尺规作线段等于已知线段

aM③②①尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1） 作射线AP ；（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。

作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOBca bPBAPmn作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。

则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

教案尺规作图——线段一、学习目标：1．会用尺规画一条线段等于已知线段；2．会比较两条线段的长短；3．理解线段中点的概念，了解“两点之间，线段最短”的性质；4．体验运用“两点之间，线段最短”解决生活中的问题；5．了解两点之间的距离的定义，并会求两点之间的距离．二、知识回顾：1．已知一条线段，如何画一条线段等于已知线段？先量出已知线段的长，再画一条这个长度的线段.2. 怎样比较两条线段的长短？用刻度尺分别量出两条线段的长度来比较.三、知识梳理：1．尺规作图和基本作图在几何里，把只用直尺和圆规画图的方法称为尺规作图；最基本、最常用的尺规作图，通常成为基本作图. 2．作一条线段等于已知线段已知线段a,画一条线段等于已知线段．作法：（1）作射线AM（2）在AM上截取AB= a．则线段AB为所求．3．比较两条线段的长短两条线段可能相等，也可能不相等，那么怎样比较两条线段的长短呢？（1）度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较．（2）叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端对齐，从而进行比较．（如下图）4．线段的中点及等分点如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点；记作AM=MB或AM=MB=1/2AB或2AM=2MB=AB．如图(2)，点M、N把线段AB分成相等的三段AM、MN、NB，点M、N叫做线段AB的三等分点．类似地，还有四等分点，等等．5．线段的性质两点所连的线中，线段最短．简单地说成：两点之间，线段最短．6．两点间的距离连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．注意：距离是用“数”来度量的，它是线段的长度，而不是线段本身．四、典例探究1．用尺规作已知线段的和、差【例1】如下图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于a+b．总结：1.画线段的和时，一般在第一条线段向右的延长线上画，画图工具可选用直尺和圆规，注意保留圆弧的痕迹．2.画线段的差时，一般从被减的那线段的右端点向左在线段上画．3.所画线段含已知线段的和、差时，通常先画和，再画差.4.画完线段后，最后别忘了写结论.练1如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a－b+c．2．线段中点的有关计算【例2】如图，已知线段AD=6，线段AC=BD=4，E、F分别是线段AB，CD的中点，求线段EF的长．总结：1.一条线段的中点只有一个.2.某一点要成为一条线段的中点，必须同时满足两个条件：①点必须在这条线段上；②它把这条线段分为相等的两条线段.3.若点C是线段AB 的中点，则AB=2AC=2BC，或AC=BC=12AB.反之，若AB=2AC=2BC，或AC=BC=12AB，则点C是线段AB 的中点．练2已知线段AB=12，直线AB上有一点C，且BC=6，M是线段AC的中点，求线段AM的长．3．两点之间线段最短的实际应用【例3】如图，A、B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在l上标注出点P的位置，并说明理由．总结：解决平面图形中最短路径（即最小距离或距离之和最小）问题时，通常会运用到线段的基本性质：两点之间，线段最短．练3如下图，一只壁虎要从圆柱体A点沿着表面尽快地爬到B点，因为B点有它要吃的一只蚊子，而它饿的十分厉害，问壁虎怎样爬行路线最短？4．两点之间的距离问题【例4】A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（）A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对总结：对于题目中没有给出图的几何问题，要注意考虑全面，必要时需分类讨论. 结合题目已知条件正确画图很重要，既直观形象，又不易漏掉情况．练4已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm五、课后小测一、选择题1．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边2．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．已知线段AB=16cm，O是线段AB上一点，M是AO的中点，N是BO的中点，则MN=（）A．10cm B．6cm C．8cm D．9cm4．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CD=3cm，AB=10cm，那么BC的长度是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm5．在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm6．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b7．如图，O是线段AB的中点，C在线段OB上，AC=4，CB=3，则OC的长等于（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．28．已知A，B两点之间距离是10cm，C是线段AB上任意一点，则AC的中点与BC的中点距离是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定9．下列说法中，正确的有（）A．两点之间，直线最短 B．连结两点的线段叫做两点的距离C．过两点有且只有一条直线 D．AB=BC，则点B是线段AC的中点10．下列说法错误的是（）A．若AP=BP，则点P是线段的中点 B．若点C在线段AB上，则AB=AC+BCC．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外 D．两点之间，线段最短11．A、B两点的距离是（）A．连接A、B两点的线段 B．连接A、B两点间的线段的长度C．过A、B两点的直线 D．过A、B两点的射线12．下列说法正确的是（）A．两点之间的连线中，直线最短 B．如果AP=BP，那么点P是线段AB的中点C．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 D．如果点P是线段AB的中点，那么AP=BP13．下列说法中，正确的是（）A．若AC=12AB，则C是AB的中点 B．若AC=BC，则C是AB的中点C．若C在线段AB上，且AC=BC，则C是AB的中点 D．若C在直线AB上，且AC=12AB，则C是线段AB的中点二．填空题14．已知线段AB=10，如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=6，DB=4，则CD的长度是．15．（1）线段的大小比较可以用测量出它们的长度来比较，也可以把一条线段另一条线段上来比较；（2）将一条线段分成两条相等的线段的点叫做_________，若P是AB•的中点，•则PA=12_____，或AB=2________．三、解答题16．如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a+3b－2c．17．如图，P是线段AB上一点，M，N分别是线段AB，AP•的中点，若AB=16，BP=6，求线段MN的长．18．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．19．平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离之和最小（A，B，C，D四个村庄的地理位置如图所示），你能说明理由吗？20．如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．21．如图所示，A，B，C三棵树在同一直线上，量得树A与树B的距离为4m，树B与树C的距离为3m，小亮正好在A，C两树的正中间O处，请你计算一下小亮距离树B多远？22．如图所示，已知点C是线段AB的中点，D是AC上任意一点，M、N分别是AD、DB的中点，若AB=16，求MN的长．六、小结。

