九年级数学上册知识归纳 图形的相似 (3)

3．4 相似三角形的判定与性质3．4.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)教学目标【知识与技能】经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程．【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐．【教学重点】三角形相似的判定定理及应用．【教学难点】三角形相似的判定定理及应用．教学过程一、情景导入，初步认知现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课．二、思考探究，获取新知1．在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC 于点E.(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．2．如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC 相似．证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.3．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.(1)∠C′＝∠C吗？(2)分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？(3)把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题．如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励．【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F.求证：△DEH∽△BCA.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，而∠BHF＝∠DHE，∴∠D＝∠B，又∵∠HED＝∠C＝90°，∴△DEH∽△BCA.三、运用新知，深化理解1．见教材P78例2、P80例4.2．判断题：(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．( )(2)所有的直角三角形都相似．( )(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．( )(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．( )【答案】(1)√；(2)×；(3)×；(4)√3．如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD 于点E、F，则△AGD∽______∽________．解析：关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1＝∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1＝∠4(对顶角)，由AB∥DG可得∠3＝∠G，所以△EGC∽△EAB.【答案】△EGC△EAB4．已知：在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°.求证：△ABC∽△DEF.证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－80°＝60°，∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°，∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF.(两角对应相等，两三角形相似)5．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°，在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BCD.6．已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，(两角对应相等，两三角形相似)同理△CBD∽△ABC，∴△ABC∽△CBD∽△ACD.【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法．从而得到提高．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第2题．教学反思通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明．第2课时相似三角形的判定(2)教学目标【知识与技能】经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程．【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．【情感态度】在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心．【教学重点】掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．【教学难点】会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似．教学过程一、情景导入，初步认知问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．(2)判定两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望．二、思考探究，获取新知下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似．1．我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？2．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，ABA′B′＝ACA′C′＝k.(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论．【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F，AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.证明：∵AC＝3.5cm ，BC ＝2.5cm ，DF ＝2.1cm ，EF ＝1.5cm ， ∴DF AC ＝2.13.5＝35，EF BC ＝1.52.5＝35， ∴DF AC ＝EF BC， 又∵∠C＝∠F， ∴△ABC∽△DEF.4．我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？5．你能证明你的结论吗？已知：如图，在△A′B′C′和△ABC 中， AB A′B′＝AC A′C′＝BCB′C′. 求证：△A′B′C′∽△ABC.【教学说明】引导学生证明．【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似．6．如图，在Rt△A BC 和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似．可以利用勾股定理来证明．【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解．三、运用新知，深化理解1．见教材P82例6、P84例8.2．如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．解：(1)△ADE∽△ABC，两角相等；(2)△ADE∽△ACB，两角相等；(3)△CDE∽△CAB，两角相等；(4)△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；(5)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等；(6)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．3．在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由．(1)AB＝5，AC＝3，∠A＝45°，A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；(2)∠A＝38°，∠C＝97°，∠A′＝38°，∠B′＝45°；(3)AB＝2，BC＝2，AC＝10，A′B′＝2，B′C′＝1，A′C′＝ 5.解：(1)SAS，相似；(2)AA，相似；(3)SSS，相似．4．如图，BC与DE相交于点O.问(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE?(2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE?(学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导．)解：(1)∵∠A＝∠A，∴当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE.(2)∵∠A＝∠A，∴当AC∶AE＝AB∶AD 时， △ABC∽△ADE.5．如图，在等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN＝45°，试说明△BCM∽△ANC.解：∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝45°. 又∵∠MCN＝45°，∠CNA＝∠B＋∠BCN＝45°＋∠BCN， ∠MCB＝∠MCN＋∠NCB＝45°＋∠BCN. ∴∠CNA＝∠MCB， 在△BCM 和△ANC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B ∠CNA＝∠MCB ， ∴△BCM∽△ANC. 6．如图，已知△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠E DB ＝90°，点E 在边AC 上，CB 、ED 交于点F.证明：△ABE∽△CBD.证明：∵△ABC、△DEB 均为等腰直角三角形， ∴∠DBE＝∠CBA＝45°，∴∠DBE－∠CBE＝∠CBA－∠CBE.即∠ABE＝∠CBD，又EB BD ＝ABBC＝2，∴△ABE∽△CBD.7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 为对角线BD 上两点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F.试说明△AMD∽△EMB.解：∵ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ADB＝∠DBC， ∠MAD＝∠MEB，∴△MAD∽△MEB.8．如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，如果再进一步证明AB AD ＝AC AE，则问题得证．证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴AB AD ＝AC AE. 在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC＝∠DAE，AB AD ＝AC AE， ∴△ABC∽△ADE.【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第1、3、4题．教学反思相似三角形的判定主要介绍了四种方法，从练习的结果来看，不是很理想，绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用，夹角也不能准确找到．我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深，对定理的理解不透，一味死记结论．不能理解每个量所表示的含义．我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力，合情推理的能力，争取这方面有所提高．3．4.2 相似三角形的性质教学目标【知识与技能】理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系．【过程与方法】对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度．【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．【教学重点】相似三角形性质的应用．【教学难点】相似三角形性质的应用．教学过程一、情景导入，初步认知1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3．相似三角形的判定方法有哪些？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备．二、思考探究，获取新知1．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比．3．如图，△A′B′C′和△ABC 是两个相似三角形，相似比为k ，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD 的比．解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′＝∠B，∠A′B′C′＝∠ABC，∵A′D′，AD 分别是△A′B′C′与△ABC 的角平分线，∴∠B′A′D′＝∠BAD，∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似)． ∴A′D′AD ＝A′B′AB＝k. 根据上面的探究，你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．4．在上图中，如果AD 、A′D′分别为BC 、B′C′边上的中线，那么，AD 和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比．5．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB A′B′＝k ，AD 、A′D′为高线． (1)这两个相似三角形周长比为多少？(2)这两个相似三角形面积比为多少？分析：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，所以AB ︰A′B′＝BC ︰B′C′＝AC ︰A′C′＝k.由合比的性质可知，(AB ＋BC ＋AC)︰(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.(2)由题意可知，因为△ABD∽△A′B′D′，所以AB ︰A′B′＝AD ︰A′D′＝k.因此可得，△ABC 的面积︰△A′B′C′的面积＝(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)＝k 2.【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论．学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法．三、运用新知，深化理解1．见教材P86例9、P88例11、例12.2．已知△ABC∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，且AC A′C′＝32，B′D′＝4，则BD 的长为____． 分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，BD B′D ′＝AC A′C′，即BD 4＝32，∴BD＝6. 【答案】63．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.【答案】A4．已知△ABC∽△A′B′C′且S △ABC ∶S △A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝________．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′＝1∶ 2. 【答案】1∶ 25．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12，那么边长应缩小到原来的____．分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22，所以边长应缩小到原来的22. 【答案】226．如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高．(1)则图中有几对相似三角形；(2)若AD ＝9cm ，CD ＝6cm ，求BD ；(3)若AB ＝25cm ，BC ＝15cm ，求BD.解：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.在△ADC 和△ACB 中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形． (2)∵△ACD∽△CBD，∴AD CD ＝CD BD ， 即96＝6BD，∴BD＝4cm. (3)∵△CBD∽△ABC，∴BC BA ＝BD BC ，∴1525＝BD 15， ∴BD＝15×1525＝9cm. 7．如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G.(1)求证：△CDF∽△BGF；(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF∥CD 交AD 于点E ，若AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长．