Lorenz混沌系统的电路仿真

同步是自然界中的一种基本现象,它通常指:至少在两个振动系统相位间的协调一致现象。

关于同步现象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯(C.Huygens)关于耦合单摆的同步现象的观察。

实际上,若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。

尤其是进入20世纪90年代以来,佩卡拉(L.M. Pecora)和卡罗尔(P.L.Carroll)提出相同混沌子系统间,在不同的初始条件下,通过某种驱动(或耦合),仍然可以实现混沌轨道的同步化。

他们提出了一种混沌同步的方法(简称P——C方法),并在电子线路上首次观察到混沌同步现象。

他们的工作和OGY控制混沌的工作,极大地推动了混沌同步和混沌控制的理论研究,拉开了利用混沌的序幕。

该文仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的介绍。

1 Lorenz吸引子一个系统的同步是以其条件李雅普诺夫指数来衡量的,当一个系统的条件李雅普诺夫指数为负时,称系统是同步的。

Lorenz 吸引子是一种典型的混沌系统,利用它可以证实以上的结论。

Lorenz系统是气象学家lorenz在研究流体是提出的动力学模型,随后人们给出了它的电路实现。

其电路图如图1所示。

在电路中,由R1、R2、R3、R4以及运算放大器1构成了一个减法器。

R5、C2以及运算放大器2构成一个积分器。

R6、R7以及运算放大器3构成了一个倍乘器。

乘法器9实现了U和W的相乘。

乘法器10实现了U和V的相乘。

R8、R9、R10、R11、R12以及运算放大器4构成了一个加法器。

R13、R14以及运算放大器5构成了一个反向器。

R15、C2以及运算放大器6构成积分器。

R16、R17、R18、R19以及运算放大器7构成了一个减法器。

R20、C3以及运算放大器8构成了一个积分器。

其输出V(T)—T,关系如图2所示。

2 线性状态反馈同步下面讨论利用线性反馈的控制方法实现两个全同系统混沌运动的同步化。

所谓两个全同系统,这里是指一个n维动力系统),(.uxFx=(7)对它的复制品)','('.uxFx=(8)两式中的函数F有完全相同的形式,只是用带撇的变量代替了不带撇的变量(参数u可以有微小的差别)。

