC=tan ∠C=2AD BD=，根据直角三角形的三角函数得出CF=1，即可解答.【详解】解：（1）如答图1，连接OD ，∵OD=OB ，∴∠ODB=∠OBD ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∴∠ODB=∠C ，∴OD ∥AC ，∵DG ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴GD 为⊙O 切线；（2）如答图2，连接AD ，∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴CD=BD ，∠EAD=∠BAD ，∴BD=DE=CD ，∵DF ⊥AC ，∴CF=EF ，∵Rt △CDF ∽Rt △CAD ， ∴CD CF AC CD =，即CD 2=CF·AC， ∴DE 2=EF·AC；（3）如答图2，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，tan ∠ABC=tan ∠C=2AD BD=，∵AB=5，∴Rt△CDF中，∵tan∠C=2，∴CF=1，由（2）知,，EF=CF，∴EF=CF=1，CE=2，所以AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3．答图1 答图2【点睛】此题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角函数值的应用，解题关键在于作辅助线. 25．3【解析】【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，即可确定出所求．【详解】解：把121xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入3523ax byax by-=⎧⎨+=⎩中得13523a ba b⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得41, ab=⎧⎨=⎩3.==【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞12B ．k≥12C ．k ＞12且k≠1D ．k≥12且k≠1 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），过（1，y 1）、（2，y 2）．下列结论：①若y 1＞0时，则a+b+c ＞0； ②若a ＝2b 时，则y 1＜y 2；③若y 1＜0，y 2＞0，且a+b ＜0，则a ＞0．其中正确的结论个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．关于反比例函数y ＝﹣，下列说法中正确的是（ ）A.它的图象位于一、三象限B.它的图象过点（﹣1，﹣3）C.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D.当x ＜0时，y 随x 的增大而减小5．下列运算正确的是（ ）A.624a a a -=B.235(a )a =C.235a a a ⋅=D.623a a a ÷=6．今年春节，我区某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D.7．如图，直径为单位1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A ，则点A 表示的数是（ ）A ．2BC ．πD ．48．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB CD = B ．//AD BC C ．BC CD = D ．AB BC =9．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，D 为AB 的中点，点E ，F 分别在线段AD ，BC 上，且BF ＝2AE ，连结EF 交中线AD 于点G ，连结BG ，设AE ＝x （0＜x ＜2），△BEG 的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．8y =x 2+2x B ．24y x =C ．22y x =+D ．2y =+10．如图是某款篮球架的示意图，已知底座BC ＝0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.26，（ ）A ．3.04B ．3.05C ．3.06D ．4.4011．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A ，C 同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD 边上，请问它们第2015次相遇在（ ）边上．A.ADB.DCC.BCD.AB12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，点E 是AB 边的中点，点M 是线段OB 上的一动点，点N 在线段OA 上，且∠MEN ＝90°，则cos ∠MNE 为（ ）A ．35B ．45C D ．5二、填空题 13．方程1322x x x+=--的解为__________． 14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC △，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值为________.15．一个多边形的内角和与外角和之差为720︒，则这个多边形的边数为______.16．已知直线a ∥b ，将一块含45°角的直角三角板（∠C ＝90°），按如图所示的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数为_____．17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a ∥b ，点B 在直线b 上，∠1=138°，则∠2=______度．18．“阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战．”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表．请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a ＝_____，b＝_____．三、解答题19．某景点的门票价格如表某校九年级（1）、（2）两班计划去春游该景点，其中（1）班人数少于40人，（2）班人数多于40人且少于80人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付838元：如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费570元（1）两个班各有多少名学生；（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC 于点D．（1）求证：BE＝EF；（2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长．21．解分式方程：7422xx x=---．22．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B．