一次函数经典复习讲义

1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。

注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

注意：①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。

②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。

③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数2(3)y x=-中，2x=时，1y=；4x=时，1y=．2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。

注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

一次函数复习总结讲义一次函数复习总结讲义一次函数1、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应2.一次函数的定义：形如y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数），则y是x 的一次函数．特别地，当b＝0时，形如y＝kx（k≠0，k为常数）的一次函数叫做正比例函数．3.一次函数的图象：⑴一次函数的图象特征：一次函数y＝kx＋b的图象经过点和点（0，b）的一条直线．正比例函数y＝kx的图象是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线．直线y＝kx与y＝kx＋b（k≠0）的位置关系：当b>0时，直线y＝kx＋b可由直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移b个单位长度而得；当b5、一次函数与一元一次方程的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.6、一次函数与二元一次方程（组）（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=axc 图象相同.bba1xb1yc1的解可以看作是两个一次函数y=a1c（2）二元一次方程组x1和a2xb2yc2b1b1y=a2xc2的图象交点.b2b2例1若一次函数y=2xm29+m-2的图象经过第一、第二、三象限，求m的值．例2鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：鞋长16192427鞋码22283844（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？建立函数模型解决实际问题例3某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为20xx千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．（1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？基础训练1．下列各点中，在函数y=2x-7的图象上的是（）A．（2，3）B．（3，1）C．（0，-7）D．（-1，9）2．已知两个一次函数y1=-b11x-4和y2=-x+的图象重合，则一次函数y=ax+b的图象所2aa2经过的象限为（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限3．（20xx年杭州市）已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限4．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y=-4x+3图象上的两个点，且x1y2B．y1>y2>0C．y111．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？应用与探究12．土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列，1996～20xx年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP为y（亿元）与建设用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查20xx年市区建设用地比20xx年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么20xx年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）同步练习1．函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）2.下列各图给出了变量x与y之间的函数是：（）yyyyooooxxxxCBDA3.一次函数y=ax+b，若a+b=1，则它的图象必经过点（）A、(-1,-1)B、(-1,1)C、(1,-1)D、(1,1)y4．已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－1A5．将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.6．下图可以用来所映这样一个实际情境，一艘船从甲地航行到乙地，到达O乙地后旋即返回，这里横坐标表示航行时间，纵坐标表示船只与甲地的距离．船只从甲地到乙地的速度___从乙地到甲地的速度（填＂＜＂＂＞＂＂＝＂）7．若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________.8.如图，直线L：y1x2与2Bxx轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

一次函数复习讲义一．基础知识1、一次函数的概念:若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图象及其性质：（1）、图象：一次函数的图象是一条直线，所以画图象时只要先确定两点，再过这两点画一条直线就可以画出一次函数的图象。

一次函数的图象与k,b的关系如下图所示：3、函数表达式的确定：常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b 中含有两个待定系数k 、b ，根据待定系数法，只要列出方程组即可.4、一次函数的应用： （1）、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。

一元一次方程的解就是一次函数与x 轴的交点坐标的横坐标的值。

二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。

（2）、一次函数与不等式的关系：可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。

二、一次函数的概念典型例题1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数；3、函数中，当 时，它是一次函数，当它是正比例函数.4、下列函数中，是的一次函数的是（ ）、 、 、 、三、一次函数的图象与性质1．下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）2、如图，已知直线b x y +=3与2-=ax y 的交点的横坐标为2-，根据图象有下列3个结论：①0>a ；②0>b ；③2->x 是不等式23->+ax b x 的解集．其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。