收稿日期!#$$=!$J !#!#修改稿收到日期!#$$=!$=!#%作者简介!杨志民!%=!=$"%男%甘肃天水人%教授%硕士研究生导师A 主要研究方向为电路理论与应用A B !6/8(&:/.QU 6".3.,)4D ,)<.基于!"*)A J 系统的混沌调制保密通信的电路实现杨志民%!熊!丽%!张新国#!张!洁%!任文娟%!%A 西北师范大学物理与电子工程学院%甘肃兰州!?@$$?$##A 兰州大学信息科学与工程学院%甘肃兰州!?@$$$$"摘!要!对基本的E ’-4.U 混沌系统进行标度变换和优化设计!用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路!并用模拟电子电路实现了保密通信A 理论分析和实验结果证明了该通信方案的有效性A 关键词!标度变换"混沌调制"保密通信"E ’-4.U 系统中图分类号!a *=%%)@!!!!文献标识码!I !!!!文章编号!%$$%G =J J #!#$%$"$#G $$!$G $!S 8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146_I *V^28G 68.%%]M H *VE 8%%^O I *V ]8.G Q ,’#%^O I *V+84%%‘B *b 4.G R,/.%!%AS ’((4Q 4’0K 2:58<5/.DB (4<1-’.8<5B .Q 8.44-8.Q %*’-123451*’-6/(7.894-581:%E /.U 2’,?@$$?$%V /.5,%S 28./##AS ’((4Q 4’0M .0’-6/18’./.DB .Q 8.44-8.Q %E /.U 2’,7.894-581:%E /.U 2’,?@$$$$%V /.5,%S 28./"+,-#*%.#&I E ’-4.U<2/’18<5:514685(/C 4(8.Q 6,14D %’L 186,6D 458Q .4D %586,(/14D %/.D86L (464.14D 38122/-D 3/-4Aa 244X L 4-864.1-45,(15/-48.Q ’’D/Q -4464.13812<’6L ,14-586,(/18’.-45,(151’94-80:8154004<1894.455A M 1</.C 4,54D 8.54<-41<’66,.8</18’.5:51465A /)01"*2-&(/C 4(8.Q 6,1/18’.#<2/’56’D ,(/18’.#54<,-4<’66,.8</18’.#E ’-4.U 5:5146!!混沌保密通信方式主要有@种%即混沌遮掩4混沌调制和混沌开关A 混沌调制是一种常用的通信方式%其基本思路是将欲传送的信号和混沌振荡信号同时加入调制电路%由此产生混沌调制信号%将该调制信号通过发射机发射%再通过接收机接收并进行解调%从而得到欲传送的信号A 混沌调制方式比起混沌开关和混沌遮掩有以下优点&首先%由于混沌信号谱的整个范围都用来隐藏信息%因此具有宽频谱的特性#其次%对参数变化具有更高的敏感性%从而增强了保密性’%G J(A%==@年%S ,’6’和H L L4.2486实现了E ’-4.U 系统的混沌遮掩保密通信方案’%(%但该方案在保真度和安全度方面均存在一些不足A%=="年%T 8(/.’98<&和^/Q2(’,(T B 提出了混沌遮掩的改进方案’#(%但只对所提出的方案进行了理论分析和计算机仿真%未能用硬件进行实现A 文献’@(根据文献’#(提出的混沌遮掩改进方案%用电子电路实现了保密通信%但缺乏对电路的优化A 笔者首先对基本的E ’-4.U 混沌系统进行了标度变换%使其转换为电路易于实现的E ’-4.U 混沌系统%然后对E ’-4.U 混沌电路进行优化设计%用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路%使电路的综合性能达到最佳%并用模拟电子电路实现了保密通信A 实验结果证明了所设计方案的有效性A%!基本E ’-4.U 方程的标度变换基本E ’-4.U 方程组为!#$%$!*’)#S 8-<,8186L (464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146a "$:!R &""%a R $/"&R &"]%a ]$"R &%]-./+!%"当取参数:Y %$%/Y #J %%Y J /@时%系统!%"是混沌的A!!在实际的电子线路中%无源元件的数值及有源电子器件的工作电压均有一定的范围%例如运算放大器的电源电压一般为Z %>$[%>&%很好的线性工作范围为Z%$$[%$&A 在一般的混沌电路中%方程!%"的变量都是某个运算放大器的输出电压%故其变化范围不应超出电源电压值A 而基本E ’-4.U 方程数值解中变量的变化范围可能很大%因而不便于使用通常电路元件实现A 故在实际应用中%利用标度变换的方法%即对原方程引入新变量:$"%$%U $R %$%S $]@$%!#"将基本方程中变量的变化范围进行适当调整%使其能够用普通的电路实现A 例如对于方程!%"中的变量"%如果其数值范围是Z #>$#>%那么就不能够直接作为电路中以伏特数为单位的电压变量或电压动态范围+现在如果取:Y "/%$作为新的电路变量%其变化范围就是Z#)>$#)>&%从而完全符合电路设计的要求A采用!#"式的变换%则E ’-4.U 方程!%"变为a :$:!U &:"%a U $/:&U &@$:S %a S $@)@:U &%S -./+!@"即得a "$:!R &""%a R $/"&R &@$"]%a ]$@)@"R &%]-./+!!"