导数的简单应用(小题)

导数的简单应用1．导数与函数的单调性1．已知函数22ln 03()()f x x xx a a，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】20,1,5U 【解析】31()4f x x a x，若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，即31()40f x x a x 或31()40f x x a x在[1，2]上恒成立，即314x a x 或314x a x在[1，2]上恒成立．令1()4h x x x ，则h (x )在[1，2]上单调递增，所以3(2)h a 或3(1)h a，即3152a 或33a，又a >0，所以205a 或a ≥1，故答案为 20,1,5U ．2．若函数2ln )01(2()2a h x x a x x 在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．【答案】 1,00, U 【解析】函数2l 1()2n 2h x x ax x，则1()2h x ax x，因为h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，所以)0(h x 在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，212a x x有解，令212()g x x x，而当x ∈[1，4]时，令11[,1]4t x ，212()g x x x，即为2()2t t t ，此时min ()(1)1t (此时x ＝1)，所以1a ，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是 1,00, U ，故答案为 1,00, U ．3．已知函数2(n )3l 124f x x x x，则f (x )的极值点为x ＝________；若f (x )在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．【答案】1，3， 0,12,3U 【解析】由题意知3(1)(3)()4(0)x x f x x x x x，由()0f x ，得1x 或3x ，()0f x 时，13x ；()0f x 时，01x 或3x ，所以()f x 在(0,1)和(3,) 上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以函数f (x )的极值点为x ＝1，3．因为函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上不单调，所以111t t 或313t t，解得01t 或23t ，故答案为1，3； 0,12,3U ．4．（多选）若对任意的1x ， 2,x m ，且12x x ，都有122121ln ln 2x x x x x x ，则m 的值可能是（）（注e 2.71828 …为自然对数的底数）A．13B．1eC．3eD．1【答案】BCD【解析】由题意，210x x ，得210x x ，则122121ln ln 2x x x x x x 等价于122121ln ln 2x x x x x x ，即121212ln 2ln 2x x x x x x ，所以 1221ln 2ln 2x x x x ，则2121ln 2ln 2x x x x，令 ln 2x f x x，可得 21f x f x ，又21x x m ，所以 f x 在 ,m 上是减函数，所以 2ln 10x f x x，解得1e x ，则1em ．故m 可能值B、C、D 符合要求，故选BCD．5．已知函数 ln(1)()1xf x xa x aR ，求函数f (x )的单调区间．【答案】答案见解析．【解析】因为ln ()(1)()11f x x xa x x，所以 221111((1))a a x x f x x ax，当a ≤0时， 0f x ，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)．当a ＞0时，由()01f x x，得111x a ；由()01f x x ，得11x a ．所以函数f (x )的单调递增区间是1(1,1)a ；单调递减区间是1(1,)a．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是1(1,1a；单调递减区间是1(1,)a．6．已知函数2()(1)e xf x k x x ，其中k ∈R ．当2k 时，求函数()f x 的单调区间．【答案】答案见解析．【解析】由题设，()e 2(e 2)xxf x kx x x k ，当0k 时，e 20x k ，令()0f x ，得0x ；令()0f x ，得0x ，故()f x 的单调递增区间为(,0) ，单调递减区间为(0,) ．当02k 时，令()0f x ，得0x 或2ln 0x k，当02k ，即2ln0k时，当()0f x 时，2ln x k 或0x ；当()0f x 时，20ln x k，故()f x 的单调递增区间为(,0) 、2(ln ,)k ，减区间为2(0,ln )k．当2k ，即2ln 0k时，在R 上 0f x 恒成立，故()f x 的单调递增区间为(,) ．7．已知函数2()1e x f x ax x （a R 且0a ）．（1）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间．【答案】（1）210x y ；（2）答案见解析．【解析】（1）∵2()1e x f x ax x ，∴22()(21)e 1e (21)2e x x xf x ax ax x ax a x ，∴(0)2f ，又(0)1f ，∴12y x ，∴所求切线方程为210x y ．（2）由题意知，函数()f x 的定义域为R ，由（1）知2()(21)2e xf x ax a x ，∴()(1)(2)e xf x ax x ，易知e 0x，①当0a 时，令()0f x ，得2x 或1x a ；令()0f x ，得12x a．②当102a 时，12a ，令()0f x ，得12x a ；令()0f x ，得1x a或2x ．③当12a 时， 0f x ．④当12a 时，12a ，令()0f x ，得12x a ；令()0f x ，得1x a或2x ．综上，当12a时，函数()f x 的单调递增区间为12,a ，单调递减区间为1,a，(,2) ；当12a 时，函数()f x 在R 上单调递减；当102a时，函数()f x 的单调递增区间为1,2a，单调递减区间为(2,) ，1,a；当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为1,a ，(,2) ，单调递减区间为12,a．8．已知函数 2ln af x x a x x，0a ，讨论 f x 的单调性．【答案】答案见解析．【解析】由 f x 的定义域为 0, ，且 222221a a x ax af x x x x．令 22g x x ax a ，则244Δa a ．①当2440Δa a ，即01a 时，对任意的0x 有()0g x ，则()0f x ，此时，函数 y f x 在 0, 上单调递增；②当2440Δa a ，即1a 时，()0g x 有两个不等的实根，设为1x 、2x ，且12x x ，令220x ax a ，解得1x a ，2x a ．解不等式()0f x ，可得a x a解不等式()0f x ，可得0x a 或x a ．此时，函数 y f x 的单调递增区间为(0,a 、()a ，单调递减区间为(a a ．综上，当01a 时，函数 y f x 的单调递增区间为 0, ，无递减区间；当1a 时，函数 y f x 的单调递增区间为(0,a 、()a ，单调递减区间为(a a ．9．已知函数 ln 2af x x x a xR ．（1）若1x 是 f x 的极大值点，求a 的值；（2）讨论 f x 的单调性．【答案】（1）1 ；（2）见解析．【解析】（1）因为 ln 2af x x x x，定义域为 0, ，则212()ax x f x，由1x 是 f x 的极大值点，故0(1)f ，解得1a ，此时 2222211121(1)2f x x x x x x x x x，令0()f x ，则1x 或12（舍），故当 0,1x 时，0()f x ， f x 单调递增；当 1,x ，0()f x ， f x 单调递减，故1x 是 f x 的极大值点，满足题意．故1a ．（2）因为 ln 2af x x x x ，定义域为 0, ，则222122) (f x a x x a x x x，对22y x x a ，其18Δa ，当0Δ 时，即18a 时， 0f x ， f x 在 0, 单调递减；当0Δ 时，即18a时，令 0f x ，则114x ，214x ，且12x x ，当0a 时，120,0x x ，故当 20,x x ，0()f x ， f x 单调递增，当 2,x x ， 0f x ， f x 单调递减；当108a，120x x ，故当 10,x x ， 0f x ， f x 单调递减，当 12,x x x ， 0f x ， f x 单调递增；当 2,x x ， 0f x ， f x 单调递减．综上所述：当0a 时， f x 在1180,4 单调递增，在118,4单调递减；当108a 时， f x 在10,4 和1,4单调递减，在11,44单调递增；当18a时， f x 在 0, 单调递减．2．导数与函数的极值1．已知函数 sin cos xf x a x在区间 π,π 上的图象如图所示，则a （）A．2B．2C．2D．2【答案】B【解析】法一：当 0,πx 时，222cos cos sin cos 1cos cos x a x xa x f x a x a x，设01cos x a，其中 00,πx ，则 00f x ，另外0sin 0x，所以0sin x ，故000sin 2cos x f x a x a a，解得52a ，又因为0π102f a a，所以2a ，故选B．法二：由0π102f a a， sin sin cos cos xm x m x ma x ma a x，从而sin x由于 sin 1x1，解得m，又从图象可以看出 sin 2cos xf x a x，即2m2，解得2a ，由于0a ，故52a，故选B．2．已知函数32()3f x x x ax 在1x 处取得极值，若()f x 的单调递减区间为(,)m n ，n m （）A．5B．4C．5 D．4【答案】B【解析】∵32()3f x x x ax ，∴2()36f x x x a ，由题设可得(1)360f a ，解得9a ，即 ()331f x x x ，令 ()3310f x x x ，解得31x ，则函数()f x 的单减区间 ,m n 就是 3,1 ，则4n m ，故选B．3．已知函数 32,02a f x x x bx a b 的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（）A．49B．94C．1681D．8116【答案】D【解析】对 322a f x x x bx求导得 23f x x ax b ，因为函数 f x 的一个极值点为1，所以 130f a b ，所以3a b ，又,0a b ，于是得2239224a b ab，当且仅当32a b 时等号成立，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为8116，故选D．4．若函数22e x x a f x x 在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A． 2,2B．C． D．22 ,【答案】D【解析】由22e x x a f x x 可得222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f x a ，e 0x 恒成立， 222y x a x a 为开口向上的抛物线，若函数22e x x a f x x 在R 上无极值，则 2220y x a x a 恒成立，所以 22420Δa a ，解得22a ，所以实数a 的取值范围为 2,2 ，故选D．5．若函数3211()(3)(6)32f x x m x m x(m 为常数)在区间[1,) 上有两个极值点，则实数m 取值范围是_________．【答案】3, 【解析】由题意得 236f x x m x m ．∵函数 f x 在 1, 内有两个极值点，∴ 236f x x m x m 在 1, 内与x轴有两个不同的交点，如图所示：∴ 2(3)46011360312Δm m f m m m，解得3m ，故答案为 3, ．6．（多选）已知函数 321f x x ax bx （0a ，b R ）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（）A．2239a b aB．2239a b aC．2219a b aD．2219a b a【答案】B【解析】 321f x x ax bx Q ， 232f x x ax b ，设12,x x 是方程2320x ax b 的两个实数根，根据题意可知12x x ，不妨设12x x ，则12122·33bx x a x x，，且 120f x f x ，即3232111222110x ax bx x ax bx ，化简得22221212121212·2x x x x x x a x x b x x ，将12122·33b x x a x x ，代入化简计算得3348229273a a ab ，2239a b a，选项B 正确，选项ACD 错误，故选B．7．若2x 是函数 2224ln f x x a x a x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A． ,2 B． 2, C． 2, D．2,2 【答案】A【解析】 22224224222x a x a x x a a f x x a x x x， 0x 若0a 时，当2x 时， 0f x ；当02x 时， 0f x ，则 f x 在 0,2上单调递减；在 2, 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极小值，与条件不符合，故不满足题意．当2a 时，由 0f x 可得02x 或x a ；由 0f x 可得2x a ，所以在 0,2上单调递增；在 2,a 上单调递减，在 ,a 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极大值，满足条件．