静定梁的内力分析

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静定梁的内力

静定梁的内力8.1 弯曲变形的概述弯曲是工程和生活实际中最常见的一种基本变形。

杆件由于受到某种作用,其轴线由直线变成曲线,这种变形称为弯曲。

以弯曲为主要变形的杆件在工程中称为梁。

梁是在工程中应用非常广泛的一种构件。

如阳台挑梁(图8.1)、桥式吊车梁(图8.2)、火车轮轴(图8.3),以及水利工程中的闸门立柱(图8.4)等。

图8.1图8.2图8.3图8.4工程中常见的梁,其横截面通常采用对称形状,如矩形、圆形、工字形及T形等,按照其截面形状可以相应地将其称为矩形截面梁、圆形截面梁以及工字形截面梁等。

建筑工程中以矩形截面梁最为常见,而在钢结构中以工字形截面梁较为常见。

在预制钢筋混凝土构件中存在T形截面梁;现浇钢筋混凝土结构中的矩形截面梁当考虑现浇板作为其翼缘时,在计算模式上也可称为T形截面梁。

上述各种截面的梁其横截面都具有一个竖向对称轴y(图8.5)。

该竖向对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面(图8.6)。

图8.5图8.6具有纵向对称平面的梁,若其所受外力(荷载和支座反力)全部位于纵向对称平面内,则梁弯曲过程中轴线将始终保持在该纵向对称面内,这种弯曲称为平面弯曲。

本章只讨论平面弯曲梁。

梁的分类方式是多种多样的。

按照梁的轴线形状可以分为直梁和曲梁;按照梁的轴线与水平线的关系可以分为平梁和斜梁;按照梁的跨数可以分为单跨梁和多跨梁。

按照梁所在的几何不变体系是否有多余约束又可分为超静定梁和静定梁。

本章主要讨论单跨以及多跨平直静定梁在发生平面弯曲时其横截面上的内力。

8.2 单跨静定梁的内力计算1)剪力和弯矩内力与梁的强度、刚度等有着密切的关系。

内力可以随外力的增加而增大,内力越大,梁的变形也越大,当内力超过一定限度时,梁就会发生破坏。

讨论梁的强度、刚度问题,必须先求出梁的内力。

建筑力学通常研究的是梁横截面上的内力。

梁的内力与外力相关,要计算内力必须先统计梁上承受的外力作用。

统计出梁上的外力后,梁横截面上的内力可用截面法求得。

结构力学课件-单跨静定梁的内力分析

FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
FNK
FAy sin
qx sin 0
FNK
ql 2
qx
sin
0
x
l
③作内力图
MK
ql 2
x
qx2 2
0
x
l
FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
ql sinFNKFra bibliotekql 2
qx
sin
0
x
l
2
ql 2 M图 8
ql cos 2
➢将斜梁与相应水平梁作比较：
q 'l
q 'l
2
2
q 'l tan 2
q 'l2
M图 8cos
FS图
q 'l tan
2
FN图
总结斜梁内力分析的特点：
➢截面内力的计算：截面法 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应水平梁的
支座反力相同，弯矩图相同 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，斜梁的剪力和轴力是相应水平梁剪力
13.805kN
M max 13.805kN.m
单选题 1分
静定结构在荷载作用下均会产生内力，而且内力大小与杆件截面尺寸及截面材料均无关。
A 正确 B 错误
提交
四、简支斜梁的计算 1、斜梁应用：楼梯、屋面斜梁、及具有斜杆的刚架结构中
简支斜梁
2、斜梁所受分布荷载
q q' A
沿水平方向均布荷载q：活载（人群、雪载）
Fy 0 FA 10 10 4 33.75 10 2 0 FA 36.25kN ()

梁的内力分析

FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算：（1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负）以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负）以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩，反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。

