安徽省芜湖市芜湖县一中2020届高三下学期仿真模拟理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2{|13},{|log (2)}A x x B x y x =-≤≤==-，则集合AB =（ ） A ．{}|12x x -≤< B ．{}|23x x <≤C ．{}|13x x <≤D ．{}|2x x > 2．在复平面上，若复数21x i i +-所对应的点在虚轴上，则实数x 的值为 A ．1B ．2C ．-1D ．-2 3．函数 ()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴强长度的23得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的43为第三根琴弦，第三根琴弦长度的23为第四根琴弦．第四根琴弦长度的43为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“官、商、角（jué）、微（zhǐ）、羽”，则“角＂和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ） A ．32B ．8164C ．3227D ．985．已知0.33a =，12b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =，则下列大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 6．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有( )A ．15B ．60C ．90D ．5407．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136a a +=，4612a a +=，则20202020S =（ ） A ．20232 B ．1011 C ．20212 D ．10108．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（ ）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，则AE EC ⋅=（ ）A ．1225B ．2425C ．125D ．45 11．已知椭圆221:184x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()22:20C y px p =>的准线l 过点1F ，设P 是直线l 与椭圆1C 的交点，Q 是线段2PF 与抛物线2C 的一个交点，则2QF =（ ）A．(123- B．(124- CD．12．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（ ）A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-二、填空题13．已知函数2()ln(32)f x x x =+-，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为_____14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 15．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________.16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是BC 边上的一个动点，且直线PQ 与面ABC 所成角的最大值为3π，则该三棱锥外接球的表面积为__________．三、解答题17．在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B为锐角，且sin 2sin A B A +=.（1）求C ；（2）已知2a =，8AB BC ⋅=-，求ABC 的面积.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190ACB C CB ∠=∠=，160A AC ∠=，D 、E 分别为1A A 和11B C 的中点，且1AA AC BC ==.（1）求证：1//A E 平面1BC D ；（2）求平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.19．已知ABC的两个顶点坐标是(B -，C ，ABC的周长为8+O 是坐标原点，点M 满足2OA AM =-.（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于,P Q 两点，若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ △面积的最大值.20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表注：参考数据5555111174.691312.76110.98040.457i i i i i i i i i i y x y z x z ========∑∑∑∑，，，（其中z ＝lny ）． 附：样本（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）的最小二乘法估计公式为()()()121ˆˆˆni ii n i i x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑， （1）根据表中数据判断，y ＝a +bx 与y ＝ce dx （其中e ＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？21．已知函数()ln f x x =.（1）函数()()()21222t x x a x af x =-++，讨论()t x 的单调性； （2）曲线()()30g x x x =>在点P 处的切线为l ，是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y f x =也相切，若存在，判断满足条件的点P 的个数，若不存在，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11||||AM AN +的值. 23．已知不等式21211x x m ++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a 、b 、c 满足a b c M ++=，求证：13222a b b c+≥+++参考答案1．B【分析】先根据对数函数的定义域求解出{}|2B x x =>，然后借助于数轴求解A B . 【详解】集合{}{}2|log (2)|2B x y x x x ==-=>，如图所示：则{}|23A B x x =<≤.故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的定义域问题，属于简单题.2．B【分析】 先化简21x i i+-，若对应的点在虚轴上，则实部为零. 【详解】 ∵()()()()()()2122222111222x i i x x i x i x x i i i i ++-+++-+===+--+， ∴复数21x i i +-所对应的点为22,22x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若22,22x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在虚轴上，则202x -=，即2x =. 故选B.【点睛】本题考查复数的运算及几何性质.3．A【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可判断函数图象；【详解】解：∵()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()()()221sin 1sin 11x x x e f x x x x e f e -⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为偶函数，其图像关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时， ()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ， 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题.4．