一次和二次函数 - 拔高难度 - 讲义

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章第二单元一次函数和二次函数1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k>0时，一次函数是；当k<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。

2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0 a＜0 定义域x∈R值域a>0 a<024[,)4ac bya-∈+∞24(,]4ac bya-∈-∞奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0 a<0(,],2bxa∈-∞-时递增[,)2bxa∈-+∞时递减(,],2bxa∈-∞-时递减[,)2bxa∈-+∞时递增图象特点()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点 最值抛物线有最低点， 当2bx a=-时，y 有最小值2min44ac b y a-=抛物线有最高点， 当2bx a=-时，y 有最大值2max44ac b y a-=(3) 配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 配成顶点式y ＝x (a(－)h)2＋k 来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f （x ）= ax 2+bx+c(a ≠0) .②顶点式：f(x)= f(x)=a(x-h)2+k (a ≠0) ，(k ，h)为顶点坐标． ③两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) ， x 1、x 2为两实根． 3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

二次函数拔高难题说明：以下题目难度比较大，有的题目是考试真题，有的题目是极客杰少瞎编的，主要是为了拓展思维.1.抛物线y=ax2+bx+c经过A(2+m，m)，B(2-m，m)，C(0，-3)三点，且当4≤x<5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是．2.若m，n(m<n)是关于x的方程2022-(x-a)(x-b)=0的两个根，且a<b，则a，b，m，n的大小关系是.3.在直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，若抛物线y=x2-2x+n-1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为．4.二次函数f(x)的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC=150°，则x≠0时，f(x)|x|的最小值是．5.已知二次函数y=-2x2+(b-a)x+c与直线y=1只有一个交点，且点A2m-n+3,n-8和点B2m+n+5,n-8在该函数图象上，则n的值是.6.抛物线y=m-1m x2+2m x-m-3m在平面直角坐标系中恒过两个定点，这两个定点之间的距离为.7.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，若△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为.8.抛物线y=x2+bx+c与y=2022交于A、B两点，若C是抛物线上一点，且△ABC为直角三角形，则C点的纵坐标为.9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，过A、B、C三点的圆交y 轴于点D，则D点的坐标为.10.抛物线y=1a3x2+1b2x+1c上有三个点A(3a+b,c+d),B(2a+b,c+e),C(a+b,c+f)，其中a、b、c、d、e、f为非零实数，则△ABC的面积为.11.已知P、A、B是抛物线y=12x2+2x+m上三点，P点坐标为(1,2),且△APC始终为直角三角形，则点C(4,-3）到直线AB的最大距离为.12.已知直线y=kx-x+2k-4与抛物线y=12x2+3x交于A、B两点，在抛物线上存在这样的定点C，使ABC始终为直角三角形，则C点的坐标为.13.二次函数y=ax2+bx+c与直线y=kx+b交于A(3，m)，B(m+1，m+4)两点,且在抛物线上有且仅有3个点Q使得△ABQ的面积为S，横坐标在A，B之间的抛物线上的点Q的坐标为(m，n)，则S的值是.14.已知抛物线y=ax2+bx+33与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点与y轴交于点C，过点C 的直线交抛物线于另一点E，若∠ACE=60°，则点E的坐标为．15.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，C是抛物线上一点，且∠ACB=45°，则C点的坐标为.16.抛物线y=2x2+3bx+4c与直线y=kx+b交于不同的A、B两点，C是抛物线上任意点，过点C作y轴的平行线，交直线y=kx+b于点D，过A、B作CD的垂线，垂足分别为M、N，则AM∙ANCD=.17.已知二次函数y=2x2+bx+c的图象上任意点P到对称轴上一点F，与到平行于x轴的直线l的距离始终相等，过点F的直线与二次函数的图象交于A、B两点，则1AF+1BF=.18.设函数y=|x2-ax-b|，x的范围是0≤x≤1，其中a，b都是实数，记函数y的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为．19.若函数y=2x2-(x-a)|x-a|-2与x轴至多有一个交点，则a的取值范围是______ ____.20.当0≤x≤4时，函数y=|x2-4x+9-2m|+2m的最大值是9，则m的取值范围是___ _______.21.已知a>0, 当-1≤x≤1时，函数y=|x2+|x-a|-3|的最大值是2，则a的取值范围是__________.22.知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则k的值为.23.已知m、n为正整数，且二次函数y=4x2-2mx+n=0与x轴有两个交点，两交点到原点的距离都小于1，则m=；n=.24.若函数f x =-12x2+132在a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，则a=，b=.25.已知函数f x =-2x2+2ax-4a-a2在0≤x≤1时，f(x)的最大值是-5,则a=.26.已知二次函数y=x2-3x+4的图像与y=x交于A、B两点，C是抛物线上一点，有且仅有三个满足条件的C点使得△ABC的面积为k，则k的值为，由三个满足条件的C点组成的三角形的面积为.27.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点分别为A、B，当1≤x≤5时，|y|≤2a恒成立，并且在二次函数图象上有且仅有一个点P使得△ABP为直角三角形，则该二次函数的解析式为.。

