gmm1

GMM 估计讲义
矩条件
一个简单的线性回归模型，
t t t y x βε=+，1,,t T = 1.1 由残差的均值等于零可得，
)()0(t t t t E E y x εβ==- 1.2
方程1.2是理论上的矩条件，对于数据，它的粗略样本矩条件为：
1
1)0(T t t t T y x β==-∑ 1.3 直观上， 当β真实值时，由于理论矩为零，样本矩应该越接近于零越好。

求解1.3，我们得到β的矩估计量，
111
11ˆT t T t t t T T y x β===∑∑ 1.4 但矩条件并不唯一，在1.2两边同时乘以t x ，由残差与变量无关的假设，我们可以得到另一个矩条件，
)()0(t t t t t t E E x y x x εβ==- 1.5
相似地，我们得到样本的矩条件，
1
1)0(T t t t t T y x x β==-∑ 1.6 这样，我们可以获得β的另一个矩条件估计量，
1121
11ˆT t T t t t t T T y x x β===∑∑ 1.7 其与OLS 估计量一致。

为了满足上述两个矩条件，我们可以使用两个矩条件的加权最小估计，即 2212()()()J g g βββ=+ 1.8
11
1())(T
t t t g T y x ββ==-∑，211())(T t t t t g T y x x ββ==-∑ 方程1.8说明两个矩条件是同等重要的。

一般的，我们使用权矩阵11w ，12w ，21w ，22w ，最小化目标函数，
2211112122112222()()()()()()()J w g w g g w g g w g g Wg βββββββ'=+++= 1.9 为了保证g 非负，W 在需要是正定矩阵。

此外还有其他的矩条件，如()0t t t E Z ε=，t Z 是工具变量向量。

一些问题：
1．什么矩条件可以使用？Gallant and Tauchen (1996, ET).
2． 什么工具变量可以使用，Bates and White (1993, ET) and Wooldrige (1994, Handbook of Econometrics, IV)
3．怎么选择加权矩阵W ？
一般程序
离散时间经济模型的动态规划行为需要运用Euler 方程：
0h(,)0t t n E x b +=，1m ⨯ 2.1
t n x +：1k ⨯向量；
0b ：1l ⨯估计的参数向量，
h ：k l m R R R ⨯→，已知函数。

如考虑消费与投资的选择问题：
()
10{,,}max ()t t j t t t j j C C V E U C ρ+∞+==∑ 2.2 1..()t t t t t t s t C PS S P d -+=+
t P 是单个资产的价格，t S 是从时间t 到t+1所持有的份额，t d 是在时间t 得到的红利。

假设代表性消费者具有CRRA 效用：1()/(1)U C C ββ-=-，那么一阶条件为
1111t t t t t t C P d E C P βρ-+++⎡⎤⎛⎫+⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
2.3 0(,)b ρβ'=，1111t t t t
P d R P ++++=-为净回报，则2.3可以写为：
0h(,)0t t n E x b +=，11⨯ 2.4
11(,,)t n t t t x C C R +++'=，101h(,)(1)1t t n t t C x b R C βρ-+++⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
其他矩条件可以通过相乘变量的滞后得到。

为了通过GMM 估计0b ，让t z 是q 维的工具变量向量，表示经济变量信息，且是可观测的，对于变量我们有r mq =个正交条件：
0[f (,,)]0t n t E x z b +=，1r ⨯ 2.5
函数f (,,):k q l r R R R R ⋅⋅⋅⨯⨯→，定义为：
0[f (,,)](,)t n t t n t x z b h x b z ++=⊗，1r ⨯
给定任何b ，向量函数f 的样本均值为，
011()f (,,)T
T t n t t g b x z b T +==∑，1r ⨯
2.5式暗含着b 越接近于0b ，()T g b 越接近于零。

T b 的GMM 估计量就是最小化立方问题：
min ()()()T T T T b
J b g b W g b '=，11⨯ 2.6 T W 是r r ⨯正定矩阵使得()T g b 接近于零。

事实上，上述的估计程序有两步，也就是两阶段估计法。

首先，选择T r W I =，通过求
解min ()()()T T r T b
J b g b I g b '=，获得初始的一致估计量ˆb ，1l ⨯。

第二步，依据第一步估计，最优加权矩阵可以通过1ˆˆT T
W S -=估计得到， ()01ˆ(,)()c T T j j
j S j T ω='=Ω+Ω+Ω∑，(,)1()1
j j T c T ω=-+ 1ˆf (,)f (,)ˆT j t n t n j
t j x x b b ++-=+'Ω=
∑，r r ⨯， ()c T 是正整数，当T 趋近于无穷大，()c T →+∞，1/3()/0c T T →，(see Newey and West
(1987), Gallant (1987,p. 446) and Andrews (1991, EM))。

最优的GMM 估计量b 可求解，
ˆmin ()()()T T T T b
J b g b W g b '= b 是渐进正态的，协方差矩阵为1ˆ()T
W D D -'
， 1111(,)(,)ˆT T t n t n t t t f h x b x b z T b T b D ++==∂∂=⊗∂∂=∑∑，r l ⨯ 我们有l 个参数，r mq =个正交条件，r 通常大于l ，所以我们有()r l -个不独立条件，且在估计中不能设置为零。

为了检验非过渡性约束，我们有Hasen ’s 检验2χ检验：
2ˆ()()()T T T T r l
TJ b Tg b W g b χ-'=
CAPM 模型
检验投资组合p r 的效率：
it i i pt it r r αβε=++，1,,i N = ，1,,t T =
矩条件是()0it E ε=，1,,i N = ；
()0it pt E r ε=，1,,i N =
为了使用GMM ，让
1
1()()T T t t f T g δδ==∑ 2N 向量函数()t f δ定义为，
11()t t pt t Nt Nt pt r f r εεδεε⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
11(,,,)N N δαβαβ= 是2N 个参数向量。

有两种方法可以检验：0:H 0i α=，1,,i N = 。

其一是首先估计δ，然后从分布
1(,)N ααα'= 构造2χ检验。

二是对模型使用0H 假设，通过GMM 检验来检验过渡性约束。

对于第一种检验，假设在pt r 过去信息的条件下，一阶条件有效，T S 是一致估计量，且是模型残差的协方差矩阵，
1
1()T T t t t t t S x x T εε=''⊗=∑ 1
1()T
T N t t t D I x x T ='⊗=∑ 然后构造1121()T T T N T R D S D R φααχ--'''⎡⎤⎣⎦=
其中(10)N R I =⨯且满足ˆˆR δ
α=。

GMM testing CAPM,see MacKinlay and Richardson (JF, 1991) and Harvey and Zhou (JEF, 1993)。