21.2.1 第2课时 配方法

第2课时配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x －5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计握完全平方式的形式.。

人教九上数学同步课时训练 第21章21.2.1第2课时 配方法基础题知识点1 配方1．下列各式是完全平方式的是(C )A ．a 2＋7a ＋7B ．m 2－4m －4C ．x 2－12x ＋116D ．y 2－2y ＋2 2．把一元二次方程a 2－6a ＝7配方，需在方程两边都加上(C )A ．3B ．－3C ．9D ．－93．用配方法将二次三项式a 2－4a ＋5变形，结果是(A )A ．(a －2)2＋1B ．(a ＋2)2－1C ．(a ＋2)2＋1D ．(a －2)2－14．(临沂中考)一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为(B ) A ．(y ＋12)2＝1 B ．(y －12)2＝1 C ．(y ＋12)2＝34 D ．(y －12)2＝345．用适当的数或式子填空：(1)x 2－4x ＋4＝(x －2)2；(2)x 2－8x ＋16＝(x －4)2；(3)x 2＋3x ＋94＝(x ＋32)2； (4)x 2－25x ＋125＝(x －15)2. 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程6．方程x 2＋4x ＝2的正根为(D )A ．2－ 6B ．2＋ 6C ．－2－ 6D ．－2＋ 67．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可转化为x －3＝±7，则q ＝2．8．用配方法解方程：(1)(齐齐哈尔中考)x 2＋6x ＝－7；解：(x ＋3)2＝2，(2)(无锡中考)x 2－2x －5＝0；解：(x －1)2＝6，(3)x 2－23x ＋1＝0. 解：(x －13)2＝－89， ∴原方程无实数根．知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程9．解方程：2x 2－x －2＝0. 解：将常数项移到右边，得2x 2－x ＝2；再把二次项系数化为1，得x 2－12x ＝1； 然后配方，得x 2－12x ＋(14)2＝1＋(14)2； 进一步得(x －14)2＝1716；解得方程的两个根为x 14x 2410．用配方法解方程：(1)2x 2－3x －6＝0；解：(x －34)2＝5716， ∴x 1＝4，x 2＝4. (2)23x 2＋13x －2＝0. 解：(x ＋14)2＝4916， ∴x 1＝32，x 2＝－2. 易错点1 用配方法变形代数式时没有恒等变形11．下面是小明同学对二次三项式2y 2－6y ＋1进行配方的过程：2y 2－6y ＋1＝y 2－3y ＋(－32)2＋12＝(y －32)2＋12.请判断配方过程是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程． 解：不正确．正确的配方过程为：2y 2－6y ＋1＝2[y 2－3y ＋(32)2]－92＋1＝2(y －32)2－72. 易错点2 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加12．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：2x 2－8x －18＝0.解：移项，得2x 2－8x ＝18.①两边同时除以2，得x 2－4x ＝9.②配方，得x 2－4x ＋4＝9，③即(x －2)2＝9.∴x －2＝±3.④∴x 1＝5，x 2＝－1.⑤上述过程中有没有错误？若有，错在步骤③(填序号)，原因是配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加．请写出正确的解答过程．解：移项，得2x 2－8x ＝18.两边同时除以2，得x 2－4x ＝9.配方，得x 2－4x ＋4＝9＋4，即(x －2)2＝13.∴x －2＝±13.∴x 1＝2＋13，x 2＝2－13.中档题13．若方程4x 2－(m －2)x ＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m 等于(B )A ．－2B ．－2或6C ．－2或－6D ．2或－614．【整体思想】方程(x ＋1)2－8(x ＋1)＋16＝0的解为(D )A ．x 1＝x 2＝4B ．x 1＝3，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝－5D ．x 1＝x 2＝315．【注重阅读理解】(益阳中考)规定：ab ＝(a ＋b)b ，如：23＝(2＋3)×3＝15.若2x ＝3，则x ＝1或－3．16．若方程2x 2＋8x －32＝0能配成(x ＋p)2＋q ＝0的形式，则直线y ＝px ＋q 不经过第二象限．17．用配方法解下列方程：(1)2x 2＋5x －3＝0；解：(x ＋54)2＝4916， ∴x 1＝12，x 2＝－3.(2)x 2－6x ＋1＝2x －15；解：(x －4)2＝0，∴x 1＝x 2＝4.(3)x(x ＋4)＝6x ＋12；解：(x －1)2＝13，(4)3(x －1)(x ＋2)＝x －7.解：(x ＋13)2＝－29， ∴原方程无实数根．18．已知实数a ，b 满足a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0，你认为能够求出a 和b 的值吗？如果能，请求出a ，b 的值；如果不能，请说明理由．解：能．理由：∵a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0，∴a 2＋2a ＋1＋4b 2－4b ＋1＝0.∴(a ＋1)2＋(2b －1)2＝0.∵(a ＋1)2≥0，(2b －1)2≥0，∴a ＋1＝0，2b －1＝0.∴a ＝－1，b ＝0.5.利用配方法求最值【方法指导】 用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成a(x ＋h)2＋k 的形式，当a ＜0，x ＝－h 时，该二次三项式有最大值k ；当a ＞0，x ＝－h 时，该二次三项式有最小值k.当x ＝3时，代数式x 2－6x ＋10有最小(填“大”或“小”)值，是1．【变式1】 当x ＝－2时，代数式2x 2＋8x －3有最小值，是－11． 【变式2】 当x ＝－4时，代数式21 x 2－4x ＋7的最大值是15．)。

