设 计 理 论 值 计 算

1、什么是统计？答：对事物某方面特性的量的取值从总体上加以把握与认识，就叫统计“统”就是指全体、全部、整个领域范围；“计”，就是计量、计数、计算。

“统计”就是“统而计之”；对所考察事物的量的取值在其出现的全部范围内作总体的把握，全局性的认识〕有了这种对实况的准确的整体认识，我们就能更好地正确决策，有效行动。

所以统计是一种认识客观现实的工作，是为改造世界的实践服务的。

2、什么是教育统计？答：教育统计，就是对教育领域各种现象量的取值从总体上的把握与认识，它是为教育工作的良好进行、科学管理、革新发展服务的。

教育领域的现象是多种多样极为复杂的，有物的现象、人的现象和心理精神方面的现象。

它们都是教育统计要考察的对象。

另外，“总体”的范围要加以具体规定。

作出规定后，统计所要达到的目的，就是要在所规定的全部范围内作出整体的认识，而决不能只限于局部。

3、教育统计学是哪些学科交叉结合的产物？答：各种教育现象在各种不同的时空与环境条件下，并不会都取某相同的常数值，也就是说都是变量。

关于随机变量取值的客观规律性，概率论与数理统计以之为对象作了专门的研究。

教育统计要从局部的数量关系来推论总体的状况，就要遵循概率论和数理统计的理论和方法。

因此，教育统计学是社会科学中的一门应用统计，是数理统计跟教育学、心理学交叉结合的产物。

4、教育统计学的主要内容是什么？答：教育统计学的主要内容包括两大部分．即描述统计与推断统计．描述统计主要研究的问题是，如何把统计调查所获得的数据科学地加以整理、概括和表述。

描述统计就是要去做一番工作，通过列表归类、描绘图像、计算刻画数据分布特征与变量相依关系的统计量数．如平均数、标准差和相关系数等，把数据的分布特征、隐含信息，概括、明确地揭示出来，从而使我们能更好地理解、对待和使用数据推断统计更是教育统计的核心内容。

它主要研究的问题是如何利用实际获得的样本数据资料，依据数理统计提供的理论和方法，来对总体的数量特征与关系作出推论判断，即进行统计估计和统计假设检验等。

计数原理【命题趋势】两个基本计数原理是高考必考内容，有时会单独考查，有时会出现在解答题的过程之中，我们必须掌握.（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.排列组合是高考中的必考内容，必须掌握.有时会是单独一道小题，有时会是在概率统计解答题中涉及，分值至少5分.（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.二项式定理和排列组合在高考中一般交替考查，二者必出其一，二项式定理好拿分，熟练掌握即可.（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重要考向】考向一分类加法、乘法计数原理考向二两个计数原理的综合应用考向三排列与组合的综合应用考向四二项展开式通项的应用考向一分类加法、乘法计数原理（1）分类加法计数原理的特点：①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．（2）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．（3）应用分类加法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． （4）应用分步乘法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏． （5）两个计数原理的区别与联系定义：若数列 {a n } 满足所有的项均由 ﹣1,1 构成且其中-1有m 个，1有p 个 (m +p ≥3) ，则称 {a n } 为“ (m,p) ﹣数列”．（1）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则使得 a i a j a k ＝1 的取法有多少种？ （2）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (m,p) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则存在多少正整数 (m,p) 对使得 1≤m ≤p ≤100, 且 a i a j a k =1 的概率为 12 .【答案】 （1）解：三个数乘积为1有两种情况：“ ﹣1,﹣1,1 ”,“ 1,1,1 ”,其中“ ﹣1,﹣1,1 ”共有： C 32C 41＝12 种, “ 1,1,1 ”共有： C 43=4 种,利用分类计数原理得：a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项, 则使得 a i a j a k ＝1 的取法有： 12+4＝16 种．（2）解：与(1)同理,“ ﹣1,﹣1,1 ”共有 C m 2C p 1种, “ 1,1,1 ”共有 C P 3 种,而在“ (m,p) ﹣数列”中任取三项共有 C m+p3种, 根据古典概型有：C m 2C p 1+C p 3C m+p3=12 ,再根据组合数的计算公式能得到： (p ﹣m)(p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2)＝0 , ①p ＝m 时,应满足 {1≤m ≤p ≤100m +p ≥3p =m ,∴(m,p)=(k,k),k ∈{2,3,4,…,100} ,共 99 个,②p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2＝0 时,应满足 {1<m ≤p <100m +p ≥3p 2−3p −2mp +m 2−3m −2=0 , 视 m 为常数,可解得 p ＝(2m+3)±√24m+12,∵m ≥1, ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,∵m ≥1 , ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,（否则 p ≤m ﹣1 ）,下设 k ＝√2m +1 ,则由于 p 为正整数知 k 必为正整数, ∵1≤m ≤100 , ∴5≤k ≤49 ,化简上式关系式可以知道： m ＝k 2−124=(k−1)(k+1)24,∴k ﹣1,k +1 均为偶数,∴设k＝2t+1,(t∈N∗),则2≤t≤24,∴m＝k2−124=t(t+1)6,由于t,t+1中必存在偶数,∴只需t,t+1中存在数为3的倍数即可,∴t＝2,3,5,6,8,9,11,…,23,24,∴k＝5,11,13,…,47,49．检验：p＝(2m+3)+√24m+12=(k−1)(k+1)24≤48+5024＝100,符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(m,p)符合题意．【考点】古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理，组合及组合数公式【解析】(1)易得使得a i a j a k＝1的情况只有“ ﹣1,﹣1,1”,“ 1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“ ﹣1,﹣1,1”共有C m2C p1种,“ 1,1,1”共有C P3种.再根据古典概型的方法可知C m2C p1+C p3C m+p3=12,利用组合数的计算公式可得(p﹣m)(p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2)＝0,当p=m时根据题意有(m,p)=(k,k),k∈{2,3,4,…,100},共99个；当p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2＝0时求得p＝(2m+3)±√24m+12,再根据1≤m≤p≤100,换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m元（m为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2= 200元）.（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与期望E(X).【答案】（1）解：因为总的基本事件个数n1=A53=60，摸到三位数是奇数的事件数n2=A31A42=36，所以P1=3660=35；所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）解：获奖金额 X 的可能取值为50、100、200、300、400、500， P(X =50)=35 ， P(X =100)=1×3×260=110， P(X =200)=1×3×160=120，P(X =300)=1×3×260=110 ， P(X =400)=1×3×160=120 ， P(X =500)=1×3×260=110 ，获奖金额 X 的概率分布为均值 E(X)=50×35+100×110+200×120+300×110+400×120+500×110=150 元. 所以期望是150元.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，分步乘法计数原理【解析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数： n 1=A 53=60 ；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解考向二 两个计数原理的综合应用（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题． （2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n个．对有 n(n ≥4) 个元素的总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,n} 进行抽样，先将总体分成两个子总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,m} 和 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} （ m 是给定的正整数，且 2≤m ≤n −2 ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用 P ij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率. （1）求 P 1n 的表达式（用m ，n 表示）； （2）求所有 P ij (1≤i <j ≤n) 的和.【答案】 （1）解：由题意，从m 和 m −m 个式子中随机抽取2个，分别有 C m 2 和 C n−m2 个基本事件， 所以 P 1n 的表达式为 P 1n =m−1C m2⋅n−m−1C n−m2=4m(n−m) .（2）解：当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时，可得 P ij =1C m2 ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选两个数的不同方法数为 C m 2 ，则 P ij 的和为1；当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，同理可得 P ij 的和为1； 当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时， P ij =4m(n−m) ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选取一个数，从 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中选一个数的不同方法数为 m(n −m) ， 则 P ij 的和为4，所以所有 P ij 的和为 1+1+4=6 .【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，计数原理的应用，组合及组合数公式【解析】（1）根据组合数的公式，以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时求得 P ij 的和为1，当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，求得 P ij 的和为1，当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时得到 P ij 的和为4，即可求解.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达） （1）男甲必排在首位； （2）男甲、男乙必排在正中间； （3）男甲不在首位，男乙不在末位； （4）男甲、男乙必排在一起； （5）4名女生排在一起； （6）任何两个女生都不得相邻； （7）男生甲、乙、丙顺序一定．【答案】 解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A 99种， （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A 22A 77种，（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A 1010﹣2A 99+A 88种，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 22A 88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 44A 77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A 66A 74种， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A 1010A 33=A 107种【考点】计数原理的应用【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，问题得以解决． （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，问题得以解决， （3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决， （4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （5）4名女生排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．考向三 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.7名学生，按照不同的要求站成一排，求下列不同的排队方案有多少种． （1）甲、乙两人必须站两端； （2）甲、乙两人必须相邻．【答案】 （1）甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A 22 种站法，其余5人全排列，有 A 55种站法．故共 A 22⋅A 55 有＝240种不同站法．（2）(捆绑法)：把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共 A 66⋅A 22 有＝1440种站法．【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题 【解析】（1）运用捆绑法直接求解即可； （2）运用特殊元素分析法直接求解即可.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以X 表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则 X =3 ． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.【答案】 （1）解：设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成 8 个元素， 所以， P(A)=A 33A 88A 1010=115，因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为 115 ；（2）解：由题意可知，随机变量X 的取值为1、2、3、4， 其中 X =1 时，7只白猫相邻，则 P(X =1)=A 77A 44A 1010=130 ，P(X =2)=(A 32C 21C 21C 61+6A 33+A 32C 61)A 77A 1010=310 ，P(X =3)=(A 31C 21A 62+A 32A 62)A 77A 1010=12 ；P(X =4)=A 63A 77A 1010=16， 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：因此， E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16=145.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差，排列及排列数公式，排列、组合的实际应用【解析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，利用排列组合思想求出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量X 的数学期望.考向四 二项展开式通项的应用求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n ）.（1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.已知 f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗).（1）若 a n =n −1 ，求 f(n) ；（2）若 a n =3n−1 ，求 f(20) 除以5的余数【答案】 （1）因为 f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n . 所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n0 2f(n)=nC n 0+nC n 1+nC n 2+⋯+nC n n =n(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n)=n ⋅2n ，∴f(n)=n ⋅2n−1（2）因为 f(n)=30C n 0+31C n 1+32C n 2+⋯+3n C n n =(1+3)n =4n .f(20)=420=(5−1)20=C 200520−C 201519+C 202518−⋯+C 201852−C 201951+C 202050 除以5余数为1，所以 f(20) 除以5的余数为1. 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】（1） 因为f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗)，再结合a n =n −1 ， 得出f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n ，再利用倒序求和法，所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n 0 ， 再利用两式求和法结合二项式的系数的性质，得出 f(n) 。

