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2023中心投影与平行投影contents •引言•中心投影•平行投影•中心投影与平行投影的比较•实际应用与展望目录01引言投影是二维图形或三维形体在某个平面或空间上表现出来的形象。
投影定义根据投影线是否汇聚于一点，投影分为中心投影和平行投影。
投影分类投影的定义与分类中心投影光线从一个点出发，经过物体，投射到另一个平面上的中心点，形成的投影称为中心投影。
平行投影光线从一个点出发，经过物体，投射到另一个平面上，光线相互平行且汇聚于同一点，形成的投影称为平行投影。
中心投影与平行投影的概述中心投影与平行投影的基本概念和性质。
两种投影在工程、艺术、设计等领域的应用。
如何运用投影知识解决实际问题。
本文的讨论重点02中心投影定义光线从一点出发，把物体投影到投影面上，形成中心投影。
性质中心投影的光源为灯泡、火炬等点光源，投影面为各种曲面的透明或半透明材料。
中心投影的定义与性质手影表演、皮影戏、夜晚的路灯下，人和物体的影子都是中心投影。
例子建筑设计、城市规划、室内设计等领域中，利用中心投影原理来制造三维立体模型，模拟实际场景。
应用中心投影的例子和应用优点直观性强，易于理解；可以产生生动的光影效果，增强视觉冲击力；在夜晚或暗光环境下，能够提供更好的照明效果。
缺点立体感较差，不易掌握；受光源位置影响大，光源位置不对则难以取得好的效果；会产生影子、遮挡物等限制因素。
中心投影的优缺点03平行投影平行投影的定义将物体放在无限远处，在投影面上得到的投影称为平行投影。
平行投影的性质物体与投影面平行，投影线与投影面垂直，投影反映物体的真实大小，但无立体感。
平行投影的定义与性质太阳光线可以看作是互相平行的，将物体放在太阳光下可以得到物体的平行投影。
平行投影的例子在建筑、城市规划、工程设计中广泛运用，通过平行投影可以获得建筑物的平面图和立面图等。
平行投影的应用平行投影的例子和应用平行投影的优点易于绘制和计算，可以真实反映物体的形状和大小，适用于大规模的工程和建筑项目。
形的投影平行投影和中心投影形的投影：平行投影和中心投影形的投影是指将一个立体物体的轮廓或者形状投影到一个平面上，以展示其外观和尺寸。
在工程制图和建筑设计中，形的投影是非常重要的，因为它能够准确地传达物体的形状和尺寸，帮助人们理解和分析物体。
在形的投影中，有两种常用的投影方法，分别是平行投影和中心投影。
一、平行投影平行投影是指将物体的投影平行地投射到一个平面上。
在平行投影中，投影线是平行的，从而使投影保持原有的形状和比例。
由于投影线的平行性，平行投影适用于绘制立方体、矩形、圆柱体等形状规则的物体。
平行投影又分为正交投影和斜投影。
1. 正交投影正交投影是指投影线垂直于投影平面的一种平行投影方法。
在正交投影中，物体的投影形状与其实际形状保持一致，但是缺乏透视感。
正交投影常用于工程制图中，可以准确地描述物体的尺寸和位置关系。
2. 斜投影斜投影是指投影线与投影平面不垂直的一种平行投影方法。
与正交投影不同，斜投影会在某一个投影方向上引入透视效果，使得投影具有一定的立体感。
斜投影适用于需要突出物体表面纹理和透视效果的情况，例如建筑设计和艺术绘画中常见的立体图。
二、中心投影中心投影是指将物体的投影通过一个中心点投射到一个平面上，形成形状的投影。
中心投影常用于透视画和透视制图中，能够更真实地表达物体的形状和透视关系。
在中心投影中，物体的投影形状与其实际形状相似，但是投影会根据观察者的位置和视线方向发生变化。
这种投影方法模拟了人眼观察物体时的透视效果，让观察者感受到物体的距离和立体感。
通过调整观察者的位置和视线方向，可以改变投影的形状和透视效果，以展示物体的不同视角和外观。
总结：形的投影是绘制立体物体的轮廓和形状的方法。
平行投影和中心投影是常用的投影方法。
平行投影通过平行投射线保持物体形状和比例，适用于绘制规则形状的物体。
中心投影通过中心点投影表达物体的形状和透视关系，能够更真实地传达立体感。
在实际应用中，可以根据需求选择合适的投影方法，以准确地展示物体的外观和尺寸。
中心投影与平行投影知识点一中心投影与平行投影1、投影：光线通过物体,向选定的面(投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。
2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。
其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.3、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。
平行投影的投影线是平行的。
在平行投影中,投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形全等;4、中心投影与平行投影的区别与联系（1）中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体,画实际效果图时，一般用中心投影法;(2）平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征。
画立体几何中的直观图形时一般用平行投影法。
例1、判断下列命题是否正确（1）直线的平行投影一定为直线（2）一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段（3）矩形的平行投影一定是矩形（4）两条相交直线的平行投影可以平行知识点二三视图1、概念：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。
线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图。
光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图。
光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图。
2、三视图画法规则高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等例2、画出下列几何体的三视图分析:一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。