教学课例21.2.1 配方法（2）学习目标：1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程；2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解．学习重点：理解配方法及用配方法解一元二次方程．学习过程：一：温故而知新找学生说说直接开平方法。

二：创设情境，提出问题问题2：要使矩形花坛的长比宽多6m，并且面积为16m2，花坛的长和宽应各是多少？思考1：你能用方程解这个问题吗？若能，请设出未知数并列出方程（不解答，鼓励用多种方法解）思考2：你能用上一节课所学的直接开平方法解这个方程吗？三：自主探究，学会转化自学指导：1、自学课本第6页的探究；2、怎样解方程x2+6x+4=0 ？看教材框图，理解框图中的每一步；3、讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其他数行吗？4、什么叫配方法？配方的目的是什么？5、配方的关键是什么？四：尝试运用，总结步骤师生共同完成课本第7页的例1第1题，学生板演，学生点评，老师点评。

第2题，老师讲解，总结归纳。

五：初步应用，巩固知识课本第9页的练习题。

第1题，学生口答。

第2题，三个学生板演，学生点评，老师点评。

六：小结和作业1、配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法．2、用配方法解ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤。

3、课本第17页的2，3题。

教学反思本节课引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法及利用配方法解一元二次方程，通过实际问题的解决，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用配方法解题的技能。

在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，有一定的困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：1、在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。

21.2配方法解一元二次方程分层教学导学案51【学习目标】1．会用开平方法解一元二次方程；理解配方的概念并掌握配方的技巧；2．通过自主探索和小组合作,学会运用配方法解一元二次方程；【使用说明和学法指导】1．用15分钟左右的时间认真阅读、探究课本基础知识,理解配方的概念并掌握配方的技巧。

2．认真完成导学案的问题；3．初步评价自己完成学习目标情况,并把自己的疑问写出来,以求课堂上解决。

【课前导学】一、探究新知:知识点1 直接开平方法解一元二次方程:【知识链接1】求一个非负数的平方根:如果92=x ,则x =_______；如果52=x ,则x =_______； 如果02=x ,则x =_______。

试求下列方程的根:(1) 092=-x (2) 2x²-10=0【提示】当满足方程的根不止一个时,为了区分,应把方程的根写为1x 、2x 的形式。

一般情况下,方程根的个数与其次数一样。

【探究1】1、对于方程4)3(2=+x ,你能用上面的方法来求解吗？你是如何解的？2、你能把方程0562=++x x 转化成4)3(2=+x 吗？你是如何转化的？知识点2 配方法解一元二次方程【知识链接2】1、完全平方式——运算形式形如222b ab a +±的二次三项式。

试着写出两个完全平方式:___________________,_____________________。

2、配方——对二次三项式q px x ++2,配上适当的数（不改变式子的值）,使得式子中的一部分是一个完全平方式,如342++x x ,将式子加1,再减1(不改变式子的值),即可得1)44(2-++x x ,从而得到1)2(2-+x 。

试着将下列式子配方:(1) 142+-x x （2）4152++x x【探究2】填上适当的数或式,使下列各等式成立对于方程02=++q px x ,可先将方程变形为______2=+px x ,然后将方程左边进行配方(根据等式基本性质,两边同时加上2)2(p(一次项系数的一半的平方)即可),如0562=++x x ,移项得:______62=+x x ,两边同时加上_____,可得____________,从而得__________________,这样就可以用“开平方”的方法求解方程了。