将线段AB沿数轴向右移动，移动后的线段记为A′B′，按要求完成下列各小题（1）若点A为数轴原点，点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，数轴上点B′表示的数为．（2）设点A表示的数为m，点A′表示的数为n，当原点在线段A′B之间时，化简|m|+|n|+|m﹣n|．23．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有 人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 %．（2）被调查学生的总数为 人，统计表中m 的值为 ，统计图中n 的值为 ． （3）在统计图中，E 类所对应扇形圆心角的度数为 ．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．24．111(9)(9)339x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦ 25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx k =+与双曲线4=y x（x>0）交于点1)（，Aa ．（1）求a ，k 的值；（2）已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线y kx k =+，点P （m ，n ）（m>3）是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线4=y x（x>0）于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域（不含边界）记为W ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当4m =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．52 x=14．215．816．80°17．1218．0.35三、解答题19．（1）九年级（1）班有39人，九年级（2）班有56人；（2）九年级（1）班节省了156元，九年级（2）班节省了112元．【解析】【分析】（1）设九年级（1）班有x人，九年级（2）班有y人，根据总价＝单价×数量结合“两班都以班为单位单独购票，则一共支付838元：如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费570元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省的总钱数＝每张票节省的钱数×人数，即可求出两个班各节约了多少钱．【详解】（1）设九年级（1）班有x人，九年级（2）班有y人，依题意，得：108838 6()570x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：3956 xy=⎧⎨=⎩．答：九年级（1）班有39人，九年级（2）班有56人．（2）（10﹣6）×39＝156（元），（8﹣6）×56＝112（元）．答：九年级（1）班节省了156元，九年级（2）班节省了112元．此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）AF ＝214. 【解析】 【分析】（1）通过证明∠6=∠EBF 得到EB=EF ；（2）先证明△EBD ∽△EAB ，再利用相似比求出AE ，然后计算AE-EF 即可得到AF 的长． 【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠4， ∵∠1＝∠5， ∴∠4＝∠5， ∵BF 平分∠ABC ， ∴∠2＝∠3，∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5， 即∠6＝∠EBF ， ∴EB ＝EF ；（2）解：∵DE ＝4，DF ＝3， ∴BE ＝EF ＝DE+DF ＝7， ∵∠5＝∠4，∠BED ＝∠AEB ， ∴△EBD ∽△EAB ，BE DE EA BE ∴=，即74EA 7=， ∴EA ＝494， ∴AF ＝AE ﹣EF ＝4921744-=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．【解析】【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：﹣x＝4x﹣8﹣7，移项合并得：5x＝15，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（1）6；（2）﹣2m；2n﹣2m．【解析】【分析】（1）根据题意可知A′表示的数为2，根据AB的长度即可求解；（2）根据绝对值的定义，分情况讨论解答即可．【详解】（1）∵点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，∴点A′表示的数为2，∴数轴上点B′表示的数为2+4＝6．故答案为：6；（2）①若点A'在原点的左侧，即m＜0，n＜0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣2m；②若点A'在原点的右侧，即n＞0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣m+n﹣m+n＝2n﹣2m．【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解决此类题目时，能理解题意表示出各点表示的数是关键．23．（1）30，20；（2）150，45，36；（3）21.6°；（4）160【解析】【分析】（1）观察图表体育类型即可解决问题；（2）根据“总数＝B类型的人数÷B所占百分比”可得总数；用总数减去其他类型的人数，可得m的值；根据百分比＝所占人数/总人数可得n的值；（3）根据圆心角度数＝360°×所占百分比，计算即可；（4）用学生数乘以最喜爱新闻节目所占百分比可估计最喜爱新闻节目的学生数． 【详解】（1）最喜爱体育节目的有 30人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%． 故答案为30，20；（2）总人数＝30÷20%＝150人， m ＝150﹣12﹣30﹣54﹣9＝45， n%＝54150×100%＝36%，即n ＝36， 故答案为150，45，36．（3）E 类所对应扇形的圆心角的度数＝360°×9150＝21.6°， 故答案为21.6°；（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000×12150＝160人， 答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人． 【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24．x=0 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答. 【详解】111(9)(9)339x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦193(3)93x x x x --+=- 9299x x x --=- 60x =0x =【点睛】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解题步骤是关键.