4、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。

15.如图，在△ABC 中，AB ＝1.8，BC ＝3.9，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，
当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为.
16.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落
在AC 边上的点E 处.若
∠A ＝26°，则∠ADE ＝°.
17.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三
角形,若正方形A ，B ，C ，D 的面积和是49cm), ),
则其中最大的正方形S 的边长为cm.
18.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x
轴翻折，再向右平
移2个单位称为1次变换.如图，已知正方形ABCD
的顶点A 、B 的坐
标分别是（－1，－1）、（－3，－1），把正方形ABCD 经过连续6次这 样的变换得到正方形A ′B ′C ′D ′，则B 的对应点B ′的坐标是▲.
三．解答题（本大题共9小题，共64分） 19.(本题满分8分)
(1)(4分)求出式子中x 的值：9x 2－16＝0.
（2）（4分）232)3(8)2(+---
20.(本题满分5分)求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，
有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
-1-1y= -x-2y=2x+1x y P （第13题图）
D E C
A B （第16题图） x y 1234–1–2–3–41234–1–2–3–4C D B A o （第18题图）
（第15题图） D E A C B。

一次函数知识点复习讲义基础巩固：定义及基本概念：一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。

其中x 是自变量，y是因变量，k为一次项系数，y是x的函数。

其图象为一条直线。

正比例函数：当b=0时，y=kx+b即y=kx，原函数变为正比例函数，其函数图象为一条通过原点的直线。

所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法.与坐标轴的交点：一次函数y=kx+b交y轴于(0,y),交x轴于(-b/k,0).图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行，其中，b大则图像在上方，b小则相反；当k不同，且b相等，图象相交于y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直.图像作法：通过如下3个步骤：（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表，（2）描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理；（3）连线：可以作出一次函数的图象——条直线。

因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-与（-b/k，0），0与b）k，b与函数图象所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b（k,b为常数，k≠0）时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限；当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限；当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限；当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

函数的平移：将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向平左移n格，函数解析式为y=k(x+n)+b，将函数向平右移n 格，函数解析式为y=k(x-n)+b.用待定系数法求函数的解析式.难点突破：难点一画函数图像例1 作出函数y=6x-5的图像难点二观察函数图像例2 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，达到乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往返速度是否相同？请说明理由(2)求返程中y与x之间的函数关系式；(3)求这辆汽车从甲地出发4h后与甲地的距离.难点三一次函数图像性质难点四分段函数例3 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？难点五一次函数的方案选择例4 某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变．并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润．问该集团该如何设计调配方案．使总利润达到最大？难点六一次函数与方程、不等式例5 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=0的解为，当x 时，kx+b＜0．一次函数和方程关系:一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根.若两条解析式为y=kx+b的直线相交，交点坐标为(x,y).函数和不等式:解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

初中数学一次函数讲义1.基本概念形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，又称线性函数，其中x为自变量，y为因变量。

当b=0时，即y=kx，被称为正比例函数，是一种特殊的一次函数。

函数特征：（1）k是常数，且k≠0，当k=0时y=b不是一次函数，是偶函数的一种；（2）自变量x和因变量y的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数，当b=0时，一次函数为奇函数；（4）一般情况，自变量x和函数值y的取值范围为全体实数R，实际情况应注意取值范围；（5）k决定函数变化趋势，k绝对值越大，函数越接近y轴，反之越接近x 轴，b为直线与y轴的交点，b又被称为截距；（6）一次函数斜率k=tan(α)，其中α为函数图像与x轴正方向夹角，α≠0或90°。

表示方法：（1）解析式法：用含有自变量x的式子表示函数的方法；（2）列表法：把一系列x的值对应的函数值y列成表来表示函数关系；（3）图像法：用图像表示函数关系。

2.一次函数图像及其性质2.1图像一次函数图像为xy平面坐标系中不与坐标轴垂直/平行的一条直线。

与x和，0）和（0，b）两点。

对于常数k，b数值的不同引起图像的y轴分别交于（- bk性质变化如下图所示。

一次函数画法：，0）和（0，b）两点，即函数与两点确定一条直线，一般而言，可取（- bkxy坐标轴的交点，连接两点，确定直线。

例题1：证明一次函数图像是一条直线。

解题思路：一次函数满足y=kx+b函数解析式方程，通过验证满足函数任意三点在一条直线上，即可证明一次函数图像为一条直线。

证明：在一次函数图像中取任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1≠x2≠x3，则满足：A点：y1=kx1+bB点：y2=kx2+bC点：y3=kx3+bAB两点确定的直线斜率为k AB= y2−y1x2−x1= kx2+b−(kx1+b)x2−x1= k；BC两点确定的直线斜率为k BC= y3−y2x3−x2= kx3+b−(kx2+b)x3−x2= k；由上可知，AB和BC确定的直线斜率相同，表明A B C三点在一条直线上，由任意满足函数关系的三点在一条直线上，可证明一次函数图像是一条直线。