代入具体参数值:Y %$%/Y #J %%Y J/@%得a "$&%$"#%$R %a R $#J "&R &@$"]%a ]$@)@"R &!J /@"]-./+!>"!!用T/1(/C 对!>"式进行仿真得到的相图如图%所示A 由图可见%各个参数的数值范围都在Z %$$[%$&A 即经过标度变换后的E ’-4.U 混沌系统在实际应用中完全符合电路设计的要求A根据!>"式设计的电路如图#所示A 图%!!>"式的仿真结果P 8Q %a 24586,(/18’.-45,(15’04W,/18’.!>"图#!!>"式的实现电路P 8Q #a 24<8-<,81’04W,/18’.!>"#!混沌保密通信电路的实现%)$!电路的优化设计图#所示的电路虽然能够实现!>"式的功能%但为了得到最优电路%还需进行优化设计A 优化设计的基本思路是&在不改变电路功能的条件下%将电路尽量简化和合并%降低电路的复杂程度与总误差%以及电路总电阻的热噪声%同时降低电路成本A 优化设计电路的Bb N 仿真结果如图@所示A 优化以后的E ’-4.U 电路如图!所示A 由图!可见%电路的运算放大器由%#个减少成为"个%其它无源元件也有相应的减少A 优化以后得到的电路简单%调试容易%适用于规模化生产A%)%!混沌调制保密通信电路优化以后的E ’-4.U 混沌电路可以实现混沌保密通信%其系统框图如图>所示A 图中虚线的左边为发送系统%右边为接收系统A 在发射端%送往\4G 的信号是混沌信号,!6"与欲传送信号’!6"相加后的合成信号%即经过信道后送到接收端\4G 的信号T !6"A 这样%接收系统就更容易与发送系%!统保持良好同步%因而本电路的鲁棒性好A图@!优化设计电路的B b N 仿真P 8Q @E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图!!优化以后的E ’-4.U 电路P 8Q !a 24E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图>!混沌保密通信系统框图P 8Q >a 24D 8/Q -/6’054<-41<’66,.8</18’.5:51465!!用优化设计得到的E’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路如图"所示A 发送系统最上面的运算放大器设计成减法器%是发送系统的调制器A 欲传送信号从该运算放大器的反相输入端输入%其输出信号通过通信信道!有线或无线"发送到接收系统中A 接收系统基本混沌电路与发送系统基本混沌电路相同%最上面的运算放大器是发送端的解调器%#个输入信号都是混沌信号%输出是混沌信号的误差信号%恰好是发送端的传送信号%从而完成了混沌保密通信A图"!混沌保密通信优化电路原理图P 8Q "a 24<8-<,81’054<-41<’66,.8</18’.5:51465@!硬件电路的实现和测试图"所示电路的硬件实现电路如图?所示%测试结果如图J 所示A 对于发送端%增加跳线器组h #%0#1端与0@1端连接即是E ’-4.U 混沌电路%在示波器上可以观察到"%."#%"%."@和"#."@的相图%如图J !/"4!C "4!<"所示A 同样%对于接收端%增加跳线器组h @%0#1端与0@1端连接亦是E ’-4.U 混沌电路A 如上连接%#个E ’-4.U 混沌电路完全独立%不同步A "%.R %%"#.R #和"@.R @不同步相图如图J !D "4!4"4!0"所示A 对于发送端%0#1端与0@1端连接%对于接收端%0#1端与0%1端连接%则接收端E ’-4.U 混沌电路与发送端E ’-4.U 混沌电路同步%"%.R %%"#.R #和"@.R @同步相图如图J !Q "4!2"4!8"所示A 若使#个E ’-4.U 混沌电路实现保密通信%则对于发送端%0#1端与!#$%$!*’)#S8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C/54D’.E’-4.U<2/’18<5:51460%1端连接%E’-4.U混沌电路被调制#对于接收端%0#1端与0%1端连接%E’-4.U混沌电路被同步%当通信过程开始后%有输出信号A另外%增加跳线器组h%%不做通信实验时%无输入信号%0#1端与0%1端连接%避免干扰#做通信实验时%有输入信号%0#1端与0%1端开路%避免短路A 图J!R"是接入收音机后发送端的调制信号!上"与接受端的解调信号!下"A由图可见%接收端基本解调出语音信号%实现了保密接收%但语音通信效果不是很完美%原因是模拟乘法器参数离散%使得同步噪声较大A图=是发送和接收的信息信号波形图%由图可见%二者完全同步%发送的信息信号与接收的信息信号相同A图?!实验电路板照片P8Q?a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1<8-<,81L(/14!/""%."#相图!!!!!!!!!C""%."@相图!!!!!!!!!<""#."@相图!D""%.R#不同步相图!!!!!!!4""#.R#不同步相图!!!!!!!0""@.R@不同步相图!Q""%.R%同步相图!!!!!!!2""#.R#同步相图!!!!!!!8""@.R@同步相图!R"混沌保密通信发送端输入调制信号与接收端解调输出信号图J!实验结果照片P8Q J a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1-45,(15#下转第!=页$@!。