(1)证明：∵在梯形ABCD 中，AB∥CD，∴∠CDF＝∠FGB，∠DCF＝∠GBF，∴△CDF∽△BGF.(2)由(1)知△CDF∽△BGF，又F 是BC 的中点，∴BF＝FC ，∴△CDF≌△BGF，∴DF＝FG ，CD ＝BG.又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG，得2EF＝AB＋BG..∴BG＝2EF－AB＝2×4－6＝2，∴CD＝BG＝2cm.8．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．解：设△ABC的三边依次为：BC＝5，AC＝12，AB＝13，∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝90°.BC B′C′＝ACA′C′＝ABA′B′＝1326＝12，又BC＝5，AC＝12，∴B′C′＝10，A′C′＝24.∴S＝12A′C′×B′C′＝12×24×10＝120.9．(1)已知x2＝y3＝z5，且3x＋4z－2y＝40.求x，y，z的值；(2)已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．分析：(1)用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解．解：(1)设x2＝y3＝z5＝k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k，由于3x＋4z－2y＝40，∴6k＋20k－6k＝40，∴k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝10.(2)设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为(C＋560)cm，则CC＋560＝3 10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长为240cm，800cm.【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第6、7、9题．教学反思本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想．。

图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在ABC V 中，AB AC =，点D 在线段CB 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE BC ^交线段AD 于点,2120E BED BAC Ð+Ð=°．(1)如图1，求CAD Ð的度数．(2)如图2，若32DE AE =，求BD BC的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接,EC EC 交线段AB 于点F ，若BD =AF 的长．2．如图1，在ABC V 中，90BAC AB AC BD CD Ð=°=^,,于点D ，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE BD =，连接AE ．(1)直接判断AE 与AD 的位置关系(2)如图2，延长AD ，CB 交于点F ，过点E 作EG AF ∥交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若2AE =，CE =EG 的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，且AF CE =，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于Q ，连接DE DF 、．(1)求证：EQ FQ =；(2)连接BQ ，如图2，①若AQ DP ×=BQ 的长；②若FP FD =，则PE PQ = ．4．综合与实践已知：矩形ABCD ，M 是AD 边上一点．【基本图形】（1）如图1，AM MD =，BM 交AC 于F 点，BM 的延长线与CD 的延长线交于点E ，连AE ，求证：MF EM BF EB=；【类比探究】（2）如图2，AM MD =，过点D 任意作直线与BM ，BC 的延长线分别交于点E ，点P ，连AE ，求证：EAD PAD ÐÐ=；【扩展延伸】（3）如图3，E 是CD 延长线上一点，P 是BC 延长线上一点，AP 交CD 于Q 点，BE 交AD 于M 点，延长AD 交EP 于N 点，若M 是AN 的中点，且3AB =，4BC =，求AEP △的面积．题型3：翻折问题5．菱形ABCD 中，5AB =，点F 是AD 边上的点，点Q 是AB 边上的点．(1)如图1，若点F 是AD 的中点，CQ AB ^，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ，连接QF ，①求证：PAF CDF △≌△；②判定FCQ V 的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为20，将菱形ABCD 沿CQ 翻折，点B 的对应点为点E ．①如图2，当点E 落在BA 边的延长线上时，连接BD ，交CQ 于R ，交EC 于点M ，求DR BM 的值；②如图3，当CE AD ^，垂足为点F ，交AD 于点N ，求四边形CFNQ 的面积．6．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点E 在BC 上，连接AE ，把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，直线EF 与直线CD 交于点G ，连接DF ．(1)当DFG GEC Ð=Ð时，求BE 的长．小星看到把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道BE FE =，AB AF =，90ABE AFE Ð=Ð=°，根据DFG GEC Ð=Ð，他延长EG 与AD 的延长线相交于点H ，可证AD DF DH ==，AH EH =，再通过勾股定理即可求出BE 的长．请用小星的方法或自己的方法求BE 的长；(2)当G 是CD 的中点时，求BE 的长；(3)如图2，已知等边ABC V 的边长为6，点D 在边BC 上，连接AD ，把ABD △沿直线AD 翻折得到AED △，直线DE 与直线AC 交于点F ，若12CF =，求BD 的长．7．（1）发现：如图1，正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，将ADE V 沿AE 对折得到AFE △，延长EF 交BC 边于点G ，连接AG ．证明：BG DE EG +=．（2）探究：如图2，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC AD 、于点M 、N ，四边形AMNE 是四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，若CDN △的面积与CMN V 的面积比为1:3，求MN DN的值．（3）拓展：如图3，在菱形ABCD 中，6AB =，E 为CD 边上的三等分点，60D Ð=°，将ADE V 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点P ，求PC 的长．题型4：旋转问题8．如图，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，连接BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD V V ≌；②BP CD ^；(2)如图2，把ADE V 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连接BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若BC =3AD =．①求证：BDP CDA △∽△，②PDE △的面积是 ．9．问题背景：如图（1），在ABC V 和ADE V 中，AB AC AD AE ==，，BAC DAE Ð=Ð，求证：ABD ACE △△≌；尝试应用：如图（2），在ABC V 和ADE V 中，90ABC ADE Ð=Ð=°，30ACB AED Ð=Ð=°，连接CE ，点F 是CE 的中点．判定以B ，D ，F 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在ABC V 中，AC BC ＝AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，连接BD CD ，．若点E 是CD 的中点，连接BE ，直接写出BE 的最大值．10．如图，在V 锐角ABC 中，AB =3BC =，45ACB Ð=°，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转得到11A BC V ．