本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1

图10
图11
图12
3.3.2
多跨静定梁的内力计算
由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图联成一体，即为多跨静定梁的内力图。
例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪力图。
解：（1）绘制层次图，如图13(b)所示。
（2）计算支座反力，先从高层次的附属部分开始，逐层向下计算：
① EF段：由静力平衡条件得
∑ME=0: ∑Y=0: YF×4-10×2=0 YF=5kN YE=20+10-YF=25kN
解：（1）求支座反力先假设反力方向如图所示，以整梁为研究对象： ∑X=0: XA-P=0 XA=P=4kN ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN ∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN
即:
q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα
下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进行内力分析，如图(b)所示。根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql
则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向）的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα ∑MX=0: YAx-qx· x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)

建筑力学之静定结构的内力分析知识详解

第二个脚标表示该截面所属杆件的另一端。例如则表M示BA AB杆B端截面的弯矩。
表M示AB AB杆A端截面的弯矩，
❖ （3）内力图绘制
❖ 静定刚架内力图有弯矩图、剪力图、轴力图。刚架的内力图由各杆的内力图组合而成，而各杆的内力图，只需求出杆端截面的内力后，即可按照梁内力图的绘制方法画出。
❖ 6．平面刚架计算步骤
第十一章静定结构的内力分析
❖ 第一节楼梯斜梁和多跨静定梁 ❖ 1. 楼梯斜梁 ❖ 楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿
斜梁水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。 ❖ 一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载，如图11-1 (a)，沿梁轴线方向分布则的由荷于载是等′值转转换换为，沿所水q 以平有方：向分布的荷q 载，
❖ (2）杆端内力的表示：如：FNAB 、、、 FNBA FQAB FQBA 、M AB 、M BA 等。 ❖ 注意：刚结点处不同方向有不同的杆端内力。
❖ 为了明确表示刚架上不同截面的内力，特别是为了区别汇交于同一结点的不同杆
端截面的内力，在内力符号右下角采用两个脚标；第一个脚标表示内力所属截面，
❖ 详解见教材
图11-21
❖ （6）结点法与截面法的联合应用 ❖ 欲求图11-23所示a杆的内力，如果只用结点法计算，不论取哪个结
点为隔离体，都有三个以上的未知力无法直接求解；如果只用截面法计算，也需要解联立方程。 ❖ 为简化计算，可以先作Ⅰ-Ⅰ截面，如图所示，取右半部分为隔离体，由于被截的四杆中，有三杆平行，故可先求1B杆的内力，然后以 B结点为隔离体，可较方便地求出3B杆的内力，再以3结点为隔离体，即可求得a杆的内力。

静定梁和刚架内力分析

(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M
(-)
(c)
x
2.作剪力图和弯矩图：
由剪力方程可知，当 0 <x <l，时（即 AB 段上），剪力为常数，因此剪力图为一条水平的直线；由弯矩方程可知，AB 梁段上沿着轴线方向弯矩呈线性变化，因此，弯矩图为一条斜直线，只需求出两个端截面上
F A FQ x m m l
在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向，而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。另外，在利用截面法求解前，通常先确定支座反力，因支座反力并无正负规定，在求支反力前可任意假设正方向。
若结果为正，则表示支反力实际方向与假设方向相同；
上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
其中外力对横截面形心之矩正负号选取规律为：（1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，
反之取负；
（2）力偶——横截面左侧顺时针或右侧逆时针取正，反之取负。利用上述结论，可以不画分离体的受力图、不列平衡方程，直接得出横截面的剪力和弯矩。这种方法称为直接法。直接法将在以后求指定截面内力中被广泛使用。
2
求梁指定截面上的内力的方法：剪力：梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧梁段上所有外力在平行于截面方向投影的代数和。其中外力正负号选取规律为：横截面左侧梁段上向上的外力取正，横截面右侧梁段上
向下的外力取正；反之取负。
简记为左上右下取正，反之取负。
弯矩：梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧梁段
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩正” ，相反为负。

4.4.3静定梁的内力方程及内力图

1443梁的内力方程及内力图剪力图和弯矩图若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x的函数即qqxmmx以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律分别称为梁的剪力方程和弯矩方程
4.4.3
梁的内力方程及内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】(1) 求支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。

