2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计教师版

2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 【答案】D5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π 【答案】A6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B8 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

2013年高考数学复习资料：事件与概率历届高考试题汇编（有答案）各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢2013年高考数学复习资料：事件与概率历届高考试题汇编（有答案）新人教B版1.(2011•长沙调研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件[答案] B[解析]∵互斥事件一定是对立事件，∴甲⇒乙，但对立不一定互斥，∴乙⇒/ 甲，故选B.[来源:]2．(文)甲、乙两人随意入住两个房间，则甲乙两人恰住在同一间房的概率为()D．1[答案] B[解析]将两个房间编号为(1,2)，则所有可能入住方法有：甲住1号房，乙住2号房，甲住2号房，乙住1号房，甲、乙都住1号房，甲、乙都住2号房，共4种等可能的结果，其中甲、乙恰住在同一房间的情形有2种，∴所求概率P＝12.(理)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是()[答案] A[解析]所有可能取法有{(1,3)，(1,6)，(1,8)，(3,6)，(3,8)，(6,8)}，只有(1,3)构不成积是偶数，∴P＝56，故选A.3．(文)(2011•安徽合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．B．C．D．[答案] C[解析]事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－＝(理)袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④[答案] B[解析]∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生．4．(2010•北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是() [答案] D[解析]分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝315＝15.5．(2011•安徽“江南十校”联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A大学2名和B大学4名的大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是()[答案] C[解析]若这2名大学生来自两所大学，则P1＝2×415＝815；若这2名大学生均来自A大学，则P2＝115.故至少有一名A大学生志愿者的概率是815＋115＝35.[点评]由对立事件概率公式知，有另解P＝1－615＝35.6．(2011•大连模拟)一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()[答案] D[解析]0～9这十个数字键，任意敲击两次共有10×10＝100种不同结果，在0～9中是3的倍数的数字有0,3,6,9，敲击两次都是3的倍数共有4×4＝16种不同结果，∴P＝16100＝425.7．(文)(2011•德州期末)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．[答案]35[解析]共有取法5种，其中理科书为3种，∴P＝35.(理)(2010•南京市调研)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．[答案]14[解析]每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为28＝14.8．(文)(2010•江苏南通一模)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是________．[答案]12[解析]将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x，y记作有序实数对(x，y)，共包含16个基本事件，其中xy为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求概率为P＝816＝12.(理)(2011•广东高州模拟)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37和14，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率是________．[答案]1928[解析]设事件A：甲球队夺得全省足球冠军，B：乙球队夺得全省足球冠军，事件C：该市足球队夺得全省足球冠军．依题意P(A)＝37，P(B)＝14，且C ＝A＋B，事件A、B互斥，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝37＋14＝1928.9．(文)(2010•浙江开化)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案]79[解析]e>3，即ca>3，∴a2＋b2a2>9，∴ba>22，即m>22，∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝79.(理)(2011•浙江金华十校模拟)已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各取1个球，则取出的2个球中恰有1个红球的概率是________．[答案]12[解析]从甲、乙两个盒内各取1个球，共有3×4＝12种不同的取法．其中，从甲盒内取1个红球，从乙盒内取1个黑球，有2种取法；从甲盒内取1个黑球，从乙盒内取1个红球，有4种取法．故取出的2个球中恰有1个红球的概率是P ＝2＋412＝12.10．有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用( x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具向下一面的点数，y表示第2颗正四面体玩具向下一面的点数．试写出：(1)这个试验的基本事件空间；(2)事件“向下一面点数之和大于3”；(3)事件“向下一面点数相等”．[解析](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}；(2)事件“向下一面点数之和大于3”包含以下13个基本事件(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“向下一面点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).11.(2011•山东临沂质检)一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：f1(x)＝x3，f2(x)＝|x|，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是()[答案] C[解析]f1(x)与f3(x)是奇函数，f2(x)与f4(x)是偶函数．奇函数与偶函数相乘是奇函数，故所得函数为奇函数的概率是P＝2×26＝23.12．(2011•北京西城一模)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()[答案] C[解析]x－甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，x－乙＝83＋83＋87＋x＋995.由x－甲>x－乙，得x0y>0，即b＋2b－2a>0a＋1b－2a>0，解得b>2a.∵a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴基本事件总数共有36种．满足b>2a的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，∴P＝636＝16，即直线l1与l2交点在第一象限的概率为16.15．(文)(2010•北京顺义一中月考)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．[解析]由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16种(1)设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足a≥0，b≥0，则事件A包含4个基本事件，∴P(A)＝416＝14，∴直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为14.(2)设“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B，则需满足|b|a2＋1≤1，即b2≤a2＋1，∴事件B包含12个基本事件，∴P(B)＝1216＝34，∴直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为34.(理)(2011•山东聊城模拟)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工中随机抽取2名，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．[解析](1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x－＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71所以样本方差为：s2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)解法1：从10名职工中的体重不轻于73公斤的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．设A表示“抽到体重为76公斤的职工”，则A包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P(A)＝410＝25.解法2：10名职工中，体重不轻于73公斤的职工有5名，从中任取2名有C25＝10种不同取法，其中体重76公斤的职工被抽到的有4种取法，∴所求概率P＝410＝25.1．(2010•广西柳州市模考)在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有()A．360人B．240人C．144人D．120人[答案] D[解析]设与会男教师x人，则女教师为x＋12人，由条件知，xx＋＋＝920，∴x＝54，∴2x＋12＝120，故选D.2．若一元二次方程x2＋mx＋n＝0中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为()D. 1736[答案] A[解析]∵方程有实根，∴m2－4n≥0，∴(m，n)的允许取值情形有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共19种，∴p＝1936.3．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件[答案] B[解析]“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但可以同时不发生，当“丙分得红牌”时，上述两事件都没发生，故选B.4．(2011•温州八校期末)已知α，β，γ是不重合平面，a，b是不重合的直线，下列说法正确的是()A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件B．“若a∥b，a⊂α，则b∥α”是必然事件C．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件[答案] D[解析]a∥ba⊥α⇒b⊥α，故A错；a∥ba⊂α⇒b∥α或b⊂α，故B错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D为真命题．5．(2011•奉贤区检测(一))在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为()[答案] D[解析]因为文艺书只有2本，所以选取的3本书中必有科技书，这样问题就等价于求选取的3本书中有文艺书的概率．设4本不同的科技书为a，b，c，d,2本不同的文艺书为e，f，则从这6本书中任选3本的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种，记“选取的3本书中有文艺书”为事件A，则事件A－包含的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共4种，故P(A)＝1－P(A－)＝1－420＝45.6．(2010•济南市模拟)已知a、b、c 为集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是()[答案] C[解析]由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为5的概率，∴P＝C24C36＝620＝310.7．(2011•石家庄模拟)老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为________．[答案]158．(2011•惠州调研)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488 730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．B．C．D．[答案] B[解析]由随机数可得：在20组随机数中满足条件的只有5组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。

