北师大数学九年级上册---图形的相似知识点详细(一)

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

图形的相似路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

屈原《离骚》江南学校 李友峰1． 比例线段的有关概念 ==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c (a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项．2． 比例性质①基本性质：a b c dad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b c d d c a c b a d b b d c a b d a c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似．6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．7． 六种相似基本模型：C A BD C A B DE E DB ACDE ∥BC∠B ∠AED ∠B ∠ACD A D B C D O B A C ODC B AX 型母子型 AC ∥BD∠B ∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高 8． 射影定理 由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________； A D B C由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的段．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半．10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比于位似比．【素材积累】从诞生的那一刻起，我们旧像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。

阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。

九年级图形的相似性知识点九年级的数学课程中，图形的相似性是一个重要的知识点。

相似性是指两个或多个图形在形状上相似的性质。

在学习相似性的过程中，我们将会了解到比例、角度、边长等概念的应用，进一步提高我们的几何思维能力。

一、比例和比例关系相似性的关键之一是比例。

比例在几何学中的应用非常广泛，它在描述相似图形的关系时起着重要的作用。

比例可以理解为两个或多个量之间的比较，通常可以用两个数字或表达式之间的比值表示。

在相似图形中，我们可以通过比较两个图形的对应边长的比例来判断它们是否相似。

例如，设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长的比例相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。