结构力学静定梁的内力分析

(d)
M M M FQdx m 0
M m
(e)
以上两式，为荷载与内力的增量关系。式(e)忽略了一阶微量。
增量关系的几何意义
在集中力作用点（集中力垂直与杆轴或有垂直于杆轴的分量）两侧截面，剪力有突变，突变值即为该集中力或垂直于杆轴的分量；弯矩相同。
在集中力偶作用截面两侧，弯矩有突变，突变值即为该集中力偶；剪力相同。
a
M
0
M1
1 2
qa 2
FAy a
M
用文字写明受拉侧
取截面1右侧为隔离体计算可得同样结果
3.直接法求指定截面的内力
由例3-1-1内力计算结果分析，指定截面的内力可用该截面一侧的外力直接表示，即：
轴力（FN）
截面一侧所有外力在指定截面法线方向投影的代数和，以与截面外法线方向相反为正。
剪力（FQ）
截面一侧所有外力在指定截面切线方向投影的代数和，左上、右下为正。
弯矩（M）
截面一侧所有外力对指定截面形心力矩的代数和。
例3-1-2 用直接法，求例 3-1-1图(a)所示伸臂梁截面2上的内力。
M
(a)
解
支座反力计算同例3-1-1。内力可由右图所示受力图直接计算：
M
F A x F A y
3a 2
FP
4 5
a
(↓)
（箭头标出实际方向）
MA 0
FBy
3a
M
q 3a
3a 2
FP
4 5
4a
0
(↑) FBy
1 M 3a
q 3a
3a 2
FP
4 4a 5
箭头标出实际方向

多跨静定连续梁受力分析

多跨铰接连续静定梁内力分析第1跨内力分析：R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=1 M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8，i=1 第2跨内力分析： P i =R Bi-1，i=2R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=2M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=2 M A2=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=2) 第3跨内力分析：P i =R Bi-1，i=3R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=3M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=3 M A3=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=3) 第4跨内力分析：P i =R Bi-1，i=4R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=4M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=4 M A4=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=4) 第5跨内力分析： P i =R Bi-1，i=5R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=5M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=5 M A5=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=5) 第6跨内力分析： P i =R Bi-1，i=6R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=6M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=6 M A6=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=6) 第7跨内力分析： P i =R Bi-1，i=7R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=7M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=7 M A7=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=7) 第8跨内力分析： P i =R Bi-1，i=8R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=8M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=8 M A8=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=8) 第9跨内力分析： P i =R Bi-1，i=9R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=9M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=9 M A9=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=9)第10跨内力分析： P i =R Bi-1，i=10R Bi =qL i *[1-(A i /L i )2]/2-P i *(A i /L i )，i=10M i =qL i 2*[1-(A i /L i )2]2/8-P i *A i *[1-(1+(A i /L i ))2/2+A i /L i ]，i=10 M A10=-(P i *A i +qA i 2/2)，(i=10)希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、理想的路总是为有信心的人预备着。

多跨静定梁的内力分析

-3qa/4
9qa/4
不求反力或少求反力绘制内力图
14
qa2
qa
q
qa2/2
qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2
qa2/2
qa2/2
M图（kN.m）
qa
qa 3qa/4
＋ qa/4
qa/2
＋
qa －
－ qa
qa/2 － qa/2
3qa/4
7qa/4
Q图（kN）
15
40k N
80k N·m
20k N/m
3-2 多跨静定梁的内力分析 1
多跨静定梁是若干单跨静定梁用铰相联而成的静定结构。
计算简图
从几何组成来看，多跨静定梁可分为基本部分和附属部分。
多跨静定梁的几何组成
2
基本部分：不依赖结构的其他部分而能独立地维持其几何不变的结构部分。
附属部分：必须依赖基本部分的支承才能维持其几何不变性的结构部分。
地基
机动分析：地基内力分析：BC梁
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB梁、CD梁 AB梁、CD梁
BC梁
弯矩图的作法：先作出各个单跨梁的弯矩图；再把各单跨梁的弯矩图联在一起，就得到多跨静定梁的弯矩图。
例1 作图示多跨静定梁的内力图 5
10kN
4kN/m
1m 2m
层叠图
BC
D
2m
1m 2m
10kN
4kN/m
附属部分
基本部分
10kN 4 10
8
4kN/m
42
4
M图、Q图
6
4
10
BC
8
4
4
+
+