一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x(4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有 （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A ．y=2x -B ．y=12x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x - 函数5y x =-中自变量x 的取值范围是___________.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

)3(2)327(284x x y x x ≤⎧⎪=⎨-+〉⎪⎩第13章 一次函数复习讲义知识点1：常量与变量（参考《全解》P 28）常量（或常数）:数值保持不变的量 变量：可以取不同数值且变化的量注：常量和变量是相对而言的，它由问题的条件确定。

如s ＝vt 中，若s 一定时，则 s 是常量，v 、t 是变量若v 一定时，则 v 是常量，s 、t 是变量若t 一定时，则 t 是常量，s 、v 是变量例1 指出下列各式中的常量与变量 （参考《全解》P 28）（1） 圆的周长公式：C ＝2πr （C 是周长，r 是半径）；（2） 匀速运动公式：s=vt （v 表示速度，t 表示时间，s 表示路程）。

解：（1）常量：2和π ；变量：C 和r（2）常量：v ； 变量：s 和t巩固练习：（1）《教材》P 23 练习1 （2）《练》P 9练习1、3知识点2：函数的概念 及函数思想（难点）（参考《全解》P 29）一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数. 注：（1）函数体现的是一个变化的过程：一个变量的变化对另一个变量的影响（2）在变化的过程中有且只有两个变量：自变量（一般在等号的右边）和因变量（一般在等号的左边）（3）函数的实质是两个变量之间的对应关系：自变量x 每取一个值，因变量有唯一确定的值与它对应（4）含有一个变量的代数式可以看作这个变量的函数函数思想：就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，从而抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的思想．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．例1 判断下列变量之间是不是存在函数关系并说明理由（参考《全解》P 29与P 32）（1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积（3）某人的身高与年龄 （4）弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）解：（1）存在函数关系。

初二一次函数讲义一、函数1.定义（1）在变化过程中有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。

2. 自变量的取值范围（1）整式时，自变量取全体实数；（2）分式时，自变量使分母不为零；（3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；（4）实际问题中，要使实际问题有意义；（5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。

二、一次函数（——正比例函数）1. 定义（1）函数为一次函数?其解析式可化为y =kx +b （k , b 为常数，k ≠0）的形式。

（2）一次函数y =kx +b 结构特征：k ≠0；自变量x 次数为1；常数b 可为任意实数。

（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。

（4）若k =0，则y =b （b 为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数；若b =0，则y=kx （k 为常数），这样的函数叫做正比例函数。

2. 图像一次函数的图像是一条直线，确定两点，便能确定其图像。

3. 性质（1）增减性：k >0时，y 随着x 的增大而增大；k1. 求出下列函数中自变量x 的取值范围1y =y =x +1（3）y = （4）y =2 （1）（2）-52x -12.m已知y =(m -2) x2-3+3，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？3. 已知一次函数y =(m +2) x +(1-m ) ，若y 随x 的增大而减小，且该函数图象与x 轴的交点在原点右侧，求m 的取值范围。

4. 若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x1，y 1) 和点B(x2，y 2) ，当x 1y2，则求m 的取值范围。