通过比较他们的边长比例，我们可以得出它们形状相似的结论。

二、角度的对应关系除了比例关系外，角度的对应关系也是判断图形相似的重要依据。

两个相似的图形，其对应的内角度是相等的。

也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应内角度A、B、C和D、E、F是相等的。

这个性质在实际问题中非常有用。

通过测量两个图形的内角度的大小，我们可以判断它们是否相似，从而在解决几何问题时得到更精确的结果。

三、比例尺在实际应用中，我们经常会遇到需要进行测量并绘制缩放图形的情况。

比例尺是一种常用的工具，它能够将实际尺寸与绘制尺寸之间的比例关系呈现出来。

比例尺通常以分数的形式表示，例如1/50或1:50。

意思是1个单位的实际长度对应于绘制的50个单位长度。

通过使用比例尺，我们可以将实际的图形缩小或放大到所需的大小，以便更好地进行观察和研究。

四、图形的相似性应用图形的相似性在实际生活中有着广泛的应用。

举个例子，我们常常看到地图上的图形，它们是按比例绘制的，以便更直观地显示地理信息。

此外，相似性还被应用在建筑、工程、艺术等领域。

例如，在建筑设计中，相似三角形的原理被广泛运用。

建筑师可以通过相似性来计算建筑物的比例，以便在保持整体平衡和美观的同时，满足功能和结构的要求。

阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧类型一证比例式技巧1中间比代换法证比例式1.如图，已知在AABC中，点D, E, F分别是边AB, AC, BC 上的点，DE〃BC, EF〃AB.An np(1)求证：—:(2)若AD:DB二3:5,AB BC技巧2等积代换法证比例式2.如图，在Z\ABC中，D是AB上一点，E是AABC 内一点，DE〃BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F, CF与AB交于P.求证:PE PA类型3 证比例和为1技巧5同分母的中间比代换法5.如图，已知AC 〃FE 〃BD.求证：AE BE ,--- + ——=1AD BC技巧3等比代换法证比例式3.如图,在AABC 中,DE/7BC, EF〃CD,求类型2证线段相等技巧4等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在Z\ABC 中，ZACB二90° , ZB>Z A,点D为边AB的中点，DE〃BC交AC于点E, CF〃BA交DE的延长线于点F.(1)求证：DE=EF； (2)连结CD,过点D作DC 的垂线交CF的延长线于点G,求证：ZB= ZA+ZDGC. 求CF:CB的值.AD AF 证：------- = ----专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)己知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等吋，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.• • •方法1利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是 ()A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC丄AD,垂足为C, AD二6. 4, CD=1. 6,BC=9. 3, CE=3. 1.求证：AABC^ADEC.方法2利用角判定两三角形相似3.如图，AABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABDs/\CED； (2)方法3利用边角判定两三角形相似4.如图,AB=3AC, BD=3AE,又BD/7AC，点B, A,E在同一条直线上.求证：△ABDs^CAE.方法4利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E, F分别是AB,ADEF^AABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题吋，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类儿何证明题的一种重要方法.常作的辅助线有以下儿种：（1）由比例式作平行线；（2）有中点吋，作中位线；（3）根据比例式，构造相似三角形.训练角度1巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在Z\ABC中，E, F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE, AF 于点P, Q,求BP:PQ:QD・A训练角度2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在AABC中，AC=BC, F为底边AB 上一点，BF:AF = 3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E,求BE:EC的值. 4.如图，在厶ABC中,AB>AC,在边AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD = AE,直线DE和BC 的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在AABC中，点M为AC边的中点, 点E为八B上一点，且八E二丄AB,连接EM并4延长交BC的延长线于点D.求证：BC = 2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二:3.如图，过AABC的顶点C任作一直线，与边AB 及中线AD分别交于点F和点E.求证:AE:ED=2AF:FB・训练角度3 过一边上的点作平行线构造相似三角形作辅助线的方法四: 作辅助线的方法三:9.如图，在口ABCD 中,AM 丄BC, AN 丄CD,垂 足分别为M, N.求证：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题小无平行线或 相似三角形时，则需构造平行线或相似三角 形，得到等比例线段；若比例式或等积式中 的线段分布在两个三角形或不在两个三角 形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它 们转化到两个三角形中再证两三角形相似， 若在两个明显不相似的三角形中，可运用中 I'可比代换.技巧1构造平行线法1.如图，在AABC 中，D 为AB 的中点，DF技巧3构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB,交AC 于点E,交BC 的延长线于点F, 求证：AE ・CF=BF ・EC.技巧4等比过渡法6.如图，在ZkABC 中,AB=AC, DE//BC,点 F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G,且ZEDF =Z ABE.求证：⑴△ DEF s △ RDE ；⑵ DG ・ DF = DB ・EF.2.如图，已知Z\ABC 的边AB 上有一点D,边 BC的延长线上有一点E,且AD=CE, DE 交 AC 于点F,试证明：AB ・DF=BC ・EF.7.如图，CE 是RtAABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P,连接AP,作BG 丄AP 于点G,技巧2三点找三角形相似法3.如图，在°ABCD 中，E 是AB 延长线上的一 点，DE 交BC 于F. 求证: DC_CFAE =AD*技巧5 8.如图，高，ZABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于 卜.求证：BE _BC ，两次相似法在航△八BC 中，AD 是斜边BC 上的 4.如图，在△ABC 中，ZBAC=90° , M 为 BC 的中点，DM 丄BC 交CA 的延长线于D,交AB 于 E.求证：AM 2=MD • ME.AC 于点M, N.D(1) AAMB^AAND； (2)鑒=x-lD技巧6等积代换法10.如图,在ZkABC 中，AD丄BC 于D, DE1AB 于E, DF丄AC于F.求证：普=話A卜AB技巧7等线段代换法11.如图，等腰AABC 中，AB=AC, AD丄BC 于点D,点P是M）上一点，CF〃八B,延长BP交AC 于点E,交CF于点F,求证：BP2 =PE • PF.12.已知：如图，AD平分ZBAC, AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2=PB - PC・MNAC专训二巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法.相似三角形的四类结构图：1.平行线型训练角度3子母型3.如图，在Z\ABC 中，ZBAC = 90° , AD丄BC于点D, E为AC的中点，ED的延长线交ABAR DR的延长线于点F.求证：話=环.训练角度4 旋转型4.如图，已知ZDAB=ZEAC, ZADE=ZABC. 求证：(1)Z\ADE S/\ABC； (2)学=架.AE CE训练角度1平行线型1.如图，在ZXABC中，BE平分ZABC交AC 于点E,过点E作ED〃BC交AB于点D. (1) 求证：AE ・BC=BD ・ AC； (2)如果S ZSADE=3,S ABDE=2, DE=6,求BC 的长.训练角度2 相交线型2.如图，点D, E分别为AABC的边AC, AB 上的点，BD, CE交于点0,且器=怜，试问AADE与AABC 相似吗？请说明理由.3.子母型A4.旋转型B C2.相交线型C DB专训三利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金: 判断两线段之间的数量和位置关系是几何屮的基本题型z—.由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法.训练角度1 证明两线段的数量关系类型1:证明两线段的相等关系1.如图，已知在AABC中，DE〃BC, BE与CD 交于点0,直线A0与BC边交于点M,与DE2.如图，一直线和AABC的边AB, AC分别交于点D,E,和BC的延长线交于点F,且AE:CE = BF:CF.求证：AD = DB.类型2证明两线段的倍分关系3.如图，在AABC中，BD丄AC于点D, CE丄AB 于点E, ZA=60° ,求证：DE=*BC. 训练角度2 证明两线段的位置关系类型证明两线段平行5.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接CE, AE.求证：AE〃BC・6.在AABC 中,D, E, F 分别为BC, AB, AC 上的点，EF//BC, DF〃AB,连接CE 和AD,分别交DF, EF于点N, M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；⑵如图②，若E不为AB的屮点，写出与MN 平行的直线，并证明.类型2证明两线垂直7.如图，在AABC中,D是AB上一点,AC2&如图，已知矩形ABCD, AD=|AB,点E, F 把AB 三等分，DF交AC于点G,求证：EG丄DF.4.