几何分布的参数估计及应用习丑簟葺;牟口应用概率统计第十四卷第一期1998年2月f一弓Chineseloun~al0fAppliedProbabilityandStatisticsV o1.14N01Feb.1908几何分布的参数估计及应用半鲢.坠垄.2L/(jli亚,:学,-T盯啊,摘要(=)Z/基于几何分布的一次观察数据,应用假设检验与参数估计的关系给出了几何分靠的参敬估计方法.并计算了估计偏差和估计量的均方误差.表明该估计是可取的.最后蛤出了该方法在离散型可§1.引言无失效数据处理引起了国内统计学者的兴趣,提出了几种处理方法【3】[4]【5】.关键问题是如何根据无失效的试验次数估计二项分布的参数一失效率.这和基于几何分布的一次观察值去估计几何分布的参数有密切关系,均可视为基于二项分布的不完全数据去估计其参数.试图寻找比极大似_然估计更有效的方法.这一问题还有直接应用背景,在某产品的研制过程中获得了几何分布可靠性增长数据,希望估计出其可靠性.已有的关于二项分布可靠性增长模型,例如Lipow的模型,在这里就不适用.有必要根据几何分布数据特点探索适用于这类数据的统计分析方法.设事件发生的概率为P,重复试验直至事件发生为止,试验次数Ⅳ是随机变量,它服从几伺分布,即p(1v:'l+1):p(1一p)n,,l=0,1.….基于观察值|v估计P,自然可用极大似然估计p.=1/(n-I-1),不难计算E(p')=tx登=O而1p(1一p)"=一plogp由Taylor公式知当p接近l时上式接近于P,而p小时与p相差较大.在多数实际问题中p较小.这时应怎样估计p使其偏差较小呢?我们利用假设检验与参数估计问的关系给出?,的估计,并将其用于可靠性增长模型.考虑假设检验问题:,,o:p:Po;1fI:p&lt;Po如何检验该假设?直观地看,当p较大时,Jv 倾向取小值.于是当Ⅳ过大时应拒绝原假殴Ho,即找一整数m,当Ⅳm时拒绝原假设o."由显着水平"确定,n‰(Ⅳ≥m)=∑po(1一po):【1一po))r国塞自髂科学基金资助项目和北京市教委责助科技厦目本文1S97年1月31日收到.m=[]_(1)对给定观察值Jv,使得接受原假设的p0满足"=In"/In(I—po)三N,即1一n'也就是对给定观察值Ⅳ,置信度为(I—n)的置信上界是I一01",经相同的讨论,可得置信度为l—n的置信下界是1一(I—n)IN,特别取n=l/2,可得p的点估计为l一(I/2).在第二节讨论这一估计的理论根据和性质,第三节讨论在可靠性增长模型中的应用,§2.最优检验与最精确置信界众所周知,假设检验与区间估计有对应关系.由最优检验可导出最精确置信上界.设X-,2,…,.Yn是抽自f(o,)∈:{f(o,z):0∈e)的简单样本,其中e是参数空问,假定0是开区间CR'.令:(1,.一,)是口的置信度为(1一n)的置信上界,即Pe(o0)=l一"VO∈0.若对任何满足(2)式的0'恒有Pe(O-())()),V&gt;0则称为一致最精确置信上界(z,)【1].考虑假设Ⅳo:0=如;:口&lt;Oo若存在一致最优检验(x)=l~r(o.)≤卅,Eo()S,Itpx,t任何满足(5)式的矿恒有)(),V0&lt;0o,其中=(x1,,…,工当():l时拒绝原假设.为确定起见,设T(qo,x)对固定的X是0.的单调递减函数,且其分布与.无关.于是C与无关.令{Oo:T(00,)C)=(S-】,(,X)=(那么=(x)是口的一致最精确置信I-P~[1].这里描述的统计量T(eo,X)是为检验假设(4)按一般原则构造出来的,是的函数.但也可用另一种方法得到(以下称为第二种方不依赖于.,而其分布依赖于0..当T&lt;C时拒绝原假设.令p(c,Oo):Po.(X)&lt;c),(8)从而((?(,n)=sup{c:P(c0o)&lt;n).为使检验是无偏的,对固定t"r,C=C(Oo,)应是口0的增函数.这时仍可按上述方法确定置信上界:[Oo:T(X)26'(00.n)】={o:Oo)其中满足T(X):C(e.n).(7),32?,,§,i一§善.,i,,I-',.●●'_,J●}.,,,/,/.,一若由确定的检验是一致晟优的,刚{7)式确定的-d是一致最精确置信上界.当考虑假设II【I:=%;Ⅳt:口&gt;0时.而当T&gt;C时拒绝原假设.以同样的方式可得到置信下界.不过取n&gt;0.5时求出的置信度为1一置信上界实际上是耸信度为n的置信下界.常用的检验也可按第二种方式得到.例如,I,,..,抽自正态分布Ⅳ{,,I)的简单-l样本,考虑假设itIt=f'o:II】=lll&lt;ffl】.令r(,Y)=EXil*~,则当原假设成立时一l=tⅣ{,,l/.当7'{Y)&lt;C拒绝原假设,而接收对立假_歧.于是(f'0)=,,(71{)&lt;=P(T—f'.&lt;c—f'0),({0,(?),『1]一!,(")=1一n.,,『.其巾是标准正态分布.由(7)式的置信上界满足一fk/"=r(,Y),即置信度为1一n的ll 的置信上界是7'()+ira/i.这正是大家熟知的公式.当n=0.5时置信下界和置信上界的平均值可作为口的点估计.实际上以,'的巾位教作为口的点估计.当的巾位数lIfI一时.蛐足:7'(-Y)=c(o,0.5)(8)以下称为由检验导出的估计.当是最优检验时,它导出的估计具有某种最优性.若口点估计0的中位数是0,4称0为的巾位无偏估计Ⅱll满足:(0)≥lJ.5.?t()≥05.VOE0.若对0的任意中位无偏估计恒有E(一)E(O一).则称为0的均方误差—致最小中位无偏估计.由(8)式确定的估计就是巾位无偏均方误差一致最,J,估计.准确地说有以下定理.定理1设.Y【I,…,,Y,是抽自I(o,?)∈{y(O,):口Ee}的简单样木.萁中0是参数空间,假定0是开区间C(fY)是检验假殴(4)的统计量.当()&lt;C=州,n)时拒绝原假设,其巾(?椭足(D.1)=n,州c:D.)由(6)式确定.n为显着水平.1.若C(Oo,n)是0n的单上升函数.刚检验是无偏Il勺.2是由(7)式确定的0的置信度为1一n的置信上界.若检验r是最优的.则是一致最精确置信上界.}设0为lj=f检验导出的估计,若检验是最优的,且其中位数唯一,二阶矩存在,则口是口的均方误差一致最小巾位无偏估计.证明:只需证明},【和2的证明见[1】.设r(x)是假设(4)的检验统计最.当T(X)&lt;= ('(r)时拒绝原假醴,其中(满足?,(0.】)=n,p(c,00)由(6)式确定,且是最优检验.于是由(7)式确定的0是置信度为1一n的0的一致最精确置信上界,而由7'{X)=({,J—El1)确定的是置信度为l—n的0的一致最精确置信下界.由于71的中位数唯一lim550,(9)(【0)33-,r■I-t'●.P^,■--,其中满足7'()=(…)即是置信度为l,2的口一致最精确置信上界,也是口一致最精确下界.以(?)记的分布函数.若口'是0的任意中位无偏估计,其分布函数记作?(_).则可作为假设(4)的检验统计量.事实上,令(c,0)=((X)≤c)(12)及:,n)=sup{cp.(c,口o)&lt;n).当&lt;(时拒绝原假设,恰是显着水平为n的假设(4)的一个检验.以记由它导出的估计.那么由下式确定的口()=(.(矿,n),口'():'(,i一0),(13)矿,分别是0的置信度为1一n的置信上下界.且有lim矿&gt;^.&gt;lim.r141a—U5t,t一Ⅱ5由于口是中位无偏的,故(.(口,)=0.于是=.矿,02的分布函数分别记作啼(-)和?(_)则由(3)式,对任意n&lt;l/2(￡)魄?(),V&lt;0及1一)l一?(),&gt;口●令n—l,2,由上式及(I4)得￡)?(),V&lt;0及1一()l—?(),V&gt;口.(15)由于,十∞,a,∞o.&gt;/(￡一n)():2/(一￡)F()ch+2/(￡一)(1一()),一∞,一∞Jn故由(15)得Ee(一口).E(口'一口).