解：这二个几何体的三视图如下例3、如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）变式1、如图，E、F分别为正方形的面ADD1A1、BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影不可能为回顾与反思变式2、三视图如下，试判断该几何体的形状变式3、个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题:（1）该物体有多少层？ (2）该物体的最高部分位于哪里?(3)该物体一共由几个小正方体构成？【解】(1)该物体一共有两层,从正视图和侧视图都可以看出来．(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．（3）从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有;第三排左侧1个,右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成.知识点三 直观图-———斜二测画法基本步骤如下：1、建系:在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒。
投影法的分类
投影法一般可分为中心投影法及平行投影法两类。
1.中心投影法
如图2-2所示，投影线自一点引出，对形体进行投影的方法，称中心投影法。
用中心投影法得到的投影，其形状和大小是随着投影中心、形体、投影面三者相对位置的改变而变化的，一般不反映形体的真实大小，度量性很差。
图2-2 中心投影法
2.平行投影法
如图2-3所示，投影线相互平行地对形体进行投影的方法，称平行投影法。
平行投影法按投影线与投影面的交角不同，又分为：
（1）斜投影法。
投影线倾斜于投影面的投影法，如图2-3（a）所示。
（2）正投影法。
投影线垂直于投影面的投影法，如图2-3（b）所示。
（a）斜投影法（b) 正投影法
图2-3 平行投影法
利用正投影法绘制的图样称正投影图，简称正投影。
当形体的主要面平行于投影面时，其正投影图能真实地表达出形体上该面的形状和大小,因而正投影图度量性好，作图简便，是工程上常采用的一种图示方法。
本书所述的投影，如无特殊说明，均为正投影。
汇报人：2023-11-22contents •投影的定义与分类•平行投影•中心投影•两种投影方式的比较•实际应用案例分析•总结与展望目录01投影的定义与分类投影面投影1. 正平行投影：投影线平行于投影面且垂直于投射中心。
2. 斜中心投影：投影线汇聚于一条直线上。
平行投影：投影线相互平行且垂直于投影面。
1. 正中心投影：投影线汇聚于一点。
01020304050602平行投影定义在平行投影中，投射线都是相互平行的，投影线与投射线也是平行的。
描述图形变化平行性视觉效果真实性工程制图建筑设计机械制图03020103中心投影01020304定义光源位置图形形状投影面唯一性相似性角度变化光源位置影响建筑绘图机械制图艺术创作04两种投影方式的比较中心投影在摄影、电影制作等领域中广泛应用，通过中心投影可以得到物体的真实图像。
中心投影平行投影平行投影中心投影投影的优缺点比较05实际应用案例分析建筑设计中的平行投影与中心投影平行投影在建筑设计领域，平行投影是一种常用的技术，用于将三维建筑模型转化为二维平面图。
这种方法能够准确反映建筑物的尺寸和形状，以及其在空间中的相对位置。
平行投影在建筑设计中具有重要作用，因为它能够提供一种标准化的沟通方式，使设计师、工程师和承包商都能够准确理解建筑物的设计和规划。
中心投影中心投影是一种将三维物体投影到二维平面的方法，其特点是投影线汇聚于一点，也称交汇投影。
在建筑设计中，中心投影通常用于绘制透视图，以表现建筑物的外观和内部空间效果。
透视图是一种具有强烈立体感的图像，能够直观地展示建筑物的空间关系和设计细节。
在机械制图领域，平行投影同样是一种常用的技术，用于将三维零件或装配体转化为二维平面图。
这种方法能够准确反映零件或装配体的尺寸、形状和相对位置，是进行机械设计和制造过程中的重要环节。
平行投影在机械制图中的应用非常广泛，包括零件图、装配图、钣金展开图等。
中心投影在机械制图中，中心投影通常用于绘制轴测图。
初中数学投影有哪些种类投影在数学中有多种类型，包括平行投影、中心投影、透视投影等。
下面我们将逐一介绍这些类型的投影。
1. 平行投影：平行投影是指将三维物体的每个点沿着平行于某个方向的直线投射到一个平行于该方向的平面上。
在平行投影中，被投影物体的大小和形状在投影平面上保持不变。
常见的平行投影包括正交投影和斜投影。
-正交投影：正交投影是指将三维物体的每个点沿着垂直于投影平面的直线投射到投影平面上。
在正交投影中，投影线与投影平面垂直，被投影物体在投影平面上的大小和形状与实际物体相同。
正交投影常用于制图和工程设计中。
-斜投影：斜投影是指将三维物体的每个点沿着与投影平面不垂直的直线投射到投影平面上。
在斜投影中，投影线与投影平面不垂直，被投影物体在投影平面上的大小和形状与实际物体不同。
斜投影常用于绘画和计算机图形学中。
2. 中心投影：中心投影是指将三维物体的每个点沿着射线投射到一个平面上。
在中心投影中，投影线都通过一个中心点，被投影物体的大小和形状会随着距离的增加而发生变化，从而呈现出透视效果。
中心投影常用于绘画、摄影和计算机图形学中，以模拟人眼观察物体的效果。
3. 透视投影：透视投影是指将三维物体的每个点沿着射线投射到一个平面上。
在透视投影中，被投影物体的大小和形状会随着距离的增加而发生变化，从而呈现出透视效果。
透视投影常用于绘画、摄影和计算机图形学中，以模拟人眼观察物体的效果。
除了以上几种常见的投影类型，还有其他特殊类型的投影，如等轴投影、鸟瞰投影、鸟瞰投影等。
这些投影类型在不同的领域和应用中有着特定的用途和意义。
总结起来，投影在数学中有多种类型，包括平行投影、中心投影、透视投影等。
不同类型的投影在几何学、物理学、计算机图形学等领域中具有广泛的应用，对于理解和研究物体的形状、光线的传播以及生成逼真的图像等方面都起着关键作用。
中心投影与平行投影知识点一中心投影与平行投影1、投影：光线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。
