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信息光学中的傅里叶变换

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信息光学之透镜的傅里叶变换特性

信息光学之透镜的傅里叶变换特性


r0 l
1
2
1 2
e jar02
e jar02 2
c irc
r0 l
1
2
1 4
exp[
ja(x2
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y2
) ]c irc
x2 y2 l
#
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 (续)
t(
x,
y)
1 2
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]
1 4
exp[
0 R1 1
1
(
x
2
y R12
2
)
R2
1
1
(
x
2
R22
y
2
)
取近轴近似, x,y足够小, (1-)1/21-/2 成立
透镜的厚度函数
(x,
y)
0
x2
2
y2
1 R1
1 R2
代入光程方程后再代入透过率方程, 得透镜的复振幅透过率函数:
tl (x, y) exp[ jkL(x, y)] exp( jk0 ) exp[ jk (n 1)(x, y)]
∴透镜的复振幅透过率:
tl
(x,
y)
Ul '(x, y) Ul (x, y)
exp[
j (x,
y)]
exp[
jk L( x,
y)]
#
§4-1 透镜的位相调制作用
光程函数
L(x,y) = n(x,y)+[0-(x,y)]=0 + (n-1)(x,y)
适合于任意形状的薄位相物体
傅里叶变换光学

傅里叶变换光学

傅里叶变换光学LT22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。

公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。

引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R=-- （5）代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j xy f =-+（6）式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)LU x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。

从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。

第二项22exp[()]2k j xy f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。

而且与透镜的焦距有关。

当考虑透镜孔径后，有：22(,)exp[()](,)2kt x y jx y p x y f=-+（7）其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内其 它（8）2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。

衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。

一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。

如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。

为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。

图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)ffE x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。

信息光学中的傅里叶变换

信息光学中的傅里叶变换


为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理

信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理


1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
信息光学中的傅里叶变换

信息光学中的傅里叶变换

f exp j2 ( fx0 x f y0y) f (x, y)
f
F( fx, fy)
f
exp j2 ( f x x0 f y y0 ) F ( f x , f y )
f
F( fx, fy)
F( fx fx0, fy fy0)
f
5、对称性质
F f *( x, y) F*(- fx, fy ) F f *( x, y) F*( fx, fy )
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
1、线性性质
设 F f ( x , y ) F ( fx , f y ) F g( x, y ) G( fx , f y )
a,b为常数，则
F af ( x , y ) bg( x , y ) aF( fx , f y ) bG( fx , f y )
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重 要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用 卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而 且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相 乘，再对乘积作逆变换。
8、相关的傅里叶变换
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( f x )
信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质

信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质


U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+)
实现位相变换:
y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
Ul '(x',
y')
Ul (x',
y') exp
jk
x'2 y'2 2f
透镜光瞳函数：P(
x',
y')
1 0
透镜孔径内 其它
2
)
P2面是会聚球面波分布:
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q
(x2
y
2
)
略去常数位相因子 透镜的复振幅透过率 或相位变换因子为：
t(x,
y)
Ul(x, Ul (x,
y) y)
exp
j
k 2
(x2
y2 )
11 1 qp f
f 为透镜的像方焦距。
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]circ
x2 y2 l
设a>0, 分别考察圆括号中的三项:
exp[
ja(x2
y2)]
exp
jk
x2
y2
2
k 2a
exp[ ja(x2 y2 )] exp jk
x2 y2
2
k 2a
代表正透镜
焦距f = k/2a = p/al
解:
t(x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar
信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质

信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质


r circ l
x2 y2 1 1 1 2 2 2 2 exp[ ja ( x y )] exp[ ja ( x y )] circ 4 l 2 4
2 2 x y 1 1 1 t ( x, y) exp[ ja( x 2 y 2 )] exp[ ja( x 2 y 2 )]circ 4 l 2 4
利用物像共轭关系1/p + 1/q = 1/f，将位相因子进一步化简;
先不考虑透镜有限孔径的影响，对∑p积分可扩展到无穷； 利用概率积分公式

e
ax2
dx
p
a
完成积分
结果
输入平面位于透镜前，在光源共轭面上场分布的一般公式:
( f d 0 )(x y ) U ( x, y ) c exp jk t ( x0 , y0 ) 2[q( f d 0 ) fd 0 ] f ( x0 x y0 y ) exp jk dx0 dy0 q( f d 0 ) fd 0
U0 (x0,y0,0-)
x0 U (x ,y ,0+) 0 0 0
实现位相变换:
x '2 y '2 U l ' ( x' , y ' ) U l ( x' , y ' ) exp jk 2 f
1 P( x' , y ' ) 透镜光瞳函数： 0 透镜孔径内 其它
从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：
A U ( x , y ) 0 jld 0 0