1.作一条线段等于已知线段 【答案】 分析 解作图题,首先要将文字叙述转化成数学语言,一般分为已知、求作、作法、结论. 已知：线段MN
求作：线段AC,使AC=MN. 作法：第一步：作射线AB. 第二步：用圆规量出线段MN的长, 在射线AB上截取AC=MN. 线段AC就是所要画的线段.
2. 作一条线段等于已知线段的理论依据是什么？ 【答案】圆规的功能是以定点为圆心、定长为半径作圆或弧．
课前准备
导学案、双色笔、练习本
圆规、直尺
三案导学· 初中数学八年级下册（华师版）
第十九章 全等三角形
第三节 尺规作图
第一课时 作一条线段等于已知线段， 作一个角等于已知角，作已知角的平分线
引入新课
• 在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图. 最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图. • 其中,直尺是没有刻度的; • 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.
1分钟准备合作探究
1.独立思考， 整理“质疑探究”部分的学习内容，列出问 题的思路、要点． 2.明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决．
对学合学
内容： 1. 学习中遇到的疑问 2.导学案“质疑探究”部分的问题
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想． （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论． （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑．
准备点评 点评内容 知识综合应用探究点1 知识综合应用探究点2 知识综合应用探究点3 点评小组 6组 4组 2组
要求： ⑴先点评对错，再点评思路方法，应该注意的问题，力争进行必要的变形拓 展． ⑵其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大胆质疑．
精彩点评
（一）基础知识探究：

课题：13.4 尺规作图（1）秦安县麻湾中学朱旭峰【教学目标】1.会用尺规作一条线段等于已知线段.2.会用尺规作一个角等于已知角.3.会用尺规作一条线段等于已知线段的和差.4.会用尺规作一个角等于已知角的和差倍.5.培养学生的动手能力及与交流能力.【重点难点】重点:用尺规作图作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角.难点：用尺规作图作一个角等于已知角，作简单的角的和差倍.【教学内容分析】本节课的内容是以活动课的形式创设情境，将尺规作图比较自然地引入。