2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。
其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.3、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。
平行投影的投影线是平行的。
在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形全等；4、中心投影与平行投影的区别与联系(1)中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，画实际效果图时，一般用中心投影法；(2)平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征。
画立体几何中的直观图形时一般用平行投影法。
例1、判断下列命题是否正确（1）直线的平行投影一定为直线（2）一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段（3）矩形的平行投影一定是矩形（4）两条相交直线的平行投影可以平行知识点二三视图1、概念：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。
线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图。
光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图。
光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图。
2、三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等例2、画出下列几何体的三视图分析：一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。
画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。
解：这二个几何体的三视图如下例3、如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm ）变式1、如图，E 、F分别为正方形的面ADD 1A 1、BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影不可能为回顾与反思变式2、三视图如下，试判断该几何体的形状变式3、个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：(1)该物体有多少层 (2)该物体的最高部分位于哪里(3)该物体一共由几个小正方体构成【解】 (1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成.知识点三 直观图----斜二测画法基本步骤如下：1、建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45︒.2、平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.3、长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半.例4、（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm 的正方体的直观图.解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴，与BC 垂直的直线为y 轴，画出对应的x '轴和y '轴，使45x O y '''∠=.第二步，在x '轴上取''O C BC =，过'C 作'y 轴的平行线，取1''2C A CA =. 第三步，连接''A O ，即得到该直角三角形的直观图.（2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使45,BAD ∠=4,2AB cm AD cm ==.第二步，过A 作z '轴，使90BAz '∠=. 分别过点,,B C D 作z '轴的平行线，在z '轴及这组平行线上分别截取4AA BB CC DD cm ''''====.第三步，连接,,,A B B C C D D A ''''''''，所得图形就是正方体的直观图. 点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.变式1、下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形. 变式2、如下图所示，梯形1111A B C D 是一平面图形ABCD 的直观图. 若111//A D O y ，1111//A B C D ，1111223A B C D ==，111'1A D O D ==. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取1'1OD O D ==；1'2OC O C ==.在过点D 的y 轴的平行线上截取1122DA D A ==.在过点A 的x 轴的平行线上截取112AB A B ==.连接BC ，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为2,3AB CD ==，直角腰长度为2AD =，所以面积为23252S +=⨯=. 变式3、利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是（ B ）A ．①②B ． ①C ．