2 2 x0 y0 ( x x0 ) 2 ( y ' y 0 ) 2 t ( x0 , y 0 ) exp[ jk ] exp[ jk ]dx0 dy0 2( p d 0 ) 2d 0
信息光学课件 信息光学理论1B-德尔塔函数与傅里叶变换

信息光学课件 信息光学理论1B-德尔塔函数与傅里叶变换

思考题
• 傅里叶光学的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 空间频率与空间频谱
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思考题
• 傅里叶光学的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 空间频率与空间频谱
20
《信息光学》第一章 傅里叶分析

《信息光学》第一章 傅里叶分析


1、一些常用函数
函数的常用性质 a) 筛选性质

x x , y y x, y dxdy x , y
0 0 0 0
b) 对称性
( x) ( x)
1 | | x0
c) 比例变化性质
(x x0 )
(x
矩形函数
三角形函数 sinc函数 高斯函数 圆域函数 描述不同类型的“图像”信号
***图像信息的体现：强度分布、颜色
脉冲函数（函数）
梳状函数
1、一些常用函数 1）阶跃函数 (Step function) 定义
1 x 0 1 step x x0 2 x0 0
相位板的振幅透过率
1、一些常用函数 3）矩形函数 (Rectangle function) 定义 应用
1 x rect a 0
2 others
x a
常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透 过率；它与某函数相乘时，可限制 该函数自变量的范围，起到截取的 作用，故又常称为“门函数”。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
ramp ( x x0 ) b
slope=1/b
slope=1/2
ramp (
x 1 ) 2
1
0 x0 x0+b -4 -3 -2
浅析傅里叶变换在信息光学中的应用

浅析傅里叶变换在信息光学中的应用


内对输入信息实施某些变换，比如相干光学处理、波前调 制和空间滤波等方法，尤其是对空间频率和空间滤波的理 解和应用。
空间滤波是最基本的光学信息处理技术的操作之一， 它的具 体 操 作是 依 据 需 要制作一 个 合 适的空间滤 波器， 并将其 放 入 到光 路 的频 谱 平面处，调 制输入图像的频 谱 信息，可以用于消除图像上的周期性网格，从而完成对输 入图像的改造和处理。
摘 要：在现代数学中傅里叶变换是一种重要的变换，并且在信息处理中有着广泛的应用。本文我们以傅里叶变换作为一条主
线,首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质以及发展情况；其次详细介绍傅里叶变换在不同领域的应用，比如空间滤波，全息
术等。不仅加强了学生对理论基础知识的认知和理解，还帮助学生深刻理解信息光学中的重要概念和光学信息处理的基本原
2
{ } I(x ,y ) = ( A )2 F
λz
2
U(x ,y )
0
0
= ( 1 )2 T( x λz λz
y ,)
λz
xy
T( , )
其中 λz λz 表示物体平面透射光场的复振幅分布
的频谱。夫琅禾费衍射是实现傅里叶变换运算的物理手
段，大大简化了物体的频谱分析。
1.3 透镜的傅里叶变换性质
平面波沿着传播方向经过透镜后，能够会聚在焦点，
本 文 主 要以傅 里叶变 换 为主 线 介 绍 信息 光 学 在 不同 领域的理论知识以及应用。利用傅里叶变换可以将复杂的 问 题 简单化。现 在 通信 信息的发 展 处 处 伴 随 着 傅 里叶变 换 方 法的 精心应 用，傅 里叶变 换 在 组合 数 学、物理 学、信 号处 理、密 码 学、海洋 学 等 领域 有着广泛的应 用。利用频 谱 分析的 方 法 研 究 光 波的 传 播、衍射、成像等 现 象，将 傅 里叶变换的理论基础实际应用到不同的应用领域，比如全 息 术、空间滤 波、图像 识 别、散 板 测量 术 等 [1-5 ]。同时光 学 信息处理的高速、二维并行处理、大容量的优势结合高精 度的数字计算处理，互相渗透，使得光学信息处理更加灵 活，应用范围更广。当今傅里叶分析法已经成为信息光学
傅里叶变换在光学中的应用