通过用尺规作图活动，创设了许多让学生动手且容易参与的探索活动，让学生从特殊到一般的探究活动中，通过小组合作交流学习尺规作图，初步积累学习活动经验.【教学方法】演示法：把实物模型、教具或多媒体课件演示给学生看，使学生直观、具体、形象地感知图形.讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习. 练习法：精心设计随堂练习，巩固和提高学生的认知水平.【教学用具】材料：课件、投影仪、圆规、直尺、硬纸卡、木棍等.【教学课时】1课时【教学过程】一、创设情景，引入新课在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，如下图图案.二、整体感知通过情景交流，整体感知：尺规作图的一些有关的概念，然后进一步学习线段和角的尺规作图。

三、探究新知介绍两种作图方法1.作一条线段等于已知线段（板书）互动一：已知：线段AB．下面我们共同用尺规作一条线段等于已知线段(老师演示多媒体的作法和示范，学生一边看，一边画，看一步，画一步.）作法：(1)作射线A′C′.(2)以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′.A′B′就是所求的线段.注意圆规的用法.接下来请同学们讨论、交流、归纳出具体的作图方法，然后大家口述表达一下作法.合作交流1接下来，我们做一做，以熟悉用尺规作一条线段等于所给线段的和来巩固所学内容.(要求学生独立完成，口述作法、保留作图痕迹。

尺规作图1、画线段教学目的1、用心规作一条线段等于已知线段。

2、明白尺规作图的意义和历史，并激发学生装的学习兴趣。

重点、难点1、重点：用尺规作一条等于已知线希。

2、难点：灵活地运用“作一条线段等于已知线段”进行有关作图。

教学过程一、潮报源，激发兴趣你可以很容易地用量角器和刻度尺画一条线段等于已知线段，画一个等于已知角。

但如果限定作用的工具只能是圆规和没有刻度的直尺，即尺夫作图，你还能画出符合条件的图形吗？为什么对几何作图要作出只用尺规作用的限制？自古希腊时代起，人们就已经创造了尺规作图的游戏，这是一个十分有趣的游戏，吸引着许多人去探索。