当20a 时，由 0f x 可得0x a 或2x ；由 0f x 可得2a x ，所以在 0,a 上单调递增；在 ,2a 上单调递减，在 2, 上单调递增．所以当2x 时， f x 取得极小值，不满足条件．当2a 时， 0f x 在 0, 上恒成立，即 f x 在 0, 上单调递增．此时 f x 无极值．综上所述：2a 满足条件，故选A．8．已知函数 2e 2ln xf x k x kx x，若2x 是函数 f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A． 0,2B．2, C．e ,2D．2e ,4【答案】D【解析】由题意， 2e 2ln 0xf x k x kx x x ， 22e x x f x k x x，记 2e xg x k x ，则 3e 2x x g x x ，则 0,2x 时， 0g x ， g x 单调递减； 2,x 时， 0g x ， g x 单调递增，所以 2mine 24g x g k ．若2e 4k ，则 0,2x 时， 0f x ， f x 单调递减；2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，于是2x 是函数 f x 的唯一极值点．若2e 4k ，则 2e 204g k ，易知 21g x k x，于是0x k 时， 0g x ；设 e 2xx x x ， 2e 1e 10xx ，即 x 在 2, 上单调递增，所以 2e 20e xx x ，则6x 时，33e e 327xxx x ，此时 27x g x k ，于是6x 且27x k 时， 0g x ．再结合函数 g x 的单调性可知，函数 g x 在 0,2,2, 两个区间内分别存在唯一一个零点12,x x ，且当 10,x x 时， 0f x ， f x 单调递减， 1,2x x 时， 0f x ，f x 单调递增， 22,x x 时， 0f x ， f x 单调递减， 2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，于是函数 f x 存在3个极值点，综上所述2e 4k ，故选D．9．已知函数3()3ln f x x x x ．（1）求曲线 y f x 在点1,1f 处的切线方程；（2）若函数2()()3ln g x f x ax x 在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）730x y ；（2）55,43．【解析】（1）解：因为函数3()3ln f x x x x ，所以 2133f x x x，则21(1)31371f，3(1)131ln14f ，所以曲线 y f x 在点1,1f 处的切线方程为 471y x ，即730x y ．（2）解：因为3232()3ln 3ln 33g x x x x ax x x ax x ，所以2()363g x x ax ，函数2()()3ln g x f x ax x 在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于2()363g x x ax 在区间（2，3）中至少有一个变号零点，因为函数2()363g x x ax 的对称轴为x a ，当2a 或3a 时，函数2()363g x x ax 在区间（2，3）上单调，所以(2)(3)0g g ，即 151230180a a ，解得5543a ，满足题意；当23a 时，函数2()363g x x ax 在区间 2,a 是单调递减，在区间 3a ，是单调递增，则需 2>00g g a或 3>0g g a ，即21512>0330a a 或23018>0330a a，解得514a 或1a ，与23a 相矛盾，所以实数a 的取值范围55,43．10．已知函数 221ln f x x a x a x ，其中a R ．（1）求函数 y f x 的极值；（2）若函数 f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2） 1, ．【解析】（1）∵ 221ln f x x a x a x ，函数 f x 的定义域是 0, ，∴ 222221212210x a x a x x a a f x x a x x x x，当0a 时， 0f x ，函数 f x 单调递增，此时无极值；当0a 时，0x a ， 0f x ，函数 f x 单调递减；x a ， 0f x ，函数 f x 单调递增，故 ln 1f a a a a 是极小值，无极大值；综上：当0a 时无极值；当0a 时， ln 1f a a a a 是极小值，无极大值．（2）当0a 时， f x 单调递增， f x 最多有一零点，不满足条件；当01a 时， f x 的极小值是 ln 1a a a ，设 ln 1g x x x ， 10xg x x， g x 在0x 单调递增，∵ 1ln1110g ，01a ，∴ 0g a ，则 f x 的极小值大于等于零， f x 最多有一零点，不满足条件；当1a 时， f x 的极小值 f a ag a ，∵ 10g a g ， 0f a ，2111210e e e e f a，所以在1,e a必有一零点；2333ln 33ln 3330f a a a a a a a a a a ， f x 在 ,3a a 也有一零点，满足条件，故a 的取值范围是 1, ．3．导数与函数的最值1．已知函数()ln f x x ，()2g x x ，()()f m g n ，则mn 的最小值是（）A．12eB．12eC．2eD．2e【答案】A【解析】由函数()ln f x x ，()2g x x ，()()f m g n ，得ln 2m n ，则1ln 2mn m m，令11()ln ,0,()(1ln )22h m mn m m m h m m ，当1e m 时，()0h m ；当10em 时，()0h m，所以函数 h m 在10,e上递减，在1,e递增，所以min 11()e 2e h m h，即mn 的最小值是12e，故选A．2．已知函数 1ln ,111,12x x f x x x，若m n ，且 2f m f n ，则m n 的最小值等于（）A．42ln 3 B．43ln 2C．23ln 2D．32ln 2【答案】D【解析】由解析式知： f x 在各区间上均为增函数且连续，故在R 上单调递增，且 11f ，所以 2f m f n 时，可设1m n ，则 111ln 22f m f n m n ，得 12ln 1m n n ，于是12ln m n n n ，令 12ln 1g x x x x ，则 21g x x，所以在(1,2)上， 0g x ；在(2,) 上， 0g x ，故()g x 在(1,2)上递减，在(2,) 上递增，所以 g x 的极小值也是最小值，且为 232ln 2g ，故m n 的最小值是32ln 2 ．故选D．3．函数 e ,e 1,x xx af x x x a，若存在1 x R ，对任意x R ， 1f x f x ，则实数a 的取值范围是（）A． ,0 B．,0 C．0,1D．0,1【答案】A【解析】由题意可知，函数 f x 在R 上存在最大值，令 e e x xg x，其中x R ，则e 1e xx g x ．当1x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递增，当1x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递减，所以， max 11g x g ．①若0a ，当x a 时， 111f x x a ，此时 f x 存在最大值；②若0a ，则当x a 时，存在0x a 使得 0011f x x ，此时函数 f x 无最大值．综上所述，0a ，故选A．4．（多选）若函数 3220f x x ax a 在6,23a a上有最大值，则a 的取值可能为（）A．6 B．5C．3 D．2【答案】AB【解析】 322f x x ax ，则 26263a f x x ax x x，当,3a x和 0, 时， 0f x ，函数单调递增；当,03a x时， 0f x ，函数单调递减． f x 在3ax 处取极大值为3327a a f．函数 3220f x x axa 在6,23a a上有最大值，故6233a a a ，且633a a f f，即3236732632a a a a ，解得4a ．故选AB．5．若函数2221e x f x x x a 存在最小值，则实数a 的取值范围是_________．【答案】,0 【解析】因为函数2221e x f x x x a ，所以2243e x f x x x a ，当1a 时， 16430Δa ，2430x x a ，又2e 0x ，所以2243e 0x f x x x a ，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时无最小值；当1a 时， 16430Δa ，则2430x x a 有两个不等实根，设2430x x a 两个不等实根 1212,x x x x ，则1222x x ，所以函数()f x 在区间 1,x 和 2,x 上单调递增，在区间 12,x x 上单调递减，所以2x x 是函数()f x 的极小值点，又x 时，2e 0x ，所以 221e0x f x x a，所以要使得函数()f x 存在最小值，则函数()f x 的最小值只能为2()f x ，且2()0f x ，即22222222221e1e 0x x x x a x a，所以2201a ，即20 ，解得0a ，所以 ,0a ，故答案为 ,0 ．6．已知0m ，函数 ln 12x x mxf x x e，若函数 y f f x 与 y f x 有相同的最大值，则m 的取值范围为__________．【答案】 ,2e 【解析】因为 ln 12x x mxf x x e ，所以 21ln xm x x f x x e，因为0m ，所以当01x 时， 0f x ；当1x 时， 0f x ，所以当1x 时， f x 取得最大值1me，因为 y f f x 与 y f x 有相同的最大值，所以11me，解得2m e ，所以m 的取值范围为 ,2e ，故答案为 ,2e ．7．已知函数()e 2xf x x ．（1）求曲线 y f x 在点0,0f 处的切线方程；（2）若 1,1x ，求函数 f x 的最值．【答案】（1）1y x ；（2）函数 f x 的最小值为22ln 2 ，最大值为12e．【解析】（1）函数()e 2xf x x ，求导得()e 2xf x ，则(0)1f ，而(0)1f ，所以曲线 y f x 在点0,0f 处的切线方程为1y x ．（2）由（1）知，由()e 20xf x ，解得ln 2x ，而 1,1x ，当1ln 2x 时，()0f x ；当ln 21x 时，()0f x ，因此，()f x 在[1,ln 2] 上单调递减，在[ln 2,1]上单调递增，则当ln 2x 时，ln 2min ()e 2ln 222ln 2f x ，而1(1)2e f，(1)e 2f ，显然12e 2e ，即有max 1()(1)2ef x f ，所以函数 f x 的最小值为22ln 2 ，最大值为12e．8．已知函数 2ln f x a x x，a R ．（1）若曲线 y f x 在点1,1P f 处的切线垂直于直线2y x ，求a 的值；（2）当0a 时，求函数 f x 在区间 0,e 上的最小值．【答案】（1）1a ；（2）当20e a时，最小值为2e a ；当2e a 时，最小值为2ln a a a ．【解析】（1）解：因为 2ln f x a x x ，所以22()af x x x，∵曲线()y f x 在点1,1P f 处的切线垂直于直线2y x ，又直线2y x 的斜率为1，∴22(1)111af ，∴1a ．（2）解：∵2222(),(0,)a ax f x x x x x，0,0a x Q ， ①当0a 时，在区间 0,e 上22()0f x x，此时函数()f x 在区间 0,e 上单调递减，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为2(e)ef ．②当20e a ，即2e a 时，在区间2(0,)a 上()0f x ，此时函数()f x 在区间2(0,)a上单调递减，在区间2(,e]a 上()0f x ，此时函数()f x 在区间2(,e]a上单调递增，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为22()ln f a a a a．③当2e a ，即20ea 时，在区间 0,e 上，()0f x ，此时函数()f x 在区间 0,e 上单调递减，则函数()f x 在区间 0,e 上的最小值 e e2f a ．综上所述，当20e a 时，函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为2ea ；当2e a 时，函数()f x 在区间 0,e 上的最小值为22(ln f a a a a．9．设函数 2e 4xf x mx x m ，m R ．关于m 的函数 h m 表示 f x 在0, 的最小值．（1）求 0h 的值；（2）求 h m 的最大值．【答案】（1） 01h ；（2）2e 2 ．【解析】（1）当0m 时， e xf x x ， e 10xf x ．所以 f x 在 0, 单调递增， min 01f x f ，所以 01h ．（2）注意到无论m 取何值， 22e 2f ，从而 2e 2h m ．下面验证，当2e 14m 时，上述不等式的等号能成立．当2e 14m 时， 22e 1e 44x f x x x ， 2e 1e 12xf x x ．设 F x f x ，则 22e 1e xF x ．当2e 10ln 2x 时， 0F x ，此时函数 F x 单调递减，当2e 1ln 2x 时， 0F x ，此时函数 F x 单调递增，故 F x 在区间210n e ,l 2单调递减，在区间21l e n ,2单调递增．而 020F ， 2e 11e 102F ， 20F ，故 F x 有两个零点，分别为 01x 和2x ．当0x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增，当2x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递减，当2x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增，因此 f x 在区间 0, 上单调递增，在 ,2 上单调递减，在 2, 上单调递增．所以 21m e in 0,24h f f．而 202e 2f f ，所以22e 1e 24h．综上所述，当2e 14m 时， h m 取得最大值2e 2 ．。