注意：单个的数字或字母去分母时不要漏乘.25．（1）4a =，=2k ；（2）① 3，② 3 4.5m <≤.【解析】 【分析】（1）将1)（，Aa 代入4=y x可求出a ，将A 点坐标代入y kx k =+可求出k ； （2）①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W 内的整点个数；②求出直线l 的表达式为24y x =-，根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m 的取值范围即可. 【详解】解：（1）将1)（，A a 代入4=y x得a=4 将14)（，A代入=4+k k ，得=2k （2）①区域W 内的整点个数是3②∵直线l 是过点(2,0)D 且平行于直线22y x =+ ∴直线l 的表达式为24y x =-当24=5-x 时，即=4.5x 线段PM 上有整点 ∴3 4.5m <≤【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合的思想是解题关键.。

2019年中考数学探索规律题型专题复习一、选择题1.观察下列关于x的单项式,探究其规律:x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律,第2019个单项式是（）A.2019x2019B.4037x2018C.4037x2019D.4039x20192.如图,在平面直角坐标系中,A（1,1），B（-1,1），C（-1,-2），D（1,-2）.把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A.（1,-1）B.（-1,1）C.（-1,-2）D.（1,-2）3.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方1形重叠部分的面积之和是（）A.nB.n﹣1C.（）n﹣1D.n4.如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 ( )A.y=2n＋1B.y=2n＋nC.y=2n＋1＋nD.y=2n＋n＋15.如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点0，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2018秒时，点P的坐标是( )A.(1，)B.(-1，-)C.(1，-)D. (-1，)6.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P/(-y+1,x+1)叫做点P伴随点.已知点A的伴随点为A2，1点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(2，4)，点A2017的坐标为( )A.(-3，3)B.(-2，-2)C.(3，-1)D.(2，4)7.如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2 018次运动后，动点的坐标是（）A.(2018，0)B.(2018，1)C.(2018，2)D.(2017，0)8.如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB1C1D1；把正方形A1B1C1D1边1长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此进行下去…，则正方形A n B n C n D n的面积为（）A.（）nB.5nC.5n﹣1D.5n+19.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAAB的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正1方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（）A.（0，21008）B.（21008，21008）C.（21009，0）D.（21009，－21009）10.已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是( )A.-4955B.4955C.-4950D.495011.观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是（）A.36B.45C.55D.6612.根据如图所示的(1)，(2)，（3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )A．3n B．3n(n+1) C．6n D．6n(n+1)13.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（）A．3 B．6 C．4 D．214.观察算式，探究规律：当n=1时，S1=13=1=12；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；…那么S n与n的关系为（）A． B． C． D．15.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，顺次连结各边中点得到四边形AB1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D11各边中点得到四边形A2B2C2D2…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为( )A.14B.10C.5D.2.5二、填空题16.将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是______．17.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 .18.用长度相等的小棒按一定规律摆成如图所示的图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有根小棒．（用含n的代数式表示）19.如图，动点P在坐标系中按图中所示箭头方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是．20.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第n个四边形的周长为．21.如图，将△ABC第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连1结A1、B1、C1，得到△A1B1C1，第二次操作：分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连结A2、B2、C2，得到△A2B2C2…按此规律，若△A3B3C3的面积是686，则△ABC的面积为______．22.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则a n=______．23.如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OAB1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B21变换成△OA3B3，已知A(1,3)，A1(2,3),A2(3,3),A3(4,3),B(2,0)，B1(4,0)，B2(8,0)，B3(16,0).