静定梁的内力—多跨静定梁的内力图(建筑力学)

(3) 计算顺序
先计算附属部分后计算基本部分，即先附属后基础。
§ 8.6 多跨静定梁的内力
多跨静定梁的概念和特点多跨静定梁的内力图
知识回顾
(1) 多跨静定梁的受力特点当荷载只作用在基本部分上时，附属部分不受力，即
只有基本部分有内力，而附属部分没有内力；
F
A
BC
当荷载只作用在附属部分上时，基本部分上也会受力， A 附属部分和基本部分都有内力。
(2) 计算顺序先计算附属部分后计算基本部分，即先附属后基础。
BC
D
例
[例1] 绘制如图所示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。
(a) 30kN
20kN.m
20kN/m
解：（1）绘制层次图
AB和CE梁均为基本部分，BC梁为附属部分（图b所示）。
(c)
（2）画受力图，求约束力
FBx
先附属后基础
8kN/m
12kN
A
FAy 5kN 3m
B
C
D
E
FG
FCy 30.75kN FDy 32.25kN FFy 16kN
1m
4m
1m 3m 1m
(c) 15kN.m
10kN
12kN
A
B
E
FG
FAy
FFBBy 15kN 8kN/m
FEy F4Eky N
FFy
(b) 15kN.m
B 10kN
A
B
(c)
附属部分：在去掉与其他部分的联系之后（与基础的联系不去掉），本身不能独立维持平衡的部分
称为附属部分，如CE和EF部分。
基本部分：AC、 DF
(b) A
附属部分： CD

第3章_静定结构的内力分析

第3章
静定结构受力分析
一、静定单跨梁的类型
（1）简支梁；
（2）悬臂梁；（3）伸臂梁
二、杆件截面内力及正负号规定 1、轴力：沿杆件轴线方向的截面内力，拉力为正、压力为负。 2、剪力：相切于横截面的内力，顺转为正，反之为负。
3、弯矩：截面内力对截面形心的力矩，下部受拉为正、反之为负。＋＋ M M Q Q ＋ N N －－ M M Q Q － N N
C 60
B
叠加法绘制直杆弯矩图一、简支梁弯矩图的叠加方法
MA
A
q L
MB
B
MA
MAB中 1 qL2 MB 8
若MA、MB在杆的两侧，怎么画？
MA MB q
A
MA
MAB中
B MB
＋
A 1 qL2 8
B
MAB中= （ MA ＋ MB）/2
MA A
P a b
MB B MA M Pab L MB
L
M怎么计算？
C A 3.75kN 2m
D
4m
B
2m 0.25kN
ND左 = －10kN
求截面C、D左、D右的内力。解：1、求支座反力 2、C截面的内力取C截面以左为对象：
QD左 = 3.75－2×2 =－0.25kN MD左 = 3.75×6－2×2×5
=2.5kNm
4、D右截面的内力取D右截面以右为对象：
三、内力图的校核
除一般校核平衡条件和荷载、内力微分关系外，重点是校核刚结点处的平衡条件，即∑X = 0 ， ∑Y = 0，∑M = 0
例1：作图示刚架的弯矩图。 2kN/m C A B 5m 4m
16
4
C
B MCB = 0 MBC = 2×4×2 =16kNm（上拉） MBA = 2×4×2 = 16kNm（右拉） MAB =2×4×2 = 16kNm（右拉）

静定梁的内力—单跨静定梁的内力计算(建筑力学)