河南省伊川高中II 部2010-2011学年高二下学期第一次月考理 数 试 题 命题人：张晓锋一、选择题（共有12个小题，每小题5分，共60分）1、若()()()kx f k x f x f k 2lim,20000--='→则的值为 （ ）A ．-2 B. 2 C.-1 D. 12、曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4) 3、下列求导运算正确的是 （ ） A ．(x +211)1xx +=' B ．(log 2x )′=2ln 1xC ．(3x )′=3x log 3eD ．(x 2cos x )′=－2x sin x4、()()=+-=x f x xx f 则设函数,122（ ）A ．在（－∞，＋∞）单调递增B ．在（－∞，＋∞）单调递减C ．在（－1，1）单调递减，其余区间单调递增D ．在（－1，1）单调递增，其余区间单调递减5、已知函数f (x )的导数为x x x f 44)(3-='，当函数f (x )取得极大值时，x 的值应为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±16、函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） A. 5 , -15 B. 5 , 4 C. -4 , -15 D. 5 , -167、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．8、两曲线3212xy y b ax x y +-=++=与相切于点（1，－1）处，则a ，b 值分别为 （ ） A ．0，2 B ．－1，－1 C ．－1，1 D ． 1，－39、f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x )=af (x )+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是 （ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a ≠0,b =2,则方程g （x ）=0有两个实根.C ．若a =－1，－2<b <0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.D ．若a ≥1,b <2,则方程g （x ）=0有三个实根10、设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为 （ ）Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．511、11dx xxm e dx =⎰⎰e1与n=的大小关系是 （ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定12、设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，则20()f x dx ⎰等于 （ ）A ．34 B ．45 C ．56D ．不存在 二、填空题（共有4个小题，每小题5分，共20分）13、质点运动的速度2(183)/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是___________________.14、若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________________.15、已知函数2()321f x x x =++，若11()2()f x dx f a -=⎰成立，则a ＝______.16、已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c应满足的条件是 _________ .河南省伊川高中II部2010-2011学年高二下学期第一次月考理数试题命题人：张晓锋一、选择题（共有12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（共有4个小题，每小题5分，共20分）13、___________________ 14、___________________15、___________________ 16、___________________三、解答题（共有6个小题，共70分，解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间．18、已知函数f(x)=4x3+ax2+bx＋5在x=－1与x=32处有极值。