2012年高考真题理科数学解析分类汇编13 概率1.【2012高考辽宁理10】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为 (A)16(B)13(C)23(D)45【答案】C积减去三角形OAC 面积和22S ，()1622811812221-=--=ππS S ，4221-=+πS S ，扇形OAB 面积π41=S ，选A.3.【2012高考广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A.49B.13C.29D.19第8题图【答案】D【解析】法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有2555=⨯个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有2054=⨯，所以9120255=+=P ．故选D ．法二：设个位数与十位数分别为y x ,，则12-=+k y x ，=k 1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以y x ,分115.【2012高考北京理2】设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【答案】D【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯=.8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】35。

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （15概率、统计、统计案例、推理与证明）一、选择题：1．(2013安徽理)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ） （A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】 对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错。

对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错。

对C 选项，男生方差为40，女生方差为30。

所以C 选项正确。

对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。

所以D 选项错。

所以选C2．(2013安徽文)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （A ）23 (B) 25 (C) 35 （D ）910【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++== 【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.3．(2013福建文) 已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b y ˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b'<'<ˆ,ˆ 【答案】C【解析】本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断a a b b'>'<ˆ,ˆ．故选C4．(2013福建理) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．120 【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++= 故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．(2013广东理) 设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ 【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.6．(2013湖北文) 四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+；③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ． ①④ 答案 D 解析 ①中，回归方程中x 的系数为正，不是负相关；④方程中的x 的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．7. (2013湖南文) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．602 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11B ．12C ．13D ．143 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π- B ．12π-C ．22π-D ．4π6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）A ．14B ．12C ．34 D ．787 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ）A ．588B ．480C ．450D ．1208 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数20,40,40,60,[)[)是（）A．45B．50C．55D．60【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π 【答案】A6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B8 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

