绍兴市一中分校高三数学文科期中试卷

浙江省绍兴市第一中学2014届高三数学上学期期中试题 文 新人教A 版说明：1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分150分，考试时间120分钟.2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}1,2,3,4,5U =,{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()U C A B =（ C ）A ．{}3,4B ．{}3,4,5C ．{}2,3,4,5D ．{}1,2,3,42.将圆024:22=-++y x y x C 平分的直线的方程可以是 （ D ）A ．01=-+y xB ．03=++y xC ．01=+-y xD ． 03=+-y x3.已知直线1y =+的倾斜角为θ，则tan 2θ=（ B ）A、、3 D、3- 4.若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且，则=b ( D )A ． )2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(-- 5.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a aa a ++等于(C) A ．21+ B. 21- C. 223+ D. 223- 6.A 为三角形的内角，则23cos 21sin <>A A 是的 （A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋7a －x ＜axx在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( C)A ．(0,1)B ．(0，12)C ．[38，12)D ．[38，1)8.已知1e 和2e 是平面上的两个单位向量，且121e e +≤，12,OP me OQ ne ==，若O 为坐标原点，,m n 均为正常数，则()2OP OQ+的最大值为( A )A ．22m n mn +-B ．22m n mn ++ C ．2()m n + D ．2()m n -9.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( D ) A.14B.14或23C.23 D. 23或3410.函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 （ C ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、6非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c5．（3分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．6．（3分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．87．（3分）以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6 B．6 C．4 D．48．（3分）到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧二、填空题（每小题4分，共28分.）9．（4分）已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是，不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5= ，S9= ．11．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于．12．（4分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为．13．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．14．（4分）已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．15．（4分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．17．（10分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．19．（10分）已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．20．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】所有不属于A的元素组成的集合就是我们所求，故应先求出集合A．再求其补集即得．【解答】解：A={x|x≥2或x≤﹣2}，易知C∪A={x|﹣2＜x＜2}，故选A．【点评】本题考查了补集的运算、一元二次不等式，属于基础运算．2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用降幂法化简函数y，即可求出它的最小正周期．【解答】解：∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2•=2+cos2x，∴函数y的最小正周期为T==π．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的化简以及求三角函数最小正周期的应用问题，是基础题目．3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个选项依次加以判别，即可得到B项是正确的，而A、C、D都存在反例而不正确．【解答】解：对于A，若两条直线a、b是异面直线时，则不存在平面α使得a⊂α且b⊂α成立，故A不正确；对于B，因为a、b不相交，所以a、b的位置关系是平行或异面：①当a、b平行时，显然存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立；②当a、b异面时，设它们的公垂线为c，在a、b上的垂足分别为A、B．则经过A、B且与c垂直的两个平面互相平行，设过A的平面为α，过B的平面为β，则α∥β，且a、b分别在α、β内，此时存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立．故B正确；对于C，若两条直线a、b是异面直线时，则不存存在直线c，使得a∥c且b∥c成立，故C不正确；对于D，当a、b所成的角不是直角时，不存在直线c，使得a∥c且b⊥c成立，故D不正确．综上所述，只有B项正确．故选：B【点评】本题给出空间直线不相交，要我们判定几个命题的真假性，考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识，属于基础题．5．（3分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题．6．（3分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．7．（3分）以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6 B．6 C．4 D．4【分析】设D为AC中点，由已知及余弦定理可求cosA=，在△ABD中，由余弦定理可求2a2+b2=144，利用配方法可得S=ah=，利用二次函数的图象和性质即可得解当△ABC面积最大时，腰AB长．【解答】解：如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，cosA==，在△ABD中，BD2=b2+（）2﹣2×，可得：2a2+b2=144，所以，S=ah====，所以，当a2=32时，S有最大值，此时，b2=144﹣2a2=80，解得：b=4，即腰长AB=4．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，二次函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了配方法的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．8．（3分）到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧【分析】建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和y=0代入即可求得轨迹．【解答】解：如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB=a，P（x，y，z）到直线OA，BC的距离相等，∴x2+z2=（x﹣a）2+y2，∴2ax﹣y2+z2﹣1=0若被平面xoy所截，则z=0，y2=2ax﹣1；若被平面xoz所截，则y=0，z2=﹣2ax+1故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．二、填空题（每小题4分，共28分.）9．（4分）已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是7 ，不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．