5.y =-2x +3与x 轴交于点A ，直线y =x -3与x 轴交于点B ，且两直线直线的交点为点C, 求△ABC 的面积。

6. 已知正比例函数y=k1x 的图像与一次函数y=k2x-9的图像交于点P （3，-6）。

一次函数 复习讲义一、知识点1. 常量与变量；函数的概念，表示方法；确定自变量的取值范围2. 一次函数的概念，区分一次函数与正比例函数；3. 待定系数法求解析式；4. 一次函数的图像画法；正比例函数图像过原点；过象限问题；平移问题；平行问题5. 方程与函数的关系，两条直线的交点问题；图像综合问题二、基础题组一．选择题（共13小题） 1．(2014•黄冈）函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ． x≠0B ．x≥2C ．x ＞2且x≠0 D ．x≥2且x≠02. 下列函数（1）y=3πx ；（2）y=8x ﹣6；（3）y=；（4）y=﹣8x ；（5）y=5x 2﹣4x+1中，是一次函数的有（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 3．（2014•滦南县一模）甲、乙二人沿相同的路线由A 到B 匀速行进，A ，B 两地间的路程为40km ．他们行进的路程S （km ）与乙出发后的时间t （h ）之间的函数图象如图．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）4．（2013•玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（ ）A ． 甲的速度是20km/hB ． 乙的速度是10 km/hC ．乙比甲晚出发1 hD ．乙比甲晚到B 地3 h5．（2014•崇明县二模）已知函数y=（k﹣1）x+k﹣2（k为常数），如果y随着x的增大而减小，那么k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k＞2 D．k＜26．（2014•海曙区模拟）一次函数y=kx+b中，k＜0，b＞0，则下列图象符合条件的是（）A．B．C．D．7．（2014•武威模拟）直线y=kx﹣b不经过第三象限，则（）A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k≤0，b≥0D．k＜0，b≤08．（2014•安阳县一模）一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且过一、二、三象限，则m=（）A．﹣2 B．2 C．2或3 D．﹣2或29．（2013•历下区二模）已知直线y=﹣x+4与y=x+2的图象如图，则方程组的解为（)9题图10题图11题图A．B．C．D．A．B．C．D．10．（2013•黄浦区二模）如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，0）与（0，3），则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是（ ） A ． x ＜2 B ． x ＞2 C ． x ＜3 D ． x ＞3 11．（2014•辽阳）如图，函数y=2x 和y=ax+5的图象交于点A （m ，3），则不等式2x ＜ax+5的解集是（ ） A ． x ＜ B ． x ＜3 C ． x ＞ D ． x ＞312．（2014•鞍山）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y 千米与行驶时间x 小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）13．（2014•齐齐哈尔）若等腰三角形的周长是80cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm 与底边长xcm 的函数关系式的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．二．填空题（共10小题）14．已知函数y=（k ﹣1）x+k 2﹣1，当k _________ 时，它是一次函数，当k= _________ 时，它是正比例函数． 15．（2014•天水）写出一个图象经过点（﹣1，2）的一次函数的解析式 _________ ．16．（2014•贺州）已知P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是正比例函数y=x 的图象上的两点，则y 1 _________ y 2（填“＞”或“＜”或“=”）．17．（2014•杨浦区二模）点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在一次函数y=﹣2x+b 的图象上，若x 1＜x 2，则y 1 __ y 2（填“＜”或“＞”或“=”）．A ． 客车比出租车晚4小时到达目的地B ． 客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时C ． 两车出发后3.75小时相遇D ．两车相遇时客车距乙地还有225千米18．（2014•白云区一模）把直线y=﹣2x+1向下平移2个单位长度，得到的直线是_________．19．（2014•高淳区二模）将一次函数y=﹣2x+4的图象向左平移_________个单位长度，所得图象的函数关系式为y=﹣2x．20．（2014•广安）直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为_________．21．（2014•徐州）函数y=2x与y=x+1的图象的交点坐标为_________．22．（2014•洪山区一模）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为_________千米．22题图23题图23．（2014•烟台）如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．三．解答题（共6小题）24．已知函数y=（k﹣3）x+k2﹣9．（1）当k取何值时，y是x的一次函数；（2）当k取何值时，y是x的正比例函数．25．已知y﹣2与x成正比例，且x=2时，y=﹣6．求：（1）y与x的函数关系式；（2）当y=14时，x的值．26．已知函数y=2x﹣4．（1）画出它的图象；（2）求当x=时，y的值；（3）求当y=2时，x的值；（4）观察图象，求当x取何值时，y＞0，y=0，y＜0？27．（2014•乐山市中区模拟）一次函数y=kx+b的图象经过点（1，﹣2）和（3，2）．（1）求常数k、b的值；（2）若直线分别交坐标轴于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．28．（2014•钦州）某地出租车计费方法如图，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题：（1）该地出租车的起步价是_________元；（2）当x＞2时，求y与x之间的函数关系式；（3）若某乘客有一次乘出租车的里程为18km，则这位乘客需付出租车车费多少元？