(1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律，按此变换规律将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是_________,B4的坐标是_________.(2)若按第(1)题的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA n B n,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：A n的坐标是_________，B n的坐标是_________ .24.如图,在平面直角坐标系中,点A，A2，A3，…，A n在x轴的正半轴上,且OA1=2，OA2=2OA1，OA3=2OA2，…,1OA n=2OA n﹣1，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限的角平分线l上，且A1B1，A2B2，…，A n B n都与射线l垂直，则B1的坐标是，B3的坐标是，B n的坐标是．25.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4,以AC为斜边作Rt△ACC1,使∠CAC1=30°,Rt△ACC1的面积为S1；再以AC1为斜边作△AC1C2，使∠C1AC2=30°，Rt△AC1C2的面积记为S2，…，以此类推，则S n= （用含n的式子表示）26.观察下列算式，你发现了什么规律？12=；12+22=；12+22+32=；12+22+32+42=；…①根据你发现的规律，计算下面算式的值；12+22+32+42+52= ；②请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32…+n2= ；③根据你发现的规律，计算下面算式的值：512+522+…+992+1002= ．27.正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．28.已知，如图，∠MON=45°，OA=1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记1作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长C n= ．29.设,,,…,设，则S=_________ (用含n的代数式表示，n为正整数)．30.即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为个.答案1.C.2.B3.B；4.B；解析：∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y=2n＋n.5.D；6.D7.A8.B；9.B；10.B11.B;解：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．12.B13.D14.C15.D.16.答案为：4n+1．17.答案为：9n＋3.18.答案为：5n+1；19.答案为：（2018，0）；20.答案为：4（）n．21.答案为：2．22.答案为：（）n﹣1．23.答案为：⑴(5,3)；（32，0）;⑵（n+1,0）；24.答案为：（1，1）, （4，4）. （2n﹣1，2n﹣1）25.解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=0.5AB=2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=0.5•BC•AC=2，在△ABC1中，∵∠CAC1=30°，∴CC1═0.5AC=，∵∠BAC=∠CAC1，∠ACB=∠AC1C=90°，∴△ACB∽△AC1C，∴=（）2=（）2=，∴S1=•S△ABC，同理可得，S2=•S1=（）2•S△ABC，S3=（）3•S△ABC，…根据此规律可得，S n=（）n•S△ABC=，故答案为．26.答案为：（1）；（2）；（3）295425；27.答案为：420；28.答案为：2n+1．29.答案为：．30.答案为:1946.解析：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946.第11 页共11 页。

规律探索一、选择题1. （2019·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2. （2019·四川凉山州·4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数2019在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵2019÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2019，∴数2019在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2019.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．（2019·黑龙江大庆）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果． 【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3； 第②是5个三角形，5=4×2﹣3； 第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n 个图形中共有三角形的个数是4n ﹣3； 故答案为：4n ﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．（2019·湖北鄂州）如图，直线l ：y=－34x ，点A 1坐标为（－3，0）. 过点A 1作x 轴的垂线交直线l于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2019的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l ：y=－34x 的解析式求出A 1B 1的长，再根据勾股定理，求出OB 1的长，从而得出A 2的坐标；再把A 2的横坐标代入y=－34x 的解析式求出A 2B 2的长，再根据勾股定理，求出OB 2的长，从而得出A 3的坐标；…，由此得出一般规律．【解答】解：∵点A 1坐标为（－3，0），知O A 1=3，把x=－3代入直线y=－34x 中，得y= 4 ，即A 1B 1=4. 根据勾股定理，OB 1=B A OA 11122+=4322+=5，∴A 2坐标为（－5，0），O A 2=5；把x=－5代入直线y=－34x 中，得y=320 ，即A 2B 2=320.根据勾股定理，OB 2=B A OA 22222+=)(532022+=325=3512，∴A 3坐标为（－3512，0），O A 3=3512；把x=－3512代入直线y=－34x 中，得y=9100 ，即A 3B 3=9100.根据勾股定理，O B 3=B A OA 33322+=)()(910032522+=9125=3523， ∴A 4坐标为（－3523，0），O A 4=3523；……同理可得A n 坐标为（－3521--n n ，0），O A n =3521--n n ；∴A 2019坐标为（－3520142015，0） 故答案为：（− 3520142015，0） 【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