傅里叶变换在光学中的应用

（小波变换第三次作业）傅立叶变换在光学空间滤波仿真实验中的应用吕文华(天津大学精仪学院，1011202052)摘要：计算机模拟技术已经广泛应用在教学和科研中，在信息光学中引入MALAB语言，借助傅立叶变换，模拟出信息光学中的光学空间滤波仿真实验的结果，生动深刻的揭示光学现象的物理内涵，有助于深刻理解信息光学中的重要概念和光学信息处理的基本原理。

关键词：MATLAB; 信息光学；傅立叶变换，空间频率；空间滤波1．引言信息光学是近40年发展起来的一门新兴学科，它将数学中的傅里叶变换和通信中的线性系统理论引入光学，使光学和通信这两个不同的领域在信息学范畴内统一起来，光学工程师不再仅仅局限于用光强、振幅或透过率的空间分布来描述光学图像，也像电气工程师那样用空间频率的分布和变化来描述光学图像，从而为光学信息处理开辟了广阔的应用前景[1]。

与其他形态的信号处理相比，光学信息处理由于具有容量大、速度快、并行性及装置简单等优点，在二维图像信息存储、图像增强、特征识别、现代像质评价等许多方面有着重要的应用。

在过去半个世纪人们对于光学信号处理进行了广泛的研究，其基础为正透镜的傅里叶变换效应，该效应在光波传播的瞬间就完成了，处理速度与被处理信号的信息量（例如图形尺寸）无关，经典的应用包括低通、高通滤波、卷积、解卷积以及图形的相关识别。

空间滤波是最基本的光学信息处理操作之一，其基本原理是根据具体需要制作一个适当的空间滤波器，并将其放在光路中输入图像的频谱平面处，通过对输入图像的频谱进行调制，从而完成对输入图像的改造和处理。

在信息光学课程中，关于光学图像的空间频率的概念以及对光学图像的空间滤波问题的理解是重点，也是难点。

难以在短时间之内学会从空间频率的新观点去观看一幅光学图像，为了更容易接受并理解空间频率的概念和空间滤波的物理过程，结合近代光学实验，我们引入计算机仿真技术，在教学中应用MATLAB软件，在编程中体现空间滤波实验过程的数学描述方法，通过仿真得到了与光学实验完全吻合的结果，从而真正理解空间频率的概念以及空间滤波的实质。

《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质


2、透镜的傅里叶变换性质
2.2 物体放置在透镜后方
沿光波传播方向逐面进行计算，最终可获得透镜后焦面上的场分布为
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
（3）采用尽可能大的透镜孔径，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。
3、光学频谱分析系统
光学频谱分析的基本原理就是利用透镜的傅里叶变换性质来产生物 体的空间频谱，然后对它进行测量、分析来研究物体的空间结构。
上图所示为二维光学频谱分析系统的光路。S为相干点光源，L1为准直透镜， L2为傅里叶变换透镜。P1平面（L2前焦面）放置输入物体，其复振幅透过率为 t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即
对空间分布，分析时可忽略掉。
✓对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换
为会聚球面波。根据几何光学中介绍的透镜成像公式
1 1 1 (为透镜的焦距) di d0 f
exp
j
k 2
x2 y2
1 di
1 d0
exp
j
k 2f
x2 y2
1、透镜的位相调制作用
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。

信息光学导论第五章

第五章傅里叶变换光学与相因子分析方法5.1 衍射系统 波前变换◆引言现代光学的重大进展之一，是引入“光学变换”概念，由此发展而形成了光学领域的一个新分支——傅里叶变换光学，泛称为变换光学(transform optics)，也简称为博里叶光学，它导致了光学信息处理技术的兴起．现代变换光学是以经典波动光学的基本原理为基础，是干涉、衍射理论的综合和提高，它与衍射、尤其与夫琅禾费衍射息息相关．对于熟悉经典波动光学的人们来说，由于他们有着较充分的概念储备和较充实的物理图像，因而具备更为有利的条件，去深刻而灵活地掌握现代变换光学． ◆衍射系统及其三个波前如图所示，一个衍射系统以衍射屏为界被分为前后两个空间．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单、常为球面波或平面波，这两种典型波的等幅面与等相面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射波较为复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等幅面与等相面—般地不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成的衍射图样．在衍射系统的分析中，人们关注三个场分布：其中，入射场),(~1y x U 是照明光波到达衍射屏的波前函数；出射场),(~2y x U 是衍射屏的透射场或反射场，它是衍射空间初端的波前函数，它决定了整个衍射空间的光场分布；而衍射场),(~y x U ''是纵向特定位置的波前函数。