第十三章 概率与统计第1节 概率及其计算题型140 古典概型1.（2013广东理17）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1) 根据茎叶图计算样本均值；(2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(3) 从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.2. (2013全国新课标卷理14）从n 个正整数12n ，，，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n = . 3.（2013江苏7）现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7m …，9n …）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 .4. (2013安徽理21）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心里测试活动，分别由李老师和 张老师负责.已知该系共有n 位学生，每次活动均需要该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机的发给该系k 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m .5.（2014 江西理 12）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 .6.（2014 江苏理 4 ）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ．7.（2014 广东理 11）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .8.（2014 新课标1理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都1 7 92 0 1 53 0有同学参加公益活动的概率（ ）.A.18 B.38 C. 58 D. 789.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.A.15 B. 25 C. 35 D. 4510.（2014 新课标1理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.A.18 B.38 C. 58 D. 7811.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.A.15 B. 25 C. 35 D. 4512.（2015广东理科4）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）. A ．521 B ．1021 C ．1121D ．1 12.解析 从袋中任取2个球共有215C 105=种，其中恰好1个白球1个红球共有11105C C 50=种，所以恰好1个白球1个红球的概率为501010521=．故选B ． 13. (2015北京理科16) A ，B 两组各由7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果25a =，求甲的康复事件比乙的康复时间长的概率；（3）当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）13. 解析 （1）设甲的康复事件为ξ，则()3147P ξ=…， 即甲的康复时间不少于14天的概率为37. （2）设乙的康复事件为η，集合{}10,11,12,13,14,15,16A =，{}12,13,14,15,16,17,25B =，则选取病人的基本事件空间为(){},,A B ξηξη∈∈，共49个基本事件，其中符合题意的基本事件为：()13,12，()14,12，()14,13，()15,12，()15,13，()15,14，()16,12，()16,13，()16,14，()16,15，共10个.从而()1049P ξη>=. （3）可以看出A 组7个连续的正整数，B 组为12至17共6个连续的正整数和a ，从而11a =或18时，两组离散程度相同，即方差相等.14.（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．14.56解析 将先后两次点数记为(),x y ，则基本事件共有6636⨯=（个）， 其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6，共6种，则点数之和小于10共有30种，所以概率为305366=． 15.（2016上海理14）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，()11,0A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足i j OP OA OA ++=0，则点P 落在第一象限的概率是 ．15.528解析 由题意()i j OP OA OA =-+，若要使得点P 落在第一象限，则只需使i j OA OA +在第三象限，可考虑变动i ，当1,2,3i =时，不存在；当4i =时，7j =符合要求，同理顺次画图即可．(((所有的满足条件的(),i j 的数组为()()()()()4,7,5,6,5,7,5,8,6,7，共5组， 故所求概率为285528C =．故填528． 16.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.16.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则48510C 5().C 18P M ==题型141 几何概型1．（2013四川理9）节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） A.14 B.12 C.34 D.782. (2013陕西理5）如图，在矩形区域ABCD 的AC ，两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）.A. π14-B. π12-C. π22-D. π43. (2013福建理11）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为_________.4.（2013山东理14） 在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--…成立的概率为__________.5.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点()1,1A --，()1,1B -，()1,1C ，()1,1D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD的概率是 .6.（2014 福建理 14）如图所示，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .7.（2015陕西理科11）设复数()1i z x y =-+(,)x y ∈R ，若1z …，则y x …的概率为（ ）．x22xA ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+ 7. 解析 由||1z …()22111x y ⇒-+.所以y x …表示如图所示的阴影部分，所以2211π1111142π142πS P S ⨯-⨯⨯===-⨯阴总.故选B. 命题意图 考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖性.8.（2015湖北理科7）在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +…”的概率，2p 为事件“1||2x y -…”的概率，3p 为事件“12xy …”的概率，则（ ）． A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<8. 解析 123,,p p p 依次为如图所示的三个图形的面积，观察知，选B. 也可作如下的计算： 由图（1）得11117=12228p -⨯⨯=； 由图（2）得21113=122224p -⨯⨯⨯=；由图（3）得111312211111ln 2=1d ln 222222p x x x ⨯+=+|=+⎰.三个值比较得231p p p <<，故选B.图2图3图1命题意图 考查不等式表示的平面区域、几何概型及定积分的计算.9.（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A.13B.12 C.23 D.349. B 解析 如图所示，画出时间轴.A 8:208:307:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟. 根据几何概型，所求概率10101402P +==.故选B. 10.（2016山东理14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件”直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ． 10.34解析 首先k 的取值空间的长度为2，由直线kx y =与圆22(5)9x y -+=相交，所 3<，解得3344k -剟，所以得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度 为23，利用几何概型可知，所求概率为43=223.11.（2016全国甲理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）. A.4n m B.2n mC.4m nD.2m n11. C 解析 由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41m n=，所以4πmn =.故选C ．12.（2017江苏07）记函数()f x =D ．在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．12.解析 由题意260x x +-…，故[]2,3D =-，所以()()325549P --==--．故填59． 13.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A.14 B. π8 C. 12 D. π4AB D13. 解析 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的面积为π2，则此点取自黑色部分的概率为ππ248=.故选B.第2节 随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率1.（2014 新课标2理5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）.A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.（2015全国Ⅰ理科4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）. A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.3122. 解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2233=C 0.60.40.6P ⨯⨯+=0.648．故选A ．3.（2015江苏5）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．3. 