2019年北京市中考数学复习 专项《规律猜想型问题》精练解析卷一、选择题1. （2018北京平谷区第一学期期末）8．如图，在平面直角坐标系中，点A （1,1），B （﹣1,1），C （﹣1,﹣2），D （1,﹣2），按A →B →C →D →A …排列，则第2018个点所在的坐标是 （A ）（1,1）（B ）（﹣1,1） （C ）（﹣1,﹣2）（D ）（1,﹣2）答案：B2. （2018北京市顺义区八年级期末）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算 21=2 22=4 23=8 (31)=3 32=9 33=27 … 新运算log 22=1log 24=2log 28=3…log 33=1log 39=2log 327=3…根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①log 216=4，②log 525=5，③log212=﹣1．其中正确的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案：B3、(2018北京昌平区初一第一学期期末)下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小木棒，图案①需15根小木棒，……，按此规律，图案①需小木棒的根数是A ．49B ．50C ．55D ．56 答案：B4、（2018北京东城区初一第一学期期末）找出以如图形变化的规律，则第101个图形中黑色正方形的数量是A ．149B ．150C ．151D ．152答案：D① ② ③……5、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n (n 为正整数)个图形中共有的点数是 A ．65n + B .5nC .()561n +-D .51n +答案：C6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“E ”，依此规律，摆出第n 个“E ”需要火柴棍的根数是A. 2n ＋3B. 4n ＋1C. 3n ＋5D. 3n ＋2 答案B二、填空题7．（2018北京市平谷区初二期末）如图，△A 1OM 是腰长为1的等腰直角三角形，以A 1M 为一边，作A 1A 2⊥A 1M ，且A 1A 2=1，连接A 2M ，再以A 2M 为一边，作A 2A 3⊥A 2M ，且A 2A 3=1，则A 1M =_________，照此规律操作下去...则A n M =___________.解：2；1+n8.（2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P=1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ，=n OP （n 为自然数，且n ＞0）答案：1n ,2019+9、（2018北京平谷区初一第一学期期末）16.一只小球落在数轴上的某点0p ，第一次从0p 向左跳1个单位到1p ，第二次从1p 向右跳2个单位到2p ，第三次从2p 向左跳3个单位到3p ，第四次从3p 向右跳4个单位到4p ..., 若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点6p 所表示的数是；若小球按以上规律第1个第2个第3个…P 4P 3P 2PP 1O跳了2n 次时，它落在数轴上的点n p 2所表示的数恰好是n +2，则这只小球的初始位置点0p 所表示的数是． 答案：3；210、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形,设每边长为4a ，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a 的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化， 得到图形如图（3），称为第二次变化.如此 连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花 图案．如不断发展下去到第n 次变化时，图 形的面积是否会变化，________（填写“会” 或者“不会”），图形的周长为. 答案：不会；42n a +.11. （2018北京燕山地区一模）如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个 答案：5 个12、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A，…，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数是 ，如果点nA 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ． 三、解答题13、（2018北京延庆区初一第一学期期末）阅读材料．我们知道，1+2+3+…+n =2)1(+n n ，那么12+22+32+…+n 2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n+n+n+…+n ，即n 2．这样，该三角形数阵中共有2)1(+n n 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n 2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n ﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n ﹣1，2，n ），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n 2）= ，因此，12+22+32+…+n 2= ．【解决问题】根据以上发现，计算：10...32110 (3212)222++++++++的结果为 ．第二次变化第一次变化(3)(2)(1)答案28．2n+1…………………………………1分2)1 2)(1(++nnn…………………………………2分6)1 2)(1(++nnn……………………3分14、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）（2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.答案：D。

