数学一般规律

一．关于新大纲2009 考研数学改为三个试卷：数一数二维持不变，数三、数四改变为新数三：教育部决定从2009年起，将原数学三、数学四进行整合，整合后称为“数学三”。

原使用数学三或数学四的招生专业从2009年开始使用新的“数 学三”。

“数学三”的考试内容和考试要求调整如下：1. 新“数学三”的考试内容为微积分、线性代数、概率论与数理统计，其分数比例依次约为56%、22%和22% 。

2. 新“数学三”较原数学四的变化有： （1） 增加了无穷级数的相关内容；（2） 增加了线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶微分方程及差分方程的相关内容； （3） 增加了数理统计的基本概念、点估计的概念、矩估计法及最大似然估计的相关内容。

3. 新“数学三”较原数学三的变化有:(1) 降低了无穷级数中部分考试内容的考试要求；(2) 降低了常微分方程与差分方程中二阶微分方程、差分方程的考试要求；(3) 降低了概率论中切比雪夫不等式的考试要求；(4) 降低了数理统计的基本概念中部分考试内容的考试要求； (5) 降低了参数估计中点估计等概念的考试要求；(6) 删除了参数估计中估计量的评选标准和区间估计的考试内容； (7) 删除了假设检验的全部考试内容。

考题题型例1 设函数)(x f 在0=x 处连续，下列命题错误的是 （A ）若xx f x )(lim 0→存在，则0)0(=f（B ）若x x f x f x )()(lim 0-+→存在，则0)0(=f（C ）若xx f x )(lim→存在，则)0(f ' 存在（D ）若xx f x f x )()(lim--→存在，则)0(f '存在【解】答案D 。

由无穷小量比阶概念、点连续概念与导数定义，可判断(A)(B)(C)正确。

(D)中xx f x f x )()(lim--→的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。

请看错误做法：x x f x f x )()(lim 0--→xf x f x )0()(lim-=→xf x f x ---+→)0()(lim)0(2)0()0(f f f '='+'=则)0(f '存在。

极限运算法则错误！【解析与点评】本题主要考点是：（1）无穷小量比阶；（2）复合函数概念； （3）点连续概念；（4）导数定义。

水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班综合辅导第2讲例 考题题型例2 （2005-2-15：11分） 设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求极限dtt x f x dtt f t x x x x )()()(lim--⎰⎰→【解析与点评1】 本题主要考点是：（1）含参积分处理方法；（2）极限分析计算与罗必达法则；（3）变限积分求导数；（4）积分中值定理。

水木艾迪考研辅导班教学中含有不少此类例题，可参见基础班综合辅导第2讲例 2.21，例2.25,例2.27,水木艾迪考研辅导暑期强化班第4讲例39-43，例55-56等例题，系列教材《2005考研数学应试导引与进阶》中也有许多这样的典型例题和方法，如例6.74,例6.78，例7.22等。

刘坤林等编写，清华大学出版社2004年7月出版。

【解】 首先取变换t x u -=，则⎰⎰⎰⎰==-=-x x xx dt t f du u f u d u f dt t x f 000)()()()()(，因此 dt t f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x x x xx xx x ⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→0)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(limx xf x f x f x xf dt t f dtt f x x x x +=+=→→⎰⎰ξξ21)0()0()0(=+=f f f其中x <<ξ0，0→x 时0→ξ，上述第2个等号用了罗必达法则。

考题题型例3 当0→x 时，()ax x x f sin -=与()()bx x x g -=1ln 2等价无穷小，则（ ） （A ）61,1-==b a . (B) 61,1==b a .（C ）61,1=-=b a . （D ）61,1=-=b a .【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例4.67，强化班教材《大学数学强化299》16、17等例题。

【答案】A166sin lim6sin lim3cos 1lim)(sin lim )1ln(sin lim32022202=-=⋅-=-=--=-⋅-=--→→→→→baaxa b ax a bxax a bxax a bx x ax x bx x ax x x x x x xb a 63-=意味选项C B ，错误。

再由23cos 1lim bxax a x --=→存在，应有)0(0cos 1→→-x ax a ，故1=a ，D错误，所以选A 。

考题题型例4 （09-2-10）⎰=-∞→nxdx exn sin lim1________【答案】0【解析与点评】定积分的分部积分法与回归法是水木艾迪辅导的星级考点。

