2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.1图形的相似第2课时相似多边形同步练习 新人

第二十七章 相似 27.1 图形的相似 第1课时 相似图形01 教学目标1.通过对事物图形的观察、思考和分析，认识相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察和动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.02 预习反馈阅读教材P24～25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似.并完成下列预习内容. ①把形状相同的图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？ 相似.④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？ 不相似.⑤全等三角形相似吗？ 相似.⑥生活中哪些地方会见到相似图形？ 答案不唯一.【点拨】 研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.03 名校讲坛例1 下列各图中哪组图形是相似图形(C)A B C D 【点拨】 观察图形，要从本质入手，如C ，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形. 【跟踪训练1】 下列图形中，不是相似图形的是(C)A BC D【跟踪训练2】 (教材P25练习2)如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似，(e)与(2)相似.04巩固训练1.如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是(C)A BC D2.下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.其中相似的组数有(C)A.4组B.3组C.2组D.1组05课堂小结1.本节课学习了哪些主要内容？2.全等三角形和相似三角形有哪些区别和联系？第2课时 相似多边形与比例线段01 教学目标1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.02 预习反馈阅读教材P26～27，理解并掌握“相似多边形”及“相似比”的概念，并完成下列预习内容：①对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如a b ＝cd (即ad ＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例.②相似多边形的对应角相等，对应边成比例.③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等.④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是(B) A.角A 是原来的5倍 B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对03 名校讲坛例1 下列图形中，不一定相似的是(D) A.任意两个等腰直角三角形 B.任意两个等边三角形 C.任意两个正方形 D.任意两个菱形【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.1习题)下列四组图形中，一定相似的是(D) A.正方形与矩形 B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形例2 (教材P26例)如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【解答】 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应角相等，由此可得， α＝∠C ＝83°，∠A ＝∠E ＝118°. 在四边形ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. 因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得EH AD ＝EF AB ，即x 21＝2418. 解得x ＝28.【点拨】 相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字.【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.1习题)(教材P28T5的变式)如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似.解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13， DE BC ＝39＝13. (2)证明：∵DE ∥BC ， ∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似.例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是1∶250__000. 【点拨】 图上距离与实际距离的比叫做比例尺.【跟踪训练3】 (教材P27练习1)在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离.解：设两地的实际距离为x. 30x ＝110 000 000.解得x ＝300 000 000. ∵300 000 000 cm ＝3 000 km. ∴两地的实际距离为3 000 km.04 巩固训练1.下列各组线段中，成比例线段的是(B)A.1，2，3，4B.1，2，2，4C.3，5，9，13D.1，2，2，3 2.下列各组图形中，必定相似的是(D) A.两个等腰三角形 B.各有一个角是40°的两个等腰三角形 C.两条边之比都是2∶3的两个直角三角形 D.有一个角是100°的两个等腰三角形3.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为4∶1.4.5.已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是6.在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？ 解：设1，2，3，4对应边长为a ，b ，c ，d ，根据相似多边形对应边的比相等，则有a 1＝b 2＝c 3＝d 4＝85，解得a ＝85，b ＝165，c ＝245，d ＝325.所以另一个五边形的周长为：a ＋b ＋c ＋d ＋8＝85＋165＋245＋325＋8＝24.05 课堂小结1.本节课学习了哪些内容？2.如何根据相似多边形的概念判断多边形相似？27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 教学目标1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.02 预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理.并完成下面的预习内容.①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB （AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【点拨】 找准对应线段是关键.03 名校讲坛例1 (教材补充例题)如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.AD AB ＝AE ACB.DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD.BC DE ＝AC AE 【跟踪训练1】 如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是(A)A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF例2 (教材补充例题)如图，ED ∥BC ，EC ，BD 相交于点A ，过A 的直线交ED ，BC 分别于点M ，N ，则图中有相似三角形(C)A.1对B.2对C.3对D.4对【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.2.1第1课时习题)如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，△AEF ∽△ABC.04 巩固训练1.