第1章轴对称与轴对称图形复习总体要求：复习首先要熟悉课本，认真的看几遍课本后，一定要做到，合上课本，能知道本章共几节，每节都有哪些定理和定义。
1.1 我们身边的轴对称图形复习要求：1.知道轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的定义；2.知道上述两定义的联系和区别；3.能判断一个图形是否是轴对称图形本节关键：1.常见图形中的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、长方形、菱形、正多边形和圆，其中线段有两条对称轴，分别是它的垂直平分线（也称中垂线）和它本身所在的直线；角有一条对称轴，是它的角平分线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，正n边形有n条对称轴；圆有无数条对称轴。
2.注意课本7页第4题的图（1）中的两幅图案并不关于直线l成轴对称。
3. 轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的区别：轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；两个图形关于某条直线成轴对称是指两个图形的特殊的形状和位置关系。
联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把两个关于某直线成轴对称的图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
1.2 线段的垂直平分线一.复习要求：1.知道什么是线段的垂直平分线；2.能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.二.本节关键：(一). 线段垂直平分线的性质定理的应用格式:PD ABPA PB =∴垂直平分(二). 线段垂直平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图1,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AB +BC ＝13,AB 边的垂直平分线MN 交AC 于点D ,求△BCD 的周长.分析:第一步:我们首先来看本题的已知条件: AB ＝AC ,AB +BC ＝13, MN 垂直平分AB ,由其中的“MN 垂直平分AB ”,我们还可以立刻得到DA ＝DB ;第二步:然后来看一下本题的未知,即要求解的东西: △BCD 的周长,即BC +CD +BD第三步:找已知和未知的联系:本题未知和已知的联系比较直接, △BCD 的周长＝BC +CD +BD = BC +CD +AD = BC +AC= BC + AB ＝13.解:MN 垂直平分MN ∴DA ＝DB ∴于是△BCD 的周长＝BC +CD +AD = BC +AC= BC + AB ＝13. 反思:本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和整体思想,例如将BD 转化为AD ,然后将CD +AD 转化为AC ,再将AC 转化为 图1B N M DC AAB,进一步将BC+AC转化为BC + AB,最终求得结果.收获: (1)通过本题,我们知道,对线段垂直平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式;(2)再一个,看到已知条件应立刻想到可以推得的结论,这样利于我们找到已知和未知之间的联系,至少可以让已知和未知离的更近一些;(3)本题所体现的转化思想我们也应该认真体会领悟,很多题目就是在这样不断转化当中得到答案的;(4)本题的解答中还运用了整体思想,求解△BCD的周长,我们并没有一条边一条边的去求解,而是将整个三角形的周长当做一个整体一起求,这也应该当做一个经验储存起来,以后碰到类似的问题也可以采用相同的方法.相应练习:①.如图,已知ABC∆的周长为8cm,∆中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,已知BCE且AC=BC+2cm,求AB,BC的长.②.如图,已知ABC∆的∆中,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E,若ABC周长为28,BC=8,求BCE∆的周长.①分析:第一步:已知条件:AB=AC,DE垂直平分AB, BCE∆的周长=BE+CE+BC=8 cm, AC=BC+2cm,由“DE垂直平分AB”可立刻推得AE=BE.第二步:未知结论: AB,BC的长第三步:找已知和未知联系:由AB=AC可知,要求AB,只需求出AC即可;故本题可转化为求AC,BC;因为AC=BC+2cm,所以我们需要找出AC和BC之间另外的关系,这样我们就可以得到关于AC,BC的二元一次方程组,进而求出AC,BC.看来我们需要再看一下本题的另外两个条件, BCE∆的周长=BE+CE+BC=8 cm,在这个等式中有BC,我们可以看一下BE和CE是否和AC有关系,不难发现,BE+CE= AE+CE=AC,即AC+BC=8 cm.