⼲货⾼中数学必考公式⼀次⼆次函数详解,“精讲解析”⼀、定义与定义式：⾃变量x和因变量y有如下关系：y=kx b则此时称y是x的⼀次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正⽐例函数。

即：y=kx（k为常数，k≠0）⼆、⼀次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正⽐例，⽐值为k即：y=kx b（k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

3.求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域；(2)、配⽅法；如果⼀个函数是⼆次函数或者经过换元可以写成⼆次函数的形式，那么将这个函数的右边配⽅，通过⾃变量的范围可以求出该函数的值域；(3)、判别式法：(4)、数形结合法；通过观察函数的图象，运⽤数形结合的⽅法得到函数的值域；(5)、换元法；以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为⾃变量的函数形式，进⽽求出值域；(6)、利⽤函数的单调性；如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利⽤端点的函数值来求出值域；(7)、利⽤基本不等式：对于⼀些特殊的分式函数、⾼于⼆次的函数可以利⽤重要不等式求出函数的值域；(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作⽐较,求出函数的最值,可得到函数y的值域；三、⼀次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出⼀次函数的图像——⼀条直线。

因此，作⼀次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在⼀次函数上的任意⼀点P（x,y），都满⾜等式：y=kx b.（2）⼀次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k,0）正⽐例函数的图像总是过原点。

3．k,b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过⼀、三象限，y随x的增⼤⽽增⼤；当k＜0时，直线必通过⼆、四象限，y随x的增⼤⽽减⼩。

中考数学重难点专题讲座第四讲 一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分 真题精讲例12010,西城,一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时,方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解：1分两种情况：当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模 关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根；2点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式；若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析：1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，舍 始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏 另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点． 1求b 的值；2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由； 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值．思路分析 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =． 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为,24b ac =-=16－8=8>0．所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--． 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++． 若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可． 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2．例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数．1求抛物线的顶点坐标；2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式． 思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >, ∴25a <． 很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =； 当24a =时,12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．例52010,平谷,一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围；2在1的条件下,求证：无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式．