(1)如图①，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A Ð的度数；(2)如图②，连接1AA ，1CC ，若1ABA △的面积为2，求1CBC △的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，求线段1EP 长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点D 为AC 一点，连接BD ．(1)如图1，若CD =，15ABD Ð=°，求AD 的长；(2)如图2，过点A 作AE BD ^于点E ，交BC 于点M ，AG BC ^于点G ，交BD 于点N ，求证：BM CM =；(3)如图3，将ABD △沿BD 翻折至BDE V 处，在AC 上取点F ，连接BF ，过点E 作EH BF ^交AC 于点G ，GE 交BF 于点H ，连接AH ，若:2GE BF =，AB =AH 的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形ABCD 中1582AB BC ==，，252CD =，6DA ＝，90A Ð=°，点M 在AD边上，且2DM =．点P 从点A 沿折线AB BC -上运动到点C ，将APM △沿MP 翻折，点A 的对应点为点A ¢，设点P 的运动路径长为x (0)x >．(1)如图1，连接BD ，①求CBD Ð的度数；②求证：AB CD ∥．(2)如图2，当点A ¢落到四边形ABCD 内部时，求x 的取值范围．(3)①当点A ¢落在AD 的延长线上时，请直接写出x 的值．②设点A ¢到边BC 所在直线的距离为h ，请直接写出h 的最小值．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长；(2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将ADC △沿着CD 翻折，得到A CD ¢△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M ¢最短时，请直接写出DF BE 的值．题型6：比值问题14．如图1，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点F 、P 、G分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接FP ，PG ．(1)图1中，求证：PF PG =；(2)当ADE V 绕点A 旋转到如图2所示的位置时，①PF PG =是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若:1:(1)AD AB n n =>，PDF △和PGC V 的面积分别是1S ，2S ，ABC V 的面积为3S ，求123S S S +的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 的延长线上，连接PD ，过点D 作DM PD ^，交BC 的延长线于点M ．求证：DP DM =．【变式求异】（2）如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，点D 在边AB 上，过点D 作DQ AB ^，交AC 于点Q ，点P 在边AB 的延长线上，连接PQ ，过点Q 作QM PQ ^，交射线BC 于点M ．已知8BC =，10AC =，AD =2DB ，求PQ QM的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，点P 在边AB 的延长线上，点Q 在边AC 上（不与点A ，C 重合），连接PQ ，以Q 为顶点作PQM PBC Ð=Ð，PQM Ð的边QM 交射线BC 于点M ．若AC mAB =，CQ nAC =（m ，n 是常数），直接写出PQ QM的值（用含m ，n 的代数式表示）．题型7：“手拉手”模型16．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是BC 边上一动点，过点C 作CE AD ^交AB 于点E ．(1)如图1，若AC AE =，求ADB Ð的度数；(2)如图2，点F 是BD 上一点，连接EF 并延长交AD 的延长线于点G ．若点P 为AD 的中点，CP DG =，2G CAD Ð=Ð，求证：2CE EF FG +=；(3)点F 是BC 边上一点，射线EF 与射线AD 交于点G ，BFE ADC Ð=Ð，点H 是AC 上一点，且14CH AC =，连接HF ，H G ，点M 是射线AD 上一动点，连接MH ，MF ．在点D 的运动过程中，当GH 取得最小值m 时，在平面内将HFM △沿直线HM 翻折得到HNM V ，连接EN ．在点M 的运动过程中，若EN 的最大值为n ，直接写出n m的值．17．如图所示，在ABC V 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE BC ∥，如图1，然后将ADE V 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图3中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，并证明你的猜想；(2)若·1AB k AC k =（＞），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题18．如图1，在ABCD Y 中，60A Ð=°，4=AD ，8AB =．Y的面积；(1)请计算ABCD△沿着AC翻折，D点的对应点为D¢，线段CD¢交AB于点M，请计算AM的长度；(2)如图2，将ADC^交AD¢的延(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段CM上一动点，过点P作PN AC^于点N，PG AD¢长线于点G．在点P PG+的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在ABC V 中，AB AC =，P 为边BC 上的任一点，过点P 作,PD AB PE AC ^^，垂足分别为D ，E ，过点C 作CF AB ^，垂足为F ．求证：PD PE CF +=．小明的证明思路是：如图①，连接AP ，由ABP V 与APC △面积之和等于ABC V 的面积可以证得：PD PE CF +=．小颖的证明思路是：如图②，过点P 作PG CF ^，垂足为G ，可以证得：,PD GF PE CG ==，则PD PE CF +=．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在BC 延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则PD PE CF 、、之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C ¢处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点Р作,PG BE PH BF ^^，垂足分别为G ，H ，若18,5AD CF ==，求PG PH +的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，,ED AD EC CB ^^，垂足分别为D ，C ，且,3cm,AD CE DE BC AB AD BD ====××，M 、N 分别为AE BE ，的中点，连接DM CN ，，请直接写出DEM △与CEN V 的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B (0,3)，与直线OC 交于点8,13C æöç÷èø．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)过点C 作CD x ^轴于点D ，将ACD V 沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D ¢¢¢△，点A ，C ，D 的对应点分别为A ¢，C ¢，D ¢，若A C D ¢¢¢△与BOC V 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m ¢=，当点A ¢与点B 重合时停止运动，当925S =时，求m 的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，AOB V 是等腰直角三角形，AO BO =，点A 的坐标为()0,6．点C 是边OB 上一点，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)当AB 平分CAD Ð时，OAC Ð＝________°；(2)若13CO BO =，求BD 的长；(3)如图2，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，CE ，DE ．设BDE V 的面积S =，CO m =，求S 关于m 的函数表达式．。

