幂的乘法幂的乘方与积的乘方

幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：〔1〕同底数幂的乘法中，首先要找出一样的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.〔2〕 在进展同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为一样的底数，再按法那么进展计算.例1： 计算列以下各题 〔1〕 34a a ⋅； 〔2〕 23b b b ⋅⋅ ； 〔3〕 ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 以下计算正确的选项是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 以下计算错误的选项是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 以下四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 以下各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的选项是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。

2、 b 2·b ·b 7=________。

3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。

5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。

同底数幂的乘法： 1、表示的意义是a5‗‗‗‗‗‗ ;a n的意义是n 个a ‗‗‗‗‗‗，我们把这种运算叫做‗‗‗‗‗‗,乘方的结果叫‗‗‗‗，a 叫做‗‗‗‗‗‗‗‗，n 是‗‗‗‗‗‗‗.)(2a -底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；a2底数为‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(3y x -底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗；)(y x n-底数为‗‗‗‗‗‗‗‗，指数为‗‗‗‗‗.2、根据乘方的意义可知：1010315⨯=(10×…×10)×（10×10×10）=10×10×…×10=10 一般的，对于任意底数a 与任意正整数m ，n,.)()(nm +=⋅⋯⋅⋅=⋅⋯⋅⋅⋅⋅⋯⋅⋅=⋅a a a a a a a a a a a anm因此，我们有.(都是正整数），n m aa anm nm+=⋅即同底数幂相乘，底数‗‗‗‗‗，指数‗‗‗‗‗. 3、计算=⋅22n m‗‗‗‗‗‗‗；=⋅-22510‗‗‗‗‗‗；=⋅⋅x x x nm ‗‗‗‗‗‗；=⨯⨯-）（）（2-2-)2(34‗‗‗‗‗；=⋅-xx n n223‗‗‗‗‗‗‗；)(2)(y x y x -⋅--=‗‗‗‗‗‗同底数相乘，底数不变，指数相加，当三个或三个以上的同底数幂相乘时，法则也适用. 同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式.在幂的运算中，经常用到以下变形：⎪⎩⎪⎨⎧=--为奇数）为偶数）n a a a nn n(n ()( ⎪⎩⎪⎨⎧=----为奇数）为偶数）n n a b a b b a nnn (()()()( 4、计算：（1）=⋅⋅----)()()(32x y x y y x ‗‗‗‗‗‗‗‗；（2）===+333ba 8,6，则ba（3）===+aa annm ,7,6则吗‗‗‗‗‗‗‗‗；（4）若==+2233x x 则‗‗‗‗‗‗‗‗；（5）若==+aa m m13，则‗‗‗‗‗‗‗‗；5、已知xn 1-（ ）=xmn +，则在括号内应填上（ ）.A 、xmB 、xm 1-C 、xm 1+ D 、xm 2+6、若的值是则a a a nnm m,15,3==+（ ）.A 、2 B 、3 C 、4 D 、57、若等于则x x ,3222=+（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、48、若,2738112+=⨯x 则x 2的值是（ ）A 、4 B 、7 C 、9 D 、19、若b b ba aan n n m 8225121,=⋅=⋅+-+，则m+n 的值是‗‗‗‗‗‗‗.10、计算下列各题。

幂的乘方与积的乘方的逆用-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:在数学中，幂的乘方和积的乘方是常见的运算形式。

幂的乘方指的是一个数的自身多次相乘，而积的乘方是多个数相乘的结果再自身多次相乘。

本文将探讨幂的乘方与积的乘方的逆用，即如何将一个数的乘方运算转化为幂运算或者将一个积的乘方转化为乘法运算。

通过比较幂的乘方和积的乘方的逆用方法，可以帮助我们更好地理解这两种运算形式之间的关系，提高解题效率。

本文将从理论分析和实际应用两个方面对这一主题展开讨论，以期为数学领域的研究和实践提供一定的启发。

1.2 文章结构文章结构包括引言、正文和结论三部分。

引言部分主要介绍了文章的背景和意义，引起读者的兴趣；正文部分详细阐述了幂的乘方、积的乘方以及它们的逆用比较；结论部分对文章的内容进行总结，并探讨了幂的乘方与积的乘方的逆用在不同领域的应用和未来的发展方向。

