数学的思想和方法_24130367

关于数学的思想与方法
用自己的心灵去感觉和理解数学 通过做数学去学习，去感觉和理解
一， 感觉和理解数学
庞卡莱，Henri Poincare (1854-1912)既是著名的数学家﹑物理学家和天文学家又是哲学家。

他在关于科学的３篇哲学著作——“科学与假设”，“科学的价值”，“科学与方法”中，对于数学的思想和方法提出了一些重要的问题，并试图加以论述。

比如：“究竟什么是数学创造”，“数学推理的本质何在”，“直觉和逻辑在数学研究中所起的作用”等等。

他的一句名言是：
By logic we prove, it is by intuition we invent.即，
我们靠逻辑进行证明，而只有靠直觉我们才能创造。

他批评了数学教育中忽视“直觉”的倾向：
“数学在变成严格的科学时，它忘记了它的历史起源；我们只看到问题应该如何回答，而不再理会问题是如何提出和为什么提出的。

”
“没有直觉，年轻人在理解数学时无从入手；他们不可能学会热爱它，因为他们看到的只是空洞的推理。

特别是，没有直觉，他们永远也不会具有运用数学的能力。

”
对于数学家，他也提出这样的忠告。

“在一个目标面前，我们有无数的路线可以选择，纯粹的逻辑分析并不能告诉我们应当如何去选择。

我们需要有一种前瞻性的本领，直觉就是这样的本领。

探索者必须具备这种本领。

对于跟随探索者前进的人也是如此，他们需要知道为什么选择这条路线。

”
但他没有就什么是直觉，如何获得和运用直觉展开论述。

我个人的看法是：直觉是对数学对象深思熟虑的思考和理解过程中逐步产生的一种感觉。

这种感觉使我们对数学对象的理解深刻而且全面，特别是能够了解它与其他数学对象的联系，它与数学以外的客观世界的联系。

在我看来，缺少这种深思熟虑的思考和理解过程是我们数学教学和数学研究的一个极大缺点。

我们不善于提问题，我们把主要精力用于解决人家提出的问题。

我们的“思想”太少，而“技巧”太多。

Poincare曾经与马赫一起受到列宁的批判。

我们不去讨论这种哲学上的争论。

但是，唯物主义的认识论，按毛泽东的简化，就是：
实践 — 认识 — 再实践 — 再认识 — 。

的无限过程。

对于纯粹数学家，他们不需要通常的实践（实验和观察）。

他们的实践就是用纸和笔对各种设想进行计算，检验；对各种特例进行剖析。

（欧拉在失明后甚至连纸笔都不要，完全用心算。

）这种“思维的实践”，是我们讲的“思考和理解过程”的重要部分。

大家都知道：做习题不是为了考试，而是为了加深理解。

对于数学家来说，这种实践也是为了加深理解，获得正确的感觉，从而做出发现。

许多同学把读书看成是学习的唯一方法，其实是不对的。

试图解决一些没有很好理解的问题是很好的学习过程，而且是更加全面的过程。

你需要了解问题的来源，与其他问题的联系，需要获取与问题有关的尽可能多的知识，需要提出假设并加以检验，在这个过程中不断加深你对问题的理解，直至解决它和提出更深层次的新问题。

所以，要提倡以问题为向导的学习方式。

在研究上有两种办法：一个是拿了方法去找问题，一个是针对问题去找方法。

前者对于初学者是学习做研究的不错的方法，但不能永远这样下去。

否则虽然可以做大量文章，但没有一篇是高明的。

后者才是真正的研究。

更高的要求是自己提出好的问题，这当然是不容易的。

二， 大胆的想象（更高层次的感觉）
直觉（按字面的理解）不是一切，我们也不能排除演绎（逻辑推理）在创造中的作用。

浅薄的直觉有时也会误导，比如Poincare自己说：人们容易认为连续函数总是可微的，而对存在处处不可微的连续函数感到惊讶。

这种函数的发现很难说是直觉的功劳，想象似乎起了更大的作用。

又比如，罗巴切夫斯基（还有高斯和Bolyai）在对欧几里德基和中的第五公设做深入分析后，领悟到非欧几何的存在，演绎和想象起了重要作用。

回顾数学的历史往往是很有启发的。

任何一项重要发现都不是很容易被接受的。

据说负数从最早被发现到被普遍接受用了大约1000年时间，其在代数中的使用直至18世纪才被广泛认同。

而无理数则遇到的阻力更大。

据说古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前5世纪）学派只承认自然数和分数，但是有一天这派的Hippasus发现√2不是分数，使所有人大为震惊。