希腊人认为，几何的基本原则是只用极少的定义、公理推导出尽可能多的命题，因此作图的工具也要限制到不能再少的程度。

希腊人还认为，学几何是为训练思维，靠人去思考，而不是依靠作图工具。

因此，就规定了作图只能使用直尺和圆规这两种最简单的工具。

希腊的平面几何学（也就是现在世界通行的平面几何学）的作图方法规定：直尺无刻度，它的用法是经过两点可作一直线；可以无限制地延长一直线。

圆规的用法是以任意给定的点为中民，以任意给定的长为半径，可以作圆或画弧。

用圆规直尺作图时只能有限次使用圆规和直尺。

此外还规定对于直线与直线、直线与圆（或弧）、圆（或弧）与圆（或弧）相交可以求出它的交点，这一整套的规定也称为平面几何作图公法。

对用直尺和圆规能作出哪些图形以及不可能作出哪些图形的思考，竟推动了整个数学的发展。

本节开始。

我们不一起学习——24。

4 尺规作图。

本节就从最基本的图形开始—画线段。

二、试一试如图，MN为已知线段，你能用直尺和圆规准确地画一条与MN相等的线段吗？你是如何画科呢？与同伴进行交流，请一些同学展示其成果。

作法：（1）画射线AB；（2）在射线AB上截取AC=MN。

（即：用圆规量出线段MN的长，以A点为心，以MN的长为半径画弧，交射线AB与C。

）线段AC就是所要画的线段。

三、做一做如图，已知线段a和两条相重直的直线AB、CD。

使∠ABC ＝ ＋


2.已知三边作三角形．
a b c
已知：线段a，b，c. 求作：△ABC，使得三边为线段a,b,c. 作法：(1)画一条线段AB，使得AB＝c. (2)以点A为圆心，以线段b的长为半 径画圆弧；再以点B为圆心，以线段 a的长为半径画圆弧；两弧交于点C. (3)连结用直尺和圆规分别画出满足图24.4.4 和图24.4.5中条件的三角形ABC.
（1）已知两边及夹角；（2）已知两角及夹边.
‘
图 24.4.4
图 24.4.5
大开眼界
右面的“邹菊图案”漂亮吗？ 你想自己画出它来吗？那就让我们 从最初的步骤开始吧！
1、 以点O为圆心，
用尺规作优美的图案
r 为半径作圆O；
O D’
C A B’ B’
O’ ’ O
C’
A A’’
∠A’O’B’就是所求的角.
思考：探究与合作
你们会做一条线段等于所给线段的和或差吗？
a b
1.已知线段AB和CD，如下图，求作 一线段，使它的长度等于AB＋2CD.
试一试
你能画出红球在第一次反弹后的运动路 线吗？
数学小知识
O
入 反 射 射 角 角
如图24.4.3，∠AOB为已知角，试按下 列步骤用圆规和直尺准确地画一个角等于 ∠AOB． B
第一步： 画射线O′A′． 第二步：以点O为圆心，以适当 长为半径画弧，交OA于C，交 O A 图24.4.3 OB于D． 第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交 O′A′于C′． 第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交 前一条弧于D′．
作法与示范： •作
(2) 以点A’为圆心， 以AB的长为半径 画弧， 交射线A’ C’于点B’， A’B’ 就是所求作的线段。

A
B
•作
法
•示
范
•(1) 作射线A’C’ ；
(2) 以点A’为圆心， 以点A 为圆心， AB的长为半径画弧， 的长为半径画弧 以AB的长为半径 画弧， 交射线A 于点B 交射线A’ C’于点B’， A’B’ 就是所求作的线段。 就是所求作的线段。
A’
B’
C’
（2）作一个角等于已知角 已知： 已知： ∠AOB。 求作： 求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
画一个角等于已知角画一条线 段等于已知线段。 段等于已知线段。 画角、线段的倍数、和、差。 画角、线段的倍数、 画法的语言： 画法的语言：（1）画射线×× 画射线××
点为圆心， ××长为半径画弧 交于点× 长为半径画弧， （2）以×点为圆心，以××长为半径画弧，交于点× （3）∠×就是所求的角
还要注意： 还要注意： 1.过点 、点x作直线；或作直线 ，射线 过点x、 作直线； 过点 作直线 或作直线xx，射线xx. 2.连结两点 、x；或连结 连结两点x、 ；或连结xx; 连结两点 3.在xx上截取 上截取xx=xx; 在 上截取 4.以点 为圆心，xx为半径作圆（弧）； 交xx 以点x为圆心 为半径作圆（ ）；(交 以点 为圆心， 为半径作圆 于x点；) 点 5.分别以点 ，点x为圆心，以xx为半径作 分别以点x， 为圆心 为圆心， 分别以点 为半径作 两弧相交于x点 弧，两弧相交于 点.
独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 1、已知： ∠AOB。 已知： 利用尺规作： 利用尺规作： ∠A’O’B’ AOB. 使∠A’O’B’=2∠AOB.
作法一: 作法一: B’ C B B’ O E C’ O’