我们一再强调：与积分有关的极限问题不一定把积分完全算出来。

（方法1）⎰⎰-----==111cos 1cos sin nx d en nxnenxdx eI xxxn⎰----=11cos 1cos nx d en nxnexx0lim ==∞→n n I（方法2）dx nx en nxenxdx eI xxxn ⎰⎰---+-==1101cos sin sin⎰---=--=---121011cos sin cos sin n xI n xn n n enxden n en I n nen nen e2111cos sin -+--=---0)11sin cos (lim lim 212=++++-=-∞→∞→n n en nn n I n n n考题题型例5 如图，正方形(){}1,1,≤≤y x y x 被其对角线划分为四个区域()⎰⎰==KD K K xdxdyy I k D cos ,4,3,2,1,则{}k k I 41max ≤≤＝（ ）（A ）1I (B) 2I (C) 3I (D) 4I【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化299》117题，以及《考研数学三十六技》例18-4。

42,D D 关于x 轴对称，而x y cos -即被积函数是关于y 的奇函数，所以042==I I ;31,D D 两区域关于轴对称，y ()x y x y cos cos =-即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，(){}⎰⎰≤≤≥>=10,,10cos 2x x y y x xdxdy y I ，(){}⎰⎰≤≤-≤<=10,,30cos 2x x y y x xdxdy y I 所以正确答案为A 。

考题题型例6 设有两个数列{}{},,n n b a 若0lim =∞→n n a 则（ ）（A ）当∑∞=1n n b 收敛时，∑∞=1n n n b a 收敛。

（B ）当∑∞=1n n b 发散时，∑∞=1n n n b a 发散。

（C ）当∑∞=1n n b 收敛时，∑∞=122n nnb a 收敛。

（D ）当∑∞=1n n b 发散时，∑∞=122n n n b a 发散。

【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。

（方法1）∑∞=1n n b 收敛，则0lim =∞→n n b ，又0l i m =∞→n n a ，必存在N ，使当N n >时21<n b 且21<n a （极限的有界性！），n n n b b a <22，立即由正项级数的直接比较法得到：X当∑∞=1n n b 收敛时，∑∞=122n n n b a 收敛。

应选C 。

参见水木艾迪春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义-----微积分》（清华大学出版社）自测模拟题15.3，例15.4。

（方法2）反例：对A 取()nb a nn n 11-==，对B 取nb a n n 1==，对D 取nb a n n 1==。

考题题型例7 设(){}1,,222≤++=Ωzy xz y x ，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2＝ 。

【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。

（方法一）由轮换对称性，⎰⎰⎰Ωdxdydzx 2==⎰⎰⎰Ωdxdydz y 2⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2⎰⎰⎰Ωdxdydzz 2()=++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x22231ρϕρρϕθππd d d sin 31212020⋅=⎰⎰⎰π154=（方法二）ρϕϕρρϕθππd d d dxdydz z 2212202cos sin ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω()ρρϕϕθππd d d ⎰⎰⎰-=14220cos cos πϕϕππ154513cos 203=⋅=⎰d参见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化299》125，《考研数学三十六技》例18-5，例18-6，例18-7，《微积分通用辅导讲义》例12.13，12.29。

【答案】π154考题题型例8 函数),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz +=，则点 （0，0）（ ）（A ）不是),(y x f 的连续点 （B ）不是),(y x f 的极值点 （C ）是),(y x f 的极大值点 （D ）是),(y x f 的极小值点 【解析与点评】（方法1）)(2122y x d ydy xdx dz +=+=，C y x z ++=)(2122，有最小值C ，立即有结果D 。

这是水木艾迪一再强调的凑微分方法。

（方法2）由ydy xdx dz +=可得y yz x xz =∂∂=∂∂,1,0,1222222=∂∂==∂∂∂=∂∂∂==∂∂=yz C xy z yx z B xz A在（0，0）处，0,0=∂∂=∂∂yz xz ，012>=-B AC ，故（0，0）为函数),(y x f z =的一个极小值点。

【答案】D2．几点意见（共三点）：（1）． 要找对点 走对路，首先要注意到国家考试特点与重点。

理解概念 力求做到准确、全面。

考研数学以大学本科数学为基础，但又有明显的不同之处，考试的重点是：∙对三个数学学科中基本知识点理解的准确性与全面性；∙基本计算能力（概念的理解有助于计算的准确性与快速有效性）； ∙对基本知识点所涉及的方法与技巧综合运用的能力。