MO 0 : M FA x 0
B FB
F
lx
c
FQ FA
M FA x
与横截面相切的内力，称为剪力FQ , 常用单位为N或kN 。
作用在外力作用平面内（纵向对称平面
B
内）的内力偶，其力偶矩称为弯矩M，
FB 常用单位为
N m或 k N m 。
注：不论是左段还是右段隔离体计算出的内力应该是同一截面上的内力，在大小、性质上应该是相同的结果。
MB 0
FA 4 4 2 21 0 FA 2kN
（2）计算各截面上的剪力
FQ1 FQ2 FQ3 = 2kN FQ4 2+6=4kN FQ4 2 2=4kN
4kN m 2kN/m
12 3
Aபைடு நூலகம்
B4 C
FA
2m
FB
2m
2m
（2）计算各截面上的弯矩
M1 2 2 4kN m（上部受拉） M2 2 2 4 0
M1
qa
a 2
Fa
0
M1
qa
a 2
Fa
4
2
2 2
5
2
18kN
m
（上部受拉）
应用举例
[例2] 如图所示简支梁，已知：F1=F2=30kN, 求1-1横截面上的剪力和弯矩。
F1 1
A
1
FA 1m 1m
2m
F2 B
2m FB
F1 1 M1
1 FA 1m 1m FQ1
M11
F2
1 FS1 2m
2m FB
（2）代替留下一部分（脱离体），并以内力代替弃去部分对保留部分的作用。
（3）平衡对脱离体建立静力平衡方程，求解未知力。注意：取出的梁段上保留作用于该段上的所有外力（包括荷载和支座反力），在截开的截面上画出未知的剪力和弯矩时，剪力和弯矩均假设为正向。

静定结构内力分析1静定梁.ppt

10
例: 作内力图
q A
B
l
l
ql 2/2
ql ql/2
C
M图 FQ图
11
(1)无荷载分布段(q=0), FQ 图为水平线,M图为斜直线.
(2)均布荷载段(q=常数), FQ 图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同.
(3)集中力作用处, FQ 图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同.
l q
0.086ql2 l
x0.17l2
1 ql 2 8
1ql2 0.12q5l2 8
与简支梁相比:弯矩较小而且均匀.
从分析过程看:附属部分上若无外力,其上也无内力.
30
练习: 利用微分关系等作弯矩图
FP
l
l/2 l/2
MM
l
l
31
练习: 利用微分关系等作弯矩图
M
1 2 FPl
F 1
4
FPl
P
l 2M
§2-1 静定梁受力分析
一.单跨梁
1.单跨梁支座反力
A
FP B
FAx
FAy
简支梁
FBy
MA A
FP B
FAx
FAy
悬臂梁
A FAx
FAy
FP B 外伸梁 FBy
MA A
FAx
FP B FBy
1
§2-1 静定梁受力分析
一.单跨梁
1.单跨梁支座反力例.求图示梁支座反力
MA A
FAx
FP B
解:
F X 0 FAx 0
1 2
ql
属部分.
熟练掌握单跨梁的计算.
ql
ql / 2

静定梁的内力—荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系(建筑力学)

§ 8.4 荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系
1.荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系
[例] 绘制简支梁在均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。
解：(1)求支座约束力
q
FA
FB
ql 2
()
A
x
(2)列剪力方程和弯矩方程 FA
C l
设q向上为正，M向下为正，则：
B
FB
dFQ (x) q(x) dx
FQ对x的一阶导数等于梁（1）上相应位置分布荷载的集度。
MA 0， FBy 8 8 244 41 0 FBy 3.5kN
x
（2）绘制剪力图
设剪力为零的位置离4点位置为x，则：
FQ(x)=8.5-4-2·x=0 ， x =2.25m
FQ
（3）绘制弯矩图
M 2 M3 8.5kN m
M4 8.5 2 41 13kN m
M max
8.5 (2 2.25) 4 (1 2.25)
应用举例
[例1] 利用内力图特征绘制如图所示外伸梁的剪力图、弯矩图。
解:（1）计算支座反力
M 0 , B
4 2 1 20 2 FDy 4 0
FDy
(4 21 4
20 2)
8kN
M 0 , 4 2 5+20 2 FBy 4 0 D
(4 25 20 2)
FBy
4
20kN
（2）确定分段点，判断各段梁内力图的形状
知识回顾
FS图、M图特征表
1.控制截面的选取
（1）梁的两端取左端偏右、右端偏左两个边缘控制截面。
1
2
1
2
1
2
（2）梁中集中力、集中力偶作用处，取偏左、偏右两控制截面。