(3)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
A
B 图 24.4.10 D
5、作已知线段的垂直平分线
已知：线段AB。 求作：作直线CD交AB于O，使CD⊥AB,且AO=BO.
步骤： 1、分别以点A、B为圆心， 以大于AB一半的长为半径 A 画弧，两弧的交于点C、D。 2、连结CD交AB于O。 则CD是线段AB的垂直平分线．
C`
A`
证明：连接DC,D’C’ ,由作法可知 △C`O`D`≌△COD(SSS), ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等)， 即∠A`O`B`=∠AOB。
三 作已知角的平分线
问题：如何用尺规作∠AOB的平分线呢？
B
O
A
B
E
C
O
D
A
作法： 1、以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA、 OB于点D、E。 2、分别以D、E为圆心、大于DE的一半的长为 半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C。 3、作射线OC。 请完成P86和 OC就是所求的射线。
导入新课
问题引入
我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和 圆规等工具方便地画出各种几何图形.如果限定只 能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何 图形，你还能做出符合条件的图形吗？
预习课本85页，回答什么是尺规作图，有哪几种基本
作图.
基本作图
在几何里,把限定用没有刻度的直尺
和圆规来画图,称为尺规作图.最基 本,最常用的尺规作图,通常称基本 作图.
C`
A`
1、作射线O`A`。 2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交 OB于D。 3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交O`A`于点C`。 4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D`。 5、过点D`作射线O`B`。 ∠A`O`B`就是所求的角。

（1）已知两边及夹角
（2）已知两角及夹边aFra bibliotek··
b
·
·
a
a
·
·
α
β
随堂即练
3.已知:线段a,c,∠α.求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
a
c
α
作法:(1)作一条线段BC=a;
(2)以B为顶点,BC为一边,作∠DBC=∠α;
(3)在射线BD上截取线段BA=c; (4)连结AC, △ABC就是所求作的三角形.
O
A
B
E
C
新课讲解
O
A D
步骤：1.在射线OA和OB上,分别截取OD、OE,使OD=OE；
2.分别以D、E为圆心,适当长（大于线段DE长的一半）
为半径作圆弧,在∠AOB内,两弧交于点C；
3.作射线OC.
射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线.
新课讲解
【想一想】为什么OC是角平分线呢？你能给出证明吗？
D'
O
A
C
O'
C'
A'
证明：连结CD、C'D' ,由作法可知
OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D',
△COD≌△C'O'D'(S.S.S.). ∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等), 即∠A'O'B'=∠AOB.
新课讲解
3 作已知角的平分线
【问题】如何用尺规作∠AOB的平分线呢？ B
所以EF就是所求作的线段.
新课讲解
【例2 】已知：∠AOB.

1.任意画一个钝角，并作出它的平分 任意画一个钝角， 任意画一个钝角 线。 2.思考：如何将一个已知角四等分？ 思考：如何将一个已知角四等分？ 思考
通过本节学习，应理解一些作图语句。
1. 2. 3. 4.
5.
过点x、点x作直线；或作直线xx，射线xx. 连结两点x、x；或连结xx; 在xx上截取xx=xx; 以点x为圆心，xx为半径作圆（弧）；(交xx 于x点；) 分别以点x，点x为圆心，以xx为半径作 弧，两弧相交于x点。
作 法 作射线O (1) 作射线O’A’; (2) 以点O为圆心， 以点O为圆心， 画弧， 任意长为半径 画弧， 于点C 交 于点D 交OA于点C， OB于点D; (3) 以点O’为圆心， 以点O 为圆心， 同样(OC)长为半径画弧 画弧， 同样(OC)长为半径 画弧， 于点C 交O’A’于点C’; (4) 以点C’为圆心， 以点C 为圆心， CD长为半径 画弧， CD长为半径 画弧， 长为半径画弧 交前面的弧于点D 交前面的弧于点D’ ， (5) 过点D’作射线O’B’. 过点D 作射线O 示 D B 范
回顾 & 思考 ☞
尺规作图: 尺规作图:
只用圆规和没有刻度的尺子作图。 只用圆规和没有刻度的尺子作图。
基本作图: 基本作图:
1、作一条线段等于已知线段 2、作一个角等于已知角 3、作已知角的角平分线 4、作已知线段的垂直平分线 5、过一点作已知直线的垂线
1、作一条线段等于已知线段
已知：线段AB． 已知： 求作： 求作：线段A’ B’，使A’ B’＝AB． 作法与示范： 作法与示范： 作
法二: 法二:
DB C A
O E C’
O
A’ A