由此可见，整个衍射系统贯穿着波前变换：波前),(~),(~21y x U y x U →这是衍射屏的作用： 波前),(~),(~2y x U y x U ''→这是波的传播行为．由一个波前导出前方任意处的另一个波前，这是波衍射问题的基本提法，亦即波传播问 题的基本提法．标量波的传播规律己由惠更斯—菲涅耳—基尔霍夫理论(HFK 理论)给出．在 常见的傍轴情形下，其表达式为其积分核为ikre，这是一个球面波的相因子形式．换言之HFK 理论是—个关于衍射的球面波理论——衍射场是衍射屏上大量次波点源所发射的球面被的相干叠加．◆衍射屏函数及其三种类型我们已经同多种衍射屏有过交道，现在给山衍射屏函数的一般性定义，以定量地描述衍射屏的自身特征：),(12),(),(~),(~),(~y x i ey x t y x U y x U y x t ϕ== 即，屏函数(screen function)等于出射波前函数与入射波前函数之比．对于透射屏，t ~可称作复振幅透过率函数；对于反射屏，t ~可称作复振幅反射率函数．无疑，屏函数通常也是复函数，含模函数),(y x t 和辐角函数),(y x ϕ．唯象地看，实际上的衍射屏可分为三种类型，振幅型、相位型和相幅型．若),(y x ϕ为常数，仅有函数),(y x t ，则该衍射屏为振幅型，凡孔型衍射屏均系振幅型．若),(y x t 为常数，仅有函数),(y x ϕ，则该衍射屏为相位型，这在此之前似乎少见，其实，闪耀光栅不论其为透射的或反射的，均是一个相位型衍射屏，下一节即将研究的透镜相位衍射元件．当然，更为一般的情况是相幅型衍射屏，),(y x t 、),(y x ϕ皆为函数形式，即不仅出射场的振幅分布),(2y x A 有别于入射场的),(1y x A ，而且出射场的相位分布),(2y x ϕ也有别于入射场的),(1y x ϕ。

【信息光学课件】第五章光学全息2 PDF版

−∞ ∞
[
]
= R0 exp( j 2πf x b )
iii) 得光强为：
∗ ~ ~∗ I = O ( f x f y ) + R( f x f y ) ⋅ O ( f x f y ) + R( f x f y )
[
][
]
]
∗ 2 O ( f x f y ) + R0 + R0O ( f x f y ) ⋅ exp [ − j 2π f x b ] + R0O ( f x f y ) ⋅ exp [ − j 2π f x b ]
在象面上取反射坐标，经傅里叶变换有，

第一项：
~∗ ~ ~* ~ ℑ O (ξ ,η ) ⋅ O (ξ ,η ) = O ( x, y ) ★ O ( x ′, y ′)
−1
[
]

第二项： ℑ
−1
(R ) = R δ (x′, y ′)
2 0 2 0
---------自相关函数

-------- δ 函数 −1 (ξ ,η ) ⋅ exp ( − j 2πξ b ) O 第三项： ℑ
(
)
⋅ exp( j 2πξb ) ⋅

在记录面上的光强为：
2 ~ ~ I = U ( x, y ) + R ( x, y )
(ξ ,η ) ⋅ exp ( − j 2πξ b ) * + R2 + c ′ = UU R O 0 0
* (ξ ,η ) ⋅ exp ( j 2πξ b ) ′R0O +c
5.6傅里叶变换全息图 物体的信息由物光波所携带，全息记录了物 光波，也就记录了物体所携带的信息。物体 信号可以在空域中表示，也可以在频域中表 示，也就是说物体或图像的光信息既表现在 它的物体光波中，也蕴含在它的空间频谱内， 因此用全息法即可以在空域中记录物光波， 也可以在频域中记录物频谱。物体或频谱的 全息记录，称为傅里叶变换全息图。