他们决定保守秘密。

但Hippasus还是泄露了这个秘密，遭到本派人的追杀。

最后他被抛到了海里。

[现在的证明：设√2是分数，= m / n, 且整数m, n不全为偶数。

则有：2 n2 = m2, 因此m 是偶数，设m = 2q。

因而又有n2 = 2 q2, 所以n也是偶数。

矛盾！]
复数的发现到被承认也用了几百年。

据说欧拉（1707-1783）开始也认为复数是虚幻的﹑“什么也不是”的东西。

但他毕竟是伟大的数学家，在1748年发现了著名的欧拉公式：e iθ=cosθ+i sinθ。

大胆想象是克服创造过程中的心理障碍的武器。

当然这些想象的产物必须是有用的，而不是随心所欲的臆造。

反之，对于占统治地位的观念的盲从，或对权威的崇拜，是抑制创造的心理障碍。

从另一个角度看，创造就是解放我们思想中的某些束缚，解放了思想才会产生所谓“直觉”或“灵感”，也才有大胆想象的空间。

Poincare在“科学与方法”中描述了他的一次“灵感”产生的经过。

当时他正在研究“Fuchsian Function”,即现在称的“自守函数”。

始终无法取得突破，搞得疲惫不堪。

于是他决定放松一下，外出旅行。

当他踏上马车的踏板时，奇迹发生了：
At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformation that I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-euclidean geometry.
这个故事说明，精神上的放松会使思想更容易解放。

欧拉是大胆想象的大师。

建议大家读一下波利亚（Polya）的《数学与猜想》中关于欧拉如何进行创造思维的一些例子。

三， 广博与交叉
一些著名当代数学家，例如Atiyah，反复强调数学的统一性。

其实这在17-19世纪时是自然的，不仅数学家内没有明确的专业分工，而且连数学家与物理学家的区别也不明显。

但是自20世纪初开始的半个多世纪内，对于严密的公理化体系的追求使数学分支间的交叉与相互作用受到制约。

直到20世纪60年代，数学的统一性又开始逐渐被重视（代表工作：Atiyah-Singer指标定理，1966年Atiyah获菲尔兹奖）。

以Fermat大定理的证明为例，这个有300多年历史的问题，是集中了所有纯粹数学的主要分支的思想方法，汇集了从欧拉开始的诸多数学家的贡献，最后被Wiles解决的。

看一下一些主要的概念和工具：
椭圆曲线 – 代数几何，李群（Lie）
复分析，黎曼曲面 –Riemann
模函数，模曲线– 自守函数论（Poincare, Klein 等）
L-函数[数论函数] – Zeta函数与 Dirichlet序列（Euler,
Riemann, Dirichlet，Artin）
Galois表示– Galois理论（Galois），群表示论
把所有这些数论，代数，分析，几何等概念联系起来的一个中心概念是“群－Group”。

参见：The Mathematics of Fermat’s Last Theorem, /home/flt/flt01.htm
所以我们需要广博。

但没有人能精通所有的数学，所以我们需要集体的努力。

没有“神人”，所有做出关键性突破的数学家都是在前人工作积累的基础上，“百尺竿头,更进一步”。

在通向广博的道路上，深入理解是基础，所以我们要集中注意力于思想和方法，而不是技术细节。

应用数学家需要的广博范围更大，他需要懂得数学以外的科学。

至少要懂得那些科学的语言，以便同应用领域的学者交流和合作。

每个人的成长过程是不同的，不要盲目模仿别人。

成功的道路是很长的，不要急于求成。

知识的积累是必要的，但思想水平的提高才是成功的关键。

积累和提高应当同时进行。