如图，AM为AABC的角平分线，D为AB 的屮点,CE〃AB,CE交DM的延长线于E.求证：AC=2CE.专训四 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相 似图形的所有性质，位似图形必须具备三个 条件：（1）两个图形相似；（2）对应点的连线 相交于一点；（3）对应边互相平行或在同一 直线上.类型1三角形的内接正三角形问题 1•如图，用下血的方法可以画AAOB 的内接 等边三角形，阅读后证明相应问题.画法:①在AAOB 内画等边三角形CDE,使点 C 在0A 上，点D 在0B 上;②连接0E 并延长, 交AB于点E'，过点E'作E‘ C‘ 〃EC,交 0A 于点C'，作E‘ D' 〃ED,交0B 于点D'； ③连接C‘ D'，则2 D' E'是ZkAOB 的内 接等边三角形.求证：△（/ D‘ E'是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作：内接于已知AABC 的矩形DEFG,使它 的边EF 在BC 上,顶点D, G 分别在AB, AC 上, 并且有 DE : EF=1 : 2.类型3 三角形的内接正形问题（方程思想）3.如图,AABC 是一块锐角三角形余料，边 BC= 120mm ,高AD 二80mm ,要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边QM 在BC 上，其余 两个顶点P,N 分别在AB, AC 上，则这个正方 形零件的边长是多少？在 AB , AC , BC 上，且 DE //BC , AQ 交 DE 于 点 P.求证：DP ： BQ=PE ： QC.（2）在AABC 中,ZBAC =90°，正方形 DEFG 的四个顶点在AABC 的边上，连接AG ,AF , 分别交DE 于M ,N 两点.① 如图②，若AB=AC=1,直接写出MN 的长； ② 如图③，求证:MN 2 =DM ・EN.B专训五：图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点 考查内容之一，而对于成比例线段、相似三 角形的判定与性质、位似图形等都是命题的 热点.考点一：比例线段及性质1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是 () A. 2 cm, 4 cm, 4 cm, 8 cm B. 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cmC. 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cmD. 2. 1 cm, 3. 1 cm, 4. 3 cm, 5. 2 cm c “a b c d …“a+b + c + d2-若厂厂厂汙则—c —=3. 如图，乐器上的一-根弦AB=80 cm,两个端点A, B 固定在乐器板面上，支撑点C 是 靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点 A 的距离约为 ___________ ・(&~2. 236,结果 精确到0.01)AC B考点二：平行线分线段成比例4. 如图，若AB 〃CD 〃EF,则下列结论中，与BC D — BEABC =60° ,以AC 为边向三角形外作正方形 ACDE,连接 BE 交 AC 于 F,若 BF=p5 cm, 则 EF=5.如图, 在 RtAABC 中，ZACB=90°AI) 环相等的是(CD EFA6.如图，在AABC 屮，AM : MD=4 : 1, BD : DC=2 : 3,求AE : EC 的值.考点三相似三角形的性质与判定7.己知△ABCs^DEF,若ZXABC 与Z\DEF 的相似比为3 : 4,则△八BC与ZXDEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C. 16:9D.9:16&在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE : ED = 3 ： 1, CE的延长线与BA的延长线交于点F,贝|J S AA EF : S四边形ABCE为( ) A. 3 ： 4 B. 4 ： 3 C. 7 ： 9 D. 9 ： 79.若两个相似多边形的面积Z比为1 ： 4,周长之差为6,则这两个相似多边形的周长分另I」是______ .10.如图，AABC是直角三角形，ZACB = 90° , CD 丄AB于D, E是AC的中点,ED的延长线与CB 的延长线交于点F.⑴求证：FD'=FB・FC； (2)若FB = 5, BC =4,求FD的长.11.如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分ZDBC交DC于点E,点F是BC 的延长线上一点，且CE=CF, BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM丄DF；(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME・MB.考点四12.—天晚上，李明和张龙利用灯光下的影了长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明⑵连接⑴中的AA',求四边形AA‘ C' C 的周长.（结果保留根号）走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB = 1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高度CD.（结果精确到0. 1 m）// 1 // • :M// \ / ■■」E A B C13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD, BC=20 cm, BC, EF 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm, 8 cm.为使板凳两腿底端A, D之间的距离为50 cm,那么横梁EF的长应为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）A D考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD,以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A' B/C‘ D',则点C'的坐标为. 15.如图，在6X8的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点0和AABC的顶点均在小正方形的顶点上.（1）以0为位似中心,在网格图中作AA，B z C'和△ABC位似，且相似比为1 ： 2；相似三角形的应用专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是屮考的髙频考点.其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧.考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是()A. 3cm, 6cm,7cm,9cmB. 2cm,5cm,0.6dm, 8cmC・ 3cm, 9cm, 1. 8dnb 6cm D. icm, 2cnb 3cm, 4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m,在图纸上，这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是___________ m.概念2：相似多边形3.如图，已知Z1' =Z1, Z2‘ =Z2, Z 3' =Z3, Z4‘ =Z4, ZD' =ZD,试判断四边形"B z C‘ D z 与四边形ABCD是否相似，并说明理由.概念3：位似图形4.如图，在AABC屮，A, B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1, 0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把AABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是AA' B' C.设点B的对应点L的坐标是(a, b),求点B的坐标.A j y/\ 1-o !7考点二：2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在RtAABC 中，ZA=90° , AB=8, AC=6.若动点D从点B岀发，沿线段BA运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度.过点D 作DE〃BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范圉；(2)当x为何值时，ABDE的面积有最大值, 最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD=AC, DE丄BC, DE 与BA 相交于点E, EC 与AD相交于点F.(1)求证：AABC^AFCD； (2)若S AFCD=5,BC=10,求DE的长.考点三：1个判定一一相似三角形的判定7.如图，AACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接AE,过C作C0±AB于0.求证：△八CE s/XOCD.8.如图,在00的内接AABC中，ZACB= 90° , AC=2BC,过点C作AB的垂线/交00 于另一点、D,垂足为点E.设P是上异于点A,C的一个动点，射线AP交/于点F,连接PC 与PD, PD 交AB 于点G. (1)求证：Z\PACs △PDF；(2)若AB = 5,弧八卩=弧!3卩，求PD 的长.考点四：2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB,在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m,此时树的影子有一部分落在地而上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m,那么这棵树的高度是多少？例的技巧12.如图，已知AABC, ZB AC的平分线与Z DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P, Q.⑴求ZPAQ的度数;（2）若点M为应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的, 在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.考点五：1个作图一一作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位长度）有一点0和AABC.请以点0 为位似中心，把AABC缩小为原来的一半（不改变方向），画出AABC的位似图形.考点六：1个技巧一一证明四条线段成比IIIIIIIIIIIII r-i-7-r->-T-rn-r-rn-r-i。