最新信息光学2第一章 傅里叶变换光学与相因子分析方法ppt课件

更具意义的是：衍射斑的光学特征反映了余弦光栅作为一种典型结构 的特征。
▲特征表
余弦光栅的组合 （1） 平行密接 组合 G 1 · G 2 ：
共有9 个衍射斑，分布于x′轴上，方向角分别为
（2） 正交密 接
组合 G 1 · G 2 ：
(3) 复合光栅 设某光栅其屏函数含有两种频率成分：
屏函数曲线图
在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数， 不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函 数的傅里叶变换。
6.1 衍射系统 波前变换
光源：脉冲光源：发光短暂，激发一个波包而在空间传播。 连续光源：稳定地持续发光。激发一个长波列而在空间推移。
波场中的各点以与光源同样的时间特性稳定地持续 发生扰动，且扰动的基本形式是简谐式振荡。
)
z(1
2w04 2 z 2
)
1 2
有效 z 半 o ,w (0 ) 径 w 0 达 ； 到 腰 最 粗 小
曲率半径：各等相面的曲率中心不重合于一点，是 随光束的传播而移动。
（ 1 ） 知 腰 位 w 0 置 w (z)r,(、 z) U ~ 腰 (x,y,z)粗 （ 2 ） 知w 某 、 r 一 w 0 、 z处 的
波前相因子分析法：根据波前函数的相因子，来判断其波场的 类型、分析其衍射场的主要特性。
两类典型相因子函数：
1.波前函数的相因子：平面波前与球面波前（系可供选择的两种基元成分）
（1）平面波 U ~ (x ,y ) A e i( ks 1 x i s n i2 n y ) 1
其空间角频率为
其空间频率为
特点：振幅A 为常数 ，与场点坐标无关。
位相因子是场点直角坐标的线性函数——线性相因子。
2. 单色球面波复振幅:

信息光学(第二版)06-二维线性系统分析2-傅里叶变换定理、



重要性质：
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
fy fx 1 g (ax, by) G a , b ab
g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2(fxa+fyb)] g(x,y) exp[j2(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb)
F.T.
sinc2(f
)
1 rect(x) 1/2 0 1/2 x
1 rect(x)
*
1 1 0
1/2 0 1/2 x
x
tri(x)
1
F.T.
sinc2(x) 1
0 -1 1 x
F.T.
= sinc(f) • sinc(f) = sinc2(f)
sinc(f) 1 0 -1 1
sinc(f) 1
2
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp( j 2fx)dx g ( )h( x )d



交换积分顺序:
h( x ) exp( j 2fx) dx d g ( )
留作习题自证.
g(-x,-y)
§1-2 二维傅里叶变换 Fourier Transform

信息光学-傅立叶变换

点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r k = | k |=2 /l , 为波数. 表
(P(x,y,z))
k : 传播矢量
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明
y
(r
球面波: k//r 了光场变化的“空间频率”
k
则P点处的复振幅:
U (P) a0 e jkr r
a0: 单位距 离处的光振
幅
球面波的等位相面: kr=c 为球面
源点S
z
0 x k: 传播矢量
#
球面波 : 空间分布
会聚球面波 U (P) a0 e jkr r
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x2 y2 z2
(P(x,y,z)) y (r
二、线性平移不变系统的脉冲响应或点扩散函数 ➢ 线性系统的脉冲响应（点扩散函数）为：
h(x2 , y2; , ) L{ (x1 , y1 )}
➢ 对于线性平移不变系统
L{ (x1 , y1 } h(x2 , y2; , ) h(x2 M , y2 M )
如果对输入、输出的取适当的标度，可使M＝1，则
h(x2 , y2; , ) L{ (x1 , y1 } h(x2 , y2 )
h(x2 , y2 ) 称为线性平移不变系统的脉冲响应。
系统的输出： g(x2, y2 ) f ( , )h(x2 , y2 )dd f (x2, y2 ) * h(x2, y2 ) 其中h(x2, y2 )是系统对输入面坐标原点的点脉冲 (x1, y1)的输出响应。
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1
( f x , f y ) e

dxdy
2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1、线性性质 设
F
f ( x , y ) F ( f x , f y )
F
g( x , y ) G( f x , f y )
a,b为常数，则
F
) bG( f x , f y ) af ( x , y ) bg( x , y ) aF( f x , f y
则有
m n f ( x, y) m n F m n (j2 f ) (j2 f ) F( fx , f y ) x y x y
m n F ( x, y ) m n F ( j 2x) ( j 2y) f ( x, y) m f x n f y