关于几何分布参数的检验仅能用第二种方法得到.考虑简单假设::P=Po;1:P=p1&lt;Po.(I6)=缫(17)侮月,尊昔爿nj其中E(Ⅳ)=Po)=n.当中(Ⅳ)=I时拒绝原假设,否则接受原假设.易见--c[--Plckqf1)HN&gt;m=而"满足n=E(~Iv=Po)=P(N&gt;m/p=P0)=(1一加).于是m由1确定,且与p1无关.故以上讨论和定理1得定理2.定理2设N服从参数为p几何分布.基于N的假设检验问题H0:pm;HI:p&lt;的一致最优检验的拒绝域是N&gt;m,其中由(1)式确定.而p的置信度为1一n的最优置信上界是1一≈.置信下界是1一≈,r=.=1一两是p的均方误差一致最小中位无偏估计. 关于几何分布的均方误差一致最小中位无偏估计和极大似然估计n勺偏差和均方误差作了数值计算.列表如下:偏差和均方误差的比较参数真值1)=1一而=1/g一PE矿一pE(一p)E(p一p)10050.09390.15770.04390.10770.0154004720.100.148202588004820.15880.0200008300.150.19200.33480.04020.j8480.02450.IJ080.200.22520.40240.025*******.02520.14460250.25530.462l0.00530.2l2l0.02570.14060.80028l90.51500.018002l59002520.17680.350.30590.565:]0044l0.2l530.026l0.18520.400.32760.6l090.07240.2j090.02830.189l0.450.347606533Ol2040.20030.0:]22018900.500.36600.693l0.13400.19390.038l0.1852§3.基于几何分布的可靠性增长模型在实际工程中常遇到几何分布可靠性增长模型.即可靠性试验是成败型的.只记录试验是否成功.全部试验分若干阶段进行,每一阶段的试系统处于同一状态.直到出现首次失败结柬该阶段试验,根据试验中出现的问题,对系统进行改进.用改进的系统进行下一阶段的试验.每一阶段的试验数据是出现首次失败的试验次数和该阶段失败试验的失效模式.面对的问题是根据"次试验结果对系统最后状态的可靠性作出估计.今应用关于几何分布参数估计的结果应用于几何分布的可靠性增长模型.以记第f阶段试验的试验次数,其失效率记为pi.以Ai记第f阶段试验的最后一次试验的失效模式.假定各失效模式互不相容.Ⅳi服从几何分布.其参数为.第一阶段试验结束后,肌的均方误差一致最小中位无偏估计是而=l一丽,置信度为l一"的的置信下界为35?,,.,,_～～-～F'i,～,～r0rr～r～,_ll—叮_=.经改进后进行第二阶段试验.试验次数为.失效模式为Az若失效模式-已排出.即系统不会再出现模式,.那么第一阶段的前Jv一1次试验在第二状态下也不会失效.即可将第一阶段巾的试验满足模式A.不发生的条件下的数据归人第二阶段试验.于是可认为系统处于第二种状态时,做Ⅳl+N2—1次试验.在第1v_+试验出现失效.故P2的均方误差一致最小中位无偏估计是:1一Ⅳl+一,置信度为l—n的P的置信下界为1一+一r=.若失效模式A没有排除.则不能将第一阶段的失效数据剔出,应将两阶段试验数据合井处理.问题是如何判断经改进设计后的产牖已经排除了前阶段的失效模式.现在就这问题作初步讨论.在观察到第二个观察值后.第一阶段的失效模式l经改进设计后可能排除了,也可能未排除,我们排除改进设计反而增加新问题的可能性.也l就是醣改进设计的最坏结果是无改进.以D.记事什"排除了失效模式".以p.』(1)记事件LI,的概率.则p(而1)=l—P』(1).由垒概率公式,P(=¨)=P(=JtDI)P(I)+P(虬=,2/731】P(西I)=PI(1一,'I】一'(1】+(1一,)"一(1一pH(1))在N=的条件下,事什f)l和I的条件概率分别是于是P(/=『J】:P()I/=n】=pI(1一lJI)n2-P,Il1)+j(1一1)一'(—ff(【)l(1一『J1)一'(1一ISd(1)】I(1一pl】一P,i(1)+,,(1一j】一'(1一Ud(1】)P{J)I,2=')『JI【I一,I)一lj—j(I))可—而一.当上式小于1时可判断为事什Dt发生.ⅡI】当若c…(I一)"2一II—fI1)时判断为事件Dl发生,对给定Pl和由于jI&gt;,1一pl&lt;1一p7.(18)左端是¨2的严格递减函数.故存在憷数『『_?使得当,fII,时,(IH)式成立而当(18)式不成立时.于,,1和P2未知.不能准确地确定?的值,但可由它们的上一I-界判定(1R)式成立.对给定显着性水平t|_的置信上界为l=1一',,,纳置信f.-界为l:1一(1一{-)t故P(筹)P(pt_I)P(2也】:.(I—n于是当F,/丝,(I】/(I一I】)时,(1H】式成立因此,14-t/?(1】,(1一I】)成立断定)I 发生,惦刿概率为P/鲁)1.(1_+P{_1).该公式很粗糙,实际锚判概率远小于上式右端的估值.对各阶段可作类似处理.例如.对某系统作可靠性增长试验共进行兰阶段.各阶段出现首次失效的试验次数分别是非I1.10和平且葬阶段的失效模式均不相同.那么,第一阶段试验后,系统的可靠性点估计.=l—P,:j=09389,置信度为名85%的可靠性置信下界为盈=1一:=08,11,~1'17;f6"2:设排除第一阶段失效模式的概率为0.90.而坐=j—u.85.t'.=00161205.1/12=98267&lt;l0=(1)/(L—P,t(1)).判断为第一阶段失效模式已排除.佑判概率不超过1—085+L=0.:}775.第一阶段观察数据可井人第二阶段.第二阶段试验后点估计为赴:=O.9659,置信P~js5%的可靠性置信下界为盈=L—==0.9095;而=l一0.85t=0.01242/丝=7.28&lt;L0=7¨(I)/(1一Pa(I)).判断为第二阶段失效模式已排除.第二阶段观察数据可井人第三阶段.第三阶段试验后点估计为09792,置信度为5%的可靠性置信下界为五=0.9642.置信度为85%『内可靠性置信下界为五=0944j.参考文献…1陈希孺数理魄计暑I话,科学!u版杜,l1.j6l;一:懈0.血平,毒盘估计.上簿科学fJ{版社.I1181.张盘占.韬撮海.无失效微据处理敬理统计与应J}』概率.4【tgsg).卜I】I张盘占.橱振海.等效失效数在无失效敦据分析岫应月j,敦删境计应月j概栽6(19IJI1.【51茚诗按等,无失教敬掘的可靠性分析岫应Hj.数理境计与应J}』慨书,4【1㈣I)).【6lRiI'lu~nLA-J-,('I~nl[iII.?1?'elinll,-~li'.1?wiqIn【【i'rTI:r,:li;dli【iygnIJ'_l¨1?l?j?【,J.Statis|i?:alPJ;lltllillga?IIIj【?n??c??rc39fl{lj8—9 ParameterEstlmationforGeometricDistributionandItsApplicationY^'=:ZHEN【1^IⅥNG0NttU(8cn,uhnlcnire"i2'in#】Luthispa1)~r.p,'lrallllr]11[_diantun1)imslsIimatiouw]1hIlliilUill~OtlllIIIte~lls([1mrPI ~rrorispro-e(IbyusiugrI~LMrlOllbet.w'I1luypoth(!s(~saI1dⅢlramertiIIlII1.ionauudiapplicationtorella-1)iLLtygrowthIIto&lt;lelforgeoi]}etric(1istril)ulion.'37。

