3.3.1单调性 作业1 2017-2018学年高中数学选修1-1苏教版

[基础达标]1．函数y ＝x (x 2－1)在区间________上是单调增函数．解析：f ′(x )＝3x 2－1||，令f ′(x )>0||，解得x >33或x <－33.因此||，在区间(－∞||，－33)上||，f ′(x )>0||，函数是增函数；在区间(33||，＋∞)上||，f ′(x )>0||，函数也是增函数． 答案：(－∞||，－33)||，(33||，＋∞) 2．函数f (x )＝x ln x 的单调减区间为________．解析：函数f (x )定义域为(0||，＋∞)||，f ′(x )＝ln x ＋1.解f ′(x )<0得x <1e||，又x >0||， ∴f (x )的减区间为(0||，1e)． 答案：(0||，1e) 3．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是________． 解析：y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2||，令y ′>0||，解得x >12||，则函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞4．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数||，则实数a 的取值范围为________． 解析：y ′＝3ax 2－1||，函数在R 上是减函数||，即不等式3ax 2－1≤0恒成立||，解得a ≤0. 答案：a ≤05．函数f (x )＝ax 2－1x在区间(0||，＋∞)上单调递增||，那么实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝2ax 2－(ax 2－1)x 2＝ax 2＋1x 2＝a ＋1x 2≥0在区间(0||，＋∞)上恒成立||，即a ≥－1x 2在区间(0||，＋∞)上恒成立||，故a ≥0.答案：a ≥06．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2||，3]上单调递增||，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝a ln x ＋x ||，∴f ′(x )＝a x＋1. 又∵f (x )在[2||，3]上单调递增||， ∴a x＋1≥0在x ∈[2||，3]上恒成立||， ∴a ≥(－x )max ＝－2||，∴a ∈[－2||，＋∞)．答案：[－2||，＋∞)7．设函数f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)||，求f (x )的单调区间． 解：①当a ＝0时||，f (x )＝x 2＋1||，其减区间为(－∞||，0)||，增区间为(0||，＋∞)．②当a <0时||，∵f ′(x )＝－ax 2＋2x ||，f ′(x )>0⇔(－ax ＋2)x >0⇔⎝⎛⎭⎫x －2a x >0⇔x >0或x <2a .f ′(x )<0⇔2a<x <0. 故f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0||，＋∞)||，递减区间为⎝⎛⎭⎫2a ，0. 综上：当a ＝0时||，f (x )的递增区间为(0||，＋∞)||，递减区间为(－∞||，0)；当a <0时||，f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0||，＋∞)||，递减区间为⎝⎛⎭⎫2a ，0. 8．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0||，1)||，且在点(1||，f (1))处的切线方程是y ＝x －2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0||，1)||，则c ＝1||，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ||，k ＝f ′(1)＝4a ＋2b ＝1||，切点为(1||，－1)||，则f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(1||，－1)||，得a ＋b ＋c ＝－1||，得a ＝52||，b ＝－92||， ∴f (x )＝52x 4－92x 2＋1. (2)由f ′(x )＝10x 3－9x >0||，得－31010<x <0或x >31010||，则函数f (x )的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫－31010，0||，⎝⎛⎭⎫31010，＋∞. [能力提升]1．