m n F ( f x , f y ) m n exp j 2 ( f x x f y y) df x df y x y



F ( f x , f y )( j 2f x ) m ( j 2f y ) n exp j 2 ( f x x f y y) df x df y
2

2
F ( fx, f y )
称为信号f(x,y)的能谱密度
9、帕斯瓦尔（能量）定理



f ( x, y)g (x,y)dx dy F ( f



f ( x, y ) dx dy
2



F ( f x , f y ) dfx df y
, f ) G ( f x , f y )dfx df y x y




m n f ( x, y) m n F m n (j2 f ) (j2 f ) F( fx , f y ) x y x y
F -1 F ( f x , f y )( j 2f x )m ( j 2f y )n


F( fx , f y )
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、二重傅里叶变换性质
F
F f ( x , y )
f ( x , y )
对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折 3、缩放性质
F
f ( x, y) F ( f x , f y )
fx f y 1 F f (ax, by) F( , ) ab a b
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即


f ( x , y ) dxdy

（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。 （3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。
f ( x, y )
F( fx , f y )
f
f ( x x0 , y y0 )
f
exp j 2 ( f x x0 f y y0 )F ( f x , f y )
f
exp j 2 ( f x0 x f y 0 y) f ( x, y)
f
F( fx , f y )


F ( f x f x0 , f y f y 0 )
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理 空域←→频域 傅里叶分析
离散周期信号 连续周期信号 离散非周期信号 连续非周期信号
信息光学中的傅里叶变换
表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux
1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代
光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用 线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成
像等问题。
它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频
这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存
在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。 但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。 因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
f
f
5、对称性质
* F (- f x , f y ) F f ( x, y )
*
F
f
*
( x, y) F ( f x , f y )
*

若f(x,y)为实函数，显然有
F ( f x , f y ) F (- f x , f y )
*
称
F ( f x , f y ) 具有厄米对称性
若f(x,y)为虚函数，显然有
F ( f x , f y ) F * (- f x , f y )
称
F ( f x , f y ) 具有反厄米对称性
6、卷积的傅里叶变换
F
f ( x , y ) F ( f x , f y ) F g( x , y ) G( f x , f y ) F f ( x , y ) g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
在此定义中， 变换 F ( f x , f y )本身也是两个自变量 f x和f y 的函数。 F(fx , fy )称为f(x, y)的傅里叶谱或空间 频谱,fx , fy分别称
为X和Y方向的空间频 率.
F( fx , f y ) 用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) exp j ( f x , f y )
8、相关的傅里叶变换 （1）互相关定理
F
f ( x , y ) ★g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
互谱能量密度
F ( f x , f y ) G( f x , f y )
（2）自相关定理
F


f ( x , y ) ★f ( x , y ) F ( f x , f y )
j
m


f ( x, y) exp j 2 ( f

x
x f y y) dxdy

m n ( ) ( ) f ( x, y ) exp j 2 ( f x x f y y ) dxdy m n 2 2 f x f y
7、乘积的傅里叶变换
F
f ( x , y ) F ( f x , f y ) F g( x , y ) G( f x , f y ) F f ( x , y )g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重 要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用 卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而 且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相 乘，再对乘积作逆变换。
sin f x a sin f x a a a sin c( f x a) f x af x
F {rect(y)} a sin c( f y f ( x , y ) } lim sin c(afx ) sin c(afy ) ( f x , f y ) a


证明： f ( x, y) F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y


m n f ( x, y ) m x n y
m n m n F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y x y
1. 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义 含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F( fx , f y )

f ( x, y) exp j 2 ( f
x
x f y y) dxdy

F( fx , f y ) F { f ( x, y ) }
所以1的傅里叶变换是函数。 问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( f x )
( f x )e j 2f x x df x


物理图像


0 ( f ) e x df x




( f x ) df x
j 2 ( f x x f y y )
2
在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表
明一个事件空域各分量能量的总和与频域各分量能
量的总和是相等的。
10、积分性质(一维情况)
F f ( x) F ( f x ) F

x
1 1 F ( f x ) F (0) ( f x ) f ( )d j 2f x 2



F( fx, fy )
振幅谱 相位谱
2
( fx , f y )
F( fx, f y )
功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y =