第一章 绪论1．把下列各数按四舍五入规则舍入为有3位小数的近似数，并写出近似数的绝对误差和相对误差，指出近似数有几位有效数字： 93.1822 4.32250 15.9477 17.3675 2．按四舍五入原则，将下列数舍成五位有效数字：816.9567 6.000015 17.32250 1.235651 93.18213 0.015236233．设 **,671.3,6716.3x x x 则==有几位有效数字？ 4．若1/4用0.25来表示,问有多少位有效数字? 5．若 1.1062,0.947a b ==是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?6．设120.9863,0.0062y y ==是经过舍入后作为12,x x 的近似值, 求11y 和21y 的计算值与真值的相对误差限及12y y 和得到真值的相对误差限. 7．设0,x x >的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差.8．正方形的边长约为100cm ,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过12cm . 9．设x 的相对误差为a %,求x n 的相对误差.10．计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何?11．5631.2*=x 是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e __________ 12． 设 0000073.0,1416.3,1415926.3**=-==x x x x 则称_________误差13．设⎰+=1061dx xx I nn ，设计一个计算10I 的算法，并说明你的算法的合理性。

14．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （1,2,n = ）， 计算到100Y27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差． 15．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有4位有效数字27.982≈）．16．当N 充分大时，怎样求121d 1N N x x ++⎰？17．序列{}n y 满足递推关系101n n y y =- （1,2,n = ），若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？18．计算61)f =1.41≈，利用下列算式计算，哪一个得到的结果最好？，3(3-，99- 19．()ln(f x x =，求(30)f 的值，若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(ln(x x =- 计算，求对数时误差有多大？第二章 解线性方程组的直接方法1．用高斯消去法解方程组123234011921261x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2．用LU 分解，将上题系数矩阵分解为L 和U 的乘积，L 是对角线元素为1的下三角矩阵，U 是上三角矩阵。