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A
q BA
B
CM BM A 2
图3-1-6(a)
A
B
A
C
B
ql2
8
图3-1-6(b)
A
q
A
B
C
B
ql2 8
图3-1-6(c)
将先分别计算和绘制各荷载单独作用下的弯矩图后再叠加的过程在总弯矩图上一次完成，其步骤是:
1
梁的轴线为原始基线，将梁两端的弯矩竖标连以直线。
2
上一步所作的直线为新的基线，叠加梁中部荷载作用下的弯矩图。
第三章静定梁的内力分析
静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁是基本的结构形式。本节通过单跨静定梁，复习杆系结构内力概念及内力计算基本方法；通过多跨静定梁，了解静定结构几何组成对内力计算的影响，掌握静定结构内力分析的基本途径和方法。
第一节单跨静定梁
单跨静定梁
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
(a)

FP

4 5
4a
箭头标出实际方向
FX 0
箭头标出实际方向
3 FAx FP 5 0
3
FAx 5 FP (→)
由 FY 0 可校核所得支座反力。
2)求截面1处的内力
截开截面1，取右侧为隔离
体，见图（c），建立平衡
方程并解之：
M FAx
M1
FAy
FQ1

M

q

3a

3a 2

FP

4 5
a

0
FAy

1 3a

M

q 3a
3a 2

FP

4 5
a
(↓)
（箭头标出实际方向）
MA 0
FBy
3a

M

q 3a
3a 2

FP

4 5

4a

0
(↑) FBy

1 M 3a
q 3a
3a 2
上述方法既为直杆区段弯矩图的叠加法。
例3-1-3 计算图示简支梁，并作弯矩图和剪力图。
q = 1 4 k N /m
1 m1 m
4 m
1 m
解
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离体，由静力平衡条件
MB 0
MA 0
得
1
FAy

(14 4 3 7
7 6)

30kN m
(3)绘制结构的内力图
(a)弯矩图 (b)剪力图 (c)轴力图
在静定结构的受力分析中，正 1 确有序地选取隔离体是解题的
关键。
2 取隔离体的要点是，要保证隔离体的完全隔离，即隔离体与结构其他部分的所有联系都要切断。
3 隔离体上原有的已知力（荷载和已求出未知力）要保留，不能有遗漏。
4
5.区段叠加法作弯矩图
叠加法的基本含义是，若结构在线弹性阶段且为小变形时，若干荷载作用下结构的内力或位移，可由各荷载单独作用下的内力或位移叠加求得。自然弯矩图（剪力图、轴力图）也可按叠加法得到
(1)简支梁的弯矩叠加法
根据叠加法的基本含义，下图(a) 右所示简支梁在两端力偶和均布荷载所用下，其总弯矩图（图(a) 右）等于，两端力偶、均布荷载分别单独作下弯矩图（图(b)右、图(c)右）的叠加。(见下页 )
又由于区段AB两端的轴力在弯曲小变形的假设下对弯矩不产生影响
所以
从弯矩图的角度说，(a)右、 (b)右两受力图是相同的。
区段AB的弯矩图可以利用与简支梁相同的叠加法制
作。其步骤相类似：
1 求出直杆区段两端的弯矩值，在杆轴原始基线相应位置上画出竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
2
在新的基线上叠加相应简支梁与区段相同荷载的弯矩图。（相应简支梁，指与所考虑区段等长且其上荷载也相同的，相应于该区的段简支梁）
d x
图3-1-3 对于直杆段上，见图3-1-3,荷载与内力之间有下列关系：
(1)微分关系在图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段截取微段dx，见图31-4(a),建立微段的平衡方程：
图3-1-4(a)
dx
FY 0 FQ dFQ FQ qdx 0
dFQ q
(a)
dx
(b)
(c)
(d)
1.结构的内力概念
结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态（产生应变及相应的应力）。杆件结构的内力为杆件（垂直杆轴的）横截面上分布的应力，可以用一个合力来表示。在杆系结构的内力分析中，将这个合力分解成作用在横截面中性轴处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。
典型杆件截面上的内力
30kN
(c) FQ图
33kN /m
例3-1-4 计算图示伸臂梁，并作弯矩图和剪力图。
q = 2 0 k N /m
2 m 1 m 1 m1 m
解
1)求支座反力（略）
q = 2 0 k N / m
F A y = 5 k N
(a)
F B y = 7 5 k N
2)求控制截面弯矩值取截面C以右：
FQ FP
(d)
M M M FQdx m 0
M m
(e)
以上两式，为荷载与内力的增量关系。式(e)忽略了一阶微量。
增量关系的几何意义
在集中力作用点（集中力垂直与杆轴或有垂直于杆轴的分量）两侧截面，剪力有突变，突变值即为该集中力或垂直于杆轴的分量；弯矩相同。
在集中力偶作用截面两侧，弯矩有突变，突变值即为该集中力偶；剪力相同。
(3)荷载与内力的积分关系
取图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段（AB段），见图3-1-5，建立平衡方程并求解：
图3-1-5
dx
B
FY 0
FQB FQA
qdx
A
(f)
M 0
B
M B M A FQAl AB A q(l AB x)dx
(c)
M 1 FQ 1
FBy
(d)
FX 0 FN1 FAx 0 FN1 FAx
FY 0 FQ1 FAy q a 0
FQ1 FAy qa
M1 0
M1