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2||，＋∞)上单调递减||，则a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2且函数f (x )在(－2||，＋∞)上单调递减||， ∴f ′(x )≤0在(－2||，＋∞)上恒成立．∴a ≤12. 当a ＝12时||，f ′(x )＝0恒成立||，不合题意||，应舍去． ∴a <12. 答案：a <122．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数||，f ′(x )||，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数||，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0||，则当a <x <b 时||，下列各式成立的是________．(填序号)①f (x )g (b )>f (b )g (x )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )；③f (x )g (x )>f (b )g (b )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )．解析：令y ＝f (x )·g (x )||，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )||，由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0||，所以y 在R 上单调递减||，又x <b ||，故f (x )g (x )>f (b )g (b )．答案：③3．若函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在[0||，2]内单调递减||，求实数a 的取值范围． 解：法一：f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )．当a ＝0时||，f ′(x )≥0(等号不恒成立)||，故y ＝f (x )在(－∞||，＋∞)上单调递增||，与y ＝f (x )在[0||，2]内单调递减不符||，舍去．当a <0时||，由f ′(x )≤0得23a ≤x ≤0||，即f (x )的减区间为⎣⎡⎦⎤23a ，0||，与y ＝f (x )在[0||，2]内单调递减不符||，舍去．当a >0时||，由f ′(x )≤0得0≤x ≤23a ||，即f (x )的减区间为⎣⎡⎦⎤0，23a .由y ＝f (x )在[0||，2]内单调递减得23a ≥2得a ≥3. 综上可知||，a 的取值范围是[3||，＋∞)．法二：f ′(x )＝3x 2－2ax .由y ＝f (x )在[0||，2]内单调递减知3x 2－2ax ≤0在[0||，2]内恒成立．当x ＝0时||，由3x 2－2ax ≤0在[0||，2]内恒成立得a ∈R ；当x ≠0时||，由3x 2－2ax ≤0在[0||，2]内恒成立．即a ≥32x 恒成立||， 故只需a ≥⎝⎛⎭⎫32x max ||，又32x 在[0||，2]上的最大值为3||，故a ≥3. 综上可知||，a 的取值范围是[3||，＋∞)．4．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1||，－11)．(1)求a ||，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)求得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .∵f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1||，－11)||，∴f (1)＝－11||，f ′(1)＝－12||，即⎩⎨⎧ 1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3. (2)∵a ＝1||，b ＝－3||，∴f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0||，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0||，解得－1<x <3.∴当x ∈(－∞||，－1)和(3||，＋∞)时||，f (x )单调递增；当x ∈(－1||，3)时||，f (x )单调递减．。