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为(C)A.28°B.32°C.42°D.52°2.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE ，BA 交于点F ，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长.解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6.05 课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，201 教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.02 预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容. ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BCHI ，所以他们不相似.乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确.【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.03 名校讲坛例1 (教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A′B′＝12 cm ，B′C′＝18 cm ，A′C′＝24 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝412＝13，BC B′C′＝618＝13， AC A′C′＝824＝13， ∴AB ＝BC ＝AC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.2.1第2课时习题)如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.解：相似.理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE. ∴△ABC ∽△ADE.例2 (教材P33例1(2))根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝73，AC A′C′＝146＝73，∴AB A′B′＝ACA′C′. 又∠A ＝∠A′，∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形. (1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数.解：(1)相似.理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ， ∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2， ∴AC CF ＝CG AC. 又∵∠ACF ＝∠GCA ， ∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ， ∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF ＋∠2＝45°， ∴∠1＋∠2＝45°.04 巩固训练1.在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A′B′＝4.5 cm ，B′C′＝2.5 cm ，C′A′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D)A.△ABC 与△A′B′C′相似B.AB 与B′A′是对应边C.两个三角形的相似比是2∶1D.BC 与B′C′是对应边2.在△ABC 与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC ∽△A′B′C′，还应增加的条件是(C) A.AC ＝A′C′ B.∠A ＝∠A′ C.∠B ＝∠B′ D.∠C ＝∠C′3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例.5.如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC. 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23. ∴BC ＝2 cm.【点拨】 运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算.05 课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时 相似三角形的判定定理301 教学目标1.掌握相似三角形的判定定理3.2.了解两个直角三角形相似的判定方法.3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.02 预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.完成下列预习内容. ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等.再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似. 【点拨】 要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似.03 名校讲坛例1 (教材P35例2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长.【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°. 又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长.解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BC DE. ∴5AD ＝45. 解得AD ＝254.例2 (教材补充例题) 已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， (1)当BC BD ＝ABCD时，△ABC ∽△CDB ， 此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a.即当BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CDB.(2)当AB BD ＝BCCD 时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC .∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b aa 2－b 2.∴当BD ＝baa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝baa 2－b 2时，这两个三角形相似.【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况.【跟踪训练2】 (《名校课堂》27.2.1第3课时习题)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A.∠B ＝∠B 1 B.AB A 1B 1＝ACA 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1D.AB B 1C 1＝AC A 1C 104 巩固训练1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C) A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.证明：∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠ABC，∴△ABC∽△BCD.05课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？