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

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数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

九年级数学上册知识点归纳(北师大版)九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。

这个距离称为平行所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

图3※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章 一元二次方程1认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为2=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=++c bx ax（a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

2用配方法求解一元二次方程 ①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+mx的形式；⑥两边开方求其根。

一、选择题1．下列各组长度的线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．2，3，4，5 B ．1，3，4，10 C ．2，3，4，6D ．1，5，3，122．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知ABC 的三边长是2，6，2，则与ABC 相似的三角形的三边长可能是（ ）A ．1，2，3B ．1，3， 22C ．1，3，62 D ．1，3，334．如图，A B C '''是ABC 以点О为位似中心经过位似变换得到的，若:1:2OA A A ''=，则A B C '''的周长与ABC 的周长比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．4：95．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，BC 上的点，且//DE AC ，若BE ：CE=1:3，则DOEAOCSS:的值为（ ）A．13B．14C．19D．1166．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，ABC中，90ABC∠=︒，点E在CB的延长线上，13BE AB=，过点E作ED AC⊥于D．若AD ED=，6AC=，则CD的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．48．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．AB BCAD DE=D．AB ACAD AE=9．已知30MAN∠=︒，点B在射线AM上，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．60BCD ∠=︒B ．2AB AD AC = C ．4ABD CBA ∠=∠D ．23AD AB =10．如图，////DE FG BC ，若3DF FB =，则EC 与GC 的关系是（ ）A ．4EC GC =B ．3EC GC = C ．52EC GC =D ．2EC GC =11．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长，与AC 的延长线交于点F ，且3AD BD =，2EF DE =，若2CF =，则AF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DCAB AC= D ．2AC BC CD =⋅二、填空题13．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．14．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．15．△ABC ，△DEF 的条件如图所示，则n 的值是_____．16．如图，一组平行线L 1、L 2、L 3截两相交直线L 4、L 5，则AOED=____．17．如图，在平面直角坐标系中，点(0,6)A ，(8,0)B ，点C 是线段AB 的中点，过点C 的直线l 将AOB 截成两部分，直线l 交折线A O B --于点P ．当截成两部分中有三角形与AOB 相似时，则点P 的坐标为__________．18．如图，ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，2CD DE =．若DEF 的面积为1，则ABCD 的面积为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ．（1）FDAF=__________； （2）若AEF 的面积为4，则平行四边形ABCD 的面积为__________．20．如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的平分线EF 与DC 交于点F ，若12AB =，2DF FC =，则BC 的长是_____．三、解答题21．如图，已知ADB A C ∠=∠+∠．（1）求证：CBDCAB ；（2）若1,2CD AD ==，求CB 的长．22．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ，且AD ：AC DF =：CG ， 求证：（1）AG 平分BAC ∠； （2）EF·CG=DF·BG ．23．问题发现：（1）如图1，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 为AB 上一点，且2AD DB =，过点D 作//DE BC ，填空：DE BC =________，DBEC=________； 类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将ADE 绕点A 逆时针旋转得到AMN ，连接DM ，BM ，EN ，CN ，请求出DM EN，BMCN 的值； 拓展延伸：（3）如图3，ABC 和DEF 同为等边三角形，且36AB EF ==，连接AD ，BE ，将DEF 绕AC （DF ）的中点O 逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE AD -的最大值．24．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A =40°，∠B =60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC =2，DC =6-2，BD =31-，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求CB 长．25．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．26．如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC 三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，2)．（1）请画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，相似比为1：2，在y 轴右侧，画出ΔA 1B 1C 1放大后的ΔA 2B 2C 2；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】判定四条线段是否成比例，计算前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【详解】解：A.2:3≠4:5，故四条线段不成比例，不合题意；B.1:3≠4:10，故四条线段不成比例，不符合题意；C.2:3=4:6，故四条线段成比例，符合题意；D.1:5≠3:12，故四条线段不成比例，不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键．2．C解析：C【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，∴∠C＝75°，∠A＝30°，A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，不符合题意；B、三角形各角的度数都是60°，不符合题意；C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，符合题意；D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，不符合题意；∴只有C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．3．