思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m －1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx －x －1x+1就可以看出当x=－1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---， 这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-，3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分 发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；2若12＜m ＜40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值．思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2－bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值；2求代数式akcab b kc +-22)(的值； 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．1求证：不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根；2若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-,求m 的值．思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分 思考题解析思考1解析解：1由题意得,168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数,∴123k =，，．2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去；3k =符合题意．当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -，,(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =； 当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-． 由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．思考2解析证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数． 又∵12＜m ＜40,252181.m ∴<+<∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解：由 kx=x+2,得k －1 x=2.依题意 k －1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k －1=1或k －1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解：依题意,二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明：方程②的判别式为 Δ=－b2－4ac= b2－4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= a+kc2－4ac=a2+2kac+kc2－4ac = a2－2kac+kc2+4kac －4ac =a －kc2+4ack －1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k －1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k －1>0.∴ 4ack －1>0.∵ a －kc20,∴Δ=a －kc2+4ack －1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=－b2－4akc =b2－4akc0.b2－4ac － b2－4akc=4ack －1.由证法一知 k －1>0,∴ b2－4ac> b2－4akc0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==， ∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = － 经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．。

一次和二次函数一、选择题（共19小题；共95分）1. 函数 f (x )=ax +a −1 在 [1,2] 上有最大值 5，则实数 a = ( ) A. 2 或 3B. 3C. 2 或 −3D. 22. 若 f (x )=x 2−ax +1 有负值，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,2)C. (−∞,−2)∪(−2,2)∪(2,+∞)D. (1,3)3. 若函数 f (x )=x 2+2(a −1)x +2 在区间 (−∞,4] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ( )A. [−3,+∞)B. (−∞,−3]C. (−∞,5]D. [3,+∞)4. 已知函数 f (x )={−x 2−ax −5(x ≤1),a x(x >1),是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 ( )A. [−3,0)B. [−3,−2]C. (−∞,−2]D. (−∞,0)5. 设定义在 R 上的函数 y =f (x )，对于任一给定的正数 p ，定义函数 f p (x )={f (x ),f (x )≤pp,f (x )>p ，则称函数 f p (x ) 为 f (x ) 的“p 界函数”．关于函数 f (x )=x 2−2x −1 的 2 界函数，结论不成立的是 ( )A. f 2(f (0))=f(f 2(0))B. f 2(f (1))=f(f 2(1))C. f 2(f (2))=f(f 2(2))D. f 2(f (3))=f(f 2(3))6. 若函数 f (x )={e x−1,x ≤15−x 2,x >1，则 f(f (2))= ( )A. 1B. 4C. 0D. 5−e 2 7. 若不等式 (ax +3)(x 2−b )≤0 对任意的 x ∈(0,+∞) 恒成立，则 ( )A. ab 2=9B. a 2b =9，a <0C. b =9a 2，a <0D. b 2=9a8. 