考研数学(三)公式大全

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔

数学公式

导数公式：

基本积分表：

等价无穷小量代换 ()时，有：当0→x ϕ

x x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctan

a x x a

a a ctgx

x x tgx

x x x

ctgx x

tgx a x x ln 1

)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='2

22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a

x x a dx C

x a x a a x a dx C

a x a x a a x dx C a

x arctg a x a dx C

ctgx x xdx C

tgx x xdx C

x ctgxdx C

x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰

⎰

⎰

⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222

222

020ππ

a x a x ln ~1-x e x ~1-()ax x a ~1+x n

x n 1~11-+ ()x x ~1ln +22

1~cos 1x x -

两个重要极限：

高阶导数公式

()

n m n m x n m m m x -+--=)1)......(1(()!n x n n = ()()n x n x a a a ln =()ax n n ax e a e =

()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin sin πn x x n ()⎪⎭⎫ ⎝

⎛⋅+=2cos cos πn x x n ()

()x n x e x n xe +=()()1!11+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n a x n a x ——莱布尼兹（Leibniz ）公式： )

()()()2()1()(0

)()()(!

)1()1(!2)1()(n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v

u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ 泰勒公式：

e x =1+x+!22x +!33x +…+!

n x n

+ … sin x = x-!33x +!55x -!

77

x +…+)!12()1(12+-+n x n n + … cos x = 1-!22x +!44x -!

66

x +…+)!2()1(2n x n n -+ … ln (1+x) = x-22x +33x -4

4

x +…+)!1()1(1+-+n x n n + … tan -1 x = x-33x +55x -7

7x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!

3)2)(1(--r r r x 3+… -1

...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x

x

x x x x

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()

()()()()()

)(()()(ξξξ

多元函数微分法及应用

z

y

z x

y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx

dy

F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v

dx x v

dv dy y u

dx x u

du y x v v y x u u x

v

v z x u u z x z y x v y x u f z t v

v z t u

u z

dt dz

t v t u f z y

y x f x y x f dz z dz

z u

dy y u dx x u du dy y z dx x z

dz -=∂∂-=∂∂=⋅

-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：

时，

，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

多元函数的极值及其求法：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定

时值

时， 无极为极小值

为极大值

时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,

),(,),(0),(),(2

20

00020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q

q q q q n

n 1

31

21

12

)1(32111112+++++=++++--=++++-

级数审敛法：

散。存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：

—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧

=><=lim ;3111lim 2111lim 1211

ρρρρρρρρ