解答:B A ,8DE AB AD BDAE BE BE CE BC AE CE BC AC BC ⊥==++=++=+=∴∴联立AC =BC +2可得:825cm,3cmAC BC AC BC AC BC +=⎧⎨=+⎩==解得： 反思: 本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想(所谓方程思想,就是通过设未知数,寻找已知和未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化的一种思想方法),当然构造方程的目的其实还是方便进行转化.收获:我们看到,很多时候解决和几何图形有关的问题时,需要借助于方程思想,本题本身就有一个方程AC =BC +2,但只这一个不够,这使我们想到去构造另一个方程以和它组成方程组.以后在解决类似的问题时,我们也可以考虑用方程思想;当然,本题也反复应用了转化思想.② BCE ∆的周长=18(自己分析解答)先分析,再解答,完了之后进行反思,并争取有所收获.2.用来作图①（1）如图，用尺规分别作出线段AB 与BC 的垂直平分线；（2）在（1）中，如果线段AB 与BC 的垂直平分线 交于点P ，那么P A 与PC 相等吗？为什么？②如图，要在任庄A ，李村B ，菜屯C 三个村庄之间修一座变电站O ，使它到三个村庄的距离相等，你能在图中找出点O 的位置吗？解答:只需连接AC ,AB ,然后作它们的中垂线12,l l ,两条中垂线的交点既是点O 的位置.(三)易混淆知识点1.三角形三边垂直平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能 解答:此题最容易选A 选项,实际上应该选D.反思:对于涉及几何图形的题目,当题目不给出图形时,我们就应该自己画出所有可能的图形,然后针对每种图形进行分析解答,像本题,没有明确指出(画出)三角形到底是什么样的三角形,我们至少应该画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个,并分别画出它们三边的垂直平分线,然后看看到底交点在哪里.这实际上是在运用分类讨论的思想(分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.)解决问题.收获:当以后再碰到没有几何图形的几何题目时,我们也应该考虑分类讨论.2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个顶点的距离相等,即,PA PB PC ==则点P 一定是( )A.三角形三边中线的交点B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题很容易选成D,实际上选C.反思:在学习角平分线性质定理之前,这个题倒不容易做错,学了之后就容易做错,三角形三边垂直平分线的交点是到三角形各顶点的距离相等,而三角形各内角平分线的交点是到三角形各边的距离相等.其实,这个题也容易做对,你只需要将两幅图形画在一起,认真的进行对比,找出它们在形式上的不同(其实差别还是很多的),然后再搞清它们实质上的区别即可(一个是利用了线段的垂直平分线性质定理,一个是利用了角平分线的性质定理).收获:对数学上的一些相似的定理,要放在一起对比学习一下,这样有利于分清它们各自的条件和结论,可以有效避免这个定理的条件推出那个定理的结论,俗话说的“不怕不识货，就怕货比货”,我们在数学上不妨拿来用一下.3.平面上到三点A 、B 、C 距离相等的点（ ）A.只有一个B.有两个C.三个或三个以上D.有一个或者一个都没有 解答:这个题容易选A,实际上应选D.反思:这里还是分类讨论的问题,这里没说三个点是否在同一条直线上,我们就应该分三个点在同一条直线上和不在同一条直线上两种情况解答.收获:永远记住,没有几何图形的几何问题,一般需要分类讨论.实际上1题和3题还告诉我们一个道理,那就是考虑问题要全面一些.(四)线段的垂直平分线的性质定理深入研究思考题:如图,PD AB 垂直平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明.解答:,,,,,ADP BDP ADP BDPPA PB AD BD A B ADP BDP APD BPD S S C C ∆∆∆=∆==∠=∠∠=∠∠=∠= (1) ,90PD ABAD BD ADP BDP ∴=∠=∠=︒垂直平分 (2)PD AB PA PB =∴垂直平分大家都看到了,,,AD BD ADP BDP PA PB =∠=∠=很容易证明,而且,ADP BDP ADP BDP S S C C ∆∆∆=∆=也容易证明,但,A B ∠=∠APD BPD ∠=∠该如何证明呢?(3)分析:要证明,A B ∠=∠只需证明PA PB =即可.证明: PD ABPA PB A B=∠=∠∴∴垂直平分(4)分析:要证明APD BPD ∠=∠,我们可以先证明,A B ∠=∠,ADP BDP ∠=∠然后利用内角和证明.证明: 180,180180,18090PD ABPD ABPA PB A BA ADP APDB BDP BPD APD A ADP BPD B BDPAPD BPDADP BDP ⊥∴=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∴∴∴∠=∠=︒垂直平分 这里,大家想一想,还有没有其他的方法来证明APD BPD ∠=∠?