压轴题10导数的简单应用题型/考向一：导数的计算及几何意义题型/考向二：利用导数研究函数的单调性题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值○热○点○题○型一导数的计算及几何意义1.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.一、单选题1．函数()()ln 322f x x x =--的图象在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．10x y ++=B ．230x y ++=C ．230x y --=D ．30x y --=2．若函数()e ln xf x x a =++的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y kx =-，则=a （）A ．1B ．0C ．－1D ．e3．已知直线l 为曲线22ln y x x =-在1x =处的切线，则点()3,2-到直线l 的距离为（）AB ．10C ．5D 4．若直线y x a =+与函数()x f x e =和()ln g x x b =+的图象都相切，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．35．曲线221e 24x y x -=⋅+在1x =处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．32B ．3C ．4916D ．4986．已知函数()()21220232023ln 22f x x xf x '=-++-，则()2023f '=（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．20197．若对m ∀∈R ，,a b ∃∈R ，使得()()()f a f b f m a b-=-成立，则称函数()f x 满足性质Ω，下列函数不满足．．．性质Ω的是（）A ．()23f x x x=+B ．()()211f x x =+C ．()1ex f x -+=D ．()()cos 12f x x =-8．已知函数()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，()f x '为()f x 的导函数，若()()()121f f x f x x'=+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为（）A ．4215-B 1C 1D 1二、多选题9．已知函数()332f x x ax =+-的极值点分别为()1212,x x x x <，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线10．若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（）A ．-1B ．3C ．1D ．211．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ，()f x 在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（）A ．1m >-B ．m 1≥C ．1m >D ．0m >○热○点○题○型二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.一、单选题1．函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为（）A ．(),0∞-B ．()ln2,+∞C ．(],ln2∞-D ．[)0,∞+2．已知函数()2,0,ln ,,x a xf x x x a x⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩若()f x 在()0,∞+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎡⎤⎣⎦B ．[]e,2eC ．2,e e ⎡⎤⎣⎦D ．[)e,+∞3．设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a<<4．若函数()y f x =满足()()xf x f x '>-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e sin xf x x =+，则不等式()π21e f x -<的解集是（）A ．1π,2+⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1π0,2+⎛⎫⎪⎝⎭C ．π1e 0,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1π1π,22-+⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞7．已知函数()x f x e =，若存在0[1,2]x ∈-使得00()()f t x f x t =+-恒成立，则0()b f x t =-的取值范围（）A ．10,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．211,e 2e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．11,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．21,e 2⎡⎤-⎣⎦8．已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值范围是（）A ．21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．22,e ⎤-⎦C ．)2⎡++∞⎣D ．()2e,⎡+∞⎣二、多选题9．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（）A ．函数()f x 的极小值点为21e -B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-10．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题11．已知函数()321132f x x ax =-，a ∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性．12．已知函数()222ln 12x x f x x-+=．求函数()f x 的单调区间；○热○点○题○型三利用导数研究函数的极值、最值1.由导函数的图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点.(2)由y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得到函数y ＝f (x )的单调性，可得极值点.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.一、单选题1．函数()32142f x x x x =+-的极小值为（）A ．43-B ．1C ．52-D ．104272．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点3．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥5．若函数()3222f x x ax a x =++在1x =处有极大值，则实数a 的值为（）A ．1B ．1-或3-C ．1-D ．3-6．已知函数()()2ln 11f x x x =+++，则（）A ．0x =是()f x 的极小值点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．()f x 的最小值为1ln 2+D ．()f x 的最大值为37．若函数()3e 3ln x f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（）A ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．(]3e ,09⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪8．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()1()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122g x a ax x=+--，若01a <<，则()()f x g x -的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值二、多选题9．已知函数()2211e e x x f x -+=+，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间()0,2上单调递减C ．()f x 的极小值为22e D ．()f x 的最大值为411e +10．设函数()ln xf x ax x=-，若函数()f x 有两个极值点，则实数a 的值可以是（）A ．12B ．18C ．2D ．14-三、解答题11．已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+（a ，b ∈R ），其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值；(3)求函数()f x 在区间[]2,5-上的最大值．12．已知函数()ln xf x x a=+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数.(1)当1a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2，求a 的值.。

《导数及其简单应用》测试题一．选择题（共50分）1.一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2, 则速度为零的时刻是 （ D ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 2.已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( B ) A.31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 3.若函数3()33f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则（ A ）A.01b <<B.1b <C. 0b >D. 12b <4.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，5. f (x )与g(x )是定义在R 上的两个函数，若()()f x g x ''=,则f (x )与g (x )一定满足（ B ） A.f (x )=g (x ) B .f (x )－g (x )=C （C 为常数） C. f (x )+g (x )=C （C 为常数）D. f (x )=g (x )=06. 函数32(),f x ax bx =+（a 、b 为常数）在1x =处有极大值3，那么此函数在[]-1,1上的最大值为（ C ）A. 3B.0C. 15D. 1 7.以下是对连续函数f(x)在区间(),a b 上的定积分⎰badx x f )(的值的符号的叙述，其中正确的个数是( B )①一定是正的 ②若()0f x >则定积分值必为正 ③若()0f x <则定积分值必为负 ④若定积分值为0，则必有()0f x = A.1 B.2 C. 3 D. 48. 若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ C ) A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-9. 以下定积分计算正确的个数是（ D ）①120ln 212x dx x =+⎰ ②22012x dx -=⎰③22π-=⎰④3(cos )aax x dx -⋅=⎰0 (0)a >其中A.1B.2C. 3D. 4 10.函数(3)1y x x x =-+ ( B )A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1D ．极大值为f (2)＝5，无极小值[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3) x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：极大极小二．填空题（共25分）11. 函数f(x)=ax 3＋x ＋1在实数集R 上有极值的充要条件是__________ a<012.已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =______ x-113.如图，曲线y ＝x 2(x ≥0)在点A （1,1）处的切线与x 轴交于C 点，图中阴影部分的面积是 .11214.周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值是__________3cm .400027π15. 已知函数3()3,f x x x =-若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则实数m 的取值范围是 . 32m -<<-三．解答题（共75分）16. 点M (1,1)位于椭圆22142x y +=内，过点 M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为线段AB 的中点，求直线AB 的方程。