2019年中考数学专题拓展讲练专题二规律探索题一、专题概述1．规律探索型问题是指由给出的几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论的问题，在中考中主要包括“数字规律探索”、“代数式规律探索”、“图形规律探索”及“坐标规律探索”四种类型.2．解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.二、考点分析考点一、数字规律1=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，【例1】观察下列算式的规律2204 根据上述的规律，你认为2的末位数字应该为A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】2n的个位数字是2，4，8，6四个为一个循环，所以204÷4=51，则2204的末位数字与24的相同是6，故选C．考点二、代数式规律【例2】已知下列等式：①22318；②225316；③227524；⋯⋯（1）请仔细观察，写出第④个式子；（2）根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；（3）利用（2）中发现的规律计算：8+16+24+⋯+792+800．【解析】（1）229732．（2）22(2n1)(2n1)8n，证明如下：左边22224n4n1(4n4n1)4n4n14n4n18n右边，所以该等式成立．（8分）（3）原式2222222231537520119922 201140400．考点三、图形规律【例3】下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，⋯⋯，依此规律，第五个图形中三角形的个数是A．22B．24C．26D．28【答案】C【解析】根据已知图形的规律可得：第n个图形三角形的个数为2+6（n-1）=6n-4，则第五个图形中三角形的个数为6×5-4=26（个），故选C．考点四、坐标规律【例4】将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对（2，1）对应；数5与（1，3）对应；数14与（3，4）对应；根据这一规律，数2017对应的有序数对为__________．【答案】（45，9）【解析】由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同．∵45×45=2025，2025在第45行，第1列，向右依次减小，∴2017所在的位置是第45行，第9列，其坐标为（45，9），故答案为：（45，9）．【例5】如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且每条边与x轴或y轴平行，从内到外，2，4，6，8，⋯，顶点依次用A它们的边长依次为1,A2,A3,A4，⋯表示，则顶点A55的坐标是_______________．【答案】（14，14）【解析】∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，得：根据题中图形中的规律可3=4×0+3，A3的坐标为（0+1，0+1），即A3（1，1），7=4×1+3，A7的坐标为（1+1，1+1），A7（2，2），11=4×2+3，A11的坐标为（2+1，2+1），A11（3，3）；⋯55=4×13+3，A55的坐标为（13+1，13+1），A55（14，14）；故填（14，14）．三、考点集训式:,,,,,,1．（2018·张家界市）观察下列算,⋯,则⋯的未位数字是A．8B．6C．4D．0方规律，2．（2018·宜昌市）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘为“杨辉三角”，请观察图中的数比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为字排列规律，则a，b，c的值分别A．a=1，b=6，c=15B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15D．a=20，b=15，c=63．（2018·武汉市）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是A．2019B．2018C．2016D．20134．（2018·贵州省（黔东南，黔南，黔西南））根据下列各式的规律，在横线处填空：，，，⋯，﹣__________=.2 5．（2018·临安）已知：2+=2×，3+=3 2222×，4+=4×，5+=5×，⋯，若10+=10×符合前面式子的规律，则a+b=__________．6．（2018·淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．7．（2018·桂林）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）......按此规__________律，自然数2018记为8．（2018·贵州省（黔东南，黔南，黔西南））“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，⋯⋯，按此规律，求图10、图n有多少个点？1中黑点个我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；⋯⋯所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．），再完成以下问请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．参考答案1．【答案】B【解析】∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，2018÷4=504⋯2，∴22018的个位数字与22的个位数字相同是4，2+23+24+25+⋯+21018的末位数字是2+4+8+6+⋯+2+4的尾数，故2+223451018的末位数字是：2+4=6．则2+2+2+2+2+⋯+2故选：B．题的关键．【点睛】本题考查的是尾数特征，根据题意找出数字循环的规律是解答此2．【答案】B【解析】根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5+10=15，c=10+10=20，故选：B．．对于找规律的题目首【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．【答案】D1、x+1，【解析】设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x，根据题意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013，解得：x=673或x=672（舍去）或x=672或x=671，∵673=84×8+1，∴中间数x在第1列，不合题意，故2019不合题意，舍去；∵672=84×8，∴中间数x在最后一列，不合题意，故2016不合题意，舍去；∵671=83×7+7，∴中间数x在第7列，符合题意，故三个数之和为2013，故选D．，【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．4．【答案】【解析】∵，，，⋯，∴（n为正整数）．∵2018=2×1009，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式的变化，找出变化规律“（n为正整数）”是解题的关键．5．【答案】109【解析】∵2+=2 22222×，3+=3×，4+=4×，5+=5×，⋯，10+=10×，2-1=99，∴b=10，a=10∴a+b=10+99=109，故答案为109.【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，观察出整数与分数的分子分母的关系是解题的关键．6．【答案】2018【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，故答案为2018．用规律解【点睛】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利决问题．