这里我再提供一种思路:证明: ,PD ABPA PBPA PB PD AB APD BPD==⊥∠=∠∴∴垂直平分大家可以想一想,这是运用了什么定理?收获:通过对垂直平分线性质定理的的深入研究,我们不难发现,数学中的定理是彼此有着千丝万缕的联系的,这不正像这个我们生活着的大千世界吗?这也是学习数学的乐趣之一,当你能够通过认真思考,总结将所学的知识融会贯通之时,你就更能游刃有余的解决那些所谓的难题,谁能说这里面没有无穷的乐趣呢? APD BPD ∠=∠的证明还告诉我们,解决同一个问题,可以有不同的方法,希望同学们致力于一题多解,这样可以开阔你们的思路,帮助你们更好的熟悉定理,锻炼数学思维,当你只有一种武器对付敌人时,你是受限制的,当你有两种或更多的武器对付敌人时,你已经进入了自由的毫无拘束的世界!1.2 角的平分线一.复习要求：1.知道角平分线性质定理的内容；2.能熟练运用角平分线的性质定理:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.二.本节关键：(一). 角平分线的性质定理的应用格式:,OP AOBPA OA PB OB PA PB∠⊥⊥=∴平分注意: (1)在角平分线性质定理的应用格式中,“,PA OA PB OB ⊥⊥”是必不可少的,因为“,PA OA PB OB ⊥⊥”可以表明,PA PB 是垂线段,而点P 到直线,OA OB 的距离正好是指P 到直线,OA OB 的垂线段的长度;(2)另一方面,只是OP AOB ∠平分并不足以说明PA PB =,如下图:OP AOB ∠平分,但PA PB ≠(3)当然,只有,PA OA PB OB ⊥⊥也不足以证明PA PB =,如下图:,PA OA PB OB ⊥⊥,但PA PB ≠(4)上一节课学的线段的垂直平分线的性质定理也有同样的问题:正确的应用格式如下:PD ABPA PB =∴垂直平分①只是PD AB ⊥不足以证明PA PB =,如下图:PD AB ⊥,但PA PB ≠②只是PD 平分AB 也不足以证明PA PB =,如下图:PD 平分AB ,但PA PB ≠(二). 角平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图,△ABC 中,BD 平分,90,6,15ABC A AD BC ∠∠=︒==,求△BCD 的面积.分析:我们首先来看本题的已知条件: BD 平分,90,6,15ABC A AD BC ∠∠=︒==,由BD 平分ABC ∠,我们立刻可以想到点D 到ABC ∠两边的距离相等,这样就可以得到BC 边上的高等于AD ,即等于6,又BC 已知,这样就可以求出△BCD 的面积了. 解:如下图,作DE BC ⊥于点E,6111564522BDC BD ABCDA BA DE BCDE DA S BC DE ∆∠⊥⊥===⋅⋅=⨯⨯=∴∴平分 反思:本题的解决所用到的知识点主要是角平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想.收获: (1)通过本题,我们知道,角平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式;(2)本题的辅助线需要用虚线作出来,而且在证明的第一步就需要将作了什么辅助线说出来.相应练习:①.如图,在△ABC 中,AD 平分,5,3,BAC AB AC ∠==则_____.ABD ACD S S ∆∆=分析:三角形的面积等于底乘以高的一半,故要求面积比,需先确定底边和高,因为,AB AC 已知,不妨将它们确定为底边,这样就需要将它们上面的高作出来,如下图,,DE DF 即分别为,AB AC 上的高,从而有:11555221133322ABDACD AB DE DE S DE S DF AC DF DF ∆∆⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯.解答:作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点,11555221133322ABD ACD AD BACDE AB DF ACDE DF AB DE DE S DE S DF AC DF DF ∆∆∠⊥⊥=⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯∴∴平分 反思:本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,以后碰到类似的问题,我们也应该想到去作高,然后结合角平分线性质定理和三角形面积公式来解决.另外“作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点”还是要列在解答过程中.追问: ____BD CD= 请同学们思考上述问题,我只是把图画在下面,请同学们根据图的提示自己解答.②.