数值运算的误差估计四则运算的证明数值运算的误差估计是指在进行四则运算（加法、减法、乘法、除法）时，由于计算机在表示和处理实数时存在有限精度的问题，导致结果可能与实际值之间存在一定的差距。

这种差距即为误差，我们需要对误差进行估计，以保证计算结果的准确性和可靠性。

在进行数值运算时，计算机使用有限的位数来表示实数，例如使用二进制的浮点数表示法。

然而，无论使用何种表示方法，都无法完全准确地表示无限的实数集合。

这就意味着，在计算机中进行的数值运算实际上是对实数的一个近似计算。

我们来看加法和减法运算的误差估计。

在进行加法运算时，如果两个数的绝对值差距很大，那么较小的数在计算机中可能被舍入为零，从而引入了较大的误差。

而在进行减法运算时，由于计算机的有限精度，可能会出现两个非常接近的数相减时的大误差。

在实际应用中，我们可以通过控制计算顺序以及合理的舍入规则来减小这些误差。

接下来，我们来看乘法和除法运算的误差估计。

在进行乘法运算时，如果两个数的绝对值都很大，那么结果的绝对值可能会超出计算机的表示范围，从而导致溢出。

而在进行除法运算时，如果除数接近于零，那么结果可能会变得非常大，也可能会变得非常小，这就会引入较大的误差。

因此，在进行乘法和除法运算时，我们需要特别注意数值的范围和精度，避免产生不可预测的结果。

为了更好地估计数值运算的误差，我们可以借助一些数值分析的方法。

其中一种常用的方法是舍入误差分析。

舍入误差是由于将无限精度的实数舍入为有限精度的实数而引入的误差。

通过分析舍入误差的上界和下界，我们可以得到对数值运算结果的误差估计。

另外，我们还可以使用数值稳定性分析来评估数值算法的稳定性和可靠性。

数值稳定性是指在输入数据存在扰动的情况下，算法的输出结果是否能够保持稳定。

如果算法具有较好的数值稳定性，那么它在进行数值运算时产生的误差就相对较小。

总结起来，数值运算的误差估计是保证计算结果准确性和可靠性的重要手段。

在进行四则运算时，我们需要注意加法、减法、乘法和除法运算可能引入的误差，并采取相应的措施来减小误差。

心理统计公式算数平均数：未分组：X iX N=∑，X ：平均数；Xi∑：所有数据之和；：数据个数N 分组：Xcf X N⋅=∑，：各区间组中值；：各区间次数；：数据总次数(=X c f N f ∑)利用估计平均数的计算方法：未分组：X X AM N'=+∑，X '=iX AM -；AM ：估计平均数分组：fd X AM i N=+∑，i ：次数分布表组距；()CXAM d i-=为组差数；C X :各组组中值全距：max min RX X =-离差：X μ=-x平均差：..iiX XxA D nn-==∑∑，i x ：离均差次数分布表中：..i f X X fxA D nn-==∑∑，f ：各组次数；x ：各组中点值对平均数离差的绝对值方差：222()X X x sNN-==∑∑，作为总体参数时用2σ表示原始数据计算：()222222N X X XX s NN N-⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，2X∑：原始数据平方和；(2)X ∑：原始数据总和的平方和；：数据个数N标准差：s ==，原始数据计算：s ==，符号意义同上分组数据的方差：()222C f X X fxsNN-==∑∑，2222fd fd s i N N ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑ 分组数据的标准差：s ==，s i =其中C X AMd i-=，：估计平均数；AM C X ：各分组区间的组中值；f ：各组区间的次数；：总次数；i ：组距N总标准差的合成：T i id X X =-，T s =2Ts ：总方差；：总标准差；：各小组标准差；：各小组数据个数； T s i s i N T i i d X X =-，T X ：总平均数；i X ：各小组的平均数变异系数：100sCVX=⨯%，（注意有百分号，代表标准差占均值的百分比） s ：某样本标准差；X ：该样本平均数标准分数：X X xZs s-==，X ：原始数据；X ：一组数据的平均数；s ：标准差 正态标准分数：Z aZ b '=+，、b 为常数，通常为标准差，通常为平均数a ab 四分位差： 未分组：312Q Q Q-=，：为第一个四分位；：为第二个四分位；：为第三个四分位1Q 25P 2Q 50P 3Q 75P 分组：114b b N F Q L f ⨯-=+⨯i ，334b b N F Q L f⨯-i =+⨯b L ：为该四分点所在组的精确下线；f ：该四分点所在组的次数；：该四分点所在组以下的累加次数；i ：组距；：数据个数F N 百分位数：100b p b PN F P L f⨯-=+⨯i p P ：所求的第个百分位数；：百分位数所在组的精确下限；：小于的各组次数P b L b F b L的和；：总次数；i ：组距 N百分等级：()100b Rb f X L P F N i -⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦X ：给定的原始分数；f ：该分数所在组的频数；：该分数所在组的精确下限；：小于的各组次数的和；：总次数；i ：组距b L b F b L N 10050100=-R R P N-，R ：某一原始分数在按大小排列的数列中的顺序或名次；：分数的总次数N积差相关：标准差与离均差的计算公式：X Yxy rNs s =∑，x 、y ：两个变量的离均差，x X X =-，y Y Y =-；：成对数据的数目；：N X s X 变量的标准差；：Y 变量的标准差 又有：Ys xy r =标准分数计算相关系数的公式：1X Y r Z N=∙∑Z X 变量的标准分；Y Z ： Y 变量的标准分X Z ：原始数据计算相关：X Y XY r -=∑∑∑或使用N XY X Y-r =计算积差相关的差法公式：减差法：2222X Y X YX Y s s s s s -+-=r 或222x y x r +--=y 加差法：2222X Y Ys s s s s +=X X Y--r 或222x y x r +--=y 变量的标准差；： 变量的标准差；Y s Y x 、y 离均差；2X Y s +：X Y +这一新变量X s ：X的方差；：2X Y s -X Y -这一新变量的方差其中，()()2222222,,,i i i i i X Y x i X Y X Y y x y x y s s NNNN+-+-==∑∑∑∑s s ==()相关系数的合并：()33i in Zn -=-∑∑ii Z ，Z ：由各样本查i r Z r -转换表得到；：各样本的成对数目i n 等级相关：斯皮尔曼等级相关： 等级差数法()： 30()22611R D r N N =--∑N <N ：等级个数；：二列成对变量的等级差数，即D X Y D R R =-等级序数法：()(43111X Y)R R N N N N ⎡⎤=⋅-+⎢-+⎣⎦∑R r ，其中⎥X R 与Y R 为两列变量各自排列的等级序数有相同等级的积差相关：22RC2x y Dr +-=，其中，3212X N N x C -=-∑∑，()2112X n n C -=∑∑3212Y N Ny C -=-∑∑，()2112Y n n C -=∑∑N ：成对数据的数目；：各列变量相同等级数n肯德尔等级相关： 肯德尔W 系数：()23112s WK N N =-，()()222123111i R N W N K N N +=---∑()222i iiiR R s R =-∑∑R N N ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑，i R ：评价对象获得的K 个等级之和；N ：被等级评定的对象的数目；：等级评定者的数目 K有相同等级的W 系数：()23112sW K N N K T =--∑其中，()22iiR sRN=-∑∑，312n nT -=∑∑，：相同等级的数目n 肯德尔U 系数：()281(1)(1)ijij r K r U N N K K -=+-⋅-∑∑，N ：被评价事物的数目；K ：评价者的数目；：对偶比较记录表中i (或i )格中的择优分数ij r j j ><质与量相关：点二列相关：p qpbtX X r s -=或p tpb tX X r s -=p X ：与二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数；q X ：与二分称名变量的另一个值对应的连续变量的平均数；p 与是二分称名变量两个值各自所占的比率，q 1p q +=；：连续变量的标准差t s 二列相关：p q b t X X pq r s y -=⋅，p t b t X X pr s y-=⋅ t s 与t X 分别是连续变量的标准差与平均数；p X ：与二分变量中某一分类对偶的连续变量的平均数；q X ：与二分变量中另一分类对偶的连续变量的平均数；p ：某一分类在所有二分变量中所占的比率；：标准正态曲线中y p 值对应的高度，查正态分布表能得到品质相关：Ф相关：()()()()1112221112221111222212121222221111n n n n n n n s s s n F F n s s s n σσσσ--------===--二项分布函数：(..)b x n p (..)X X n X n b X n p C p q -=，表示在次实验中有n X 次成功，成功的概率为p 。

短路电流计算中基准值的概念及其归算方法解说基准值（也叫标么值）计算方法是一种模拟计算方法，能使计算手续大为简化。

模拟量的大小是以某一基准值作为一个标度，按比例原则归算的。

遵循这些比例原则，具体的物理量和模拟量之间有着一一对应的关系。

短路电流的计算是一项基础性技术工作，它是工厂电气方面决策多项工作的根本。

这项工作对用户来说，如果有3Ex ≥，就算是无限大容量供电的系统，在阻抗的概念上是远距离发电机的，因而发电机的电枢反应造成的短路电流衰减及其此后随之而来的自动调压器对短路电流的恢复作用，就都予考虑了。

于是短路第一周期内周期分量有效值//I I ∞=(短路电流稳态值)，因此，计算工作就大为简化了。

剩下的问题就是在使用标么方法一切要搞清它的物理概念和物理意义，可以见到数值计算和标么计算的结果是一样的。

在三相制短路电流计算中，经常遇到系统中某一点的短路容量Wk 是多少兆伏安，短路电流是多少千安培以及系统到某一点的短路电抗是多少欧姆的问题。

这三者之间的关系就是三相制中的视在功率关系式和欧姆定律。

下面以脚码1、2、分别表示系统中某1、2、两点的有关数据：在1点有：11k K W （1）1K I =可导出：2112113k k k k W U X I W ===⨯)…………………（2） 在2点有：22k K W = （3）2K I =(可导出：2222223k k k k W U X I W ===⨯)…………………（4） (1)(3)÷得：1122k k k k W I W I = （5） (2)(4)÷得：1221k k k k I X I X = （6） 由（5）、（6）式可见，K I 和k W 成正比例，这两个量又都与k X 成反正比。

式中：U ——系统中某一级电压平均值（千伏）k X ——短路的系统从电源到短路点的电抗总和（欧姆）。

例：设有一供配电系统，它是由四段电抗组成的，如下图： 发电机电抗器架空线356KV变压器已知：从电源到K3点的短路系统总电抗为1.225Ω当K2点短路时，电源向短路点提供的短路容量为21250k W MVA =当K3点短路时，电源向短路点提供的短路容量为31000k W MVA =当K4点短路时，电源向短路点提供的短路容量为4200k W MVA =求：K2点和到K4点的电抗是多少？ 第一方法，用物理数值计算：22223512250.9812501250k k U X W ====Ω K4点处在6KV 侧，电压要按6KV 计算，K4点4200k W MVA =到K4点的电抗值：224460.18200k k U X W ===Ω 为了便于比较系统中到各点的电抗值，有时还需要把各级电压中每个元件的电抗值换算到某同一级电压去。