C【分析】设基准琴弦的长度为1，得到5根弦的长度即可求解【详解】设基准琴弦的长度为1，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为23，89，1627，6481， 五根琴弦的长度从大到小依次为1，89，6481，23，1627，所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为6481和23， 其长度之比3227． 故选：C【点睛】 本题考查推理能力，考查学生的数学抽象和计算能力，是基础题5．D【分析】根据指数函数与对数函数的性质，先判断,,a b c 的大致范围，即可得出结果.【详解】因为0.30331a =>=，1111222b π⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，551log log 2c =>=且5log 1c =<， 所以a c b >>.故选：D.【点睛】本题主要考查比较指数幂与对数的大小，属于基础题型.6．C【分析】根据平均分组的方法计算可得；【详解】解：依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有222342633390C C C A A ⋅=（种） 故选：C【点睛】本题考查平均分组分配问题，属于基础题.7．A【分析】首先根据已知条件构造关于1a ，d 的方程组，求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】解：因为136a a +=，4612a a +=，所以1111263512a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得121a d =⎧⎨=⎩，()111n a a n d n ∴=+-=+， ()21322n na a n n n S ++∴== 2202020203202020232020220202S +⨯∴==⨯故选： A【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.8．B【分析】根据循环结构分析找到规律，m 是偶数时相减，是奇数时相加，当m =0时终止.【详解】第1次循环2020,19S m =-=第2次循环202019,18S m =-+=第3次循环20201918,17S m =-+-=依此循环该框图的运行结果是：2020191817210S =-+-+++-+-.20(2019)(1817)(21)010=+-++-+++-+-= 故选：B【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查推理论证的能力，属于基础题. 9．A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为： sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．D 【分析】建立直角坐标系，设(,)E x y ，由AE BD ⊥和//BE BD 可列方程求出点E ，再根据数量积坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y 所以()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==AE BD ⊥且//BE BD21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩481(,),,5212(,),55555AE EC E ⎛⎫=-=- ∴⎪⎝⎭，8414+552555AE EC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算通过建立坐标系进行坐标运算比较简便，属于中档题. 11．A 【分析】由椭圆方程221:184x y C +=有，()12,0F -，可得抛物线22:8C y x =，则l ：2p x =-,将直线l ：2x =-代入椭圆方程,得P y1PF =2PF =2QF QM =，又12//QM F F ，所以212PQ MQ PF F F =，可求出答案.【详解】由椭圆221:184x y C +=，有2a b ==，所以2224,c a b =-=得2c =. 所以()12,0F -，抛物线()22:20C y px p =>的准线l ：2px =-过点1F . 所以22p-=-，得4p =，所以抛物线22:8C y x =， 由P 是直线l 与椭圆1C 的交点，不妨设P 在x 轴上方,将直线l ：2x =-代入椭圆方程.得Py =1PF =22PF a ===Q 作QM ⊥直线l 于M ，由抛物线定义知2QF QM =，又12//QM F F ，所以212PQ MQ PF F F =，=，∴(123MQ =-. 故选：A【点睛】本题考椭圆定义和抛物线定义的应用，属于中档题. 12．A 【分析】将不等式122112x x x e x e a x x -<-转化为121122x x e a e a x x x x +>+，构造函数()x e af x x x=+，只需使()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x a f x x--'=≤在[)2,0-恒成立，只需()1xe x a -≤恒成立，然后求解a 的取值范围. 【详解】因为12x x <，所以120x x -<，则122112x x x e x e a x x -<-可化为()122112x x x e x e a x x ->-， 整理得122211x x x e ax x e ax +>+，因为120x x >，所以121122x x e a e a x x x x +>+， 令()x e af x x x=+，则函数()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x af x x--'=≤在[)2,0-上恒成立， 所以()1xex a -≤在[)2,0-上恒成立，令()()1xg x e x =-，则()()10x x x g x e x e xe '=-+=<在[)2,0-上恒成立， 则()()1xg x ex =-在[)2,0-上递减，所以()()232g x g e ≤-=-，故只需满足：23a e ≥-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键. 13．540x y --= 【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程． 【详解】 因为3()232f x x x '=+-，所以(1)235k f '==+=，切点坐标为()1,1， 故切线方程为：15(1)y x -=-即540x y --＝． 【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求函数曲线在某点处的切线方程． 14．2827【分析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于基础题. 15．)∞【分析】根据题意，确定直线与渐近线的关系，得到1ba≥，再计算离心率范围得到答案. 【详解】记过点F 的直线为l ，因为过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l 的倾斜角，已知l 的倾斜角是45︒，从而tan 451b a ≥︒=，故c e a ===≥.故答案为：)∞. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力，属于基础题. 16．57π 【分析】根据题意画出图形，结合图形找出ABC ∆的外接圆圆心与三棱锥P ABC -外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积. 