③④D ． ①②③④ 巩固练习一：1、两条相交直线的平行投影是（ ）A 、 两条相交直线B 、 一条直线C 、 一条折线D 、 两条相交直线或一条直线2、如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是（ ）A、内心的平行投影还是内心B、重心的平行投影还是重心C、垂心的平行投影还是垂心D、外心的平行投影还是外心3、下列说法正确的是（）A、矩形的平行投影一定是矩形B、梯形的平行投影一定是梯形或线段C、正方形的平行投影一定是矩形D、正方形的平行投影一定是菱形4、当图形中的直线或线段不平行于投射线时，下列说法中不正确的是（）A、直线或线段的平行投影仍是直线或线段B、平行直线的平行投影仍是平行的直线C、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比5、从投影的角度来看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形6、矩形的平行投影一定是矩形7、梯形的平行投影一定是梯形8、平行四边形的投影可能是正方形9、两条相交直线的投影可能平行10、当直线或线段不平行于投射线时，直线或线段的平行投影仍是直线或线段11、平行直线的平行投影仍是平行的直线12、与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等13、在同一直线或平行线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比14、如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的对应的中位线。
15、空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。
16、如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是（）A、矩形的平行投影一定是矩形B、梯形的平行投影一定是梯形C、正方形的平行投影一定是矩形D、正方形的平行投影一定是菱形17、投射线与投射面垂直的平行投影叫做____________________。
18、一个点光源把一个图形照射到一个平面上，_____________就是他在这个平面上的中心投影。
19、在物体的平行投影中，如果_____________________________,则称这样的平行投影为正投影。
20、___________是做出几何体三视图的依据。
1、D；2、A；3、B；4、B；5、对；6、错；7、错；8、对；9、错；10、对11、错12、对13、对；14、对；15、对16、B ；17、正投影18、这个图形的影子19、投射线与投射面垂直20、正投影巩固练习二：一、选择题：1．下列投影是中心投影的是（）A. 三视图B. 人的视觉C. 斜二测画法D. 人在中午太阳光下的投影2．下列投影是平行投影的是（）A. 俯视图B. 路灯底下一个变长的身影C. 将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上.D. 以一只白炽灯为光源的皮影3．如右图所示的圆锥的左视图为（）A. B. C. D.4．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（）A. 圆柱B. 三棱柱C. 圆锥D.球体5．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（） A. 球和圆柱 B. 圆柱和圆锥 C. 正方体的圆柱 D. 球和正方体6．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（）A. 四边形B. 三角形C. 圆D.椭圆7．下图（1）、（2）、（3）分别是左图的（）（1）（2）（3）A. 主视图、左视图、俯视图B. 主视图、俯视图、左视图C. 左视图、主视图、俯视图D. 俯视图、左视图、主视图8．如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（）A. B. C. D.二、填空题：9. 是零件的____________视图。
10．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________，俯视图与左视图的宽度应_________。
11．放幻灯是利用__________________投影，进行工程制图或技术图样采用______________投影的方法。
12．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有___________________(写出两个几何体即可).三、解答题：13．画出下列几何体的三视图.(1) (2) (3)14．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图。
15．画出如图的三视图(单位:mm).16．右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）这个几何体是什么体（2）如果面A在几何体的底部，那么哪一个面会在上面（3）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在上面（4）从右边看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面17.等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB=2 , 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为_______．18．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 .参考答案一、选择题：1. B(由中心投影的定义) 2 .A(由平行投影的定义) (由左视图画法得) 4. C(由圆锥的定义知) (球和正方体的性质知) (旋转体中含与轴垂直的投影是圆) (组合体上面是圆锥,下面是圆台俯视图是圆中加一个点) (底部是个十字架,有5个小正方体)二、填空题:9. 左(对照三个视图) ;10. 平齐，对正，相等(由三视图的作法) 11. 中心，平行(由两个投影的定义可知)12．圆锥、三棱锥、三棱柱（如三棱镜一样的三棱柱）三、解答题:13.画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚:（1）为正四棱台;（2）是圆台和球组成的几何体;（3）是六棱柱与圆柱的组合体. 绘制三视图时要将被遮挡的部为用虚线。