导数在物理中的应用举例引言在物理学中，导数是一种非常重要的概念，它描述了物理量随着时间或空间的变化率。

导数的应用广泛，可以帮助我们理解和解决许多物理问题。

本文将以几个具体的例子来说明导数在物理中的应用。

1. 速度和加速度一个最经典的例子是描述物体的速度和加速度。

在物理学中，速度是位置随时间的导数，即速度是位置的变化率。

类似地，加速度是速度随时间的导数，即加速度是速度的变化率。

这两个概念在描述动态物体的运动时非常重要。

考虑一个简单的例子：一个投掷物体在重力作用下自由下落。

我们可以通过计算高度和时间之间的关系来确定物体的速度和加速度。

通过求解位移公式和时间的导数，我们可以得到物体的速度和加速度。

这些数值可以帮助我们分析物体的运动轨迹，并预测其未来的位置和速度。

2. 力和功另一个应用导数的例子是描述力和功。

在物理学中，力是物体受到的作用，而功是力在物体上所做的功。

通过力和功的关系，我们可以计算物体所受的力以及力所做的功。

考虑一个简单的情况：一个物体以恒定的力推动另一个物体。

我们可以通过计算作用力和位移之间的关系来确定所做的功。

通过计算力对时间的导数，我们可以得到力对时间的变化率，也就是力的大小。

同时，通过计算位移对时间的导数，我们可以得到物体的速度。

这些数值可以帮助我们理解力的作用方式，并计算力所做的功。

3. 电路中的电流和电压导数在电路中的应用也非常重要。

在电路中，电流和电压是两个关键的物理量。

电流是电荷随时间的导数，而电压是电势随时间的导数。

电流和电压的知识可以帮助我们理解电路的行为，并计算电路中的能量转换和传输。

考虑一个简单的电路：一个直流电流通过一个电阻。

我们可以通过计算电势差和电阻之间的关系来确定电路中的电流。

通过计算电荷对时间的导数，我们可以得到电流的大小。

同时，通过计算电势差对时间的导数，我们可以得到电压的大小。

这些数值可以帮助我们分析电路的特性，并进行电能计算。

4. 光学中的折射定律导数也在光学中发挥着重要的作用。

导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。

而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。

1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。

用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。

不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。

平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。

而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。

例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。

类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。

例谈导数的几个简单的应用王耀辉高中阶段学习导数以后，常常把导数作为研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题等来运用．实际上，它还有其他方面更多的应用．本文就根据高中学过的一些内容，列举了导数的几个简单的应用，供读者学习时参考．1．利用导数的定义求极限 在一些教辅资料、高考题中，出现了一类特殊极限求值问题，最常见的是00型，感觉不好求．若能灵活运用导数的定义，问题便会迎刃而解．例1．求值：（1）0sin lim x x x →，（2）0ln(1)lim x x x→+． 解：（1）根据导数的定义，该式实际上为求函数()sin f x x =在点0x =处的导数． 所以00sin sin sin 0lim =lim x x x x x x→→-00(sin )|cos |cos 01x x x x =='====． （2）根据导数的定义，该式实际上为求函数()ln(1)f x x =+在点0x =处的导数． 所以000ln(1)1lim=[ln(1)]||11x x x x x x x ==→+'+==+． 例2．（2010年全国卷文科21题）设函数2()(1)x f x x e ax =--．若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．解：由已知得()(1)x f x x e ax =--≥0（x ≥0），即1x e ax --≥0（x ≥0）， 当0x =时，a R ∈；当0x >时，分离参数得1x e a x -≤（0x >），令1()x e g x x-=（0x >），求导得21()x x xe e g x x-+'=（0x >），再令()1x x h x xe e =-+（0x >），则()0x h x xe '=>（0x >），∴()1x x h x xe e =-+在(0,)+∞上递增，∴()(0)0h x h >=，∴()0g x '>，∴1()x e g x x-=在(0,)+∞上递增．∴0()lim ()x g x g x →>，所以0lim ()x a g x →≤．因为00001lim ()=lim =lim 0x x x x x e e e g x xx →→→---00()||1x x x x e e =='===，所以1a ≤． 综上所述，实数a 的取值范围为1a ≤．2．利用函数极值点导数为零的性质，在三角函数中求值例3．已知()sin 2cos 2()f x a x x a R =+∈图像的一条对称轴方程为2x π=，则a 的值为（ ）A ．12B C ．3 D ．2 解析：由于三角函数的对称轴与其曲线的交点为极值点，所以由()2cos 22sin 2f x a x x '=-，得()2cos 2sin =0266f a πππ'=-，故3a =． 例4．已知函数()cos f x x x =的图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π解析：设函数()f x 图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后的函数解析式为：()cos())g x x x ϕϕ=++，由于()g x 为偶函数，所以(0)0g '=．又()sin())g x x x ϕϕ'=-+-+，所以sin 0ϕϕ-=，tan ϕ=ϕ的最小值为23π．例5．已知2cos sin x x -=，求tan x 的值．解析：设()2cos sin f x x x =-，则曲线()2cos sin f x x x =-过点(,t ．由于2cos sin )x x x x -=+cos cos sin )x x ϕϕ=+)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==所以函数()2cos sin f x x x =-在点(,t 处取极小值，导数为零．即()2sin cos 0f t t t '=--=，所以1tan 2t =-，从而1tan 2x =-．3．导数在数列求和中的应用例6．已知数列{}n a 的通项为12n n a n -=⋅，求数列{}n a 前n 项的和n S ．解析：令2x =，则11ni i i x -=⋅∑1()n i i x ='=∑12(1)1(1)=1(1)nn n x x n x n x x x +'⎡⎤--++⋅=⎢⎥--⎣⎦所以n S 121(1)22=(12)n n n n +-+⋅+⋅-1=1(1)22n nn n +-+⋅+⋅4．导数在二项式中的应用例7．证明：1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．证明：令012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=+++++…，对等式两边求导，得：1121321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++…， 令1x =，代入上式即得1123223n n n n n n n C C C nC -⋅=+++⋯+，即1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋯+=⋅．5．导数在三角恒等变换公式中的应用在三角恒等变换公式中，公式多，不易记，应用导数可以将这些恒等式进行沟通．（1）两角和、差的三角函数公式cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（），①视α为变量，β为常量，对等式①两边求导，得sin()sin cos cos sin αβαβαβ--=-+即sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，②反过来，视α为变量，β为常量，对等式②两边求导，得cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（）故利用上述求导方法有：cos cos cos sin sin αβαβαβ±=（）αα对求导对求导sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±（2）二倍角公式 22cos 2cos sin ααα=-αα对求导对求导sin 22sin cos ααα=（3）积化和差公式 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- αα对求导对求导1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-， 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=+-- αα对求导对求导1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=-+--． 当然，导数的应用不只这些，本文只是抛砖引玉，有兴趣的读者还可以继续探索．。