29．（2014•湘西州）如图，一次函数y=﹣x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△POB的面积．三、提高题组一．选择题（共9小题）1．（2014•恩施州）函数y=+的自变量x的取值范围是（）A ．﹣4≤x＜2 B．x＞2 C．x≠2D．x≥﹣4且x≠22．（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（）A ．4个B．3个C．2个D．1个2题图5题图8题图3．下列函数①y=πx，②y=2x﹣1，③，④y=2﹣1﹣3x，⑤y=x2﹣1 ⑥y=kx(k是常数)中，是一次函数的有（）A ．4个B．3个C．2个D．1个4．（2014•宁津县模拟）对于函数y=﹣k2x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（）A ．是一条直线B．过点（k1，﹣k）C经过一、三象限或二、四象限D y随着x增大而减小．．5．（2014•辽阳）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集是（）A ．x＜B．x＜3 C．x＞D．x＞36．（2013•黔东南州）直线y=﹣2x+m与直线y=2x﹣1的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A ．m＞﹣1 B．m＜1 C．﹣1＜m＜1 D．﹣1≤m≤17．（2014•日照）当k＞时，直线kx﹣y=k与直线ky+x=2k的交点在（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（2014•黔西南州）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A ．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③9．（2011•江干区模拟）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…则当动点C到达A n处时，运动的总路径的长为（）A ．n2B．2n﹣1 C．2n﹣1+1 D．2n+1﹣29题图10题图二．填空题（共8小题）10．（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟． 其中正确的说法是 _________ ．（把你认为正确说法的序号都填上）11．（2014•自贡）一次函数y=kx+b ，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是 _________ ． 12．（2014•烟台）如图，已知函数y=2x+b 与函数y=kx ﹣3的图象交于点P ，则不等式kx ﹣3＞2x+b 的解集是 _________ ．12题图 13题图 13. （2014•莆田）如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y=x 上，则A 2014的坐标是 _________ ．14．（2013•田阳县一模）如图，已知直线l ：y=x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为 _________ ．14题图 15题图 15．（2014•武义县模拟）如图，直角坐标系中，点P （t ，0）是x 轴上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，分别与直线x y 21，直线y=﹣x 交于A ，B 两点，以AB 为边向右侧作正方形ABCD ．（1）当t=2时，正方形ABCD 的周长是 _________ ．（2）当点（2，0）在正方形ABCD 内部时，t 的取值范围是 _________ ．16题图 17题图16. 如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：()50535≤≤-=x x y ，则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3，正确结论的序号是_______17. 2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分 是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B 1、B 2、B 3、…、B n 和C 1、C 2、C 3、…、C n 分别在直线1321++-=x y 和x 轴上，则第n 个阴影正方形的面积为_______．三．解答题（共7小题）18．已知函数y=（k ﹣3）x+k 2﹣9．（1）当k 取何值时，y 是x 的一次函数； （2）当k 取何值时，y 是x 的正比例函数．19．（2014•镇江一模）如图，直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A ，B ，与直线y=x 交于点C ，线段OA 上的点Q 以每秒1个长度单位的速度从点O 出发向点A 作匀速运动，运动时间为t 秒，连结CQ ． （1）求出点C 的坐标；（2）若△OQC 是等腰直角三角形，则t 的值为 _________ ； （3）若CQ 平分△OAC 的面积，求直线CQ 对应的函数关系式．20．（2014•高青县模拟）直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，D是x轴上一点，坐标为（x，0），△ABD的面积为S．（1）求点A和点B的坐标；（2）求S与x的函数关系式；（3）当S=12时，求点D的坐标．21．（2014•河南）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．22．（2014•大连）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．（1）图中a=_________，b=_________；（2）求小明的爸爸下山所用的时间．23．某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A →D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h．甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；（2）求C，E两点间的路程；（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．24. （2014•聊城）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．。