设 f (x )={x +4,x ≤−2 或 x ≥3x 2−1,−2<x <3，若函数 y =f (x )+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是 ( ) A. (−2,1)B. [0,1]C. [−2,0)D. [−2,1)9. 已知函数 f (x )={x 2+2x,−2≤x ≤0f (x −1)+1,0<x ≤2，则方程 5[x −f (x )]=1 在 [−2,2] 上的根的个数为( ) A. 3B. 4C. 5D. 610. 函数 f (x )={2x 2−4x +1,x >02⋅3x ,x ≤0．则 y =f (x ) 的图象上关于原点 O 对称的点共有 ( )A. 0 对B. 1 对C. 2 对D. 3 对11. 若函数 f (x )=x 2+ax +b 在区间 [0,1] 上的最大值是 M ，最小值是 m ，则 M −m ( )A. 与 a 有关，且与 b 有关B. 与 a 有关，但与 b 无关C. 与 a 无关，且与 b 无关D. 与 a 无关，但与 b 有关12. 已知函数 f (x )={−1,x ≤−1x,−1<x <11,x ≥1，函数 g (x )=ax 2−x +1．若函数 y =f (x )−g (x ) 恰好有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (0,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)C. (−∞,−12)∪(1,+∞) D. (−∞,0)∪(0,1)13. 函数 y =a∣x∣ 与 y =x +a 的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围为 ( )A. (1,+∞)B. (−1,1)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)14. 已知 a,b,c ∈R 函数 f (x )=ax 2+bx +c ．若 f (1)=f (3)>f (4)，则 ( )A. a >0，4a +b =0B. a <0，4a +b =0C. a >0，2a +b =0D. a <0，2a +b =015. 定义域为 R 的函数 f (x )=ax 2+b ∣x ∣+c (a ≠0) 仅有两个单调区间，则实数 a ，b ，c 满足( )A. b 2−4ac ≥0 且 a >0B. b 2−4ac ≥0C. −b2a ≥0D. −b2a ≤016. 若函数 y =f (x ) 图象上不同两点 M,N 关于原点对称，则称点对 [M,N ] 是函数 y =f (x ) 的一对“和谐点对”（点对 [M,N ] 与 [N,M ] 看作同一对“和谐点对”）．已知函数 f (x )={e x ,x <0x 2−4x,x >0，则此函数的“和谐点对”有 ( )A. 3 对B. 2 对C. 1 对D. 0 对17. 设 f (x )={k 2x +a 2−k,x ≥0x 2+(a 2+4a )x +(3−a )2.x <0，其中 a ∈R ．若对任意的非零实数 x 1，存在唯一的非零实数 x 2(x 1≠x 2)，使得 f (x 1)=f (x 2) 成立，则 k 的取值范围为 ( ) A. R B. [−4,0] C. [9,33]D. [−33,−9]18. 对函数 f (x )，如果存在 x 0≠0 使得 f (x 0)=−f (−x 0)，则称 (x 0,f (x 0)) 与 (−x 0,f (−x 0)) 为函数图象的一组奇对称点．若 f (x )=e x −a （e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (e,+∞)D. [1,+∞)19. 已知函数 f (x )=2mx 2−2(4−m )x +1，g (x )=mx ，若对于任意实数 x ，函数 f (x ) 与 g (x )的值至少有一个为正值，则实数 m 的取值范围是 ( )A. (2,8)B. (0,2)C. (0,8)D. (−∞,0)二、填空题（共10小题；共50分）20. 关于 x 的不等式 ax 2+bx +2>0 的解集是 (−12,13)，则 a +b 的值为 ．21. 已知二次函数 f (x )=x 2−3x +p −1，若在区间 [0,1] 内至少存在一个实数 c ，使 f (c )>0，则实数 p 的取值范围是 ．22. 若函数 f (x )=x 2+2(a −1)x +2 在区间 (−∞,4) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ．23. 已知函数 f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R )，若存在实数 a ∈[1,2]，对任意 x ∈[1,2]，都有f (x )≤1，则 7b +5c 的最大值是 ．24. 已知函数 f (x )=x 2−2x 在定义域 [−1,n ] 上的值域为 [−1,3]，则实数 n 的取值范围为 ．25. 定义 max {a,b }={a,a ≥bb,a <b，已知函数 f (x )=max {∣2x −1∣,ax 2+b }，其中 a <0，b ∈R ，若 f (0)=b ，则实数 b 的范围为 ；若 f (x ) 的最小值为 1，则 a +b = ．26. （1）如果二次函数 f (x )=x 2+(a +2)x +5 在区间 (−∞,2) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ； （2）二次函数 y =ax 2−4x +a −3 的最大值恒为负，则实数 a 的取值范围是 ；（3）函数 f (x )=x 2+bx +c 对于任意 t ∈R 均有 f (2+t )=f (2−t )，则 f (1)，f (2)，f (4) 的大小关系是 ．27. 已知函数 f (x )=x 2+ax +b (a,b ∈R ) 在区间 [0,1] 上有零点，则 ab 的最大值是 ．28. 已知函数 f (x )={∣x ∣,x ≤mx 2−2mx +4m,x >m，其中 m >0．若存在实数 b ，使得关于 x 的方程f (x )=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 ．29. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．三、解答题（共8小题；共104分）30. 已知二次函数 f (x ) 满足 f (0)=1 和 f (x +1)−f (x )=2x ．（1）求函数 f (x ) 的解析式； （2）求函数 f (x ) 在区间 [−1,1] 上的最大值和最小值．31. 