第二讲 导数的简单应用1.[2021贵阳市四校第二次联考]图3-2-1已知y=x ·f'(x)的图象如图3-2-1所示,则f(x)的图象可能是 ( )A BCD2.[原创题]函数f(x)=(12x-1)e x +12x 的极值点的个数为 ( )3.[2021安徽省示范高中联考]若函数f(x)=(x-1)e x -ax(e 为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A.(-1e ,0) B.(-∞,0) C.(-1e ,+∞)D.(0,+∞)4.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)=e |x|-1),b=f(2),c=f(log 20.2),则 ( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a5.[2021湖南六校联考]设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若f(x)+f'(x)<0,f(0)=1,则不等式f(x)>e -x 的解集是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1)6.[2021四省八校联考]函数f(x)=x 3-bx 2+c,若f(1-x)+f(1+x)=2,则下列正确的是 ( )A.f(ln 2)+f(ln 4)<2B.f(-2)+f(5)<2C.f(ln 2)+f(ln 3)<2D.f(-1)+f(2)>27.[2020皖中名校联考]已知函数f(x)=(x 2-mx-m)e x +2m(m>-2,e 是自然对数的底数)有极小值0,则其极大值是( )-2或(4+ln 2)e -2+2ln 2-2或(4+ln 2)e 2+2ln 2-2或(4+ln 2)e -2-2ln 2-2或(4+ln 2)e 2-2ln 28.[2021河南省名校第一次联考]若函数f(x)={alnx -x 2-2(x >0),x +1x +a(x <0)的最大值为f(-1),则实数a 的取值范围为 . 9.[2021广州市高三阶段模拟]已知函数f(x)=1+lnx x -1-k x .(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)>0对任意的x ∈(1,+∞)恒成立,求整数k 的最大值.10.[2021大同市调研测试]设函数f(x)=ln x-12ax 2-bx.(1)当a=b=12时,求函数f(x)的最大值;(2)当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求正数m的值.11.[2021江苏省部分学校调考]定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f '(x),若对任意x∈R,都有2f(x)+xf '(x)<2,则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围是( )A.{x|x≠±1}B.(-1,0)∪(0,1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)图3-2-212.[2021济南名校联考]如图3-2-2,在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设∠EPA=α(0<α<π2),为了节省建设成本,要使得PE+PF的值最小,此时AE=( )A.4 kmB.6 kmC.8 kmD.10 km13.[多选题]已知f(x)=e x-2x2有且仅有两个极值点,分别为x1,x2(x1<x2),则下列不等式中正确的有(参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6) ( )1+x2<1141+x2>114C.f(x 1)+f(x 2)<0D.f(x 1)+f(x 2)>014.[多选题]已知函数y=f(x)在R 上可导且f(0)=1,其导函数 f'(x)满足f'(x)-f(x)x -1>0,对于函数g(x)=f(x)e x,下列结论正确的是( )A.函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数B.x=1是函数g(x)的极小值点C.函数g(x)至多有两个零点D.x ≤0时,不等式f(x)≤e x 恒成立15.[2021洛阳市统考]已知函数f(x)=ln 1x-ax 2+x(a>0).(1)讨论f(x)的单调性﹔(2)若f(x)有两个极值点x 1,x 2,证明:f(x 1)+f(x 2)>3-2ln 2.16.[2019全国卷Ⅰ,12分]已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f '(x)为f(x)的导数,证明:(1)f '(x)在区间(-1,π2)上存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点.17.[新角度题]直线x=a(a>0)分别与直线y=2x+1,曲线y=x+ln x 相交于A,B 两点,则|AB|的最小值为( )C.√2D.√318.[2020惠州市二调][交汇题]设函数f(x)=√3sin πxm,若存在f(x)的极值点x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2,则m 的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)19.[角度创新]已知函数f(x)=ax-e x +2,其中a ≠0.(1)讨论f(x)的单调性.(2)是否存在a ∈R,对任意x 1∈[0,1],总存在x 2∈[0,1],使得f(x 1)+f(x 2)=4成立?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.答 案第二讲 导数的简单应用1.D 由题图可知,当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当0<x<b 时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>b 时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.又f'(b)=0,所以当x=b 时,f(x)取得极大值,综上,满足题意的f(x)的图象可能是D.2.A 由题意知f '(x)=12e x +(12x-1)e x +12=12[e x (x-1)+1].令g(x)=e x (x-1)+1,则g'(x)=e x (x-1)+e x =xe x ,令g'(x)=0,得x=0,则函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,由此可知f '(x)≥0,所以函数f(x)不存在极值点,故选A.3.A 由题意得f'(x)=xe x -a,因为函数f(x)=e x (x-1)-ax 有两个极值点,所以f'(x)=0有两个不等的实根,即a=xe x 有两个不等的实根,所以直线y=a 与y=xe x 的图象有两个不同的交点.令g(x)=xe x ,则g'(x)=e x (x+1).当x<-1时,g'(x)<0,当x>-1时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以当x=-1时,g(x)取得最小值,且最小值为-1e.易知当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0,则可得函数g(x)的大致图象,如图D 3-2-1所示,则-1e<a<0,故选A.图D 3-2-14.D 当x ≥0时,f(x)=e x +cos x,则f '(x)=e x -sin x ≥e 0-sin x ≥0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.又f(-x)=e |-x|+cos(-x)=e |x|-1)=f(103),b=f(2)<f(20)=f(1),c=f(log 20.2)=f(log 215)=f(-log 25)=f(log 25),又1=log 22<log 25<log 28=3<103,所以f(2)<f(log 25)< f(103),即b<c<a.故选D.5.C 令g(x)=e x f(x),则g'(x)=e x f(x)+e x f'(x),因为f(x)+f'(x)<0,所以g'(x)<0,所以g(x)在R 上单调递减.因为g(0)=e 0f(0)=f(0)=1,所以不等式f(x)>e -x 可转化为e x f(x)>1,即g(x)>1=g(0),又g(x)在R 上单调递减,所以x<0,故不等式f(x)>e -x 的解集为(-∞,0),故选C.6.A 解法一 f(1-x)+f(1+x)=2,分别令x=0,x=1(题眼),得{f(1)=1,f(0)+f(2)=2,即{1−b +c =1,c +8−4b +c =2,解得b=c=3,所以f(x)=x 3-3x 2+3,f '(x)=3x 2-6x=3x(x-2),令f '(x)=0,得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时f '(x)>0,当0<x<2时f '(x)<0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增(题眼).由f(1-x)+f(1+x)=2,得f(x)+f(2-x)=2.对于A,2=f(ln 2)+f(2-ln 2)=f(ln 2)+f(ln e 22)>f(ln 2)+f(ln 4),故A 正确;对于B,2=f(-2)+f(4)<f(-2)+f(5),故B 不正确;对于C,2=f(ln 2)+f(2-ln 2)=f(ln 2)+f(ln e 22)<f(ln 2)+f(ln 3),故C 不正确;对于D,2=f(-1)+f(3)>f(-1)+f(2),故D 不正确.故选A.解法二 由f(1-x)+f(1+x)=2知函数f(x)图象的对称中心为(1,1)(题眼),又三次函数g(x)=ax 3+dx 2+ex+f(a ≠0)图象的对称中心为(-d3a,g(-d3a)),所以b3=1,解得b=3,所以f(b3)=f(1)=1,即1-3+c=1,得 c=3,所以f(x)=x 3-3x 2+3.以下同解法一.7.A 由题意知, f '(x)=[x 2+(2-m)x-2m]e x =(x+2)(x-m)e x .由f '(x)=0得x=-2或x=m.因为m>-2,所以函数f(x)在区间(-∞,-2)和(m,+∞)内单调递增,在区间(-2,m)内单调递减. 于是函数f(x)的极小值为f(m)=0,即(m 2-m 2-m)e m +2m=0,(2-e m )m=0,解得m=0或m=ln 2.当m=0时,f(x)的极大值为f(-2)=4e -2;当m=ln 2时,f(x)的极大值为f(-2)=(4+ln 2)·e -2+2ln 2.故选A.8.[0,2e 3] x<0时,f(x)≤f(-1)=a-2,x>0时,aln x-x 2-2≤a-2,即x 2-aln x+a ≥0恒成立.令t(x)=x 2-aln x+a,则t'(x)=2x 2-a x,a<0时,t'(x)>0,x →0时,t(x)→-∞,不合题意.a=0时,t(x)=x 2≥0恒成立.a>0时,t(x)在(0,√a2)上单调递减,在(√a2,+∞)上单调递增,所以t(x)min =a2-a ·ln √a2+a ≥0,解得0<a ≤2e 3.综上,a ∈[0,2e 3]. 9.(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).当k=0时,f '(x)=-1x-lnx(x -1)2.令g(x)=-1x -ln x,则g'(x)=1−xx 2. 当x ∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x ∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.∴g(x)max =g(1)=-1<0,∴g(x)<0,∴f '(x)<0,∴f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,+∞),无单调递增区间.