单调性[学习目标].结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．知识点一函数的单调性与导数的关系()在区间(，)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性′()>单调递增′()<单调递减′()＝常函数()在区间(，)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增′() ≥单调递减′()≤常函数′()＝思考在区间(，)内，函数()单调递增是′()>的什么条件？答案必要不充分条件．知识点二利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：()确定定义域；()求导数′()；()解不等式′()＞，解集在定义域内的部分为单调递增区间；()解不等式′()＜，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型一利用导数判断函数的单调性例证明：函数()＝在区间上单调递减．证明∵′()＝，又∈，则<，∴－<，∴′()<，∴()在上是减函数．反思与感悟关于利用导数证明函数单调性的问题：()首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．()′()>(或<)，则()为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，()为单调递增(或递减)函数，则′()≥(或≤)．跟踪训练证明：函数()＝在区间(，)上是增函数．证明∵()＝，∴′()＝＝.又<<，∴<＝.∴′()＝>，故()在区间(，)上是增函数．题型二利用导数求函数的单调区间。

苏教版2017－2018学年高中数学选修1－1模块综合检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题“存在实数x ，使1x >”的否定是 ．2．命题“若21,x <则11x -<<”的逆否命题是______________.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点()()11f ，处的切线方程为_______． 4．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________． 5．设P 为直线3b y x a =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =6．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调递增区间是________．7．动圆过点()1,0，且与直线1x =-相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.8．双曲线221y x m -=的离心率大于的充分必要条件是________． 9．给定两个命题p ，q ，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的________条件. 10．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________．11．抛物线C 1：21(0)2y x p p =>的焦点与双曲线C 2： 2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________. 12．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为________．13．某名牌电动车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系： 3213940(0)32y x x x x =-->，为使耗电量最小，则速度应定为________． 14．若方程22141x y t t +=--所表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52； ②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1；③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32. 其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题15．过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若3OA OB ⋅=-，求这个抛物线的方程．16．已知命题:p 方程()()120ax ax -+=在[]1,1-上有解；命题:q 只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围.17．已知函数1()ln ln 22e f x x x =-+,32()()2x g x f x x=--． （1）求的单调区间;（2）设函数2()4h x x mx =-+,若存在1(0,1]x ∈,对任意的2[1,2]x ∈,总有12()()g x h x ≥成立,求实数的取值范围．18．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值． 19．已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程.（Ⅱ）若1a >，求()f x 在闭区间[0,2]a 上的最小值.20．已知点3(1,)2是椭圆E：22221x ya b+= (a>b>0)上一点，离心率为12.(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆E交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．参考答案1．对任意的x ，都有1x ≤【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：对任意的x ，都有1x ≤考点：特称命题与全称命题2．若11x x ≥≤-或，则21,x ≥【分析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．【详解】∵“x 2＜1”的否定为“x 2≥1”．“﹣1＜x ＜1”的否定是“x ≤﹣1或x ≥1”．∴命题“若x 2＜1，则﹣1＜x ＜1”的逆否命题是：“若x ≥1或x ≤﹣1，则x 2≥1”． 故答案为：若11x x ≥≤-或，则21x ≥．【点睛】题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“﹣1＜x ＜1”的否定是“x ≤﹣1或x ≥1”．3．