等值计算公式的应用1. 预付年金的等值计算【例1】：某人每年年初存入银行5000元，年利率为10％，8年后本利和是多少？解： 查教材P.298的复利系数表知，该系数为11.4359【例2】：某公司租一仓库，租期5年，每年年初需付租金12000元，贴现率为8％，问该公司现在应筹集多少资金？ 解法1：解法2：解法3：2. 延期年金的等值计算【例3】：设利率为10％，现存入多少钱，才能正好从第四年到第八年的每年年末等额提取2万元？解：45.62897%)101()8%,10,/(5000=+⋅=A F F 39.51745%)81()5%,8,/(12000=+⋅=A P P39.51745)4%,8,/(1200012000=+=A P P 39.51745)4%,8,/()5%,8,/(12000=⋅=F P A F P 7.5)3%,10,/()5%,10,/(2=⋅=F P A P P【例4】：若利率为6%，现存入多少可使今后30年每6年末提取2000元？解：P ＝2000（A/F ，6%，6）（P/A ，6%，30） ＝3947.73. 永续年金的等值计算【例5】：某地方政府一次性投入5000万元建一条地方公路，年维护费为150万元，折现率为10％，求现值。

解：该公路可按无限寿命考虑，年维护费为等额年金，可利用年金现值公式求当n →∞时的极限来解决。

i A i i i A P n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅=∞→)1(1)1(lim4. 求解未知的i【例6】：15年前，某企业投资10000元建厂，现拟卖出该厂得25000元，这10000元的收益率是多少？解法1：F=P（F/P，i，15）（F/P，i，15）=2.5i F/P i F/P i F/P6% 2.397 2.5 8% 3.1725. 名义利率与实际利率关系换算【例7】：每半年存款1000元，年利率8%，每季计息一次，复利计息。

计量经济学分析计算题（每小题10分）1．下表为日本的汇率与汽车出口数量数据，年度 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 X Y 168 661145 631128 610138 588145 583135 575127 567111 502102 44694 379X:年均汇率（日元/美元） Y:汽车出口数量（万辆） 问题：（1）画出X 与Y 关系的散点图。

（2）计算X 与Y 的相关系数。

其中X 129.3＝，Y 554.2＝，2X X 4432.1∑（－）＝，2Y Y 68113.6∑（－）＝，()()X X Y Y ∑－－＝16195.4 （3）采用直线回归方程拟和出的模型为ˆ81.72 3.65YX =+ t 值 1.2427 7.2797 R 2=0.8688 F=52.99 解释参数的经济意义。

2．已知一模型的最小二乘的回归结果如下：i i ˆY =101.4-4.78X 标准差 （45.2） （1.53） n=30 R 2=0.31其中，Y ：政府债券价格（百美元），X ：利率（%）。

回答以下问题：（1）系数的符号是否正确，并说明理由；（2）为什么左边是iˆY 而不是i Y ； （3）在此模型中是否漏了误差项i u ；（4）该模型参数的经济意义是什么。

3．估计消费函数模型i i i C =Y u αβ++得i i ˆC =150.81Y + t 值 （13.1）（18.7） n=19 R 2=0.81 其中，C ：消费（元） Y ：收入（元）已知0.025(19) 2.0930t =，0.05(19) 1.729t =，0.025(17) 2.1098t =，0.05(17) 1.7396t =。

问：（1）利用t 值检验参数β的显著性（α＝0.05）；（2）确定参数β的标准差；（3）判断一下该模型的拟合情况。

4．已知估计回归模型得i i ˆY =81.7230 3.6541X + 且2X X 4432.1∑（－）＝，2Y Y 68113.6∑（－）＝， 求判定系数和相关系数。

调节阀流量‎系数Kv的‎计算公式调节阀最重‎要参数是流‎量系数Kv‎，它反映调节‎阀通过流体‎的能力，也就是调节‎阀的容量。

根据调节阀‎流量系数K‎v的计算，就可以确定‎选择调节阀‎的口径。

为了正确选‎择调节阀的‎口径，必须正确计‎算出调节阀‎的额定流量‎系数Kv值‎。

调节阀额定‎流量系数K‎v的定义是‎：在规定条件‎下，即阀的两端‎压差为10‎P a，流体的密度‎为lg/cm，额定行程时‎流经调节阀‎以m/h或t/h的流量数‎。

1．一般液体的‎K v值计算‎a．非阻塞流判别式：△P＜FL（P1－FFPV）计算公式：Kv＝10QL式中：FL－压力恢复系‎数，见附表FF－流体临界压‎力比系数，FF＝0.96－0.28PV－阀入口温度‎下，介质的饱和‎蒸汽压（绝对压力），kPaPC－流体热力学‎临界压力（绝对压力），kPaQL－液体流量m‎/hρ－液体密度g‎/cmP1－阀前压力（绝对压力）kPaP2－阀后压力（绝对压力）kPab．阻塞流判别式：△P≥FL（P1－FFPV）计算公式：Kv＝10QL式中：各字符含义‎及单位同前‎2．气体的Kv‎值计算a．一般气体当P2＞0.5P1时当P2≤0.5P1时式中：Qg－标准状态下‎气体流量N‎m/hPm-(P1+P2)/2(P1、P2为绝对‎压力)kPa△P＝P1－P2G －气体比重（空气G＝1）t －气体温度℃b．高压气体（PN＞10MPa‎）当P2＞0.5P1时当P2≤0.5P1时式中：Z-气体压缩系‎数，可查GB/T 2624-81《流量测量节‎流装置的设‎计安装和使‎用》3．低雷诺数修‎正（高粘度液体‎K V值的计‎算）液体粘度过‎高或流速过‎低时，由于雷诺数‎下降，改变了流经‎调节阀流体‎的流动状态‎，在Rev<2300时‎流体处于低‎速层流，这样按原来‎公式计算出‎的KV值，误差较大，必须进行修‎正。

此时计算公‎式应为：式中：Φ―粘度修正系‎数，由Rev查‎F R－Rev曲线‎求得；QL－液体流量m/h对于单座阀‎、套筒阀、角阀等只有‎一个流路的‎阀对于双座阀‎、蝶阀等具有‎二个平行流‎路的阀式中：Kv′―不考虑粘度‎修正时计算‎的流量系ν ―流体运动粘‎度mm/sFR －Rev关系‎曲线FR-Rev关系‎图4．水蒸气的K‎v值的计算‎a．饱和蒸汽当P2＞0.5P1时当P2≤0.5P1时式中：G―蒸汽流量k‎g/h，P1、P2含义及‎单位同前，K－蒸汽修正系‎数，部分蒸汽的‎K值如下：水蒸汽：K＝19.4；氨蒸汽：K＝25；氟里昂11‎：K＝68.5；甲烷、乙烯蒸汽：K＝37；丙烷、丙烯蒸汽：K＝41.5；丁烷、异丁烷蒸汽‎：K＝43.5。