整个文章结构清晰明了，逻辑性强，能让读者快速理解文章的主要内容和观点。

1.3 目的：本文旨在探讨幂的乘方与积的乘方在数学中的应用及其逆用。

通过深入分析这两种运算的特性，我们希望能够更好地理解它们在解决问题时的实际应用方式，并且帮助读者更加灵活地运用这些概念。

同时，通过对比幂的乘方和积的乘方的逆用方法，我们将探讨它们在不同领域中的实际应用，以期为读者提供更全面的知识和启发。

通过本文的阐述，我们希望读者能够深入了解数学中的这些概念，并将其运用到实际生活或学习中，从而提升自己的数学思维能力和解决问题的能力。

2.正文2.1 幂的乘方幂的乘方是数学中常见的概念，表示将一个数自身乘以自身多次得到的结果。

例如，2的3次幂表示将2乘以自身3次，即2*2*2=8。

幂的乘方可以简单地用符号表示为a^b，其中a为底数，b为指数。

在数学运算中，幂的乘方有着重要的作用，可以用来表示很大的数字以及进行复杂的计算。

幂的乘方可以带来很多好处，其中之一是简化大数的表示和计算。

通过对一个数进行幂的乘方操作，可以快速得到结果而不需要逐个相乘。

幂的乘方与积的乘方在数学中，幂和乘方是基本的数学运算。

它们在代数学和数学分析中起着重要的作用，被广泛应用于各个领域。

幂的乘方幂是数学中最基本的运算之一。

幂的表达式由底数和指数两部分组成，可以表示为a^n，其中a表示底数，n表示指数。

幂的乘方是指同一个底数的多个幂进行乘法运算的结果。

例如，(a^m) *(a^n)表示将底数为a的m次幂与n次幂相乘。

幂的乘方可以使用乘法法则进行简化。

乘法法则是幂运算中的一个重要性质，它规定同一底数的两个幂相乘时，底数不变，指数相加。

即(a^m) * (a^n) =a^(m + n)。

积的乘方积是数学中的二元运算，表示两个数的乘法结果。

积的表达式可以表示为ab，其中a和b分别为乘法的两个操作数。

积的乘方是指同一个乘法的多个积进行乘法运算的结果。

例如，(ab) * (cd)表示将积ab与积cd相乘。

积的乘方可以使用乘法法则进行简化。

乘法法则规定多个积相乘时，可以将所有的乘法操作数合并，并将指数相加。

即ab * cd = (a * c) * (b * d)。

幂的乘方与积的乘方的联系幂的乘方和积的乘方在运算过程中都遵循乘法法则的相似原则。

它们都利用了乘法法则中指数相加和操作数合并的特点进行简化运算。

举个例子，假设有(2^3) * (2^4)和(2 * 3) * (2 * 4)这两个表达式。

根据乘法法则，可以将这两个表达式分别简化为2^(3+4)和(2*3) * (2*4)。

通过对比可以发现，虽然乘方和乘法是两种不同的运算，但它们在指数运算和操作数合并方面具有相似性。

这也是幂的乘方和积的乘方之间的联系。

应用举例幂的乘方和积的乘方在实际应用中都有广泛的运用。

在计算机科学中，幂的乘方常常用于算法的时间复杂度分析。

通过对算法的每个操作的时间复杂度进行幂运算，然后将所有操作的时间复杂度相乘，可以得到整个算法的时间复杂度。

在物理学中，幂的乘方和积的乘方可以用于描述物理量之间的关系。

例如，力和位移两个物理量的乘积表示功，而多次乘积相乘则可以表示不同次数的功。

第三十五讲 幂的乘方与积的乘方【知识要点】一、幂的乘方：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，()m n mn a a=（m 、n 都是正整数） ②公式逆用：()()mn m n n m a a a ==③多重乘方：()(p n m mnp a a m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦、n 、p 都是正整数） 二、积的乘方：①积的乘方法则：积的乘方等于每一个因数乘方的积，()m m m ab a b =⋅（m 为正整数） ②三个或三个以上的数的积的乘方也具有这一性质，()n n n n abc a b c = ③积的乘方法则也可以逆用.即(),()m m m n n n n ab ab a bc abc ⋅==三、注意： ①幂的乘方要和同底数幂的乘法区别开来；②积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘.【经典例题】【例1】计算.①5324)()(x x x -⋅-⋅ ②m m m x x x 5233)()(⋅⋅+ ③3342])([b a a -⋅-④2333)105.2()104.0(⨯⨯⨯ ⑤24232)3(3)2(a a a -⋅-【例2】已知：625255=⋅x x ，求x 的值.【例3】若63=a ，5027=b ，求a b +33的值.【例4】已知192221232=-++a a ，求a 的值.【例5】比较5553，4444，3335的大小.【初试锋芒】1.计算：①432)3(b a --= ； ②3243)()(a a -⋅-= ； ③=⨯-20152014)522()125( ； ④323)21(bc a -= ； ⑤2009200822-= ； ⑥()n m a a ⋅3=2.若5,2n n a b ==则32()n a b = ； n 为奇数，则22()()n n a a -+-= .3.