1y x =-【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程.【详解】由321y x x =-+，得232y x '=-， ∴在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又(1)0f =，所以所求切线方程为：01y x -=-，即1y x =-.故答案为：1y x =-.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.4．4【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－2p ，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋2p ＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.5． 【解析】 试题分析：设(,)3b P x x a ，则由题意，知c x =．因为1PF 垂直于x 轴，则由双曲线的通径公式知23b b x a a =，即23b b c a a=，所以3c b =．又由222a c b =-，得2289a c =，所以4c e a ==． 考点：双曲线的性质．【方法点睛】讨论椭圆的性质，离心率问题是重点，求椭圆的离心率e 的常用方法有两种：（1）求得a c ，的值，直接代入c e a=求得；（2）列出关于a b c ，，的一个齐次方程（不等式），再结合222b a c =-消去b ，转化为关于e 的方程（或不等式）再求解．6．4(0,)3【解析】 f (x )＝－x 3＋2x 2，∴f ′(x )＝－3x 2＋4x >0时，得0<x <43.单调递增区间是40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．24y x =【解析】设动圆圆心坐标为(x ,y )动圆过定点P (1,0)，且与定直线l :x =−1相切即圆心到定点P 和到直线l 的距离都等于半径根据两点间的距离公式可知,(x −1)2+y 2=(x +1)2整理得24y x =.故答案为24y x =.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．8．m >1【解析】 依题意， e 2＝22c a >2，得1＋m >2， 所以m >1.9．充分不必要【解析】∵¬p 是q 的必要而不充分条件，∴q 是¬p 的充分不必要条件，即q ⇒¬p，但¬p 不能⇒q ，其逆否命题为p ⇒¬q，但¬q 不能⇒p ，则p 是¬q 的充分不必要条件．10．(0，2)【解析】令f ′(x )＝x 2－4x ＋3<0，得1<x <3.∴f (x )的单调递减区间为(1，3)．令1<x ＋1<3，则0<x <2，故f (x ＋1)的减区间为(0，2)11【解析】 由已知得抛物线的焦点坐标为(0,),2p 双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为212x y p +=.双曲线的渐近线方程为y .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝3，即x 0＝3p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线212x y p +=＋2p ×6p ＝1，解得p ＝3. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.12．[－1，＋∞)【解析】试题分析：分类讨论，确定函数的对称轴，根据函数f （x ）=ax 2+2ax+1在[0，2]上有最大值f （2），建立方程，即可求得结论．解：f′（x ）=2ax+4，由f （x ）在[0，2]上有最大值f （2），则要求f （x ）在[0，2]上单调递增，则2ax+4≥0在[0，2]上恒成立．（1）当a≥0时，2ax+4≥0恒成立；（2）当a ＜0时，要求4a+4≥0恒成立，即a≥﹣1．∴a 的取值范围是a≥﹣1．故答案为a≥﹣1点评：本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．13．40【解析】由y′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0<x<40时，y′<0；当x>40时，y′>0.所以当x＝40时，y有最小值．14．①②【解析】试题分析：据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出①错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出②对；据圆方程的特点列出方程求出t的值，判断出③错；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．解：若C为椭圆应该满足(4-t)(t-1)＞0，4-t≠t-1即1＜t＜4且t≠52故①错，若C为双曲线应该满足（4-t）（t-1）＜0即t＞4或t＜1故②对，当4-t=t-1即t=52表示圆，故③错，若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-t＞t-1＞0则1<t<52，因此④错，故填写②考点：圆锥曲线的共同特征．点评：主要是考查了椭圆方程于双曲线方程的标准形式的运用，属于中档题．15．（1）4p（2）y2＝4x.【解析】试题分析：（1）先根据点斜式写出直线方程，再与抛物线联立方程组，利用韦达定理得两根之和，最后根据抛物线定义求线段AB的长；（2）先根据向量数量积化简3OA OB⋅=-，再根据点斜式设直线方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理代入关系式，解出p试题解析：解：(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，∴AB＝x1＋x2＋p＝4p.(2)由(1)知x1x2＝，x1＋x2＝3p，∴y1y2＝＝x1x2－ (x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．16．()()1,00,1- 【分析】先分别由命题p 和q 为真求出实数a 的取值范围,再根据补集思想求出命题p 和q 为假时实数a 的取值范围,再由命题“p ”或“q ”是假命题,得命题p 和q 都为假命题,列不等式组可解得.【详解】若p 为真命题,由题意0a ≠,所以方程()()210ax ax +-=的解为1a 或2a -, 若方程在[]1,1-上有解，只需满足11a ≤或21a -≤, ∴1a ≥或1a ≤-,即(][),11,a ∈-∞-+∞.若q 正确，即只有一个实数x 满足2220x ax a ++≤，则有2480a a ∆=-=，即0a =或2,若p 或q 是假命题，则p 和q 都是假命题，所以11a -<<且0a ≠且2a ≠,所以a 的取值范围是()()1,00,1-. 