整式专题复习[1]

整式部分基本知识提炼整理 2010.07
一、基本概念
1.代数式
用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.单项式 数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.
(1)单独的一个数或一个字母也是单项式.
(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
3.多项式 几个单项式的和叫做多项式.
(1)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.
(2)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.
4.整式 单项式和多项式统称整式.
5.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.
6.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
二、基本运算法则
1.整式加减法法则
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
2.合并同类项法则 合并同类项时，把系数相加，字母和字母指数不变.
3．同底数幂的相乘 a a a n m n m +=⋅（m 、n 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

4．幂的乘方 a a mn n m =)(（m 、n 都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

5、积的乘方：n
n n b a ab ⋅=)( （n 为正整数）
积是乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把幂相乘。

6、整式的乘法：
单项式与单项式相乘，把它们系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是把单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘，就是用多项式的每一项和另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

7、乘法公式
平方差公式:22))((b a b a b a -=-+
完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±
8.添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
9.同底数幂的除法法则 n m n m a a a
-= (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
10.单项式除法法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
11.多项式除以单项式的除法法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
专题总结及应用
一、整式的加减
1.不含括号的直接合并同类项
例1 合并同类项3x 2-4xy+4y 2-5x 2+2xy-2y 2；
解：原式=(3-5)x 3+(-4+2)xy+(4-2)y 2
=-2x 2-2xy+2y 2.
2.有括号的情况
有括号的先去括号，然后再合并同类项，根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化.
例2 1-3(2ab+a)十[1-2(2a-3ab)].
解：原式=1-6ab-3a+(1-4a+6ab)
=1-6ab-3a+1-4a+6ab
=2-7a.
3.先代入后化简
例3 已知A =x 2+xy+y 2,B=-3xy-x 2
,求2A-3B.
解：2A-3B
=2(x 2+xy+y 2)-3(-3xy-x 2)
=2x 2+2xy+2y 2+9xy+3x 2
=5x 2+11xy+2y 2.
二、求代数式的值
1.直接求值法 先把整式化简，然后代入求值.
例4 先化简，再求值:3-2xy+2yx 2+6xy-4x 2y ，其中x=-1,y=-2.
解：3-2xy+2y x 2+6xy-4x 2y=3+4xy-2x 2y .
当x=-1,y=-2时，
原式=3+4×(-1)×(-2)-2×(-1)2·(-2)
=3+8+4
=15.
2.隐含条件求值法 先通过隐含条件将字母取值求出，然后化简求值.
例5 若单项式-3a 2-m b 与b n+1a 2是同类项，求代数式m 2-(-3mn+3n 2)+2n 2的值.
(分析)先通过-3a 2-m b 与b
n+2a 2是同类项这一条件，将m,n 的值求出，然后再化简求值. 解：∵-3a
2-m b 与b n+1a 2是同类项， ∴⎩⎨⎧+==-,11,22n m ∴⎩⎨⎧==.0,
0n m
m 2-(-3mn+3n 2)+2n 2
=m 2+3mn-3n 2+2n 2
=m 2+3mn-n 2
，
当m=0,n=0时，原式=02+3×0×0-02=0
例6 已知2-a +(b+1)2=0，求5a b 2-[2a 2b -(4a b 2-2a 2b)]的值.
(分析)利用2-a +(b+1)2=0，求出a ，b 的值，因为绝对值和平方都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们每一个都是0. 解：∵2-a +(b+1)2=0，且2-a ≥0，(b+1)2≥0，
∴⎩⎨⎧=+=-,01,02b a ∴⎩
⎨⎧-==.1,2b a 5a b 2-[2a 2b-(4ab 2-2a 2b)]
=5a b 2-(2a 2b-4ab 2+2a 2
b )
=5ab 2-2a 2b+4ab 2-2a 2b
=9a b 2-4a 2b
当a=2,b=-1时，
原式=9×2×(-1)2-4×22×(-1)=18+16=34.
3.整体代入法
不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式于，如倍差关系、和差关系等等.
例7 已知x 2+4x-1=0，求2x 4+8x 3-4x 2-8x+1的值.
(分析)由x 2+4x-1=0就目前知识水平求x 的值是不可能的，但是，我们可以把x 2+4x 化成一个整体，再逐层代入原式即可.
解：∵x 2+4x-1=O ，∴x 2+4x=1.
∴2x 4+8x 3-4x 2-8x+1
=2x 2(x 2+4x)-4(x 2+4x)+8x+1
=2x 2·1-4×1+8x+1
=2x 2+8x-3
=2(x 2+4x)-3
=2×1-3
=-1.
例8 已知x 2-x-1=0，求x 2+
21x 的值. 解：∵x 2-x-1=0,∴x ≠0.
∴x-x 1
=1,
∴x 2+21x =(x-x 1)2+2·x ·x 1
=12+2=3.
4.换元法
出现分式或某些整式的幂的形式时，常常需要换元.
例9 已知b a b
a +-2=6，求代数式
b a b a +-)
2(2+)2()
(3b a b a -+的值.
(分析) 给定的代数式中含a ，b 两个字母，一般地，只有求出a,b 的值，才能求出代数式的值，本题显然此方法行不通. 由于题中b a b
a +-2与
b a b
a -+2互为倒数，故将
b a b a +-2看成一个整体. 解：设b a b
a +-2=q ，则q
b a b
a 1
2=-+,
∴原式=2q+q 3
.
又∵q=6,∴原式=2×6+
63=1221. 一、训练平台
1.若3a 2b n-1与-21
a m+1
b 2是同类项，则( )
A.m=3,n=2
B.m=2,n=3
C.m=3,n=-23
D.m=1,n=3
2.a ，b ，c 都是有理数，那么a-b+c 的相反数是( )
A.b-a-c
B.b+a-c
C.-b-a+c
D.b-a+c
3.下列去括号正确的是( )
A.2y 2-(3x-y+3z)=2y 2-3x-y+3z
B.9x 2-[y-(5z+4)]=9x 2-y+5z+4
C.4x+[-6y+(5z-1)]=4x-6y-5z+1
D.-(9x+2y)+(z+4)=-9x-2y-z-4
4.一个两位数，十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，用代数式表示这个两位数是 .
5.图15－21中阴影部分的面积为 .
6.化简:(1)-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n)； (2)3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2).
二、探究平台 1.(-a+b+c)(a+b-c)=[b-( )][b+( )].
2.若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004的值等于多少？
(二)
一、训练平台
1.下列各式中，计算正确的是( )
A.27×27=28
B.25×22=210
C.26+26=27
D.26+26=212 2.当x=
23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( ) A.-239
B.-18
C.18
D.239 3.已知x-y=3，x-z=
21
，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( ) A.425
B.25
C.-25
D.0
4.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.。