(2)由f(x)>0对任意的x ∈(1,+∞)恒成立,得1+lnx x -1-k x >0(x>1),即k<[x(1+lnx)x -1]min (x>1).令h(x)=x(1+lnx)x -1,x>1,则h'(x)=x -2-lnx (x -1)2,令φ(x)=x-2-ln x,x>1,则φ'(x)=x -1x>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,又φ(3)=1-ln 3<0,φ(4)=2-2ln 2>0,∴存在唯一x 0∈(3,4),使得φ(x 0)=0,即x 0-2-ln x 0=0,x 0-1=1+ln x 0,当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表所示:x (1,x 0) x 0 (x 0,+∞)h'(x) - 0 +h(x)单调递减 极小值 单调递增∴h(x)min =h(x 0)=x 0(1+lnx 0)x 0-1=x 0∈(3,4),∴整数k 的最大值为3.10.(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=b=12时,f(x)=ln x-14x 2-12x,则f'(x)=1x -12x-12=-(x+2)(x -1)2x,令f '(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去).当0<x<1时,f '(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时,f '(x)<0,此时f(x)单调递减.所以f(x)的极大值为f(1)=-34,此即函数f(x)的最大值.图D 3-2-2(2)由题意可知,2mf(x)=x 2⇔2m(lnx+x)=x 2⇔12m =lnx+x x 2.设g(x)=lnx+x x 2,则g'(x)=1−2lnx -xx 3,令h(x)=1-2ln x-x,则h'(x)=-2x-1.因为x>0,所以h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减.因为h(1)=0,所以当x ∈(0,1)时,h(x)>0,当x ∈(1,+∞)时,h(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)max =g(1)=1.又g(e -1)=-1+e -1e -2<0,且当x →+∞时,g(x)→0,所以可画出g(x)的大致图象,如图D 3-2-2所示,方程2mf(x)=x 2有唯一实数解就等价于直线y=12m与g(x)=lnx+x x 2的图象只有一个交点,由图象可知12m =1,即m=12.11.D 令g(x)=x 2f(x)-x 2,则g'(x)=2xf(x)+x 22f(x)-f(1)<x 2-1可化为x 2f(x)-x 2<f(1)-1,即g(x)<g(1),所以|x|>1,解得x>1或x<-1,故选D.12.A 因为PE ⊥PF,∠EPA=α,所以∠PFB=α,在Rt △PAE 中,PE=APcosα=8cosα,在Rt △PBF 中,PF=PBsinα=1sinα,则PE+PF=8cosα+1sinα .设f(α)=8cosα+1sinα,α∈(0,π2),则f '(α)=8sinαcos 2α-cosαsin 2α=8sin 3α-cos 3αcos 2αsin 2α,令f '(α)=8sin 3α-cos 3αcos 2αsin 2α=0,则tan α=12,当0<tan α<12时,f '(α)<0,当tan α>12时,f '(α)>0,所以当tan α=12时,f(α)取得最小值,此时AE=AP ·tan α=8×12=4,故选A.13.AD 由题意得f '(x)=e x -4x,则f '(14)=e 14-1>0,f '(12)=e 12-2<0,f '(2)=e 2-8<0.由ln 3≈1.098 6,得98>ln 3,所以f '(94)>0,从而14<x 1<12,2<x 2<94,所以x 1+x 2<114.因为f(0)=1,所以易得f(x 1)>1.因为f '(2ln 3)=9-8ln 3>0,所以x 2<2ln 3,因为f '(x 2)=0,所以f(x 2)=4x 2-2x 22.设g(x)=4x-2x 2,得g(x 2)>g(2ln 3)>g(2.2)=-0.88>-1,所以f(x 1)+f(x 2)>0. 14.ABC 因为f'(x)-f(x)x -1>0,所以当x>1时,f'(x)-f(x)>0;当x<1时,f'(x)-f(x)<0.因为g(x)=f(x)e x,所以g'(x)=f'(x)-f(x)e x,则当x>1时,g'(x)>0;当x<1时,g'(x)<0.所以函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,在(-∞,1)上为单调递减函数,则x=1是函数g(x)的极小值点,则选项A,B 均正确.当g(1)<0时,函数g(x)至多有两个零点,当g(1)=0时,函数g(x)有一个零点,当g(1)>0时,函数g(x)无零点,所以选项C 正确.g(0)=f(0)e 0=1,又g(x)在区间(-∞,1)上单调递减,所以当x ≤0时,g(x)=f(x)e x≥g(0)=1,又e x >0,所以f(x)≥e x ,故选项D 错误.故选ABC.15.(1)∵f(x)=ln 1x -ax 2+x =-ln x-ax 2+x(a>0,x>0), ∴f '(x)=-1x -2ax+1=-2ax 2-x+1x(a>0).令2ax 2-x+1=0,则其判别式Δ=1-8a.①当Δ≤0,即a ≥18时,f '(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当Δ>0,即0<a<18时,方程2ax 2-x+1=0有两个不相等的正根x 3= 1−√1−8a4a,x 4=1+√1−8a4a,则当0<x<x 3或x>x 4时,f '(x)<0,当x 3<x<x 4时,f '(x)>0,∴ f(x)在(0,1−√1−8a4a)上单调递减,在(1−√1−8a 4a,1+√1−8a4a)上单调递增,在(1+√1−8a4a,+∞)上单调递减.综上,当a ∈[18,+∞)时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间; 当a ∈(0,18)时,f(x)在(0,1−√1−8a4a),(1+√1−8a4a,+∞)上单调递减,在(1−√1−8a 4a,1+√1−8a4a)上单调递增.(2)不妨设x 1<x 2.由(1)知,当且仅当a ∈(0,18)时,f(x)有极小值点x 1和极大值点x 2,∴x 1+x 2=12a,x 1x 2=12a.f(x 1)+f(x 2)=-lnx 1-a x 12+x 1-ln x 2-a x 22+x 2=-(ln x 1+ln x 2)-12(x 1-1)-12(x 2-1)+(x 1+x 2)=-ln(x 1x 2)+12(x 1+x 2)+1=ln(2a)+14a +1.令g(a)=ln(2a)+14a+1,a ∈(0,18),则g'(a)=1a-14a 2=4a -14a 2<0,∴g(a)在(0,18)上单调递减,∴g(a)>g(18)=ln(2×18)+14×18+1=3-2ln 2,即f(x 1)+f(x 2)>3-2ln 2.16.(1)设g(x)=f '(x),则g(x)=cos x-11+x,g'(x)=-sin x+1(1+x)2.当x ∈(-1,π2)时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'(π2)<0,可得g'(x)在(-1,π2)上有唯一零点,设为α.则当x ∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x ∈(α,π2)时,g'(x)<0.所以g(x)在(-1,α)上单调递增,在(α,π2)上单调递减,故g(x)在(-1,π2)上存在唯一极大值点,即f '(x)在(-1,π2)上存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).(i)当x ∈(-1,0]时,由(1)知,f '(x)在(-1,0)上单调递增,而f '(0)=0,所以当x ∈(-1,0)时,f '(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]上的唯一零点.(ii)当x ∈(0,π2]时,由(1)知,f '(x)在(0,α)上单调递增,在(α,π2)上单调递减,而f '(0)=0,f '(π2)<0,所以存在β∈(α,π2),使得f'(β)=0,且当x ∈(0,β)时,f '(x)>0;当x ∈(β,π2)时,f '(x)<0.故f(x)在(0,β)上单调递增,在(β,π2)上单调递减. 又f(0)=0,f(π2)=1-ln(1+π2)>0,所以当x ∈(0,π2]时,f(x)>0.从而f(x)在(0,π2]上没有零点.(iii)当x ∈(π2,π]时,f '(x)<0,所以f(x)在(π2,π)上单调递减.而f(π2)>0,f(π)<0,所以f(x)在(π2,π]上有唯一零点. (iv)当x ∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.17.B 根据题意,设f(x)=2x+1-x-ln x=x+1-ln x,则f'(x)=1-1x =x -1x (x>0),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以 f(x)min =f(1)=2-ln 1=2,所以|AB|min =2.故选B.18.C 由题意得,当πx m =k π+π2(k ∈Z),即x=(2k+1)m 2(k ∈Z)时,f(x)取得极值±√3.若存在f(x)的极值点x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2,则存在k ∈Z,使[(2k+1)m 2]2+3<m 2成立,问题等价于存在k ∈Z 使不等式m 2(k+12)2+3<m 2成立,因为(k+12)2的最小值为14,所以只要14m 2+3<m 2成立即可,即m 2>4,解得m>2或m<-2.故选C.19.(1)由f(x)=ax-e x +2,得f '(x)=a-e x .当a<0时,对任意x ∈R,f'(x)<0,所以f(x)单调递减.当a>0时,令f '(x)=0,得x=ln a,当x ∈(-∞,ln a)时,f '(x)>0,当x ∈(ln a,+∞)时,f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减.综上所述,当a<0时,f(x)在R 上单调递减,无增区间;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减.(2)存在满足条件的实数a,且实数a 的值为e+1.理由如下:①当a ≤1,且a ≠0时,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递减,则x ∈[0,1]时,f(x)max =f(0)=1,则f(x 1)+f(x 2)≤2f(0)=2<4,所以此时不满足题意;②当1<a<e 时,由(1)知,在[0,ln a]上,f(x)单调递增,在(ln a,1]上,f(x)单调递减, 则当x ∈[0,1]时,f(x)max =f(ln a)=aln a-a+2.当x 1=0时,对任意x 2∈[0,1],f(x 1)+f(x 2)≤f(0)+f(ln a)=1+aln a-a+2=a(ln a-1)+3<3,所以此时不满足题意;③当a ≥e 时,令g(x)=4-f(x)(x ∈[0,1]),由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,从而知g(x)在[0,1]上单调递减,所以g(x)max =g(0)=4-f(0),g(x)min =g(1)=4-f(1).若对任意的x 1∈[0,1],总存在x 2∈[0,1],使得f(x 1)+f(x 2)=4,则f(x)的值域为g(x)值域的子集,即{f(0)≥g(1),f(1)≤g(0),即{f(0)+f(1)≥4,f(1)+f(0)≤4,所以f(0)+f(1)=a-e+3=4,解得a=e+1.综上,存在满足题意的实数a,且实数a 的值为e+1.。