27.2.2 相似三角形的性质01 教学目标理解并掌握相似三角形的性质.02 预习反馈阅读教材P37～39，理解相似三角形的性质，并完成下列预习内容.(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. (2)如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ⊥BC 于点D ，A′D′⊥B′C′于点D′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？【解答】 其他的相似三角形还有△ABD ∽△A′B′D′，△ADC ∽△A′D′C′. ②△ABC 与△A′B′C′中，C △ABC C △A′B′C′＝k ，S △ABCS △A′B′C′＝k 2.【点拨】 在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.03 名校讲坛例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.【解答】 在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12. 又∠D ＝∠A ，∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为12.∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125， ∴△DEF 的边EF 上的高为12×6＝3，面积为(12)2×125＝3 5.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CE.∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF. ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝(DE CD ＋DE)2＝(DE 3DE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝(DE CD )2＝(DE 2DE )2＝14.∴S △CEB ＝90，S △ABF ＝40.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S 四边形BCDF ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝40＋90－10＝120.04 巩固训练1.若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为(C)A.2∶1B.1∶ 2C.1∶4D.1∶52.如图，在▱ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为(B)A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶13.如果△ABC ∽△DEF ，A ，B 分别对应D ，E ，且AB ∶DE ＝1∶2，那么下列等式一定成立的是(D) A.BC ∶DE ＝1∶2B.△ABC 的面积∶△DEF 的面积＝1∶2C.∠A 的度数∶∠D 的度数＝1∶2D.△ABC 的周长∶△DEF 的周长＝1∶24.如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是2∶3.5.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，BE ，B 1E 1分别是它们对应边上的中线，且BE ＝6，则B 1E 1＝4.6.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是斜边AB ，DF 上的中线，已知AC ＝9 cm ，CB ＝12 cm ，DE ＝3 cm.(1)求CM 和EN 的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？解：(1)在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋CB 2＝92＋122＝15， ∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM ＝12AB ＝7.5.∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE AC ＝DF AB ，即39＝13＝DF 15. ∴DF ＝5.∵EN 为斜边DF 上的中线， ∴EN ＝12DF ＝2.5.(2)∵CM EN ＝7.52.5＝31，相似比为AC DE ＝93＝31，∴相似三角形对应中线的比等于相似比.05 课堂小结本节课我们学习了哪些内容？27.2.3 相似三角形应用举例01 教学目标1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识.2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.02 预习反馈阅读教材P39～40，进一步体会从实际问题中建立数学模型，并完成下列预习内容. (1)太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比(正比或反比).(2)太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？ 答：相似.03 名校讲坛例1 (教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R.已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ.【解答】 ∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△PQR ∽△PST. ∴PQ PS ＝QR ST， 即PQ PQ ＋QS ＝QR ST ，PQ PQ ＋45＝6090，PQ ×90＝(PQ ＋45)×60. 解得PQ ＝90 m.答：河宽大约为90 m.【跟踪训练1】 (《名校课堂》27.2.3习题)(菏泽中考)如图，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的直线距离.解：连接MN. ∵AC AM ＝301 000＝3100，AB AN ＝541 800＝3100，∴AC AM ＝ABAN. 又∵∠BAC ＝∠NAM ， ∴△BAC ∽△NAM. ∴BC MN ＝3100，即45MN ＝3100.∴MN ＝1 500. 答：M ，N 两点之间的直线距离为1 500米.例2 小刚用下面的方法来测量学校大楼AB 的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA ＝21 m ，当他与镜子的距离CE ＝2.5 m 时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ，已知他的眼睛距地面高度DC ＝1.6 m ，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB 是多少m ？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【解答】 根据反射角等于入射角，则有∠DEF ＝∠BEF ，而FE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠BEA.又∵∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DEC ∽△BEA. ∴CD AB ＝EC EA . 又∵DC ＝1.6，EC ＝2.5，EA ＝21， ∴1.6AB ＝2.521. ∴AB ＝13.44.答：建筑物AB 的高度为13.44 m.【点拨】 从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键.【跟踪训练2】 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上.已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝20米，求旗杆的高度.解：由题意可得，△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EF AC， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5米，DC ＝20米， ∴0.520＝0.25AC. 