下列运算正确的是（ ）4.计算32)2(xy --，结果正确的是（ ） A. 5361y x B. 6381y x - C. 6361y x - D. 5381y x - 5.下列计算：（1）22)(m m a a-=；（2）m m a a )(22-=；（3）743222)()(b a b a ab =-⋅-；（4）212218)3()2(++=-⋅n n n n b ab a ab ；（5）52236)3(b a ab =中正确的个数为（ ）6.已知m x =10，n y =10，则m y x =+3210等于（ ） A. n m 32+ B. 22n m + C. mn 6 D. 32n m7.下列四个式子中结果为1210的有（ ）①661010+； ②21010)52(⨯； ③6510)1052(⨯⨯⨯； ④43)10( A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④8.如果正方体的棱长是3)2-1(b ，那么这个正方体的体积是（ ）A. 6)2-1(bB. 9)2-1(bC. 12)2-1(bD. 6)2-1(6b9.n m 279⋅等于（ ）A. n m +9B. n m +27C. n m 323+D. n m 933+ 10.已知3181=a ，4127=b ，519=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）【大展身手】1.计算：①201410078)125.0(⨯- ②b a ab b a a ⋅-⋅-+⋅-⋅-32332)()3()2()()(2.①若62=m ，34=n ，求3222++n m 的值.②3,4m na a ==求32m n a +的值为多少？3.已知17232793=⨯⨯m m ,求m 的值．4．若0542=-+y x ，求y x 164⋅的值．【挑战脑细胞】1.设112233445,4,3,2====D C B A ，则A 、B 、C 、D 从小到大的排列顺序是怎样的？2.已知：m n +3能被13整除，求证：m n ++33也能被13整除.。

常州知典教育一对一教案知识要点a m ?a n a m n （m, n 都是正整数）.同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

注意：①底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式、相反数。

②逆用a m n a m a nmna （m n 都是正整数）。

即：幕的乘方，底数不变,逆用：a m b m (ab)m学年级：七 学科：数学 授课时间：月日 授课老师: 1. 同底数幕的乘法法则:Z m 、n2.幕的乘方法则：（a ） 讲义部 分 指数相乘。

逆用：a mn 3.积的乘方法则：（ab ）n / m\n / n\m (a ) (a ) a • b（n 为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个 因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

4. a 0 1(a 0) 例题讲解1. 10m 1 10n 1 23・(—2)4= 1 000 X 10m-3：2 3 4x x xx 4 5 6 ( 6)= ,x • ( — x)4•x,(X y)2(x y)5 = 310 100 10 100 100 100 10000 10 10= c , 2 2 3 22. ( — 3xy) =3.若 2a m b m n ‘ 8a 9b 15成立，则 m= ,n=4.①若 a m a 3a 4 ,则 m= 2 3 4 5 y iTTrfxx x x x X ,则 y= ④若 a x ( a)2 a 5,则 x= 5.①若 x 2n = 4,则 x 6n = ③若2X 1 16,则x= ⑤若 x n-3 •x n+3=x 10,则 n= 6. 一个正方体的边长是1.1 7.下面计算正确的是（） A l 3 2 I 6 c 3 3 .b b b ; B . x x X 27 可记为()A. 93; B. ,32m ・3;②若 x 4x a X 16 ,贝U a= ⑤若 644X 83 = 2x ，则 x =；② a 12=( _;③若;④若 x n =2, y n =3,则(xy) 102cm ，则它的表面积是4 a 2 37; C. 36; D. 3na 6 ; D . mm 5 m 63129.若X y,则下面多项式不成立的是（） A (y x)2 (x y)2; B. (y x)3 （X \3y)C.当n 为偶数时, 11.计算12. (1) (X y)2 (X (11)( 2)1999(4)( x)3?x 2?( X)4 ⑽ X51。

幂的运算一1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数)同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。