【分析】由f（x）=1，利用对数方程，可得结论；由f（x）＜0，利用对数不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=1，∴lg（2x﹣4）=1，∴2x﹣4=10，∴x=7；∵f（x）＜0，∴0＜2x﹣4＜1，∴2＜x＜2.5，∴不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．故答案为：7；（2，2.5）．【点评】本题考查对数方程、对数不等式，比较基础．10．（4分）设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5= 9 ，S9= 81 ．【分析】等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5，再利用S9==9a5．即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5=9，∴S9==9a5=81．故答案分别为：9；81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于 4 ．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．∴该几何体的体积V==4，故答案为：4．【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（4分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为g（2）＜g（﹣3）＜g（4）．【分析】由已知中函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，我们根据复合函数的单调性，可求出a 与1的关系，进而判断出函数的奇偶性及单调区间，再根据偶函数函数值大小的判断方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，令u=|x|，则y=log a u，由u=|x|在（﹣∞，0）上是减函数，及复合函数同增异减的原则可得外函数y=log a u为增函数，即a＞1又∵函数为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减且|2|＜|﹣3|＜|4|∴g（2）＜g（﹣3）＜g（4）故答案为：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）【点评】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，其中利用复合函数的单调性性质，确定底数a的取值范围是解答本题的关键．13．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2=8，在a=b=4时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（4分）已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．【分析】设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，求出右焦点F2（c，0）到该直线的距离，可得直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，根据A是双曲线上的点，可得b4﹣a4＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，右焦点F2（c，0）到该直线的距离=2a，所以n=（m+c），所以直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，与﹣=1联立可得（b4﹣a4）x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0，因为A在右支上，所以b4﹣a4＞0，所以b2﹣a2＞0，所以c2﹣2a2＞0，即e＞．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．（4分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围[3﹣2，5﹣] ．【分析】先建立坐标系，根据•=1，得到点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，根据向量的数量积得到•=﹣x﹣y+4，设x+y=t，根据直线和圆的位置关系额判断t的范围，即可求出•的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，∵正三角形ABC边长为2，∴B（0，0），A（1，），C（2，0），设P的坐标为（x，y），（0≤x≤2，0≤y≤），∴=（﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），∴•=x（x﹣2）+y2=1，即点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，∵=（﹣1，﹣）∴•=﹣x﹣y+4，设x+y=t，则直线x+y﹣t=0与圆交点，∴d=≤，解得0≤t≤2+1，当直线x+y﹣t=0过点D（﹣1，0）时开始有交点，∴﹣1=t，即t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2+1，∴3﹣2≤4﹣t≤5﹣，故•的取值范围为[3﹣2，5﹣]．故答案为：[3﹣2，5﹣]．【点评】本题考查了数量积运算，直线和圆的位置关系，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．【分析】（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A（2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sin cos可求B，然后由正弦定理，可求b【解答】解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C=，故A=．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sin cos=．…10分由正弦定理可得，∴，解得b=．…12分．【点评】本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公式、正弦定理的应用等公式综合应用．17．（10分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）由已知中（n∈N+），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列{b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1（10分）相减得：=2n+1﹣2﹣n•2n+1（12分）∴S n=（n﹣1）•2n+1+2【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各，其中（I）中利用递推公式，得到数列是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键．18．（10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【分析】方法一：常规解法（I）由已知中，棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．方法二：向量法（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【解答】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，所以，得平行四边形HEDC，因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D（6分）解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C 所成角为∠HDK（10分）在Rt△CFH中，，在Rt△DHK中，由于DH=2，（14分）方法二：（向量法）证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），所以，，∴，，因此CC1⊥平面A1B1D；（6分）解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于则，得，所以（10分）又，所以（14分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中方法一的关键是熟练掌握空间直线与平面关系的判定、性质及定义，方法二的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角的问题．19．（10分）已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由题意，2p=6，即可得出抛物线方程为y2=6x；（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），求出线段AB的垂直平分线的方程由此能求出直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．