A解析：A 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC ，2，∴△ABC：2=1 ∴△ABC相似的三角形三边长可能是1， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据位似变换的概念得到，A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵:1:2OA A A ''=， ∴13OA OA ':=:，∵A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的， ∴A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△， ∴13A B OA AB OA '''==， ∴A B C '''的周长与ABC 的周长比为1：3， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．5．D解析：D 【分析】由BE ：EC=1：3，得BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到14DE BE AC BC ==，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵BE ：EC=1：3； ∴BE ：BC=1：4； ∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△AOC ， ∴14DE BE AC BC ==， ∴21()16DOE AOC S DE S AC ∆∆==， 故选：D ． 【点睛】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6．B解析：B 【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COBS S；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OEAB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDOBCOS S △△，即可得到答案． 【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线∴12DE BC =，即①结论正确； 又∵DE 是ABC 的中位线∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠ ∴DOE COB △∽△∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COBSDE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误； 又∵//DE BC∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽∴12AD DE AB BC == ∴AD OE AB OB =，即③结论正确； ∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COE COEABC ADC S S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．7．B解析：B【分析】证明△ADF ≌△EDC ，得到DC=DF ，设DC=x ，再证明△EBF ∽△ABC ，求出x 即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED ⊥AC ，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A ，∵AD=ED ，∴△ADF ≌△EDC ，∴DC=DF ，设DC=x ，∴DF=x ，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ， ∴BE EF AB AC =， ∵AC=6，BE=13AB ， ∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．8．C解析：C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE ＝∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．9．D解析：D【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可．【详解】由作图可知，PQ 垂直平分AB ，AB=BD∵PQ 垂直平分AB ，∴AC ＝BC ，∴∠MAN ＝∠CBA ，∵∠MAN ＝30，∴∠DCB ＝∠MAN ＋∠CBA ＝60︒，故选项 A 正确；AB BD =MAN ADB ∴∠=∠∠MAN ＝∠CBA ，ADB CBA ∴∠=∠ACB ABD ∴△∽△2AC ABAB ADAB AC AD ∴=∴=⋅ 故选项B 正确；ABD 为等腰三角形，且两底角均为301803030120ABD ∴∠=︒-︒-︒=︒30MAN CBA ∠=∠=︒4ABD CBA ∴∠=∠故选项C 正确；如图：过点B 作BF AD ⊥在ABF 中，30A ∠=︒3AB AF ∴=22AD AFAB AF =∴=AB AD AD ∴=∴= 故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．10．A解析：A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到EG ＝3GC ，进而得出结论．【详解】∵DE ∥FG ∥BC ，DF ＝3FB ， ∴EG DF GC FB==3， ∴EG ＝3GC ，∴EC ＝4GC ，故选：A ．【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 11．B解析：B【分析】过点F 作//FG AB ，通过证明BED GEF ∽△△可得2FG BD =再证明FCG ACB ∽△△可得AC 的长度，即可求解．【详解】如图，过点F 作//FG AB ，交BC 延长线于点G ，则由平行易知BED GEF ∽△△，因此12BD DE FG EF ==， 即2FG BD =由平行易知FCG ACB ∽△△， 因此FG CF AB AC= ∵3AD BD =，∴4AB AD BD BD =+=， ∴2142FG BD AB BD ==， ∴12CF AC =， 即212AC =， ∴4AC =，∴6AF AC CF =+=．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查了利用三角形相似的性质求解线段的长度的问题，正确做出辅助线并证明三角形相似是解决本题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线；②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE ⊥BD 设EG=x 可得CG=2x 再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB 即可求解【详解】解：∵E 为AB 中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】AB=，解：∵E为AB中点，2∴AE=EB=1，∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∵把BCE∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．14．44π【分析】证明△OBQ∽△OAP根据相似三角形的性质求出AP根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m）BQ∥AP∴△OBQ∽△OAP∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ∽△OAP，根据相似三角形的性质求出AP，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ， ∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD 可得即可求解【详解】解：∵∠A ＝50°∠B ＝60°∴∠C ＝70°∵∠B ＝∠F ＝60°∠C ＝∠D ∴△ABC ∽△EFD ∴∴∴n ＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD ，可得AB BC EF DF =，即可求解． 【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 16．