【点睛】本题考查了判断命题的真假,复合命题的真假,补集思想,方程有解问题,一元二次不等式的解的问题,属于中档题.17．（1）的单调增区间为,单调减区间为(2,)+∞；（2）实数的取值范围为[6ln 2,)-+∞. 【解析】试题分析：（1）首先确定函数的定义域，进一步对求导，利用导函数与原函数的关系，得到原函数的单调区间；（2）“存在1(0,1]x ∈,对任意的2[1,2]x ∈,总有12()()g x h x ≥成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”进一步，分别求函数()g x 和()h x 在区间和上的最大值.试题解析：（1） 1()ln ln (0,)22ef x x x x =-+∈+∞,（此处若不写定义域，可适当扣分） 故112()22x f x x x-'=-=． 当02x <<时,()0f x '>;当时,()0f x '<． 的单调增区间为,单调减区间为(2,)+∞；（2）2()2ln ln 2eg x x x x =---,则2221222()2x x g x x x x -+'=-+=, 而22115222()048x x x -+=-+>,故在上()0g x '>,即函数在上单调递增,max ()(1)ln 21g x g ==-而“存在1(0,1]x ∈,对任意的2[1,2]x ∈,总有12()()g x h x ≥成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为(1),(2)h h 中的最大者,记为max{(1),(2)}h h ．所以有(1)ln 21(1)(1)ln 21(2)g h g h =-≥⎧⎨=-≥⎩,(1)ln 215(1)ln 2182g m g m =-≥-⎧∴⎨=-≥-⎩,6ln 2,6ln 21(9ln 2)2m m m ≥-⎧⎪∴∴≥-⎨≥-⎪⎩． 故实数的取值范围为[6ln 2,)-+∞.考点：1.利用导函数求单调性；2.函数的最值.18．（1）4010(30)(3541)xe y x m x e =--≤≤；（2）x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元. 【解析】试题分析：（1）先确定反比例系数，再根据利润等于收入减去成本列函数关系式（2）利用导数求函数最值：先求导数，再根据范围确定导函数符号，确定函数单调性，最后根据单调性求函数最值试题解析：解：(1)设日销售量为s ，则s ＝， 因为x ＝40时，s ＝10， 故10＝，则k ＝10e 40， 所以s ＝，故y ＝4010x e e(x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)由(1)知y ′＝10e 40·＝10e 40·.令y ′＝10e 40·＝0，则x ＝31＋m .当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数， 所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．19．（Ⅰ）68y x ＝-;（Ⅱ）()231,1,{0,13,(3), 3.a a g a a a a a -<-<≤->＝. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将1a =代入()f x 中，对()f x 求导，(2)f 为切点的纵坐标，而(2)f '是切线的斜率，最后利用点斜式写出直线方程；第二问，对()f x 求导，令()0f x '=，将1a >分成两部分：1a >和1a <-进行讨论，讨论函数的单调性，利用单调性判断函数的最小值，综合所有情况，得到()g a 的解析式．试题解析：定义域：R ，2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a =-+='+--（Ⅰ）当1a =时，32()266f x x x x =-+，则(2)1624124f =-+=2()6126f x x x -'=+，则(2)242466f '=-+=∴()y f x =在(2,(2))f 处切线方程是：46(2)y x -=-，即680x y --=， （Ⅱ）()6(1)()f x x x a -'=-，令()0f x '=，得到1x =，x a = ①当1a >时，1,[0,2]a a ∈，则有则最小值应该由(0)0f =与23()3f a a a =-中产生，当13a <≤时，()(0)f a f ≥，此时min ()(0)0f x f ==；当3a >时，(0)()f f a >，此时23min ()()3f x f a a a ==-，②当1a <-时，1[0,2]a ∈，则有则min ()()(1)31f x f x f a 极小值===-，综上所述：当1a >时，()f x 在区间[0,2]a 上的最小值min23311()(){01333a a f x g a a a a a -<-==<≤->考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程．20．（1）22143x y +=（2）(0．【解析】试题分析：（1）根据离心率得a,b,c 三者关系，再代入点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭可得a 2＝4，b 2＝3.（2）因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，可得21212y y k x x = ，再直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入关系式得k ，根据点到直线距离公式得高，根据弦长公式得底边边长，结合三角形面积公式得关于m 函数关系式，最后利用基本不等式求最值，得取值范围 试题解析：解：(1)由题意知，＝， 所以＝，a 2＝b 2.又＋＝1，解得a 2＝4，b 2＝3.因此椭圆E 的方程为22143x y +=(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.由题意知Δ＝64k2m2－16(3＋4k2)(m2－3)＝16(12k2－3m2＋9)>0，即4k2－m2＋3>0.又x1＋x2＝－，x1x2＝所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，即(4k2－3)m2＝0，∵m≠0，∴k2＝.由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，得0<m2<6，且m2≠3.设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ＝d|PQ|＝×|x1－x2|＝|m|又因为m2≠3，所以S△OPQ＝<×＝.所以△OPQ面积的取值范围为(0．。