解得AC ＝10.故AB ＝AC ＋BC ＝AC ＋DG ＝10＋1.5＝11.5(米).答：旗杆的高度为11.5米.04 巩固训练1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m ，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m 的位置，则球拍击球时的高度h 为2.4m.2.如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽.解：由题意，可得∠B ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ， ∴△ADB ∽△EDC. ∴AB EC ＝BD CD， 即AB ＝BD·EC CD ＝120×5060＝100(m).答：河宽AB 为100 m.【点拨】 证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种.3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ，然后测出两人之间的距离CD ＝1.25 m ，颖颖与楼之间的距离DN ＝30 m(C ，D ，N 在一条直线上)，颖颖的身高BD ＝1.6 m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC ＝0.8 m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？解：过点A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得，FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，BD ＝1.6 m ， ∠AEB ＝∠AFM ＝90°. 又∵∠BAE ＝∠MAF ， ∴△ABE ∽△AMF. ∴BE MF ＝AE AF， 即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30. 解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m). 答：住宅楼的高度为20.8 m.05 课堂小结利用相似三角形进行测量的一般步骤：(1)因地制宜，构造相似三角形；(2)测量与所求线段对应的边的长以及另外任意一组对应边的长；(3)根据相似三角形的对应边成比例进行计算.27.3位似第1课时位似图形的概念及画法01教学目标1.正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心.2.在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情.02预习反馈阅读教材P47～48，完成下列预习内容.(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(2)下列说法正确的是(D)A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(D)A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置【点拨】位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质.03名校讲坛例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【解答】 1.在原图形上取点A，B，C，D，E，F，G，在图形外任取一点P；2.作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP；3.在这些射线上依次取A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′＝2PA，PB′＝2PB，PC′＝2PC，PD′＝2PD，PE′＝2PE，PF′＝2PF，PG′＝2PG；4.顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′.所得到的图形就是符合要求的图形.【点拨】作位似图形的步骤：(1)按要求作出各点的对应点后，(2)连线.注意：不要连错对应点之间的连线.【跟踪训练1】(《名校课堂》27.3习题)如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形.例2请画出如图所示两个图形的位似中心.图1图2【解答】如图所示的点O1，就是图1的位似中心.如图所示的点O2，就是图2的位似中心.【点拨】正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线的交点就是位似中心.【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心.04巩固训练1.在下列图形中，不是位似图形的是(D)A BC D2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为(A)A.1∶3B.1∶2C.1∶ 3D.1∶93.如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为1∶2.4.如图，△DEF 是△ABC 经过位似变换得到的，位似中心是点O ，请确定点O 的位置，如果OC ＝3.6 cm ，OF ＝2.4 cm ，求它们的相似比.解：连接AD ，CF 交于点O ，则点O 即为所求.∵OC ＝3.6 cm ，OF ＝2.4 cm ，∴OC ∶OF ＝3∶2.∴△ABC 与△DEF 的相似比为3∶2.5.如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC 与△A′B′C′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.(1)找出位似中心点O ；(2)△ABC 与△A′B′C′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O 为位似中心画出△ABC 的另一个位似图形△A″B″C″.解：(1)如图所示，点O 即为所求.(2)∵AC A′C′＝21， ∴△ABC 与△A′B′C′的位似比为：2∶1.故答案为：2∶1.(3)如图所示，△A″B″C″即为所求.05 课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.位似图形与一般相似图形相比，有哪些特殊性？3.利用位似作图的步骤有哪些？第2课时 平面直角坐标系中的位似01 教学目标1.让学生理解掌握位似图形在平面直角坐标系上的应用，即会根据相似比，求位似图形顶点，以及根据位似图形对应点坐标，求位似图形的相似比和在平面直角坐标系上作出位似图形.2.让学生在应用有关知识解决问题的过程中，提高应用意识，体验数形结合的思想方法在解题中的运用.02 预习反馈阅读教材P48～50，以原点为位似中心的两个位似图形对应顶点的坐标规律，并完成下列预习内容.(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？答：线段缩小后，点A ，B 的坐标与其对应点的坐标的比为13. (2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为k.(3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是12. (4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1(2，4)，B 1(2，0)，C 1(6，6).03 名校讲坛例 (教材P49例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【解答】 如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).顺次连接点A′，B′，O ，所得△A′B′O 就是要画的一个图形.【点拨】 作位似变换时，要先弄清点的坐标的变化情况，求出变换后对应的坐标.然后在坐标中描出对应点，连线即可.【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3).(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求.。

