一次函数经典复习讲义

1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。

注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

注意：①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。

②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。

③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数2(3)y x=-中，2x=时，1y=；4x=时，1y=．2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。

注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

一次函数复习总结讲义一次函数复习总结讲义一次函数1、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应2.一次函数的定义：形如y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数），则y是x 的一次函数．特别地，当b＝0时，形如y＝kx（k≠0，k为常数）的一次函数叫做正比例函数．3.一次函数的图象：⑴一次函数的图象特征：一次函数y＝kx＋b的图象经过点和点（0，b）的一条直线．正比例函数y＝kx的图象是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线．直线y＝kx与y＝kx＋b（k≠0）的位置关系：当b>0时，直线y＝kx＋b可由直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移b个单位长度而得；当b5、一次函数与一元一次方程的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.6、一次函数与二元一次方程（组）（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=axc 图象相同.bba1xb1yc1的解可以看作是两个一次函数y=a1c（2）二元一次方程组x1和a2xb2yc2b1b1y=a2xc2的图象交点.b2b2例1若一次函数y=2xm29+m-2的图象经过第一、第二、三象限，求m的值．例2鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：鞋长16192427鞋码22283844（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？建立函数模型解决实际问题例3某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为20xx千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．（1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？基础训练1．下列各点中，在函数y=2x-7的图象上的是（）A．（2，3）B．（3，1）C．（0，-7）D．（-1，9）2．已知两个一次函数y1=-b11x-4和y2=-x+的图象重合，则一次函数y=ax+b的图象所2aa2经过的象限为（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限3．（20xx年杭州市）已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限4．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y=-4x+3图象上的两个点，且x1y2B．y1>y2>0C．y111．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？应用与探究12．土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列，1996～20xx年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP为y（亿元）与建设用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查20xx年市区建设用地比20xx年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么20xx年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）同步练习1．函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）2.下列各图给出了变量x与y之间的函数是：（）yyyyooooxxxxCBDA3.一次函数y=ax+b，若a+b=1，则它的图象必经过点（）A、(-1,-1)B、(-1,1)C、(1,-1)D、(1,1)y4．已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－1A5．将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.6．下图可以用来所映这样一个实际情境，一艘船从甲地航行到乙地，到达O乙地后旋即返回，这里横坐标表示航行时间，纵坐标表示船只与甲地的距离．船只从甲地到乙地的速度___从乙地到甲地的速度（填＂＜＂＂＞＂＂＝＂）7．若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________.8.如图，直线L：y1x2与2Bxx轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

一次函数复习讲义一．基础知识1、一次函数的概念:若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图象及其性质：（1）、图象：一次函数的图象是一条直线，所以画图象时只要先确定两点，再过这两点画一条直线就可以画出一次函数的图象。

一次函数的图象与k,b的关系如下图所示：3、函数表达式的确定：常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b 中含有两个待定系数k 、b ，根据待定系数法，只要列出方程组即可.4、一次函数的应用： （1）、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。

一元一次方程的解就是一次函数与x 轴的交点坐标的横坐标的值。

二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。

（2）、一次函数与不等式的关系：可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。

二、一次函数的概念典型例题1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数；3、函数中，当 时，它是一次函数，当它是正比例函数.4、下列函数中，是的一次函数的是（ ）、 、 、 、三、一次函数的图象与性质1．下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）2、如图，已知直线b x y +=3与2-=ax y 的交点的横坐标为2-，根据图象有下列3个结论：①0>a ；②0>b ；③2->x 是不等式23->+ax b x 的解集．其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。

4、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。

15.如图，在△ABC 中，AB ＝1.8，BC ＝3.9，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，
当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为.
16.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落
在AC 边上的点E 处.若
∠A ＝26°，则∠ADE ＝°.
17.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三
角形,若正方形A ，B ，C ，D 的面积和是49cm), ),
则其中最大的正方形S 的边长为cm.
18.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x
轴翻折，再向右平
移2个单位称为1次变换.如图，已知正方形ABCD
的顶点A 、B 的坐
标分别是（－1，－1）、（－3，－1），把正方形ABCD 经过连续6次这 样的变换得到正方形A ′B ′C ′D ′，则B 的对应点B ′的坐标是▲.
三．解答题（本大题共9小题，共64分） 19.(本题满分8分)
(1)(4分)求出式子中x 的值：9x 2－16＝0.
（2）（4分）232)3(8)2(+---
20.(本题满分5分)求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，
有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
-1-1y= -x-2y=2x+1x y P （第13题图）
D E C
A B （第16题图） x y 1234–1–2–3–41234–1–2–3–4C D B A o （第18题图）
（第15题图） D E A C B。

一次函数知识点复习讲义基础巩固：定义及基本概念：一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。

其中x 是自变量，y是因变量，k为一次项系数，y是x的函数。

其图象为一条直线。

正比例函数：当b=0时，y=kx+b即y=kx，原函数变为正比例函数，其函数图象为一条通过原点的直线。

所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法.与坐标轴的交点：一次函数y=kx+b交y轴于(0,y),交x轴于(-b/k,0).图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行，其中，b大则图像在上方，b小则相反；当k不同，且b相等，图象相交于y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直.图像作法：通过如下3个步骤：（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表，（2）描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理；（3）连线：可以作出一次函数的图象——条直线。