O’
A’

第9讲尺规作图1.尺规作图定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图2.五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作一条直线与已知直线垂直。

3.五种基本作图步骤：（1）作一条线段等于已知线段求作：线段AB等于线段a作法：如图，①先画射线AC．②然后用圆规在射线AC上截取AB＝a．线段AB就是所要作的线段．（2）作一个角等于已知角求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：如图，①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．（3）作已知角的平分线求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC。

OC就是所求的射线．（4）作线段的垂直平分线求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．（5）经过已知点作这条直线的垂线情况a：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线情况b：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．★注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．4.三角形的外接圆、三角形的内切圆的作法。

尺规作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：①作射线AP；②在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；②连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：①以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；③作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角。

（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：①作线段AB = c；②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；③连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.作法：①作∠A=∠α；②在AB上截取AB=m ,AC=n；③连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目七：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，∠α，∠β，线段m .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：①作线段AB=m；②在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β，∠A与∠B的另一边相交于C。

第1页，共 3 页aP 尺规作图一、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

二、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；三、（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a .则线段AB 就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）.作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ；（２）连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。

作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；(3)作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P 是直线AB 上一点。

求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。

作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；第2页，共 3 页B A Pm nm（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的长为半径画弧，两弧交于点Q ；（3）过D 、Q 作直线CD 。

则直线CD 是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。

求作：直线CD ，使CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。

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19
探索研究:
2、三条公路两两相交，交点分别为A ，B，C，现计划建一个加油站，要 求到三条公路的距离相等，问满足要 求的加油站地址有几种情况？
A B
C
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20
3、怎样过点C作一条线平行于AB呢？
B
A
C
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21
A
几何画图：
B
C
例1:只利用一把有刻度的直尺,用度量的 方法,按下列要求画图:
分析:确定圆的关键是确定圆的半径和
圆心,圆心可以看成是两直径（方法多
种）的交点.
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16
典型例题：
例2:如图,已知三角形的两边及其夹角, 求作这个三角形.
a c
α
分析:尺规作图题规范要求：写出已知，
求作和作法。
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17
已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC,使 BC=a,AB=c,∠ABC=∠ α
尺规作图
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1
复习目标和要求：
了解尺规作图的步骤；能作一条 线段等于已知线段；作一个角等于已 知角；作角的平分线；线段的垂直平 分线；会利用基本图形作三角形。
对尺规作图题，能写出已知，求 作和作法（不要求写出证明过程）并 能给出合情推理。
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2
基本作图归纳：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作角的平分线；
4、作线段的中垂线；
5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形 ;
6、已知底边和底边上的高作等腰三角形；
7、过直线上一点作直线的垂线；

预习题纲
一、学习要求：
1、掌握尺规作图的基本技能，能完成两种基本作图。

2、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法。

二、预习要求（工欲善其事，必先利其器）
1. 预习教材P166 -- P167的内容。

准备好直尺和圆规
2. 掌握两种基本作图。

3. 能说出作图步骤。

三、预习过程
任务一：思考
1、要作箭头形状的图案，必须解决的问题有哪些？
2、请大家画一条长4cm的线段，你是怎么画的？
3、 如果只用无刻度的直尺和圆规，你还能画出符合条件的线段吗？
实际上，只用无刻度的直尺和圆规作图，在数学上叫做尺规作图。

思考：用尺规如何作一条线段等于已知线段。

任务二：作一条线段等于已知线段
已知线段a，用直尺和圆规作一条线段，使它等于线段a
思考：画一条线段等于已知线段的一般步骤是什么？
任务三：任意画一条线段a,求作一条线段b,使b=2a
总结
已知线段a，线段b作线段c使为线段a、线段b的和。