数学图形相似九年级知识点数学中的图形相似是指两个或多个图形在形状上相似，即它们的对应角度相等，对应边的比例相等。

图形相似在几何学中有重要的应用，能够帮助我们分析和解决各种数学问题。

本文将介绍九年级数学中关于图形相似的知识点。

1. 判断图形相似的条件在九年级数学中，判断两个图形是否相似，需要满足以下三个条件：（1）对应角相等：两个图形的对应角度相等。

（2）对应边比例相等：两个图形中，对应边的长度之比相等。

（3）对应边平行：两个图形中，对应边之间相互平行。

2. 图形相似的性质图形相似具有以下性质：（1）对应角的性质：相似图形的对应角相等，即它们的内角相等，外角相等。

（2）对应边的比例：相似图形的对应边之比等于它们的周长、面积之比。

即若图形A与图形B相似，那么两个图形的对应边AB与A'B'的比例等于它们的周长或面积之比。

3. 相似三角形的定理在相似三角形中，我们可以应用以下定理来求解各种问题：（1）AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。

（2）AA相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的对应边比例相等，则这两个三角形相似。

（3）SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边的比例相等，则这两个三角形相似。

4. 图形相似应用图形相似在实际问题中有广泛的应用，比如：（1）计算高塔的高度：通过相似三角形的定理，我们可以计算高塔的高度。

例如，利用影子定理可以测量高塔的高度，其中就用到了相似三角形的概念。

（2）建模问题：在建模问题中，相似图形的概念可以帮助我们将实际物体或建筑的比例缩小或放大，以便进行实际测量或设计。

总结：数学图形相似是九年级数学中的重要知识点，它可以帮助我们分析和解决各种数学问题。

相似图形的判断条件、性质以及应用都需要我们掌握。

通过学习相似图形的知识，我们可以更好地理解几何学中的概念和应用，提升数学解题能力。

图形的相似（一）一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c bb a 或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2、比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ad=bc②a ：b=b ：c acb 2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）d bc a （交换内项）d c b a a cb d （交换外项）a bc d （同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cda b d c b a （4）合比性质：ddc b b ad c b a （5）等比性质：ban f d b m e c a n f d b n mf e d c b a )0(n m b a d c b a3、黄金分割1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2.618.0215AB AC 二、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DEDF BC AC EFDF 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

第四章图形的相似第1讲相似三角形常见模型一．知识梳理(一)【知识回顾】相似三角的判定方法1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（二）相似三角形基本类型1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型二.实战演练训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．典例分析训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.训练角度4 旋转型4.如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.1.下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似2.如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对课堂训练4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）5.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A.4B.3C.2D.16.若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.7.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。