医学统计中p值得计算方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：医学统计中p值的计算方法在医学研究中，p值（p-value）是用来评估统计数据的显著性和可信度，是评估研究结果的重要指标之一。

p值的计算方法是通过对比研究结果的某种统计指标与假设的差异来确定的。

通常来说，p值越小，代表研究结果与零假设的差异越显著，反之亦然。

p值的计算方法通常分为四个步骤：假设检验、计算统计量、确定分布和计算p值。

第一步：假设检验假设检验是统计学中用来评估研究结果是否显著的方法。

在医学研究中，通常会设置一个零假设（null hypothesis）和一个备择假设（alternative hypothesis）。

零假设通常是研究结果无显著差异或无关联，备择假设则是有显著差异或相关联。

第二步：计算统计量在计算p值之前，首先需要计算出一个统计量。

统计量是用来衡量研究结果与零假设之间差异的量化指标。

常见的统计量包括t值、F 值和χ2值。

选择适当的统计量取决于研究设计和所要检验的问题。

第三步：确定分布确定统计量的分布是计算p值的关键步骤之一。

根据零假设的前提条件，找到适当的统计分布作为参照。

常见的统计分布包括正态分布、t分布、F分布和χ2分布。

根据统计量的类型和检验的问题选择合适的分布。

第四步：计算p值最后一步是根据统计量的取值和参照分布计算p值。

p值表示在零假设成立的情况下，观察到的统计量或更极端情况的概率。

通常在统计分布表中查找与统计量对应的临界值，计算出观察到的统计量对应的p值。

需要注意的是，p值并不是研究结果的可信度或效应大小的直接度量，只是一个反映研究结果与零假设差异的指标。

p值与置信区间、效应量等指标结合使用可以更全面地评估研究结果的重要性和实用性。

p值的计算方法是医学统计学中的重要内容之一。

通过正确应用假设检验、计算统计量、确定分布和计算p值等步骤，可以对研究结果进行科学合理的统计分析，为医学研究提供有力的支持和参考。

论唐代的虚估与实估【内容提要】虚估和实估是理解唐中后期财政制度的关键问题。

传统意见认为实估系市场的实际物价，虚估是政府制定的不切实际的高物价。

本文以为虚、实估起源于虚、实钱，以实钱估价物品为实估，以虚钱估价物品为虚估，其中，实估是稳定的，而虚估则时常变化。

虚、实估之间的差价实际上就是虚、实钱之间的差价。

虚钱和虚估本为民间行为，肃宗朝得以合法化，虚估遂渗入政府的财政收支关系之中，唐后期财政收支上的混乱无序，皆由此而起。

【关键词】唐代/虚钱/实钱/虚估/实估【正文】虚、实估是唐代财政史研究中的疑难问题与核心问题，涉及唐中后期财政制度的方方面面。

但专论虚、实估的文章，仅有刘淑珍先生的《中晚唐之估法》（注：载《史学集刊》1950年第6期。

）（以下简称刘文）一篇而已；此外，李锦绣先生的《唐后期的虚钱、实钱问题》（注：载《北京大学学报》（社科版）1989年第2期。

）一文（以下简称李文），也对此多有涉及。

以上二文引证虽详，但因不得要领，对虚、实估误会颇深。

其他论及唐代财政制度各种著作中，虽然都有对虚、实估的说明，但为其复杂性所困扰，一般不作深入研究，多采用刘文之说。

笔者不揣浅陋，今试就此疑难问题作一正确说明。

一、虚、实估之由来刘文、李文都将实估当作市场的实际物价，将虚估看作是政府制定的不切实际的高物价，并认为虚估是政府为改变两税法下民众负担过重而采取的措施（详见二文）。

这一论断的前提是所谓两税法造成了物价的不断下降。

而两税法是否造成了物价的不断下降，这本身就是一个争议颇大的问题，以此作为前提条件的结论自然难以服人。

退一步说，既便是承认两税法的确造成了物价的不断下降，其推断也不能成立。

其一，如果说虚估只是为减轻两税法下民众赋税负担而设置的高物价，那么，虚估就应该只存在于两税征收之中，而不应该再出现在其他领域中。

但事实上，在唐中后期，虚估涉及的范围十分广泛，不仅出现于两税征收中，而且政府的各项收入与支出，包括盐铁酒茶各税、官俸、军费、和籴、和市、和雇等等，都有虚估的存在。

第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第6讲 离散型随机变量的均值与方差练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X 的概率分布为则X 的数学期望E (X )＝解析 由概率分布的性质，a 2＋a 22＝1，∴a ＝1.故E (X )＝12×0＋12×1＝12.答案 122.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________，________.解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6 0.43.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差V (X )的值为________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴V (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案24254.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是________. 解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 4.55.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________. 解析 记“不发芽的种子数为Y ”，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2Y ，故E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. 答案 2006.已知X 的概率分布为设Y ＝2X ＋1，则Y 解析 由概率分布的性质，a ＝1－12－16＝13，∴E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.答案 237.(2016·青岛模拟)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________.解析 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6， 则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.答案 802438.(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案 25二、解答题9.(2016·常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与数学期望E (ξ). 解 (1)甲、乙两人所付车费用相同即为2，4，6元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.都付2元的概率为P 1＝14×12＝18，都付4元的概率为P 2＝12×14＝18，都付6元的概率为P 3＝14×14＝116，故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝516.(2)依题意知，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.P (ξ＝4)＝14×12＝18， P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝8)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝12)＝14×14＝116.故ξ的概率分布为所求数学期望E (ξ)＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2.10.(2016·南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有2人申请A 大学的概率；(2)求被申请大学的个数X 的概率分布与数学期望E (X ). 解 (1)记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 24×2234＝2481＝827.即恰有2人申请A 大学的概率为827.(2)X 的所有可能值为1，2，3.P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 24×A 23＋C 24A 23A 2234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49.X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝1×27＋2×27＋3×9＝27.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则V (X )＝________.解析 由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故V (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 6512.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________.解析 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为依题意，E (X )＝3a ＋2b ＝2，又∴2＝3a ＋2b ≥26ab ，则ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝12时上式取等号.答案 1613.(2016·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元. 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1， ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金ξ的概率分布为∴E (ξ)＝700×17＋560×7＋420×7＝500(元).答案 50014.(2016·苏北四市质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为p ＝23，背诵错误的概率为q ＝13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”.(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的概率分布及数学期望.解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确4首，错误2首，若第一首和第二首正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余3首可任意背诵对2首.故所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23·13·23·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝1681.(2)因为ξ＝|S 5|的取值为10，30，50. 所以P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081； P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081； P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝10×4081＋30×81＋50×81＝81.。