7．【答案】（505，2）4列，但每行数字的排列顺序是【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出实际有．相反解题的关键，还要注意奇数行与偶数行的排列顺序正好8．【解析】图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=19个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=61个，⋯1）+1=3n第n个点阵中有：n×3（n﹣2﹣3n+1，故答案为：61，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，2﹣n﹣90=0，n（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图【点睛】本题是图形类的规律题，采用“分块计．形中圆圈的个数恰当地分块是关键对爸爸的印象，从记事的时候，就有了，他留给我的印象就是沉默少言的，但是脸上却始终有微笑，不管家里遇到了什么样的困难，只要有爸爸在，一切都能够雨过天晴的，小时候，家里很穷，可是作为孩子的我们（我和哥哥），却很幸福。

2019年全国中考数学真题分类汇编：规律探索一、选择题1. （2019年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【考点】坐标、平移、规律探索【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．2. （2019年山东省济宁市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2 的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5【考点】规律探索【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．3. （2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【考点】规律探索、图形的变化规律【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．4. （2019年四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【考点】规律探索、数字的变化规律【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∴a 2019＝a 3＝，故选：D ．5. （2019年云南省）按一定规律排列的单项式：3，－5，7，－9，11，…… 第n 个单项式是（ ）A.（－1）n －12n －1B.（－1）n2n －1C.（－1）n －12n ＋1D.（－1）n2n ＋1 【考点】规律探索、数字的变化规律【解答】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n ， （n 为大于等于1的整数）控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为12+n ，故选C6. （2019年广西贺州市）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】规律探索、数字的变化规律、有理数的混合运算 【解答】解：原式＝＝＝．故选：B ．7.（2019年河南省）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （﹣3，4），B （3，4）， 将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结 束时，点D 的坐标为（ ）A ．（10，3）B ．（﹣3，10）C ．（10，﹣3）D ．（3，﹣10）【考点】规律探索、旋转【解答】解：∵A （﹣3，4），B （3，4），∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．8. （2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．71【考点】规律探索、数字的变化【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．9. （2019年内蒙古赤峰市）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【考点】规律探索、中点四边形【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题1.（2019年山东省滨州市）观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）【考点】规律探索、同底数幂的乘法【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，∴a n＝＝；故答案为；2. （2019年山东省枣庄市）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，其结果为．【考点】规律探索、二次根式的化简【解答】解：+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2018，故答案为：2018．3.（2019年四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【考点】解直角三角形、规律探索【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在正半轴上，其横坐标为2n ﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为2n﹣2， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为2n ﹣2，与第四点方位相同的点在负半轴上，其横坐标为﹣2n ﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n ﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A 2019的方位与点A 23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017，故答案为：（﹣22017，22017）．4.（2019年江苏省扬州市）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= ． 【考点】相似三角形，比例性质、规律探索 【解答】∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC∴CB CD AB E D 111= BCBD AC F D 11= ∵AB=5 AC=4 ∴CB CD E D 1115= BCBD F D 114= ∴14511111==+=+BCBCBC BD CB CD F D E D ∴4D 1E+5D 1F=20 有2019组，即2019×20=403805. （2019年浙江省衢州市）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。