（3）直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），代入y2=6x，由此利用两点间距离公式和点到直线距离公式能求出△ABC面积的表达式，利用均值定理能求出ABC面积的最大值．【解答】（1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y2=6x．…（2分）（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则x0=2，y0=，k AB==．线段AB的垂直平分线的方程是y﹣y0=﹣（x﹣2），①由题意知x=5，y=0是①的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为（5，0）．所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）（2）由①知直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），①即x=（y﹣y0）+2，②②代入y2=6x得y2=2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02﹣12=0，③依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，所以△＞0，﹣2＜y0＜2．|AB|==．定点C（5，0）到线段AB的距离h=|CM|=．∴S△ABC=•．…（8分）（3）由（2）知S△ABC=•≤=，…（11分）当且仅当=24﹣2，即y0=所以，△ABC面积的最大值为．…（13分）【点评】本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．20．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【分析】（Ⅰ）去绝对值号得，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），因为f（x）连续，所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b≥2；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，当2≤a≤4时，＜≤a，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（a）=﹣2a，所以对2≤a≤4恒成立，解得：0＜t＜1，当﹣2＜a＜2时，＜a＜，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）上递减，在（，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（）=﹣﹣a﹣1，所以﹣﹣a﹣1＜﹣2ta＜﹣a+1对﹣2＜a＜2恒成立，解得：0≤t≤1，综上所述，0＜t＜1．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于难题．。

绍兴一中２００7学年第 一 学 期高三（文科）数学期末试卷命题、校对：孟伟强、陈连原、杨瑞敏一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．设全集}54321{，，，，=U ,集合A B U 、⊂,且}4{=B A ,}52{)(，=B A C U ,则满足条件的集合A 有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2．“a =2”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件也不是必要条件3．已知m l ,为两条直线，则下列条件中可以判断平面α与平面β平行的是 ( ) A ．βα//,//l l B ．βα⊥⊥l l ,C ．βα//,l l ⊂D ．ββα//,//,,m l m l ⊂ 4．曲线1323+-=x x y 上以点（1，–1）为切点的切线方程是 ( ) A ．34+-=x yB ．54-=x yC ．43-=x yD ．23+-=x y5．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值为 ( )A ． 9B ．-9C ．91D ． 91-6．摇奖器摇出的一组中奖号码为8，2，5，3，7，1 . 对奖票上的六个数字是从0，1，2，……，9这十个数字中任意选出六个不同数字组成的. 如果对奖票上的六个数字 中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为A ．71 B ．301 C ．354D ．425 7．若0,0≥≥y x 且12=+y x ，那么232y x +的最小值是 ( )A ．2B ．43C ．32D ．08．若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数 ()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为 ( )A ．16B ．18C ．20D ．无数个9．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+ , 则对任意正整数,()m n m n > , 都成立的不等式 是( )A ．||2n m m n a a ⋅-<B ．||2n m m na a -->C ．1||2n m n a a -<D ．1||2n m n a a ->10．若函数2(2)()m x f x x m-=+的图象如图所示，则m) A ．（－∞，－1） B ．（－1，2） C ．（1，2）D ．（0，2）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．国家准备出台调整个人收入所得税方面的政策，各地举行各行业收入的入户调查.某住宅小区约有公务员120，公司职员200人，教师80人，现采用分层抽样的方法抽取容量为20人的样本进行调查，则公务员、公司职员、教师各抽取的人数为 ；12．函数22sin cos()336x x y π=++的图象中相邻两条对称轴的距离是______ ；13．若()()R x x a x a x a a x ∈++++=-200820082210200821 ，则()()()()=++++++++20080302010a a a a a a a a .（用数字作答）14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每 立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：⑴从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间 的函数关系式为；⑵据测定，当空气中每立方米的含药量 降低到0.25毫克以下时，学生方可进教 室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题：（本大题共5题，满分44分）15．（本题满分8分）已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球， 现在从两个袋中各取2个球，试求： ⑴取得的4个球均是白球的概率；⑵取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率。

浙江省绍兴市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．3-B．1-．已知x>，y>，33x y x+=A．2B．23+8．已知实数1()a b Î+¥，，，且()22e 2ln 1a a b b +=++，e 为自然对数的底数，则（ ）A ．1b a<<B ．2a b a<<C ．2e aa b <<D ．2e e a ab <<四、解答题故选：AC 11．ACD【分析】对于A 选项，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理即可判断；对于B 选项，由题可得AP 与1B C 所成角即为异面直线AP 与1A D 所成角；对于C 选项，利用展开图即可判断；对于D 选项，利用椭圆的定义，多面体的外接球的性质即可判断.【详解】对于A 选项，连接11B D ，则1111B D AC ^，由题可知，1BB ^平面1111D C B A ，且11AC Ì平面1111D C B A ，则111B B A C ^，又1111B D B B B Ç=，11A C \^平面11D B B ，1BD Ì平面11D B B ，则111BD A C ^，同理可得11BD DC ^，Q 1111DC AC C Ç=，\直线1BD ^平面11A C D ，则选项A 正确；对于B 选项，由题可知，1111A B C D CD ∥∥，1111A B C D CD ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，则11A D B C P ，所以AP 与1B C 所成角即为异面直线AP 与1A D 所成角，又点P 在线段1B C 上运动，可知1AB C V 是等边三角形，所以直线AP 与1A D 所观察图象知，当直线y ax=过原点(0,0)及点答案第251页，共22页。