解析 解法一：1只白球设为a ，1只红球设为b ，2只黄球设为c ，d ， 则摸球的所有情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6件，满足题意的事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，共5件，故概率为56P =．解法二（理科做法）：从反面考查，反面情况为摸出的2只球颜色相同，故2224C 51C 6P =-=． 4.（2015陕西理科19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（1）求的分布列与数学期望；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 4.解析 （1）以频率估计概率得T 的分布列为：所以250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.(2)设12,T T 分别表示往返所需时间，设A =从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟，则：()()1212()(25)40(30)40P A P T P T P T P T ==+=+剟()()1212(35)35(40)30P T P T P T P T =+==剟0.210.310.40.90.10.50.91⨯+⨯+⨯+⨯=.5.（2015湖北理科20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 5. 解析 （1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ， 则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W xy x y x y +⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪⎩………厖（1）目标函数为10001200z x y =+． 图3()图2()图1()当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大， 最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利Z 的分布列为：因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：()3311110.30.973P p =--=-=.命题意图 考查线性规划，分布列、均值与二项分布.6.（2107天津理16（2））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.6.解析 （2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+=== (0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差1.（2013湖北理9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）.A ．125126 B ．56C ．125168D ．572．（2013广东理4则X A ．32B ．2C ．52D ．33.（2013江西理18）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X =就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． (1) 求小波参加学校合唱团的概率；(2) 求X 的分布列和数学期望．4．(2013湖南理18）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.5. (2013重庆理18）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. （1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X . 6. (2013全国新课标卷理19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以x （单位：t ，100150x ≤≤）表示市场需求量，T 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （1）将T 表示为x 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)x ∈，则取105x =，且105x =的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望.7. (2013天津理16）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1， 2， 3， 4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1) 求取出的4张卡片中， 含有编号为3的卡片的概率； (2) 再取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望．8.（2013山东理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立.（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率；（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分；对方得1分；求乙队得分X 的分布列及数学期望.10. (2013福建理16）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为32，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为52，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ,求3≤X 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累 计得分的数学期望较大？11．（2013四川理18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生． （1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；开始结束（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （3）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．12. (2013陕西理19）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望. 13.（2013浙江理19）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分， 取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a14.（2014 浙江理 12）随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 15.（2014 浙江理 9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3m n 厖，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则( ).A.()()1212,p p E E ξξ><B. ()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<16.（2014 陕西理 9）设样本数据1210,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则1210,,y y y 的均值和方差分别为（ ）.A. 1,4a +B. 1,4a a ++C. 1,4D. 1,4a + 17.（2014 重庆理 18）（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字 是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望（注：若三个数,,a b c满足a b c剟，则称b为这三个数的中位数）.18.（2014 辽宁理18）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望()E X 及方差()D X.19.（2014 陕西理19）（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.20.（2014 四川理17）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 21.（2014 天津理16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的7个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 22.（2014 辽宁理 18）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .日销售量/个23.（2014 江西理 21）（本小题满分14分）随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成,A B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记21a a ξ=-，21b b η=-.（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率()P C ；（3）对（2）中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断()P C 和()P C 的大小关系，并说明理由. 24.（2014 江苏理 22）（本小题满分10 分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球, 这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球, 求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为1x ，2x ，3x ，随机变量X 表示1x ，2x ，3x 中的最大数． 求X 的概率分布和数学期望()E X ．25.（2014 湖南理 17）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率;（2）若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.26.（2014 湖北理 20）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.日销售量/个(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？27.（2014 安徽理17）（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.28.（2014 北京理16）（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较EX与x的大小.（只需写出结论）29.（2014 大纲理20）（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.。

