全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形证明判定方法分类总结2D全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEFABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABCS，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．3例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ∆≌DEF ∆（2）AB//DE ，BC//EFE C FC4例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分∠【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B 以及C 和D 分别是对应点，如果∠︒=∠,60C BAD∠的度数为（ ）CDC第3A、︒85B、︒35C、︒60D、︒804．如图，ABC∆≌DEF∆，AD=8，BE=2，则AE等于（）、5 C、45．如图，要使ACD∆≌BCE∆，则下列条件能满足的是（）A、AC=BC，AD=CE，BD=BEB、AD=BD，AC=CE，BE=BDC、DC=EC，AC=BC，BE=ADD、AD=BE，AC=DC，BC=EC6．如图，ABE∆≌DCF∆，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB= ，=∠A，AE= ，CE= ，AB// ，若BCAE⊥，则DF与BC的关系是．7．如图，ABC∆≌AED∆，若F第4第5CB第6第7第8D E568．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠10．如图，ACF∆≌DBE∆，cmCD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cmD 、无法确定A B C E AD C B72．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ） A 、︒48 B 、︒38 C 、︒110 D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EFA B C DE BF7．如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CAE=∠BAD∠ED8全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示如图，在ABC∆和DEF∆中，ABCEFBCEBDEAB∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SASDEF∆【典型例题】【例1】已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.CADBEC56【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形，求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。

求证：BD ＋CD=AD 。

D EF DA BC E78【巩固练习】1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠B ' C.∠C=∠C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=CD B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EF C ．CA=CD ；∠B=∠E D.AB=DE ；BC=EF ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.2 △AOD ≌△BOC而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△AOB所以△ABC ≌△BAD（1）你认为小明的解答有无错误； （2）如有错误给出正确解答； 4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。

5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.BD OA=OD=96．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由C D10全等三角形（二）作业1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ∆≌CEF ∆。

2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。

求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。

3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。

求证：BF=FC 。

4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。

A B C ED FA DE CBFO5. 如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE=DC，（2）BE⊥DC. 6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE，求证：（1）△ABC≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC1 2D CA BEFD ABQ CPE117、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF 的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．121310、已知C 为AB 上一点,△ACN 和 △BCM 是正三角形.求证：（1）AM=BN （2）求∠AFN 大小。

11、已知如图，F 在正方形ABCD 的边BC 边上，E 在AB 的延长线上，FB ＝EB ，AF 交CE 于G ，求∠AGC 的度数.12、 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA=CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD.(1)观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证CNMBAE DFFDC G14明；若不成立，请说明理由.F DACEB全等三角形（三）ASA【知识要点】ASA的两个三角形全等． 如图，在ABC ∆与DEF ∆中E B DE AB D A ∠=∠=∠=∠∴)(ASA DEF ABC ∆≅∆ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC ∆和'''C B A ∆全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '，'A A ∠=∠，'C C ∠=∠B 、 AB= A 'B '，AC=A 'C '，BC='B C 'C 、 AB= A 'B '，AC=A 'C '，'B B ∠=∠D 、 AB= A 'B '，'A A ∠=∠，'B B ∠=∠【例2】已知如图，DEAB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF【例3】如图，AB=AC ，B ∠=∠FB EC FC【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P在AB 上，可以得出PC=PD【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE，求证：DE=BCA【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ，求证：①AB=CD【巩固练习】1．如图，AB//CD ，AF//DEAB=CD2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O的直线分别交AD ，BC 于点AM=CN3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '的角平分线AD 、A 'D '相等C D B 'D'CB4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ∆≅∆COF AOE ∆≅∆5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DECBE全等三角形（三）作业1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE2．如图，已知CAD BAE ADEAED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE4．已知如图，在ABC ∆中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，BB E求证：ABDACD∆≅∆5．已知如图，cmACABDDCADBCACB10,,=∠=∠∠=∠，求BD的长（要求写出完整的过程）6、如图ABC△中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EFCC BADE C BF7、 (1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？8、已知：如图 , AD 为CE 的垂直平分线 , EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCEAGFCBDE（图１）10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF 11、如图在△ABC和△DBC中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P是BC上任意一点．求证：PA=PD.12、已知：如图 , 四边形 ABCD中 , AD ∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线于E , CE=CD．求证：∠ADE=∠EDC．13、已知：如图 , OA=OE ,OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O ,求证：∠1=∠2．初一数学·全等三角形全等三角形（四）强化训练1、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若AD BE CF==，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF是等边三角形，问AD BE CF==成立吗？试证明你的结论．2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．B初一数学·全等三角形4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E，与CD 相交于点F H ，是BC边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =；5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60o得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形； （2）当150α=o时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？D AE FCHGBA BCDO110o α初一数学·全等三角形7、过等腰直角三角形直角顶点A 作直线AM 平行于斜边BC ，在AM 上取点D ，使BD=BC ，且DB 与AC 所在直线交于E ，求证：CD=CE 。