章节测试题1.【题文】如图，矩形ABCD是一幅长3m，宽2m的国画，它的四周镶上宽度相等的一条金边．（1）金边宽度为10cm时，矩形ABCD与矩形EFGH是否相似？为什么？（2）是否存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似？如果存在，求出金边宽度；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）不相似．理由见解答；（2）不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似，理由见解答.【分析】本题考查的是相似多边形的判定、矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题的关键．（1）求出，得出矩形ABCD与矩形EFGH不相似；（2）设金边宽度为x cm，若，则，解得x＝0，即可得出结论．【解答】（1）不相似．理由如下：∵矩形ABCD中，AB＝2 m，AD＝3 m，金边宽度为10 cm＝0.1 m，∴EF＝2+2×0.1＝2.2 m，EH＝3+2×0.1＝3.2 m，∴，∴，∴矩形ABCD与矩形EFGH不相似；（2）不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似，理由如下：设金边宽度为x cm，若，则，解得x＝0，∴不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似．2.【答题】若某个直角三角形的两直角边之比为2：3，则确定了该三角形的（）A. 形状B. 周长C. 面积D. 斜边【答案】A【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵直角三角形的两直角边之比为2：3，∴虽不能确定两直角边的值，但能确定其比值，∴能确定该直角三角形的形状，选A.3.【答题】下列图形中一定是相似形的是（）A. 两个等边三角形B. 两个菱形C. 两个矩形D. 两个直角三角形【答案】A【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，选A．4.【答题】下列命题中，真命题是（）A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似【答案】B【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】A.邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，∴A选项错误；B.邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，∴两矩形相似，故本选项正确；C.对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，∴C选项错误；D.对角线之比相等的两个矩形不一定相似，∴D选项错误；选B．5.【答题】若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（）A. B. 2：3 C. 4：9 D. 16：81【答案】B【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵两个相似多边形的面积之比为4：9，∴两个相似多边形的对应边的比为2：3，∴两个相似多边形的周长的比为2：3，选B．6.【答题】下列四组图形中，不是相似图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】A.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D.形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；选D．7.【答题】若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的______倍．【答案】5【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为5．8.【答题】某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8 cm，最大长度是16 cm；叶片②最大宽度是7 cm，最大长度是14 cm；叶片③最大宽度约为6.5 cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为______cm．【答案】13【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13 cm．故答案为13．9.【答题】如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n﹣1的面积为______．【答案】【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC，∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2，∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2，∴矩形AB1C1C的面积，依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4，∴矩形AB2C2C1的面积，∴矩形AB3C3C2的面积，按此规律第n个矩形的面积为，故答案为．10.【答题】一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是______．【答案】28【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】设另一个多边形的周长是x．依题意，有x：（1+2+3+4+5+6）＝8：6，解得x＝28．故另一个多边形的周长是28．11.【答题】若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于______．【答案】4：9【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵两个相似多边形的相似比为2：3，∴它们的面积比＝22：32＝4：9．故答案为4：9．12.【答题】若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为______．【答案】1【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】设矩形的长是a，宽是b，则AE＝EH＝b，DH＝a﹣2b，∵矩形ABCD∽矩形HDCG，∴，即，整理得a2﹣2ab﹣b2＝0，两边同除以b2，得（）21＝0，解得或（舍去）∴长与宽的比为1，故答案为1．13.【题文】如图，一个矩形广场的长为100 m，宽为80 m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．【答案】1.2.【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．解得x＝1.2.答：当x为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．14.【题文】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（1）α＝______；（2）求边x、y的长度．【答案】（1）83°；（2）x＝12，y．【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，故答案为83°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴，解得x＝12，y．15.【答题】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A. 1：4B. 1：2C. 2：1D. 1：16【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为1：2．选B.16.【答题】沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得两张矩形与原来的矩形纸相似，那么原来那张纸的长和宽的比是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y：1．选A．17.【答题】下列说法正确的是（）A. 所有菱形都相似B. 所有矩形都相似C. 所有正方形都相似D. 所有平行四边形都相似【答案】C【分析】本题考查相似图形的判定.【解答】∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴所有正方形都是相似多边形，选C.18.【答题】如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A. 28cm2B. 27cm2C. 21cm2D. 20cm2【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝x cm，得到，解得x＝4.5，则剩下的矩形面积是4.5×6＝27cm2．选B．19.【答题】矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（）A. B. C. D. 2.5【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵原矩形的长为6，宽为x，∴小矩形的长为x，宽为2，∵小矩形与原矩形相似，∴，解得x＝2，选B．20.【答题】若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A. 增加了10%B. 减少了10%C. 增加了（1+10%）D. 没有改变【答案】D【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B．选D．。

初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构第二十七章“相似”简介教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。

本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。

>课程教材研究所李海东在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。

研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。

结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。

本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形6课时27.3 位似3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。

“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。

当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。

从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。

在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。