已知函数 f (x )=ax 2+bx +1 （ a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R ）．（1）若函数 f (x ) 的图象过点 (−2,1), 且方程 f (x )=0 有且只有一个根，求 f (x ) 的表达式； （2）在（1）的条件下，当 x ∈[−1,2] 时，g (x )=f (x )−kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围．32. 己知二次函数 f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数）满足条件 f (x −3)=f (5−x )，且方程 f (x )=x有两个相等的根． （1）求 f (x ) 的解析式；（2）是否存在实数 m ，n (m <n )，使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m,n ] 和 [3m,3n ]?如果存在，求出 m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．33. 设 a ∈R ，函数 f (x )=∣x 2+ax ∣（1）若 f (x ) 在 [0,1] 上单调递增，求 a 的取值范围；（2）记 M (a ) 为 f (x ) 在 [0,1] 上的最大值，求 M (a ) 的最小值．34. 已知函数 y =f (x ) 是定义域为 R 的偶函数．当 x ≥0 时，f (x )={516x 2,0≤x ≤2(12)x+1,x >2，若关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0(a,b ∈R ) 有且仅有 6 个不同的实数根，求实数 a 的取值范围．35. 已知函数 f (x )=x 2−∣ax −2∣，x ∈[−1,2]．（1）当 a =6 时，求函数 f (x ) 的值域； （2）设 0<a ≤4，求函数 f (x ) 最小值 g (a )．36. 已知函数 f (x )=x 2+ax +1，其中 a ∈R ，且 a ≠0．（1）设 ℎ(x )=(2x −3)f (x )，若函数 y =ℎ(x ) 的图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值集合；（2）求函数 y =∣f (x )∣ 在 [0,1] 上的最大值．37. 已知 f (x )={x 2+ax +1−a(x ≥0)f (x +2)(x <0)．（1）若 a =−8，当 −6≤x ≤5 时，求 ∣f (x )∣ 的最大值；（2）对于任意的实数 a (−2≤a ≤4)，都有一个最大的正数 M (a )，使得当 x ∈[0,t ] 时，∣f (x )∣≤3 恒成立，求 M (a ) 的最大值及相应的 a ．答案第一部分 1. D 2. A3. B 【解析】由题意知对称轴 x =−2(a−1)2≥4，解得 a ≤−3 .4. B【解析】设 g (x )=−x 2−ax −5(x ≤1)，ℎ(x )=ax (x >1)，由分段函数的性质，可知函数 g (x )=−x 2−ax −5 在 (−∞,1] 上单调递增， 函数 ℎ(x )=a x 在 (1,+∞) 上单调递增，且 g (1)≤ℎ(1)，所以 {−a2≥1,a <0,−a −6≤a, 即 {a ≤−2,a <0,a ≥−3,所以 −3≤a ≤−2． 5. B【解析】因为函数 f (x )=x 2−2x −1，p =2， 所以 f 2(x )={x 2−2x −1,−1≤x ≤32,x <−1或x >3，所以A ．f 2[f (0)]=f 2(−1)=2，f [f 2(0)]=f (−1)=1+2−1=2，故A 成立； B ．f 2[f (1)]=f 2(−2)=2，f [f 2(1)]=f (−2)=4+4−1=7，故B 不成立； C ．f 2[f (2)]=f 2(−1)=2，f [f 2(2)]=f (−1)=2，故C 成立； D ．f 2[f (3)]=f 2(2)=−1，f [f 2(3)]=f (2)=−1，故D 成立． 6. A【解析】由题意知，f (x )={e x−1,x ≤15−x 2,x >1，则 f (2)=5−4=1，f (1)=e 0=1，所以 f(f (2))=1． 7. B8. D【解析】设 f (x )={x +4,x ≤−2 或 x ≥3x 2−1,−2<x <3，画出 y =f (x ) 和 y =−k 的图象，如图所示：由图象得：−2≤k <1，函数 y =f (x ) 与 y =−k 的图象有 3 个交点，即函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个公共点．9. B 【解析】因为方程5[x−f(x)]=1，所以x−15=f(x)，分别画出y=f(x)与y=x−15的图象，如图所示：由图象可得有4个交点，故方程5[x−f(x)]=1在[−2,2]上的根的个数为4．10. C11. B12. D 【解析】令f(x)−g(x)=0，则f(x)+x−1=ax2，而f(x)+x−1={x−2,x≤−12x−1,−1<x<1x,x≥1，在同一坐标系中作出y=f(x)+x−1和y=ax2的图象，如图．由图象可知，当a<0时，y=f(x)−g(x)恰有两个不同的零点；当0<a<1时，y=f(x)−g(x)恰有两个不同的零点；当a=1时，y=f(x)−g(x)只有一个零点；当a>1时，y=f(x)−g(x)没有零点．综上，实数a的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．13. D 【解析】根据题意，y=a∣x∣的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称：分两种情况讨论，①a>0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1，a>0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a>1；②a<0时，y=a∣x∣过第三、四象限，而y=x+a过第二、三、四象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a<−1；③a=0，显然不成立．综上所述，a 的取值范围为 {a ∣∣a <−1或a >1}．14. B 【解析】因为 f (1)=f (3)，即 a +b +c =9a +3b +c ，所以 4a +b =0；又 f (1)>f (4)，即 a +b +c >16a +4b +c ，所以 15a +3b <0，即 15a +(−12a )<0，所以 3a <0，故 a <0． 