电路实现lorenz混沌系统同步作者：郭丹伟张景波来源：《科技资讯》2015年第22期摘要：若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。

20世纪90年代以来，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡罗尔（P.L.Carroll）提出相同混沌子系统间，在不同的初始条件下，通过某种驱动（或耦合），仍然可以实现混沌轨道的同步化。

该文就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的研究。

关键词：Lorenz 混沌 PC同步中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）08（a）-0045-02同步是自然界中的一种基本现象，它通常指：至少在两个振动系统相位间的协调一致现象。

关于同步现象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯（C.Huygens）关于耦合单摆的同步现象的观察。

实际上，若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。

尤其是进入20世纪90年代以来，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡罗尔（P.L.Carroll）提出相同混沌子系统间，在不同的初始条件下，通过某种驱动（或耦合），仍然可以实现混沌轨道的同步化。

他们提出了一种混沌同步的方法（简称P——C方法），并在电子线路上首次观察到混沌同步现象。

他们的工作和OGY控制混沌的工作，极大地推动了混沌同步和混沌控制的理论研究，拉开了利用混沌的序幕。

该文仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的介绍。

1 Lorenz吸引子一个系统的同步是以其条件李雅普诺夫指数来衡量的，当一个系统的条件李雅普诺夫指数为负时，称系统是同步的。

Lorenz吸引子是一种典型的混沌系统，利用它可以证实以上的结论。

Lorenz系统是气象学家lorenz在研究流体是提出的动力学模型，随后人们给出了它的电路实现。

其电路图如图1所示。

在电路中，由R1、R2、R3、R4以及运算放大器1构成了一个减法器。

R5、C2以及运算放大器2构成一个积分器。

南昌校区2011年毕业设计（论文）工作中期检查评价表毕业设计（论文）成绩评审表1（理工科类）备注：其他学科门类可参照制定评分标准指导教师签字：年月日毕业设计（论文）成绩评审表2（理工科类）评阅人意见及评分备注：其他学科门类可参照制定评分标准，此表可自主延伸。

评阅人签字：年月日江西理工大学南昌校区毕业答辩记录及成绩表信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真(此表可自主延伸)详细答辩记录信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真论文自述：本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。

用实验室实验来研究混沌问题，上述混沌的特性均能在实验中加以验证，虽然从充实混沌概念这个角度来看，实验室实验的作用在目前似乎不如数值实验，然而，实验室实验毕竟证实了混沌是广泛存在的自然现象，是一种新认识到的运动形态。

计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。

这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。

答辩问题与解答：1、请说明你论文标题中与专业相关的内容是什么？文中论述的是关于混沌学的相关知识，与我们所学的专业当中自动控制方面的内容是相连在一起的。

它是基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象2、你论文中用到了所学的那些课程？我论文的设计是与所学课程是联系在一起的，它的论述是建立在混沌控制及其优化应用、Lorenz系统族的动力学分析、自动控制、系统仿真分析与设计等所学过课程的基础上，没有这些相关知识点的累积我是不可能完成这一设计的。

• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。

首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。

1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。

混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。

复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。

经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。

本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。

1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。

当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。

图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。

当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。

图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。

简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台开发作者：赵海滨于清文颜世玉来源：《中国教育技术装备》2020年第06期摘要采用Python語言建立简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台，能够进行简化Lorenz 混沌的仿真和镇定控制。

采用Tkinter建立软件的GUI界面，并采用Matplotlib进行图形的绘制，可以修改混沌系统的参数和初始状态以及控制器的参数。

采用主动控制器进行简化Lorenz 混沌的镇定控制，状态变量渐进收敛到零。

该实验平台可以进行简化Lorenz混沌的仿真和镇定控制，能够提高学生创新实验技能和工程实践能力。

关键词简化Lorenz混沌;实验平台;仿真实验;Python语言中图分类号：TP391.9 文献标识码：B文章编号：1671-489X（2020）06-0032-03Experimental Platform Development of Simplified Lorenz Chao-tic System Simulation and Control//ZHAO Haibin， YU Qingwen， YAN ShiyuAbstract A simulation and control experiment platform of simplified Lorenz chaotic system is established by Python， which can simulate and stabilize Lorenz chaos. The GUI of the software is built by Tkinter， and the graph is drawn by Matplotlib. The parameters of chaos system， initial state and controller can be modified. The active controller is used to stabilize simplified Lorenz chaotic system， and the state variables converges to zero gradually. The experimental platform can simulate and stabilize simplified Lorenz chaotic system， and improve students’ innovative experimental skills and engineering practice ability.Key words simplified Lorenz chaos; experimental platform; simula-tion experiment; Python language1 引言混沌是非线性动力系统的固有特性，对初始条件具有极端的敏感性，是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。