【详解】由题意，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，如图所示，则3sin PA PQ PQ θ==，且sin θ所以min ()PQ =AQ ，即A 到BC所以AQ BC ⊥，因为AB =Rt ABQ ∆中可得6ABC π∠=，即可得6BC =,取ABC ∆的外接圆圆心为O '，作//OO PA '，所以62sin120r =，解得r =O A '=取H 为PA 的中点，所以32OH O A PH '===，由勾股定理得2OP R ===，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积是224457S R πππ==⨯=.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.17．（1）23C π=；（2）【分析】（1）计算得到sin sin 3B A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据题意得到cos 4c B =，根据正弦定理得到1cos sin 22c B c B -=sin c B =.【详解】（1）由sin 2sin A B A +=，得1sin sin 22B A A =-，故sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即23B A π=+.因为B 为锐角，所以3B A π=-，即3B A π+=，故23C π=. （2）由8AB BC ⋅=-，得()cos 8ca B π-=-，故cos 8ca B =.因为2a =，所以cos 4c B =①. 根据正弦定理，sin sin a c A C =，及3A B π=-，23C π=，2a =，得2sin 3B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 3c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1cos sin 22c B c B -=.①代入②，得1sin 2c B =sin c B =所以ABC的面积等于11sin 222ac B =⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）先根据1//EF BB 且112EF BB =，11//A D BB 且1112A D BB =可知四边形1A DFE 为平行四边形，由此1//A E DF ，进而得证；（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，由此可以O 为坐标原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1BC D 与平面ABC 的法向量，再利用向量的夹角公式得解. 【详解】（1）如图1，取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，E 为11B C 的中点，1//EF BB ∴且112EF BB =，又D 为1AA 的中点，11//A D BB ∴且1112A D BB =，1//EF A D ∴且1EF A D =， ∴四边形1A DFE 为平行四边形，1//A E DF ∴，又DF ⊂平面1BC D ，1A E ⊄平面1BC D ，1//A E ∴平面1BC D ；（2）作1A O AC ⊥于点O ，由160A AC ∠=，得130AAO ∠=， 11122AO AA AC ∴==，即O 为AC 的中点， 190ACB C CB ∠=∠=，BC AC ∴⊥，1BC CC ⊥，又1ACCC C =，BC ∴⊥平面11A ACC ，1A O ⊂平面11A ACC ，从而有1BC A O ⊥，又1A O AC ⊥，AC BC C =，1A O ∴⊥平面ABC ，故可以点O 为坐标原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图2，令12AA AC BC a ===，则(),0,0A a 、(),2,0B a a -、()1A、()12C a -、1,0,22D a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，3,2,22BD a a a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，15,0,22C D a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1BC D 的一个法向量为(),,m x y z =，则132022502m BD x y zm C D x ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取5z =，则x =y =()3,m =，又平面ABC的一个法向量为()1OA =， 设平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角为θ，则115cos 40m OA m OA θ⋅===⋅因此，平面1BC D 与平面ABC 【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.19．（Ⅰ）()22104x y y +=≠；（Ⅱ）1. 【分析】（Ⅰ）8AB AC BC +=>,点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.利用定义法求点A 轨迹方程，利用2OA AM =-求出点M 的轨迹E 的方程即可.（Ⅱ）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠与点M 的轨迹E 的方程联解，利用根与系数关系与直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列建立方程求出12k =±，再求出弦长PQ=.点O 到直线l 的距离d ==.运用三角形面积公式建立关于m 的表达式求出最值. 【详解】（Ⅰ）已知8AB AC BC +=>，所以，点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.因为，28a =，c =，所以，4a =，2b =.所以，点A 的轨迹方程为()2210164x y y +=≠.设(),M x y ，()00,A x y .由2OA AM =-得，0022x x y y =⎧⎨=⎩，又22001164x y +=.故，点M 的轨迹E 的方程为()()22221164x y +=，即()22104x y y +=≠.（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()()()222222641614116410k m kmk m =-+-=-+>△，即22410k m -+>，且122814km x x k -+=+，()21224114m x x k-=+，故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.∵直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，∴()2221212121212k x x km x x my y k x x x x +++⋅==， 即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k =，即12k =±. 由0>，及直线,OP OQ 的斜率存在，得202m <<，∵12PQ x =-==，点O 到直线l 的距离d ==.112OPQ S PQ d =⋅==△，当21m =时取等号， 此时直线l 的方程为112y x =±±，OPQ S 的最大值为1.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.20．（1）选y ＝ce dx ；（2）0.7520.060x y e -=；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大【分析】（1）直接由表中数据可得选择回归方程y ＝ce dx ，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对y ＝ce dx 两边取自然对数，得lny ＝lnc +dx ，转化为线性回归方程求解；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A 、甲与乙先赛；B 、甲与丙先赛；C 、丙与乙先赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的概率得结论．