15. D【解析】因为 f (x )=ax 2+b ∣x ∣+c 为偶函数，即函数 f (x )=ax 2+bx +c 在区间 (0,+∞) 上是单调函数，则有 −b2a ≤0．16. B 【解析】设 t <0, 则点 (t,e t ) 为 y =e x (x <0) 上任意一点，其关于原点的对称点为(−t,−e t )．根据题意，−e t =t 2+4t ，即 e t =−t 2−4t . t ∈(−∞,0) ，由函数图象观察可知该方程有两解，所以 f (x )={e x ,x <0x 2−4x,x >0的“和谐点对”有 2 对．17. D 【解析】设 g (x )=k 2x +a 2−k ，ℎ(x )=x 2+(a 2+4a )x +(3−a )2，由条件知二次函数 ℎ(x ) 的图象的对称轴不能在 y 轴的左侧，即 a 2+4a ≤0，解得 −4≤a ≤0．又由题知两个函数的图象在 y 轴上交于同一点，则 g (0)=ℎ(0)，即 a 2−k =(3−a )2，所以 k =6a −9，所以 k ∈[−33,−9]． 18. B19. C 【解析】当 m <0 时，函数 f (x ) 的图象为开口向下的抛物线，所以在 x >0 时，f (x )>0 不恒成立． 函数 g (x )=mx 当 x >0 时，g (x )<0． 所以不满足题意．当 m =0 时，f (x )=−8x +1，g (x )=0，不满足题意． 当 m >0 时，需 f (x )>0 在 x <0 时恒成立， 所以令 Δ<0 或 {Δ≥0,−b2a ≥0,f (0)>0,即 4(4−m )2−8m <0 或 {4(4−m )2−8m ≥0,4−m 2m ≥0.解得 2<m <8 或 0<m ≤2．综合得：0<m <8． 第二部分20. −14 21. (1,+∞) 22. (−∞,−3]【解析】因为函数 f (x )=x 2+2(a −1)x +2 在 (−∞,−(a −1)) 上是减函数，又因为 f (x ) 在区间 (−∞,4) 上是减函数，因此必有 4≤−(a −1)，解得 a ≤−3． 23. −6【解析】因为存在 a ∈[1,2]，对于任意 x ∈[1,2]，ax 2+bx +c ≤1，即 x 2+bx +c ≤1 成立， 所以 {1+b +c ≤1,4+2b +c ≤1⇒{b +c ≤0,2b +c ≤−3⇒7b +5c =3(b +c )+2(2b +c )≤−6．24. [1,3] 25. [1,+∞)；1【解析】做出函数 f (x ) 的图象如图，要使 f (0)=b 需 b ≥1，要使 f (x ) 的最小值为 1，需在第一象限的交点纵坐标为 1，从而得 x =1，故有 a +b =1．26. a ≤−6，(−∞,−1)，f (2)<f (1)<f (4)【解析】（1）由于此抛物线开口向上，且在 (−∞,2) 上是减函数， 画简图可知，此抛物线对称轴 x =−a+22，或与直线 x =2 重合，或位于直线 x =2 的右侧，于是有−a+22≥2，解之得 a ≤−6．（2）分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数 a <0，且判别式 Δ<0”，即 {a <0,16−4a (a −3)<0,解得 a ∈(−∞,−1)．（3）因为对于任意 t ∈R 均有 f (2+t )=f (2−t )，所以抛物线对称轴为直线 x =2． 又抛物线开口向上，作出函数图象简图，可得 f (2)<f (1)<f (4)． 27. 14【解析】因为 f (x )=x 2+ax +b 在区间 [0,1] 上有零点， 若有一个零点，则 f (1)f (0)=b (1+a +b )≤0，即 ab ≤−b 2−b ，所以 ab ≤14 或 {Δ=a 2−4b =0,0≤−a 2≤1,b =a 24∈[0,1]，所以 ab ≤0；若有两个零点，则 {Δ=a 2−4b >0,0<−a 2<1,b ≥0,1+a +b ≥0, 则 {a 2>4b,−2<a <0,b ≥0,1+a +b ≥0,此时 ab 显然小于 14． 28. (3,+∞)【解析】由题意方程 f (x )−b =0 有三个不同的根，即直线 y =b 与函数 y =f (x ) 的图象有三个不同的交点．作出函数 f (x )={∣x ∣,x ≤mx 2−2mx +4m,x >m的图象，如图所示．若存在实数 b ，使方程 f (x )−b =0 有三个不同的根，则 m >−m 2+4m ，即 m 2−3m >0． 又因为 m >0，所以 m >3，即 m 的取值范围为 (3,+∞)． 29. (4,8) 第三部分30. （1） 设 f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)， 因为 f (0)=1， 所以 c =1．又因为 f (x +1)=a (x +1)2+b (x +1)+c =ax 2+(2a +b )x +a +b +c ， 所以 f (x +1)−f (x )=2ax +a +b ，而 f (x +1)−f (x )=2x ． 所以 2ax +a +b =2x ，这是一 个恒等式，所以 {2a =2,a +b =0.解得 {a =1,b =−1.所以 f (x )=x 2−x +1．（2） 解法一：由 f (x )=x 2−x +1=(x −12)2+34． 因为 −1≤x ≤1， 所以 0≤(x −12)2≤94， 所以 34≤f (x )≤3，所以函数 f (x ) 在区间 [−1,1] 上 的最大值和最小值分别为 3，34． 解法二：画出函数 f (x )=x 2−x +1(x ∈[−1,1]) 的示意图（如图）．由图可知函数 f (x ) 在 x =12 时取得最小值 f (12)=34， 在 x =−1 时 取是最大值 f (−1)=3，所以函数 f (x ) 在区间 [−1,1] 上的最大值和最小值 分别为 3 和 34． 31. （1） 因为 f (−2)=1，即 4a −2b +1=1， 所以 b =2a ．因为方程 f (x )=0 有且只有一个根，即 Δ=b 2−4a =0． 所以 4a 2−4a =0．即 a =1，b =2． 所以 f (x )=(x +1)2． （2） 因为g (x )=f (x )−kx=x 2+2x +1−kx=x 2−(k −2)x +1=(x −k−22)2+1−(k−2)24.所以当k−22≥2 或 k−22≤−1 时，即 k ≥6 或 k ≤0 时，g (x ) 是单调函数．32. （1） 由 f (x −3)=f (5−x )，得对称轴为 x =1，即 −b2a =1， 又因为方程 f (x )=x ，即 ax 2+(b −1)x =0 有两个相等的根， 所以 (b −1)2=0， 即 b =1，a =−12，所以 f (x )=−12x 2+x ．