2022年高考数学总复习：导数的简单应用1．基本初等函数的八个导数公式(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x).(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)[g(x)](g(x)≠0)．(4)(理)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝a·y′u.3．切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f_′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).4．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．5．函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．6．函数的最值将函数y＝f(x)在[a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．Y易错警示i cuo jing shi1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．2．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．a－1x2＋ax.若f()x为奇函数，则曲线y＝f()x在1．(2018·全国卷Ⅰ，5)设函数f()x＝x3＋()0，0处的切线方程为( D )点()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y＝x.2．(2017·全国卷Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值是( A )A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1[解析]函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)·e x－1＝e x－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1·(x2＋x－2)．由e x－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－2<x<1时，f′(x)<0；x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A．3．(2017·浙江卷，7)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )[解析] 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C ．如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 确，故选D ．4．(文)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2. [解析] y ′＝2x ，k ＝21＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)即y ＝2x －2.(理)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . [解析] y ′＝2x ＋1，k ＝20＋1＝2， 所以切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .5．(2018·天津卷，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为e. [解析] 因为f (x )＝e x ln x ，所以f ′(x )＝(e x ln x )′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ·ln x ＋e x ·1x ，f ′(1)＝e 1·ln 1＋e 1·11＝e.6．(2018·江苏卷，11)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3.[解析] 令f (x )＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2，令g (x )＝2x ＋1x 2，g ′(x )＝2－2x 3>0⇒x >1⇒g (x )在(0,1)上单调减，在(1，＋∞)上单调增．因为有唯一零点，所以a ＝g (1)＝2＋1＝3⇒f (x )＝2x 3－3x 2＋1， 求导可知在[－1,1]上，f (x )min ＝f (－1)＝－4，f (x )max ＝f (0)＝1， 所以f (x )min ＋f (x )max ＝－3.7．(文)(2018·北京卷，19)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，f ′(2)＝(2a －1)e 2， 由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)方法一：由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 方法二：f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x . ①当a ＝0时，令f ′(x )＝0得x ＝1. f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )在②当a >0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1.(ⅰ)当x 1＝x 2，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2e x ≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以f (x )无极值，不合题意．(ⅱ)当x 1>x 2，即0<a <1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：(ⅲ)当x 1<x 2，即a >1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：③当a <0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．(理)(2018·北京卷，18)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0，所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(12，＋∞)．8．(文)(2018·天津卷，20(1)(2))设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极值．[解析] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1，因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1，又因为曲线y ＝f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)( x －t 2) (x －t 2－3) ＝( x －t 2)3－9 ( x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x － t 32＋9t 2. 故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝ t 2－3，或x ＝ t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：＝(3)3－9×3＝－6 3.(理)(2018·天津卷，20(1)(2))已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2ln (ln a )ln a.[解析] (1)由已知，h (x )＝a x －x ln a ，有h ′(x )＝a x ln a －ln a . 令h ′(x )＝0，解得x ＝0.由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如表：所以函数h (2)由f ′(x )＝a x ln a ，可得曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线斜率为ax 1ln a . 由g ′(x )＝1x ln a ，可得曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1x 2ln a .因为这两条切线平行，故有ax 1ln a ＝1x 2ln a ，即x 2ax 1(ln a )2＝1.2ln (ln a)两边取以a为底的对数，得log a x2＋x1＋2log a(ln a)＝0，所以x1＋g(x2)＝－ln a.。