学习这个法则时应注意以下几个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。

（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。

（5）不要与整式加法相混淆。

乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。

例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1=(- )1+2+3②底数为- ，不变。

=(- )6③指数相加1+2+3=6= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。

同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方问
题
背景
在数学中，幂是一种常见的运算方式。

幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中的相关问题。

本文将探讨这些问题的定义、性质和解决方法。

同底数幂的乘法
同底数幂的乘法是指将底数相同的幂进行相乘的运算。

如果我们有两个同底数幂，即a^m和a^n，那么它们的乘积可以表示为
a^(m+n)。

简单说，就是将它们的指数相加，而底数不变。

例如，我们有2^3和2^4，它们的底数都是2。

根据同底数幂的乘法规则，它们的乘积为2^(3+4)，即2^7。

幂的乘方
幂的乘方是指将幂的结果再次进行幂运算的操作。

如果我们有
一个幂a^m，再对其进行幂运算，即(a^m)^n，那么它可以简化为
a^(m*n)。

换句话说，就是将它们的指数相乘。

举个例子，我们有2^3，如果我们对其进行幂的乘方，即
(2^3)^2，根据幂的乘方规则，它可以简化为2^(3*2)，即2^6。

积的乘方
积的乘方是指求积的幂的运算。

如果我们有一个积a*b，对其
进行乘方运算，即(a*b)^n，那么它可以展开为a^n * b^n。

简单说，就是将积的每个因子都进行乘方。

举个例子，我们有积2*3，我们对其进行乘方运算，即(2*3)^3，根据积的乘方规则，它可以展开为2^3 * 3^3。

结论
同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是幂运算中常见的问题。

通过了解它们的定义和规则，我们可以更好地进行幂运算的简化和
求解。

使用这些规则，我们可以轻松计算出任何同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的结果。

《幂的乘方与积的乘方》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解幂的乘方和积的乘方的运算法则。

能够熟练运用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算。

2、过程与方法目标通过观察、类比、猜想、归纳等数学活动，经历幂的乘方和积的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

通过实际问题的解决，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观目标让学生在数学活动中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及合作交流的意识。

二、教学重难点1、教学重点幂的乘方和积的乘方的运算法则。

正确运用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算。

2、教学难点幂的乘方和积的乘方运算法则的推导过程。

灵活运用幂的乘方和积的乘方的运算法则解决问题。

三、教学方法讲授法、启发式教学法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：＼（a^m×a^n ＝ a^｛m+n}＼）（＼（m\）、＼（n\）为正整数）提出问题：如果一个幂的指数再乘方，或者几个同底数幂相乘，结果又会怎样呢？从而引出本节课的课题——幂的乘方与积的乘方。

2、讲授新课（1）幂的乘方计算：＼（（a^m)＾n\）（＼（m\）、＼（n\）为正整数）引导学生思考：这个式子表示什么意义？讲解：＼（（a^m)＾n\）表示\（n\）个\（a^m\）相乘，即：＼＼begin{align}（a^m)＾n&＝a^m×a^m×＼cdots×a^m\＼＆＝a^｛m+m+＼cdots+m}＼＼＆＝a^｛mn}＼end{align}＼得出幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（＼（m\）、＼（n\）为正整数）（2）积的乘方计算：＼（（ab)＾n\）（＼（n\）为正整数）引导学生思考：这个式子表示什么意义？讲解：＼（（ab)＾n\）表示\（n\）个\（ab\）相乘，即：＼＼begin{align}（ab)＾n&＝（ab)×（ab)×＼cdots×（ab)＼＼＆＝（a×a×＼cdots×a)×（b×b×＼cdots×b)＼＼＆＝a^n×b^n＼end{align}＼得出积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

教师学生年级七年级授课时间2018.05授课课题幂的乘方及积的乘方授课类型新授课教学目标1. 体会幂的意义，会用同底数幂的乘法性质进行计算，并能解决一些实际问题。

2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算，并能解决一些实际问题。

教学重点及难点重点：（1）同底数幂的乘法性质及其运算。

（2）幂的乘方及积的乘方性质的正确、灵活运用。

难点：（1）同底数幂的乘法性质的灵活运用。

（2）探索幂的乘方、积的乘方两个性质过程中发展推理能力和有条理的表达能力。

参考资料教学过程复习巩固新课导入授课内容分析、推导(突出教学内容要点，采用的教学方法等，要求简明扼要，若有及教材中相同的文字、表格、例题等不要在教案上照抄，可注明教材页码。

)一：知识归纳1.同底数幂的意义乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方读法：a n读作a的n次幂（或a的n次方）。

同底数幂是指底数相同的幂，如：23及25，a4及a，()a b23及()a b27，()x y-2及()x y-3等等。

注意：底数a可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。

2. 同底数幂的乘法性质a a am n m n·=+（m，n都是正整数）这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：a a a am n p m n p··=++（m，n，p都是正整数）3. 幂的乘方的意义幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如()a53是三个a5相乘读作a的五次幂的三次方，()a m n是n个a m相乘，读作a的m次幂的n次方4. 幂的乘方性质na指数幂底数()a a m n mn =（m ，n 都是正整数）这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

注意：（1）不要把幂的乘方性质及同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。

（2）此性质可逆用：()a a mn mn=。