（2） 假设存在实数 m ，n ，使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m,n ] 和 [3m,3n ]， 因为 f (x )=−12x 2+x =−12(x −1)2+12≤12，所以 3n ≤12，即 n ≤16，又函数 f (x ) 的对称轴为 x =1，且开口向下， 所以 f (x ) 在 [m,n ] 上单调递增， 所以 {f (m )=3m,f (n )=3n,又 m <n ，所以 m =−4，n =0，所以存在实数 m =−4，n =0 满足题意．33. （1） 设 g (x )=x 2+ax,Δ=a 2,x =−a2 为对称轴，① 当 a =0 时，g (x )=x 2，所以 ∣g (x )∣ 在 x ∈[0,1] 上单调递增， 所以 a =0 符合题意；② 当 a >0 时，g (0)=0,x =−a2<0，所以 ∣g (x )∣ 在 x ∈[0,1] 上单调递增， 所以 a >0 符合题意；③ 当 a <0 时，Δ=a 2>0,g (0)=0，所以 ∣g (x )∣ 在 x ∈[0,−a2] 上单调递增，即只需满足 1≤−a2，即有 a ≤−2， 所以 a ≤−2 符合题意．综上，a ≥0 或 a ≤−2． （2） 若 a ≥0，f (x )=x 2+ax ，对称轴为 x =−a2， f (x ) 在 [0,1] 递增，可得 M (a )=1+a ；若 a ＜0，则 f （x ）在 [0,−a2] 递增，在 (−a2,−a) 递减，在 (−a,+∞) 递增， 若 1≤−a2，即 a ≤−2 时，f (x ) 在 [0,1] 递增，可得 M (a )=−a −1； 若 −a2＜1≤−1+√22a ，即 −2＜a ≤2−2√2，可得 f (x ) 的最大值为 M (a )=a 24；若 1＞−1+√22a ，即 a ＞2−2√2，可得 f (x ) 的最大值为 M (a )=1+a ． 即有 M (a )={1+a,a ＞2−2√2,−a −1,a ≤−2,a 24,−2＜a ≤2−2√2；当 a ＞2−2√2 时，M （a ）＞3−2√2； 当 a ≤−2 时，M (a )≥1；当 −2＜a ≤2−2√2，可得 M (a )≥14(2−2√2)2=3−2√2．综上可得 M (a ) 的最小值为 3−2√2．34. 依题意知 f (x ) 在 (−∞,−2) 和 (0,2) 上单调递增，在 (−2,0) 和 (2,+∞) 上单调递减，当 x =±2 时，函数 f (x ) 取得极大值 54；当 x =0 时，函数 f (x ) 取得极小值 0．要使关于 x 的方程 [f (x )]2+af (x )+b =0，a,b ∈R 有且只有 6 个不同的实数根，设 t =f (x )，则 t 2+at +b =0 必有两个不相等的根 t 1，t 2．则有两种情况符合题意：① t 1=54，且 t 2∈(1,54)，此时 −a =t 1+t 2，则 a ∈(−52,−94)； ② t 1∈(0,1]，t 2∈(1,54)，同理可得 a ∈(−94,−1)．综上，实数 a 的取值范围是 (−52,−94)∪(−94,−1)．35. （1） 当 a =6 时，f (x )=x 2−∣6x −2∣={x 2+6x −2=(x +3)2−11,−1≤x <13,x 2−6x +2=(x −3)2−7,13≤x ≤2, 当 −1≤x <13时，f (x )∈[−7,19]；当 13≤x ≤2 时，f (x )∈[−6,19]， 函数 f (x ) 的值域为 [−7,19]．（2） f (x )=x 2−∣ax −2∣={x 2+ax −2=(x +a 2)2−a 24−2,x <2a x 2−ax +2=(x −a 2)2−a 24+2,x ≥2a． （1）当 0<a <1 时，2a>2，−12<−a 2<0，此时当 x ∈[−1,2] 时，f (x )=x 2+ax −2 在 [−1,−a2] 上单调递减，在(−a 2,2] 上单调递增，所以 g (a )=f (−a2)=−a 24−2；（2）当 1≤a ≤2 时，2a ≥a 2，−1≤−a 2≤−12，f (x ) 在 [−1,−a 2] 上单调递减，在 (−a 2,2] 上单调递增，所以g (a )=f (−a2)=−a 24−2；（3）当 2<a ≤4 时，2a <a 2，−2≤−a2<−1，f (x ) 在 [−1,2a ] 上单调递增，在 (2a ,a2] 上单调递减，在 (a2,2] 上单调递增，所以 g (a )=min {f (−1),f (a2)}，f (−1)−f (2a )=(−a −1)−(−a 24+2)=14(a −2)2−4<0，所以 f (−1)<f (a 2)，故 g (a )=f (−1)=−a −1； 综上所述：g (a )={−a 24−2,0<a ≤2,−a −1,2<a ≤4.36. （1） ① 若 f (x )=0 恰有一解，且解不为 32． 由 Δ=a 2−4=0，解得 a =±2，经检验适合题意． ② 若 f (x )=0 有两个不同的解，且其中一个解为 32．将 x =32 代入 f (x )=0，得 94+32a +1=0， 解得 a =−136，且满足 Δ>0． 综上所述，a 的取值集合为 {−136,−2,2}．（2） 令 g (x )=∣f (x )∣=∣x 2+ax +1∣． （i ） 当 −a 2<0 时，即 a >0 时， 因为 g (x ) 在 [0,1] 上是增函数， 所以 g (x )max =g (1)=∣f (1)∣=2+a ． （ii ） 当 −a2>0 时，即 a <0 时，① 当 Δ≤0 时，即 −2≤a <0 时，0<−a2≤1，所以g (x )max=max {g (0),g (1)}=max {1,2+a }={2+a,−1<a <0,1,−2≤a ≤−1.② 当 Δ>0 时，即 a <−2 时，−a2>1，所以g (x )max=max {g (0),g (1)}=max {1,−2−a }={1,−3≤a <−2,−2−a,a <−3.综上所述，∣f (x )∣max ={2+a,−1<a <0或a >0,1,−3≤a ≤−1,−2−a,a <−3.37. （1） 当 x ≥0 时，f (x )=x 2−8x +9，由条件：当 x <0 时，f (x )=f (x +2)， 当 −6≤x <0 时，存在 0≤t <2 使得 f (x )=f (t )． 从而只要求当 0≤x ≤5 时，求 ∣f (x )∣ 的最大值． 此时 f (4)≤f (x )≤f (0)，即 −7≤f (x )≤9， 所以 ∣f (x )∣ 的最大值为 9．（2） f (x )=x 2+ax +1−a =(x +a 2)2+1−a −a 24，其中 0≤x ≤t ．①当 0≤−a2≤t ，f min (x )=f (−a2)=1−a −a 24，f max (x )=max {f (0),f (t )}=max {1−a,t 2+at +1−a }．