如图,已知BD 平分,,36,18,12,ABC ABC DE AB S AB BC ∆∠⊥===则___.DE =分析:先看已知,由BD 平分ABC ∠,我们不难想到这个题很可能要过点D 向BC 作垂线以得到一条垂线段(如下图,不妨设为DF ),并且本题很可能会用到DE DF =;由36ABC S ∆=可知整个三角形的面积为36,结合DE DF =,我们不妨将ABC S ∆分解为()()111111181236222222ABD CBD S S AB DE BC DF AB DE BC DE DE AB BC DE ∆∆+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+=从而求得125DE =解答:作DF BC F ⊥于点()(),111122221118123622125ABC ABD CBD BD ABCDE AB DF BCDE DFS S S AB DE BC DF AB DE BC DE DE AB BC DE DE ∆∆∆∠⊥⊥==+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+==∴∴∴平分 反思:解答本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将DF 转化为DE ,将ABC S ∆转化为ABD CBD S S ∆∆+等都是转化,DE 的求出则是借助于建立了方程.收获:自己想想通过解这个题,你都是得到了那些经验,好好总结一下,每做完一个题,都反思一下本题用到了哪些知识点,用到了什么思想方法,以及你是怎么想到用这些知识点的,你又怎么想到了用这样的思想方法,久而久之,你自然就会成为解题高手,而不是那个腋下只有一个玉米的狗熊.③.如图,在△ABC 中,AD 平分,//,//,BAC PE AB PF AC ∠请问点D 到,PE PF 的距离相等吗?解答:如下图,作,DM PE M DN PF N ⊥⊥于点与点AD 平分BAC ∠12//13//243434,PE ABPF ACDM PE DN PF DMDN ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠⊥⊥=∴∴∴∴∴注意:在本题的证明中,必须作出,DM DN ,因为没有它们,根本谈不上点D 到,PE PF 的距离;另外34∠=∠的证明也必须严格按照上面的过程证明,绝对不可以像下面这样证明:,//,//AD BAC PE AB PF ACPD EPF ∠∠∴平分平分首先没有这样的定理,其次,虽然道理上讲是对的,但跨度太大,省略了太大步骤,就好比一个人是没办法从一楼直接上三楼一样.④.如图,四边形ABCD 中,90,//,,A AD BC DP ADC CP BCD ∠=︒∠∠平分平分,请问点P 是边AB 的中点吗?为什么?解答:如下图,作PE DC E ⊥于点,//1801801809090,DP ADCPA DA PE DCPA PEAD BCB A B A CP BCDPB DB PE CDPB PEPA PB∠⊥⊥=∠+∠=︒∠=︒-∠=︒-︒=︒∠⊥⊥==∴∴∴∴∴平分平分注意:在本题的证明中,90∠=︒的证明,只能用“两直线平行,同旁内角互补”来证B明,不可错用“两直线平行,内错角相等”或“两直线平行,同位角相等”来证明,因为,A B∠∠根本不是内错角,也不是同位角.2.用来作图①.如图,某校学生开运动会,要选一起点C,两名运动员先从C点出发分别到E,F 两处取物品,然后负重回到C,再分别将物品送到OA,OB的路上,你能找到一个公平的点C吗？两运动员又应沿怎样的路线走？与的交点解答:只需连接EF,并作它的垂直平分线m,然后作AOB∠的平分线,n m n即为C.②如图,直线n,,表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条k,m公路的距离相等,则可供选择的地址有（）处.A.一处B.两处C.三处D.四处解答:如下图,有四处点,,,A B C D处都可以做为中转站.③如图所示, 在△ABC 中,20,30,40,AB BC CA O ===为其三条角平分线的交点,则________.AOB AOCS S ∆∆=分析:如下图,由点O 为其三条角平分线的交点可知,其道三角形各边的距离相等,从而其面积比可以转化为边长比.即:112122AOB AOC AB OD S AB S AC AC OF ∆∆⋅⋅===⋅⋅(三)易混淆知识点1.三角形三个内角平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能解答:此题选A 选项,不要误选D.反思:这个题目容易同“三角形三边垂直平分线交点”相混淆,注意辨别.2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个边的距离相等,即,PA PB PC ==则点P 一定是( )A.三角形三边中线的交点B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题选D,不要误选为C.(四)角平分线性质定理的深入研究思考题:如图,,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明.