一次函数讲义（三）一、知识点：1、一次函数概念：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，3、一次函数的画法（1）两点确定一条直线：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）（2）平移画法：4、性质：(1)图象的位置:(2)增减性k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小5、求一次函数解析式的方法用待定系数法求函数解析式。

方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式。

☆已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；☆若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。

二、例题讲解：例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？例2 已知一次函数y ＝(1-2m )x ＋m -1，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围.例3 已知一次函数y ＝(3m -8)x ＋1-m 图象与y 轴交点在x 轴下方，且y 随x 的增大而减小，其中m 为整数.(1)求m 的值；(2)当x 取何值时，0＜y ＜4？例4 说出直线y ＝3x ＋2与221+=x y ；y ＝5x -1与y ＝5x -4的相同之处．例5直线y kx b =+经过一、二、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图4中的（）例6如图6，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）图6例7直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ）A. 0,0k b >> .0,0B k b ><.0,0C k b <> .0,0D k b <<例8若函数y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。

一次函数讲义一．基础概念1.定义：如果y=kx+b(k≠0,k,b是常数)，那么y叫做x的一次函数。

当b=0，一次函数y=kx(k不等于0,k是常数)叫做正比例函数。

2.一次函数的图像一次函数的图像是过（0,b）,(-b/k,0)两点的一条直线正比例函数的图像是过(0,0),(1,k)两点的一条直线3.一次函数的性质(1)k>0,b>0时，图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大(2)k>0,b<0时，图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大(3)k<0,b>0时，图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小(3)k<0,b<0时，图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小4.一次函数的平移(1)将y=kx向上或向下平移｜b｜个单位就得到直线y=kx+b(2)将y=kx向左（或右）平移m(m>0)个单位，得到直线y=k(x+m)（或y=k(x-m)）二、常见例题1.一次函数的图像与性质的应用【例一】如果一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，那么（）.A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0【例二】如图1所示,如果kb<0,且k<0,那么函数y=kx+b 的图象大致是 ( )【例三】若直线y=-2x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则常数b 的值为____________【例四】如图2，在同一坐标系内，直线l1：y=(k-2)x+k 和l2：y=kx+b 的位置可能为（ ）2．待定系数法求解析式【例五】若一次函数y=kx+b ，当-3≤x≤1时，对应的y 值为1≤y≤9，则一次函数的解析式 为________【例六】如图2，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A ．2y x =-+ B ．2y x =+C ．2y x =-D ．2y x =--【例七】已知直线l 与直线y=2x+1交点的横坐标为2，与直线y=x-8交点的纵坐标为-7，求直线l 的解析式. 3.一次函数的平移【例八】把直线y ＝-5x ＋6向下平移6个单位长度，得到的直线的解析式为（ ）图2A.y=－x ＋6B. y=－5x －12C. y=－11x ＋6D.y=－5x【例九】将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）。

一次函数复习讲义 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020第十四章一次函数复习讲义【知识网络结构图】1y都1、下列函数中y是x的函数是（）2、求下列自变量x的取值范围.3、函数36y x=-，当函数值y=18时，自变量x的取值是______________.4、函数y=2x-3中，当x=2时，函数值为____________________.5、若一个等腰三角形的周长是24.（1）写出底边y与腰长x的函数关系式；（2）指出自变量及其取值范围；（3）底边长为10时，其腰长为多少？三、函数的图象1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，用1小时爬上山顶。