q
a
a 2

FAy
a

M

0
M1

1 2
qa 2

FAy a

M
用文字写明受拉侧
（2）区段叠加法作弯矩图
指结构的任意一段直杆段的弯矩图叠加方法。见下图31-7图(a)上所示一刚架结构，要绘制直杆AB区段的弯矩图。
将直杆段AB取出，见图(a)右，两端截开截面上的弯矩MAB、 MBA已求出（其它杆端内力也可求出）。
q
A
B
F Q A B
F N A B A
q
BF N B A F Q B A
隔离体上与其他部分联系的截
断处，只标舍去的其他部分对隔离体的作用力。
例3-1-1 用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1上的内力。
M
M
F A x F A y
(a)
F B y
(b)
解
1)求支座反力
去掉支座约束，取整体为隔离体，见图(b)。建立隔离体的平衡方程并解之：
MB 0
FAy

3a
1 FBy 7 (14 4 4 7 1) 33kN m
(↑) (↑)
q = 1 4 k N /m
F A x = 0
F A y= 3 0 k N (a)
F B y = 3 3 k N
2)计算控制截面弯矩值取D截面以左
M D FAy 2 FP 1 30 2 7 1 53kN m
M 0
M
dM
M

FQ
dx

q

(dx) 2
2
0
dM dx

FQ
(b)
由(a)、(b) 两式得:
d 2M dx2
q
(c)
以上三式，为荷载与内力的微分关系。式(b)忽略了二阶微量。
微分关系的几何意义
若直杆段上无荷载作用，则剪力图是与轴线平行的一条直线，弯矩图是一条斜直线；
若直杆段上作用均布荷载，则剪力图为一条斜直线，弯矩图为抛物线
弯矩（M）
横截面上应力（或横截面上正应力）对截面中性轴的力矩代数和称为弯矩。规定弯矩的竖标画在受拉侧。
杆件截面上的内力定义图
MA
M A
M B
MB
静定结构内力计算基本方法和步骤：
静定结构的内力计算可归纳为，选隔离体、建立隔离体的静力平衡方程，和求解方程三部分主要工作。内力计算基本方法为截面法。
取截面1右侧为隔离体计算可得同样结果
3.直接法求指定截面的内力
由例3-1-1内力计算结果分析，指定截面的内力可用该截面一侧的外力直接表示，即：
轴力（FN）
截面一侧所有外力在指定截面法线方向投影的代数和，以与截面外法线方向相反为正。
剪力（FQ）
截面一侧所有外力在指定截面切线方向投影的代数和，左上、右下为正。
若直杆段上作用三角形分布荷载，则剪力图为抛物线，弯矩图为三次曲线；
以此类推
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含有集中力和集中力偶在内的微段dx，见图 3-1-4(b)，建立微段平衡方程：

静定梁的内力分析

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