解答:,90,,,AOP BOP OAP OBP PA PB OPA OPB OA OB ∠=∠∠=∠=︒=∠=∠=(1),90,AOP BOP OAP OBP PA PB ∠=∠∠=∠=︒=都非常容易证明;(2)OPA OPB ∠=∠的证明可以用三角形的内角和定理:180,180180,180,90AOP OAP OPA BOP OBP OPB OPA AOP OAP OPB BOP OBPAOP BOP OAP OBP OPA OPB∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∠=∠=︒∠=∠∴∴(3)如何证明OA OB =呢?可以运用角平分线的性质定理:如下三幅图,我们对原题逐步进行改造(按图1,图2,图3)之后就可以证明了:12,OA PA OB PB OA OB∠=∠⊥⊥=∴追问: 如图,原题的条件为,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,现在再连接AB ,则:(1)PAB PBA ∠=∠吗?为什么?(2)OAB OBA ∠=∠吗?为什么?(3)OP 垂直平分AB 吗?为什么?(1)(2)问自己证明,(3)问的证明如下:(),,OP AOBPA OA PB OBPA PBPA PB OP AB AC BC OP AB∠⊥⊥==⊥=∴∴∴平分等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合垂直平分追问之对应练习:①.如图,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A ,B ,下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP解答:选D,好好想想为什么.②.如图,在△ABC 中,90,,,,A AB AC BD ABC DE C ∠=︒=∠⊥平分证明△DEC 的周长等于BC 的长.解答:略,靠自己的力量解决.链接中考:1.如图,在四边形ABCD 中,AB BC =,BF 是ABC ∠的平分线,AF DC ∥,连接,AC CF .求证:CA 是DCF ∠的平分线.分析:由AB BC =,BF 是ABC ∠的平分线可得BF 所在的直线垂直平分AC ,从而有FA FC =,从而有FAC FCA ∠=∠,又由AF DC ∥可得FAC ACD ∠=∠,从而有ACD FCA ∠=∠,即CA 是DCF ∠的平分线.2.如图,在△ABC 中,∠A ＝α.∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,得∠A 2; ……;∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009,得∠A 2009 .则∠A 2009＝ .解答: 20092α希望同学们能认真系统的复习角平分线性质定理,我相信你们肯定能很好的掌握好角平分线性质定理.BA C DA 1A 2A D FB C1.4 等腰三角形一.复习要求：1.知道等腰三角形的对称轴;2.能熟练运用“等边对等角”解决问题;3.能熟练运用“三线合一”解决问题;4.充分意识到等腰三角形的“求角的度数”和“求边长周长”都容易出现两种情况(这实际上是在运用分类讨论思想解决问题),同时必须得意识到“求边长周长”时的两种情况中有时会有一种情况构不成三角形;5.意识到“面积法”是解决三角形问题的一种非常重要的方法;6.充分意识到等腰三角形有锐角等腰三角形、等腰直角三角形和钝角等腰三角形三种,不要一自己画图时,就只画一个锐角等腰三角形.7.会用等边三角形的每个内角都等于60︒解决问题.8.会利用几种基本作图作等腰三角形.二.本节关键：(一). 知道等腰三角形是轴对称图形:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是底边的垂直平分线.它的对称轴还可以描述为(1)顶角平分线所在的直线;(2)底边上的高所在的直线;(3)底边上的中线所在的直线.但以下的一些说法是错误的:(1)顶角的平分线(×) 因为顶角的平分线是一条射线,而对称轴必须是直线(2)高所在的直线(×) 因为这里的高有可能不是底边上的高(二).知道“等边对等角”、“三线合一”和“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:1.等边对等角的应用格式:AB AC B C=∠=∠∴ 2.三线合一的应用格式:(建议学习这个定理的应用格式之前,先看一下“动态演示三线合一”)(1)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC AD BAC =∠平分那么AD BC ⊥吗?BD CD =吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BAC AD BC BD CD=∠⊥=∴平分 注意1:当然,有时候,我们只需要得到AD BC ⊥这个结论,这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACAD BC =∠⊥∴平分也有时候,我们只需要得到BD CD =(或者说“AD 是BC 边上的中线”、“点D 是BC 边的中点”)，这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACBD CD =∠=∴平分注意2:“,AD BC BD CD ⊥=”是我们通过“,AB AC AD BAC =∠平分”推出的结论,这个结论实际上表明了AD 垂直于BC 且平分了BC ,或者换句话说AD 是垂直平分BC 的.