2013年高考解析分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年高考安徽(文））若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等,则甲或乙被 录用的概率为 （ )A ．23B ．25C ．35D ．910【答案】D总的可能性有10种,甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种,甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++== 【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析,简单题。

2 ．（2013年高考重庆卷(文6）)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为( ）A ．0.2B ．0.4C ．0。

5D ．0。

6【答案】B本题考查茎叶图以及样本的频率.数据在[22,30)的有4个，在对应的频率为40.410=,所以选B.3 ．（2013年高考湖南（文9））已知事件“在矩形ABCD 的边CD上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为.21，则ADAB=____ ( ）A ．12B ．14C ．32D ．74【答案】D本题考查几何概型,以及推理能力.要使△APB 的最大边是AB ，则当三角形ABP 为等腰三角形，且AB BP =或AQ AB =,要使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12,则有12PQ CD=，则3344DQ DC AB ==.此时AQ AB =,所以222AQ DQ AD =+，即2223()4AB AB AD =+,所以22716AB AD =，即22716AD AB =，所以77164AD AB ==，选D 。

4 ．(2013年高考江西卷(文4））集合A={2,3｝，B=｛1,2，3}，从A ，B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 （ ） A ．23B ．13C ． 12D ．16【答案】C从A ，B 中各取任意一个数,共有6种.满足两数之和等于4的有（2，2）,（3，1）两种，所以两数之和等于4的概率是2163=，选C5 ．（2013年高考湖南（文3））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___( ）A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D本题考查分层抽样方法的应用.因为从丙车间的产品中抽取了3件，所以抽查比例为60:320:1=，所以甲车间抽取6件，乙车间抽取4件，所以共抽取36413++=件，选D。

2013年全国高考理科数学概率与统计试题汇编3．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设袋子中装有个红球, 个黄球, 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分. (1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,.求分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若 ,求【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 ,此时 ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ,此时 ;所以的分布列是: 2 3 4 5 6 P (Ⅱ)由已知得到: 有三种取值即1,2,3,所以的分布列是: 1 2 3 P 所以: ,所以 . 4．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 t该产品获利润元,未售出的产品,每 t亏损元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 t该农产品,以 (单位:t, )表示下一个销售季度内的市场需求量, (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将表示为的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 ,则取 ,且的概率等于需求量落入的概率),求利润的数学期望.【答案】 5．（2013年高考江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从 (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 .若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求的分布列和数学期望.【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种, 时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为 . (2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有8种情形; 时,有10种情形.所以的分布列为: . 6．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ,假设各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件 ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故 , , 所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是, , ; (Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 , , , 故的分布列为 0 1 2 3 所以 7．（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 . (I)求的值;(参考数据:若 ,有 , , .) (II)某客运公司用 . 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次, . 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车. 型车各多少辆?【答案】解:(I) (II)设配备型车辆, 型车辆,运营成本为元,由已知条件得 ,而作出可行域,得到最优解 . 所以配备型车5辆,型车12辆可使运营成本最小. 8．（2013年高考新课标1（理））一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【答案】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = (Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1- = ,P(X=500)= ,P(X=800)= = , ∴X的分布列为X 400 500 800 P EX=400× +500× +800× =506.25 9．（2013年高考四川卷（理））某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分) 运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; (Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数的分布列及数学期望. 【答案】解: .变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故 ; 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故 ; 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下: 输出的值为的频率输出的值为的频率输出的值为的频率甲乙比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 (3)随机变量可能饿取值为0,1,2,3. 故的分布列为所以即的数学期望为1 2．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生,每次活动均需该系位学生参加( 和都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使取得最大值的整数 .【答案】解: (Ⅰ) .。