毕业论文（设计）题目Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师：学生：学生学号：信息工程系一电气自动化专业一08自动化2班2011年04月15日摘要混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。

混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。

许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等容的研究非常感兴趣。

本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。

计算机仿真结果表明: 在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。

这个控制法则来源于雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。

电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。

关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现ABSTRACTChaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeatesand affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to usetiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.Key Words: Synchronization of chaos；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.目录ABSTRAC.T (II)第一章绪论. (1)1.1选题的目的及意义. (1)1.2混沌学 (2)1.2.1混沌的发展. (2)1.2.2混沌的定义. (3)1.2.3通向混沌的道路. (5)1.3奇怪吸引子 (5)1.3.1洛伦兹吸引子. (5)1.3.2伊侬吸引子. (6)1.3.3奇怪吸引子特性. (6)第二章混沌的同步研究及其应用 (8)2. 1 混沌的同步 (8)2.1.1同步的定义. (8)2.1.2广义同步的定义. (9)2.1.3相位同步的定义. (9)2.2谈谈几种典型的同步方法. (10)2.2.1驱动响应同步法. (10)2.2.2变量反馈微扰同步方法. (11)2. 2. 3 相互祸合的同步方法. (12)2.2.4自适应同步方法. (13)2.3 混沌同步的研究进展. (13)2.4混沌同步的应用. (14)第三章针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计 (15)3.1Loren: 系统的科学价值和历史意义 (15)3.2Lorenz 系统的动力学行为. (15)3.2.1L orenz 系统的基本动力学行为 (15)3.2.2平衡点和分岔. (17)3.3 电子电路的应用设计. (17)3.3.1简单混沌现象研究. (20)4.3.2电路图 (21)第四章计算机仿真与电路的实现 (22)4.1软件设计 (22)4.1.1软件设计的基本原则. (22)4.1.2软件选择 (22)4.1.3电路的实现. (23)4.2 仿真与分析 (23)4.2.1M atlab 仿真. (23)4.2.2结果分析 (24)论文总结与展望 (26)致. (27)参考文献. (28)第一章绪论1.1选题的目的及意义混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。

2009 年 6月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS June ， 2009 文章编号：1007-0249 (2009) 03-0121-05混沌电路系统的模型仿真与电路实现*林若波1,2（1. 揭阳职业技术学院，广东 揭阳 522051；2. 湖南大学 电气信息工程学院，湖南 长沙 410082）摘要：通过对混沌电路系统的分析方法的介绍，指出模型仿真和电路实现的重要性；以二个典型混沌系统为例，阐述了基于Matlab/Simulink 环境下的仿真方法，同时介绍基于Multisim 8平台的电路仿真和实现过程；最后指出混沌电路的发展前景和研究方向。

关键词：混沌；仿真；Lorenz；Simulink；Multisim 8中图分类号：N945.1 文献标识码：A1 引言非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，而混沌理论是非线性科学最重要的成就之一。

“混沌”的发现冲破了传统的决定性观念，著名物理学家福特（J. Ford ）认为混沌的发现是继相对论、量子力学之后，20世纪物理学的第三次革命。

目前混沌系统理论有三个主要的发展方向：应用、综合、和引入比较复杂的数学工具，以求机理研究、分类与构造理论等的进一步发展；寻求数学与物理模型的新范例，研究混沌的应用及其工程系统实现。

2 混沌电路系统的分析方法[1]混沌系统模型的研究一般包括以下几个基本步骤：问题描述、模型建立、仿真实验、结果分析、电路实现，其流程如图1所示。

（1）建立数学模型数学模型是指描述系统的输入、输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

混沌系统中最常用、最基本的数学模型是微分方程与差分方程。

（2）建立仿真模型仿真模型是借助计算机对数学模型进行数值分析计算的模型。

仿真模型的建立是最重要的，它是混沌系统分析的关键点。

有些混沌模型不能直接用于数值计算的，如微分方程，必须进行相应的转换。

（3）仿真与实验变量之间的联系必须通过编制程序来实现，常用的数值仿真编程语言有MATLAB 、C 、FORTRAN 等。