当有的题目要求我们证明某条线垂直平分另一条线时,我们就经常采用证明“某条线”是等腰三角形的顶角的平分线,而“另一条线”则恰好是等腰三角形的底边的方法.(2)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC BD CD ==那么AD BC ⊥吗?,AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC BD CDAD BC AD BAC ==⊥∠∴平分(3)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC AD BC =⊥那么BD CD =吗?AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BCBD CD AD BAC=⊥=∠∴平分注意: [1]在(1)(2)(3)三种情况中,条件“,AB AC AD BAC =∠平分”、“ ,AB AC BD CD ==”或“,AB AC AD BC =⊥”中都有“AB AC =”,这是必不可少的,因为一般的三角形是不具备“三线合一”的,只有等腰三角形具备“三线合一”,所以在条件中必须通过“AB AC =”表明等腰三角形的身份;[2]当然了,在条件“,AB AC AD BAC =∠平分”中,“AD BAC ∠平分”也是必不可少的; 在条件“ ,AB AC BD CD ==”中,“BD CD =”同样必不可少;在条件“,AB AC AD BC =⊥”中,“AD BC ⊥”同样必不可少.[3] “AB AC =”除了表明三角形是等腰三角形之外,还恰到好处的表明了,AB AC 就是等腰三角形的腰,互相重合的就应该是A ∠的平分线、BC 边上的高和BC 边上的高.因为等腰三角形底角的平分线和腰上的高、腰上的中线并不重合,如下图:所以在用“三线合一”证明问题时,必须在条件中以“AB AC =”这样的方式表明谁是腰,而不只是笼统的说“三角形是一个等腰三角形”,如下面的证明就是错误的证明,至少是不准确的证明:AB AC =,BD CD AD BC AD BACABC =⊥∠∴∴平分三角形是等腰三角形3.“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:60AB BC CA A B C ==∠=∠=∠=︒∴ 注意:有时我们可能只需要A ∠60=︒,这时我们可以这样写:60AB BC CA A ==∠=︒∴ (三). 等边对等角的应用:例题1 如图, △ABC 中,,,AB AC BC BD AD ===求△ABC 中各个角的度数.分析:根据题目中的已知条件“,AB AC BC BD AD ===”,我们可以得到很多对相等的角,从而可以比较的容易得到图形中各角之间的关系,我们不妨设其中的一个角为x ,将与其有关系的角用含x 的代数式表示出来,最后看是否能利用三角形的内角和定理得到关于x 的一个方程,从而将x 求出来,进而求出△ABC 中各个角的度数.解答:AB ACABC CBD BC BDC CBD ADABD A=∠=∠=∠=∠=∠=∠∴∴∴ 设A x ∠=,则ABD A x ∠=∠=,BDC ∠是△ABD 的外角 2BDC A ABD x x x ∠=∠+∠=+=∴22180221803636,272C BDC xABC C xA C ABC x x x x A ABC C x ∠=∠=∠=∠=∠+∠+∠=︒++=︒=︒∠=︒∠=∠==︒∴∴∴∴∴ 反思:本题的解决所用到的知识点主要是“等边对等角”、“三角形的内角和定理”、和“等边对等角”,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将等边转化为等角,将A ABD ∠+∠转化为BDC ∠,再将BDC ∠转化为C ∠,再将C ∠转化为ABC ∠,方程思想就不必说了.收获:在求角的题目中,“三角形的内角和定理”、“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”、“等边对等角”是经常会用到的定理,另外像“两直线平行,同位角相等内错角相等以及同旁内角互补”、“同角的补角相等,同角的余角相等”、“垂直会推出直角”、“邻补角”、“n 边形的内角和为()2180n -⋅︒,外角和为360︒”等定理或定义也经常用到,要熟悉这些定理或定义的内容,这样求角时才能做到游刃有余.当然了,求角的度数绕不开转化,甚至是不停的转化,有时可能还需要作平行线或连接两点的线段等辅助线.方程思想有时也是必不可少的.希望同学们在解题的同时多反思,不断积累经验.相应练习:1.①如图, △ABC 中,,,,___.AB AC BC BD AD DE EB A ====∠=则解答:45︒,自己解决.②如图,在△ABC 中,,,75,___.AB AC BD ABC BDC A =∠∠=︒∠=平分则。
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