∣f (x )∣≤3 恒成立转化为 {1−a ≤3t 2+at +1−a ≤31−a −a 24≥−3，则 M (a )=tmax=−a+√a 2+4a+82(−2≤a ≤0)．由−a+√a 2+4a+82=−(a+2)+√a 2+4a+82+1=(a+2)+√a 2+4a+81．显然在 [−2,0] 上单调递减，故此时 M max (a )=M (−2)=2．②当 0<t <−a2 时，f min (x )=f (t )=t 2+at +1−a ，f max (x )=f (0)=1−a ，则有 {1−a ≤3t 2+at +1−a ≥−3，有 a ≥−2，则 0<t <−a 2≤1，不可能比①中的值大．③当 −a2<0<t 时，f max (x )=f (t )=t 2+at +1−a ，f min (x )=f (0)=1−a ，则有 {1−a ≥−3t 2+at +1−a ≤3，则 M (a )=t max =−a+√a 2+4a+82(0<a ≤4)． 与①同理，可得 M max (a )<M (0)<M (−2)=2．综上可得：当 a =−2 时，M max (a )=2．。

二次函数与一次函数共存问题解题技巧：了解二次函数和一次函数的系数分别控制什么二次函数2=++y ax bx c①a：②b：③c：=+一次函数y kx b①k：②b：例1、如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）例2、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）1、在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）2、函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）3、函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）4、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是（）5、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）6、如图所示，在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图像正确的是（）知识点三、abc与0的大小比较例1、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中正确的是（）A、a+b+c<0B、4a+b>0C、c=0D、abc>0例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x>0时，y随x的增大而减小例3、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=ax+b的图象不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（）A、a<0B、b2-4ac<0C、当-1<x<3时，y>0D、b=-2a2、如图，已知二次函数图象y=ax2+bx+c的图象，有下列4个结论。

一次函数和二次函数【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。

【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．一次函数(0)y kx b k =+≠图象性质单调性奇偶性k ＞0b ＝0增函数 奇函数b ≠0增函数 非奇非偶函数k ＜0 b ＝0减函数 奇函数b ≠0减函数 非奇非偶函数．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<g ，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y ＝ax 2(a ＞0)向上 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是减函数，在区间[0,)+∞上是增函数当x ＝0时，min 0y =y ＝ax 2(a ＜0)向下 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数当x ＝0时，max 0y =要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象a ＞0a ＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称轴是直线2b x a=-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是增函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数 抛物线有最低点，当2bx a=-时， y 有最小值，2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时， y 有最大值，2max44ac b y a-=(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )．(3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠g ，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标． 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。

二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数,其中x 为自变量，y 为因变量,a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1)a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小;a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数,则形状相同、开口相反． (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-) 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时,对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3。