章末综合测评(三)导数及其应用（时间120分钟，满分160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在题中横线上。

)1。

质点运动规律s＝t2＋3,则在时间（3，3＋Δt）中，质点的平均速度等于________.【解析】平均速度为错误!＝错误!＝6＋Δt.【答案】6＋Δt2.若f′（x0）＝－3，则当h→0时，错误!趋于常数________.【解析】错误!＝4×错误!.∵f′（x0）＝－3，∴当h→0时，错误!趋于－3,故当h→0时，错误!趋于－12.【答案】123.已知函数f(x）＝ax ln x，x∈（0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数。

若f′(1）＝3，则a的值为________.【解析】f′(x）＝a错误!＝a(1＋ln x).由于f′（1）＝a（1＋ln 1）＝a，又f′（1）＝3，所以a＝3。

【答案】34。

已知曲线f（x)＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行,则点M的坐标是________。

【解析】∵f′（x）＝2x＋2,由f′（x）＝0得x＝－1，又f(－1)＝1－2－2＝－3,∴点M的坐标为（－1，－3）。

【答案】(－1，－3)5.函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为__________.【解析】由题知y′＝e x＋x e x，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为错误!,又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－错误!。

【答案】y＝－错误!6.下列结论①(sin x)′＝－cos x;②错误!′＝错误!；③（log3x）′＝错误!;④（x2）′＝错误!；⑤错误!′＝错误!，其中正确的有________(填序号).【解析】由于（sin x)′＝cos x，故①错误;由于错误!′＝－错误!，故②错误;由于（log3x)′＝错误!，故③错误;由于x2＝2x，故④错误；由于错误!′＝－错误!＝错误!，所以⑤正确.【答案】⑤7。

课时跟踪训练(十九)　单 调 性1．函数y ＝x 2－ln x 的单调递减区间为________．122．函数f (x )＝的单调递减区间是________．xln x3．(浙江高考改编)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是________．4．若函数h (x )＝2x －＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________．k x k 35．已知函数f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )．则不等式x 2f －f (x )(1x )<0的解集为________．6．已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax .讨论f (x )的单调性．137．已知函数f (x )＝2ax －，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围．1x 28．已知函数f (x )＝的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，ax －6x 2＋b (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．答 案课时跟踪训练(十九)1．解析：y ′＝x －＝＝，令y ′≤0，∵x >0，∴0<x ≤1，∴函数1x x 2－1x (x －1)(x ＋1)x y ＝x 2－ln x 的单调减区间是(0,1]．12答案：(0,1]2．解析：令f ′(x )＝<0，解得0<x <e ，又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，ln x －1ln2x 所以函数f (x )＝的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．xln x 答案：(0,1)，(1，e)3．解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：②4．解析：h ′(x )＝2＋，由h (x )在(1，＋∞)上是增函数，知h ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒kx 2成立．h ′(x )＝，当k ≥0时，显然h ′(x )≥0成立．当k <0时，由h ′(x )2x 2＋kx 2≥0⇒－k ≤2x 2，而2x 2>2，即－k ≤2，∴k ≥－2，∴－2≤k <0.答案：[－2，＋∞)5．解析：令φ(x )＝，则φ′(x )＝<0.∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，又x 2f f (x )x xf ′(x )－f (x )x 2<f (x )，∴xf <.即<，∴φ<φ(x )．故>x .又∵x >0，∴0<x <1.(1x )(1x )f (x )x f(1x )1x f (x )x (1x )1x 答案：(0,1)6．解：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1.①当a ≥1时，f ′(x )≥0，当且仅当a ＝1，x ＝－1时，f ′(x )＝0，所以f (x )是R 上的增函数．②当a <1时，f ′(x )＝0有两根x 1＝－1－，1－a x 2＝－1＋.1－a 当x ∈(－∞，－1－)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；1－a 当x ∈(－1－，－1＋)时，1－a 1－a f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1＋，＋∞)时，1－a f ′(x )>0，f (x )是增函数．7．解：由已知得f ′(x )＝2a ＋，2x 3∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－在x ∈(0,1]上恒成立．1x 3令g (x )＝－，而g (x )＝－在(0,1]上单调递增，1x 31x 3∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋.2x 3对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.∴a ＝－1时，f (x )在(0,1]上为增函数．∴综上，f (x )在(0,1]上为增函数，实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．8．解：(1)由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知f ′(－1)＝－，且－1＋2f (－1)＋5＝0，12即f (－1)＝－2，＝－2，①－a －61＋b 又f ′(x )＝，a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2所以＝－.②a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )212由①②得a ＝2，b ＝3.(因为b ＋1≠0, 所以b ＝－1舍去)所以所求函数解析式是f (x )＝.2x －6x 2＋3(2)由(1)可得f ′(x )＝.－2x 2＋12x ＋6(x 2＋3)2令－2x 2＋12x ＋6＝0，解得x 1＝3－2，x 2＝3＋2，33则当x <3－2或x >3＋2时，f ′(x )<0，33当3－2<x <3＋2时，f ′(x )>0，33所以f (x )＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；2x －6x 2＋333单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．33。