【分析】根据L1//L2//L3证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵L1//L2//L3∴∠AFO=∠OCD ∠AOF=∠COD ∴△AOF ∽△DOC 同理△BO 解析：AF CD BE- 【分析】根据L 1//L 2//L 3，证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵L 1//L 2//L 3，∴∠AFO=∠OCD ，∠AOF=∠COD∴△AOF ∽△DOC ，同理，△BOE ∽△COD ，△AOF ∽△EOB ， ∴AO AF OE BE =，即AO BE AF OE = ∴OE BE OD CD =， ∴OE BE OE ED CD=+ ∴OE CD BE OE BE ED ⋅=⋅+⋅ ∴()AO AF OE OE CD BE OE AF OE BE ED BE BE BE OE AF C CD BE B D E-=÷=⋅=-- 故答案为：AF CD BE - 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 17．或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解：点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形 解析：(0,3)或(4,0)或70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】分三种情况讨论，当PC OA ⊥时，则//,PC OB 则APC AOB ∽，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠ 则BCP BOA △∽△，当CP OB ⊥时，则//,PC OA 则,BCP BAO ∽ 再利用相似三角形的性质求解P 的坐标即可．【详解】解：()()06,8,0,A B ， 点C 是线段AB 的中点，6,8,10,OA OB AB ∴==== 15,2AC AB == 当PC OA ⊥时，则//,PC OB ∴ APC AOB ∽，,AP AC AO AB ∴= 162AP ∴=， ()3,0,3,AP P ∴=如图，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠∴ BCP BOA △∽△，,BC BP BO BA∴= 5,810BP ∴= 25,4BP ∴= 2578,44OP ∴=-=7,0,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭如图，当CP OB ⊥时，则//,PC OA,BCP BAO ∴∽,BC BP BA BO∴= 1,28BP ∴= 4,BP ∴=4,OP ∴=()4,0.P ∴综上：()0,3P 或7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0.P 故答案为：()0,3P 或7,04P ⎛⎫⎪⎝⎭或()4,0.P 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．12【分析】首先利用以及平行四边形对边相等分别得到DE 与CEDE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出进而推出再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出和的面积进而得出四边形的面积即可推出的面积【详 解析：12【分析】首先利用2CD DE =，以及平行四边形对边相等，分别得到DE 与CE 、DE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出AB CD ∥，AD BC ∥，进而推出DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出CEB △和ABF 的面积，进而得出四边形BCDF 的面积，即可推出ABCD 的面积.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，AB CD =，∵2CD DE =，∴3CE DE =，2AB DE =， ∴13DE CE =，12DE AB =， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，AD BC ∥，∴DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽， ∴21()9DEF CEB S DE S EC ==△△，21()4DEF ABF S DE S AB ==△△， ∵DEF 的面积为1，∴=9CEB S △，S =4ABF △，∴=S 918BCDF CEB DEF S S -=-=△△，∴=+=8+4=12ABCD BCDF S S S △ABF .故答案为12.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.19．296【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE 根据相似三角形的性质得到比例式等量代换得到AF=AD 于是得到2；（2）先得出再利用E 为AO 的中点AO=CO 得出进而得出结果【详解】解：（1）∵在解析：2， 96【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=13CE ，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=13AD ，于是得到FD AF=2； （2）先得出936CEB AEF SS ==，再利用E 为AO 的中点，AO=CO ，得出48ABC S =△，进而得出结果．【详解】 解：（1）∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==，∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴FD AF=2； （2）由（1）得△AFE ∽△CBE ，且13AE CE =，AEF 的面积为4， ∴936CEB AEF S S == ，∵E 为AO 的中点，AO=CO ，∴1123BAE CEB S S ==，∴48ABC S =△，∴296ABC ABCD S S==四边形 ， 故答案为：2，96．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．【分析】先延长EF 和BC 交于点G 再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形并求得其斜边BE 的长然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系并根据BG解析：824+【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可．【详解】解：如图，延长EF 和BC ，交于点G ，∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴ AB ＝AE ＝12，∴直角三角形ABE 中，2212122BE +==又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF ，∵AD//BC ，∴∠G ＝∠DEF ，∴∠BEG ＝∠G ，∴BG ＝BE ＝，∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ， ∴12CG CF DE DF ==， 设CG ＝x ，DE ＝2x ，则AD ＝12＋2x ＝BC ，∵BG ＝BC ＋CG ，∴＝12+2x+x解得：x ＝4，∴ )12244BC=+=，故答案为：4+【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）CB =【分析】（1）根据三角形外角的性质易证A DBC ∠=∠，再根据∠C 为公共角，即可证明相似； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB 的值．【详解】解：（1）∵ADB A C ∠=∠+∠，ADB DBC C ∠=∠+∠，∴A DBC ∠=∠，∵∠C=∠C ，∴△CBD ∽△CAB ；（2）∵1,2CD AD ==，∴3AC AD DC =+=，∵△CBD ∽△CAB ， ∴CD CB CB AC=，∴13CB CB =，即CB =． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．22．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE ＝∠C ，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF ∽△ACG ，其性质和角平分线的定义得AG 平分∠BAC ；（2）由两对应角相等证明△AEF ∽△ABG ，△ADF ∽△AGC ，其性质得EF AF BG AG =，DF AF CG AG=，再根据等式的性质求出EF•CG ＝DF•B G ． 