游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是（）A B C D2、一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为200米,小军先走了一段路程,爸爸才开始出发,图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s(米)与登山所用的时间t(分钟)的函数关系(从爸爸开始登山时计时).根据图象,下列说法错误．．的是()A、爸爸开始登山时,小军已走了50米;B、爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面C、小军比爸爸晚到山顶;D、10分钟后小军还在爸爸的前面3、将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度(cm)h与注水时间(min)t的函数图象大致为（）四、一次函数的相关概念、图象、性质（一）概念1、下列函数中，是正比例函数的是（）2、下列函数中，y 是x 的一次函数的是（）3、已知23(21)m y m x -=-是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值______________.4、当m=_________时，函数21(3)5m y m x +=+-是一个一次函数.（二）性质的应用1、12y x =经过第_____________象限，y 随x 的_____________________;2、在正比例函数(2)y k x =+中，y 随x 的增大而增大，则k 满足_________________;3、函数(2)2,y m x =+-y 随x 的增大而增大，m 的取值范围_____________________;4、一次函数3y kx =+，y 随x 的增大而减小，那么它的图象经第_____________象限；5、已知一次函数y kx b =+的图象经过一、二、四象限，则k ，b 的符号：k_____0,b_______0;6、一次函数(1)(3)y k x k =---的图象不经过第三象限，则k 的取值为_____________；7、已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，则下列结论正确的有()①k>0,b>0②k>0,b<0③k<0,b>0④k<0,b<08、函数2143y x b=+-的图象经过第一、三、四象限，则b的取值范围______________;9、已知一次函数(24)(3)y m x n=++-.求:(1)m、n为何值时，y随x的增大而增大；(2)m、n为何值时,函数图象与y轴的交点在x轴的下方；(3)m、n为何值时,函数图象经过原点；(4)若m=-1,n=2,求此一次函数的图象与两个坐标轴的交点坐标；(5)若图象经过第一、二、三象限，求m,n的取值范围。

【知识点梳理】1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．【例题解析】例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2.例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32 m +（m-4）是一次函数？【小结】某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．跟踪练习：已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M例7 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．例8 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由； （2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例10 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值；（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．例11已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（5）k为何值时，y随x的增大而减小？例12判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．【课后习题】1. 如图，你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由.（1）12+-=x y ； （2）13-=x y ； （3）x y = ； （4）x y 32-=．2.（1）判断下列各组直线的位置关系：①x y =与1-=x y ； ②213-=x y 与2131--=x y ． （2）已知直线532+=x y 与一条经过原点的直线l 平行，则这条直线l 的函数关系______ ；若直线a 与直线l 垂直且过点（0，-2），则直线a 的函数关系式为 ．3.（1）一次函数x y 3-=的图象经过_ 象限，y 随x 的增大而__________； （2）一次函数n mx y +=A ．0,0<<nmB ．0,0><n mC ．0,0>>n mD ．0,0<>n m4．在下列四个函数中，y 值随x 值的增大而减小的是（ ）．A ．x y 2=B ．63-=x yC ．52+-=x yD ．73+=x y5．如图，已知一次函数k kx y +=的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．直线32+=x y 与x 轴正方向所成的锐角为α，直线13--=x y 与x 轴正方向所成的锐角为β，则α与β的关系为（ ）．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＜βD ．无法确定7．已知一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限8．如图，某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后，停止放水并立即按同样速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按同样的速度放完水池的水．若水池的存水量为v （3m ），放水或注水的时间为t （min ），则v 与t 的关系的大致图象只能是（ ）．A ．B ．C ．D ．9．函数3)2(1+-=-m xm y 的图象是一条直线，则=m ．10．如果直线2+=kx y ，y 随x 的增大而增大，则直线2--=kx y 不经过第 象限． 11．如果直线x m y )2(-=与直线23+=x y 平行，则=m 12．已知直线b kx y +=过点A （1-，5）且平行于直线x y -=． （1）求这条直线b kx y +=的解析式；（2）若点B （m ，5-）在这条直线b kx y +=上，O 为坐标原点，求m 及AOB ∆的面积．13．如图，直线AB 的解析式为434+-=x y ，直线AB OC ⊥于C ． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线OC 的解析式；。