因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-与（-b/k，0），0与b）k，b与函数图象所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b（k,b为常数，k≠0）时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限；当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限；当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限；当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

函数的平移：将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向平左移n格，函数解析式为y=k(x+n)+b，将函数向平右移n 格，函数解析式为y=k(x-n)+b.用待定系数法求函数的解析式.难点突破：难点一画函数图像例1 作出函数y=6x-5的图像难点二观察函数图像例2 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，达到乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往返速度是否相同？请说明理由(2)求返程中y与x之间的函数关系式；(3)求这辆汽车从甲地出发4h后与甲地的距离.难点三一次函数图像性质难点四分段函数例3 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？难点五一次函数的方案选择例4 某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变．并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润．问该集团该如何设计调配方案．使总利润达到最大？难点六一次函数与方程、不等式例5 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=0的解为，当x 时，kx+b＜0．一次函数和方程关系:一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根.若两条解析式为y=kx+b的直线相交，交点坐标为(x,y).函数和不等式:解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

初中数学一次函数讲义1.基本概念形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，又称线性函数，其中x为自变量，y为因变量。

当b=0时，即y=kx，被称为正比例函数，是一种特殊的一次函数。

函数特征：（1）k是常数，且k≠0，当k=0时y=b不是一次函数，是偶函数的一种；（2）自变量x和因变量y的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数，当b=0时，一次函数为奇函数；（4）一般情况，自变量x和函数值y的取值范围为全体实数R，实际情况应注意取值范围；（5）k决定函数变化趋势，k绝对值越大，函数越接近y轴，反之越接近x 轴，b为直线与y轴的交点，b又被称为截距；（6）一次函数斜率k=tan(α)，其中α为函数图像与x轴正方向夹角，α≠0或90°。

表示方法：（1）解析式法：用含有自变量x的式子表示函数的方法；（2）列表法：把一系列x的值对应的函数值y列成表来表示函数关系；（3）图像法：用图像表示函数关系。

2.一次函数图像及其性质2.1图像一次函数图像为xy平面坐标系中不与坐标轴垂直/平行的一条直线。

与x和，0）和（0，b）两点。

对于常数k，b数值的不同引起图像的y轴分别交于（- bk性质变化如下图所示。

一次函数画法：，0）和（0，b）两点，即函数与两点确定一条直线，一般而言，可取（- bkxy坐标轴的交点，连接两点，确定直线。

例题1：证明一次函数图像是一条直线。

解题思路：一次函数满足y=kx+b函数解析式方程，通过验证满足函数任意三点在一条直线上，即可证明一次函数图像为一条直线。

证明：在一次函数图像中取任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1≠x2≠x3，则满足：A点：y1=kx1+bB点：y2=kx2+bC点：y3=kx3+bAB两点确定的直线斜率为k AB= y2−y1x2−x1= kx2+b−(kx1+b)x2−x1= k；BC两点确定的直线斜率为k BC= y3−y2x3−x2= kx3+b−(kx2+b)x3−x2= k；由上可知，AB和BC确定的直线斜率相同，表明A B C三点在一条直线上，由任意满足函数关系的三点在一条直线上，可证明一次函数图像是一条直线。

一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x(4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有 （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A ．y=2x -B ．y=12x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x - 函数5y x =-中自变量x 的取值范围是___________.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

)3(2)327(284x x y x x ≤⎧⎪=⎨-+〉⎪⎩第13章 一次函数复习讲义知识点1：常量与变量（参考《全解》P 28）常量（或常数）:数值保持不变的量 变量：可以取不同数值且变化的量注：常量和变量是相对而言的，它由问题的条件确定。

如s ＝vt 中，若s 一定时，则 s 是常量，v 、t 是变量若v 一定时，则 v 是常量，s 、t 是变量若t 一定时，则 t 是常量，s 、v 是变量例1 指出下列各式中的常量与变量 （参考《全解》P 28）（1） 圆的周长公式：C ＝2πr （C 是周长，r 是半径）；（2） 匀速运动公式：s=vt （v 表示速度，t 表示时间，s 表示路程）。

解：（1）常量：2和π ；变量：C 和r（2）常量：v ； 变量：s 和t巩固练习：（1）《教材》P 23 练习1 （2）《练》P 9练习1、3知识点2：函数的概念 及函数思想（难点）（参考《全解》P 29）一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数. 注：（1）函数体现的是一个变化的过程：一个变量的变化对另一个变量的影响（2）在变化的过程中有且只有两个变量：自变量（一般在等号的右边）和因变量（一般在等号的左边）（3）函数的实质是两个变量之间的对应关系：自变量x 每取一个值，因变量有唯一确定的值与它对应（4）含有一个变量的代数式可以看作这个变量的函数函数思想：就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，从而抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的思想．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．例1 判断下列变量之间是不是存在函数关系并说明理由（参考《全解》P 29与P 32）（1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积（3）某人的身高与年龄 （4）弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）解：（1）存在函数关系。