【详解】（1）证明：180DAE AED ADE ∠+∠+∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，AED B ∠=∠，ADE C ∴∠=∠，在ADF 和ACG 中， ::AD AC DF CG ADE C=⎧⎨∠=∠⎩ ADF ∴∽ACG ，DAF CAG ∴∠=∠，AG ∴平分BAC ∠；（2）证明：在AEF 和ABG 中，AED B EAF BAG ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF ∴∽ABG ，EF AF BG AG∴=， 在ADF 和AGC 中，DAF CAG ADF C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADF ∴∽AGC ，DF AF CG AG∴=， EF DF BG CG∴=， EF CG DF BG ∴⋅=⋅ ．【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．23．（1）23，35；（2）35DM EN =，35BM CN =；（3）4 【分析】（1）在Rt ABC 中，由勾股定理求出10AC ==，由2AD DB =，可得3AB DB =，由//DE BC ，截线段成比例2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====，由AD AE AB AC =，分比AB AD AC AE AB AC --=，即BD EC AB AC=即可 （2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠，由35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠，可得ABM ACN △△，由性质35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠，可证DBM ECN △∽△，利用性质35DM BM DB EN CN EC ===； （3）如图4，连接OB ，OE ，由点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，可知90BOC DOE ∠=∠=︒，可推得AOD BOE ∠=∠，由::AO BO OD OE ==AOD BOE ∠=∠，可证AOD BOE ∽△△，可得:AD BE =，可求BO =OE =BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=即可求出．【详解】解：（1）23，35；解答如下：在Rt ABC 中，10AC ==，∵2AD DB =，∴3AB AD DB DB =+=，∵//DE BC ， ∴2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====， ∵AD AE AB AC=，∴AB AD AC AE AB AC --=， 即BD EC AB AC =， ∴63105BD AB EC AC ===， 故答案为：23，35； （2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠， ∵35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠， ∴ABM ACN △△， ∴35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠， ∵35BM DB CN EC ==，ABM ACN ∠=∠， ∴DBM ECN △∽△， ∴35DM BM DB EN CN EC ===；（3）BE AD -的最大值为4；提示如下：如图4，连接OB ，OE ，∵点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，由三线合一性质可知90BOC DOE ∠=∠=︒，∴BOD COE ∠=∠，∴AOB BOD BOC COE ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵::3AO BO OD OE ==，AOD BOE ∠=∠， ∴AOD BOE ∽△△，∴:AD BE =， ∵36AB EF ==， ∴BO =OE =在BOE △中，由三边关系可得，BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=，∵BE AD BE BE -==，∴当BE 存在最大值时，BE AD -的最大值343=⨯=．【点睛】本题考查三角形全等变换，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，掌握三角形全等的性质，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，解题关键是根据相似求出线段BO 与OE ．24．（1）见解析；（2）∠ACB 的度数为96°或114°；（3）2BC =【分析】（1）由题意可求出1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°，即证明40ACD A ∠=∠=︒，即△ACD 为等腰三角形．又因为∠CBD =∠ ABC ，可证明△BCD ∽△BAC ，即推出CD 是△ABC 的完美分割线．（2）分情况讨论①当AD =CD 时②当AD =AC 时③当AC =CD 时，根据题意和完美分割线的定义即可求出∠ACB 的大小．（3）根据题意和完美分割线的定义可知，AC =AD =2，△BCD ∽△BAC ，即推出BD CD BC CA=，即可求出BC 长． 【详解】（1）∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，∴ 18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒，∵A B ACB ∠≠∠≠∠，∴ △ABC 不是等腰三角形．∵CD 平分∠ ACB ， ∴1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°， ∴40ACD A ∠=∠=︒，∴ △ACD 为等腰三角形．∴ 40BCD A ∠=∠=︒，∠CBD =∠ ABC ，∴ △BCD ∽△BAC ，∴ CD 是△ABC 的完美分割线．（2）①如图，当AD =CD 时，∠ACD =∠ A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =96°．②如图，当AD =AC 时，∠ACD =∠ ADC =18048662︒-︒=︒， 根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =114°．③如图，当AC =CD 时，∠ADC =∠ A =48°．∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴这与∠ADC >∠BCD 矛盾，所以该情况不符合题意．综上所述，∠ACB 的度数为96°或114°．（3）∵△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，AC =2， ∴AC =AD =2．∵△BCD ∽△BAC ， ∴BD CD BC CA = 3162--=，解得2BC = 【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意理解完美分割线的定义是解答本题的关键．25．（1）AMN ，证明见解析；（2）34【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）AMN ∆是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，AMN NAM ∴∠=∠，AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ，AN MN =，NH AM ⊥，12AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，NAH AMB ∴∆∆∽，∴AN AH AM BM=， 212AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，112BM CM BC ∴===， 2223110AM =+=，5AN ，523DN ∴=-=，设DE x =，则3CE x =-，//AN BC ，∴DN DE CM CE =，即313x x=-， 解得，94x =，即94DE =， 34CE ∴=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以求出1A、1B、C，进而可画出图形；1（2）利用位似图形的性质得出对应点的位置，即可画出图形．【详解】解：(1)如图所示：ΔA1B1C1即为所求；(2)如图所示，ΔA2B2C2即为所求．【点睛】本题考查关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质，掌握相关性质是解题的关键．。