【详解】（1）选择回归方程y ＝ce dx ，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对y ＝ce dx 两边取自然对数，得lny ＝lnc +dx ，令z ＝lny ，a ＝lnc ，b ＝d ，得z ＝a +bx ．由于51 15i i x ==∑，511 35i i x x ===∑，511 2.1965i i z z ===∑， ∵5152221 540.45753 2.1965553 5i ii i i x z x z b x x ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑0.752， 2.1960.75230.060a z b x =-=-⨯=-．∴z 关于x 的回归方程为0.7520.060z x =-，则y 关于x 的回归方程为0.7520.060x y e -=；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A 、甲与乙先赛；B 、甲与丙先赛；C 、丙与乙先赛．由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12， 则甲公司获胜的概率分别是： P （A ）131311113113111353523325345⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；P （B ）31311331139111535325523525⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； P （C ）131113112532355⎛⎫=-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭． 由于913125455＞＞， ∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查了分析问题运算求解的能力，属于中档题．21．（1）见解析；（2）存在，有且只有两个【分析】（1）利用导数的运算法则得出()t x '，分0a ≤，02a <<，2a =，2a >讨论单调性，分别解出()0t x '>与()0t x '<的区间即可得出单调区间．（2）先求直线l 为函数的图象上一点()()3000,0P x x x >处的切线方程，再设直线 l 与()f x 的图象也相切，切点为 ()11,ln x x ，进而可得 3002ln ln 312x x ---=-，再判断方程在区间 ()0,∞+上有且只有两个实数根．【详解】（1）因为：()()2122ln 2t x x a x a x =-++， 所以：()()()()222x x a a t x x a x x --'=-++=. 所以：①当0a ≤时：()t x 在(]0,2上为减函数，在[)2,+∞为增函数； ②当02a <<时：()t x 在(]0,a 上为增函数，在[],2a 上为减函数，在[)2,+∞上为增函数；③当2a =时：()t x 在()0,∞+上为增函数；④当2a >时：()t x 在(]0,2上为增函数，在[]2,a 上为减函数，在[),a +∞上为增函数. （2）设()()3000,0P x x x>. 因为：()23g x x '=，所以：()2003g x x '=.所以直线l 的方程为：()320003y x x x x -=-，即：230032y x x x =-①. 假设直线l 与()f x 的图象也相切，切点为：()11,ln x x .因为()1f x x '=，所以()111f x x '=. 所以直线l 的方程也可以写作为：()1111ln y x x x x -=-. 又因为20113x x =，即：12013x x =. 所以直线l 的方程为：20220011ln 333y x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即：20032ln ln 31y x x x =---②. 由①②有：3002ln ln 312x x ---=-，即：30022ln 1ln 30x x ---=.令()()3000022ln 1ln300m x x x x =---=>， 所以()200026m x x x '=-. 令()2000260m x x x '=-≥，得：0x ≥ 所以()0m x在⎛ ⎝递减，在⎫+∞⎪⎪⎭递增. 所以()0min 11121ln 3ln 30333m x m ==⨯--=--<， 又因为当0x →时，()0m x →+∞；当x →+∞时，()0m x →+∞.所以()300022ln 1ln30m x x x =---=在()0,∞+有且只有两个实数根. 所以，存在这样的点P 使得直线l 与函数()f x 的图象也相切，这样的点P 有且只有两个.【点睛】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．22．（Ⅰ）直线l的普通方程为：20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=；（Ⅱ）4【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果.【详解】（Ⅰ）由,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），所以2y x = 则直线l的普通方程为：20x y -+= 由2cos240ρθ+=，所以()222cos s 40in θθρ+-= 又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2240x y -+= 则曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：直线l参数方程标准形式为：,5x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将该方程代入曲线C 的直角坐标方程化简可得：232050t t ++=设点,M N 所对应的参数分别为12,t t 所以1212205,33t t t t +=-=，则120,0t t << 所以1212111111||||AM AN t t t t ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭则1212114||||t t AM AN t t ++=-= 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题 23．（1）[]3,1-；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出2121x x ++-的最小值，由此可得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（2）由题意可得1a b c ++=，可得出()()222a b b c +++=，可得出()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，利用基本不等式可证得结论. 【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()212121212x x x x ++-≥+--=， 所以，12m +≤，解得31m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]3,1-；（2）因为，1M =，所以，1a b c ++=，()()222a b b c ∴+++=， 所以，()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()321214422222a b b c b c a b ⎡+⎡⎤+=++≥⨯+=+⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣即13222a b b c+≥+++【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
