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河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形

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常用的二次曲面方程及其图形

常用的二次曲面方程及其图形

这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。

附录 二次曲面

附录 二次曲面

2
2
2
河海大学理学院《高等数学》
x y z 2 2 1 2 a b c (2) 用坐标面 yoz( x=0 ) 与曲面相截
2 y2 2 z2 1 b c x 0
2
2Leabharlann 2截得中心在原点 的双曲线. 实轴与 y 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
x0
河海大学理学院《高等数学》
二 次 曲 面
河海大学理学院《高等数学》
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相 截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以 综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
三、双曲面
x y z 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c (1) 用坐标面 xoy(z=0) 与曲面 相截
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
截得中心在原 点 O(0,0,0) 的 椭圆.
z0
河海大学理学院《高等数学》
x y z 2 2 1 2 a b c 与平面 z=z1 的交线为 2 x2 y2 z1 2 2 1 2 a b c z z 1 为椭圆. 当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
河海大学理学院《高等数学》
（2）用坐标面xoz( y=0)与曲面相截 x y z x 2 2 pz 2 p 2q 截得 为抛物线 z y 0 与平面 y=y1 的交线为
2 2 y1 为抛物线 . z x 2 p 2 q 它的轴平行于z轴 x y y 2 y1 1 顶点 0, y1 ,

8.9 常见的二次曲面

8.9 常见的二次曲面
y2 b y2
2 2

z2 c
2

x2 a
2
1
x a
用 x h ( h a ) 截椭球面得截痕曲线
z2
2
b c xh

h2 a
2
1
曲面在 xy , xz 平面上的截痕曲线为
x2 a
2

y2 b
2
1
x2 a
2

z2 c
2
1
z0
y0
是一对正交的双曲线 , 有公共的实轴 x 轴 , 实轴长为 a , 顶点 ( a , 0 , 0)
图形: 不妨设 p , q > 0 用 x h ( h 0) 截曲面得截痕曲线
h2 y 2 2q( z ) 2p xh
一族顶点在 xz 平面上的抛物线
用 y 0 截曲面得截痕曲线
x 2 2 pz
z
y0
双曲抛物面也常称为马鞍面 马鞍面的另一种形式 :
x
o
z xy
y
例 画出下列曲面所界立体的图形
曲面在 yz , xz 平面上的截痕曲线为
y 2qz
2
x 2 2 pz
x0
y0
一对正交的抛物线 , 都以原点为顶点
y2
z
o
x
y
5º 双曲抛物面 ( 马鞍面 )
x2 y2 2z p q ( pq 0)
特点: (1) 无界曲面
(2) 关于xz , yz 平面 , z 轴对称 , 无对称中心
y b
2 2

z c
2 2
1
x a
2 2

z c
2 2z1x0y0xo

常见的二次曲面

常见的二次曲面

(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.

常见的二次曲面

常见的二次曲面

用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c

河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形

河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
椭球面
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。

二次曲面【高等数学PPT课件】


（一）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：

x
2

a
2

y2 b2

1,
z 0
z

x2 a2
y
0
z2 c2

1,
z

y2 b2

z2 c2

1.
x 0
z

o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z

高等数学-几种常见的二次曲面


母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:

二次曲面的方程与图形ppt课件


x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
.
7
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x O
y
平面 zz1上的截椭痕 圆.为
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
1yb122
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
(p,q同号) x2 y 2 z 2 p 2q
双曲抛物面
x2 y2 z 2p 2q
• 双曲面: 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
.
12
平面 yy1上的截双痕 曲线为 平面 xx1上的截双痕 曲线为 x
Oy
平面 zz1(z1c)上的截 椭圆痕为
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
.
10
z
4. 椭圆锥面
z
ax22by22z2 (a,b为正) 数
在平z面 t上的截痕 椭圆为
x2 (at)2
.
3
x2 a2
by22
cz22
1
(a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 zz1(z1c)的交线为椭圆： ac22(c2x2z12)bc22(c2y 2z12)1
z
z z1
同样 yy1(y1b)及 xx1（ x1a） 的截痕

高数课件30空间几何5二次曲面


聚焦和散射： 二次曲面可以 用于聚焦和散
射光线
成像和投影： 二次曲面可以 用于成像和投
影
光学器件设计： 二次曲面可以 用于设计光学 器件，如透镜、
反射镜等
二次曲面在其他领域的应用
建筑设计：二次曲面在建筑设计中的应用广泛，如悉尼歌剧院、北京鸟 巢等 工业设计：二次曲面在工业设计中的应用，如汽车车身设计、飞机机翼 设计等
二次曲面在微分几何对象的
微分性质
二次曲面：在 空间中具有二 次方程的曲面
应用：二次曲 面在微分几何 中常用于描述 曲面的性质， 如曲率、挠率
等
例子：二次曲 面在微分几何 中的应用包括 球面、椭球面、
抛物面等。
二次曲面在几何光学中的应用
反射和折射： 二次曲面可以 模拟光线的反 射和折射现象
二次曲面的投影作图法
投影法：将二次曲面投影到平面上，得到 投影曲线
投影曲线：二次曲面的投影曲线是二次曲 线
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的作图方法：根据二次曲线的性 质，选择合适的作图方法
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
机遇：二次曲面在数学建模中 的广泛应用
机遇：二次曲面在数学建模中 的创新和优化
二次曲面与其他数学知识的 联系
第五章
二次曲面与线性代数的联系
二次曲面的方程可以表示为线性代数中的二次型 二次曲面的切平面可以用线性代数中的向量和矩阵来表示 二次曲面的曲率可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算 二次曲面的投影可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算
二次曲面的几何变换作图法
平移变换：将二次曲面沿某个方向移动一定距离 旋转变换：将二次曲面绕某个点旋转一定角度 缩放变换：改变二次曲面的大小和形状 反射变换：将二次曲面沿某个轴线进行反射 复合变换：将上述几种变换组合使用，实现更复杂的作图效果
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z0
2020/4/4
67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
2020/4/4
68
图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
2020/4/4
40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
2020/4/4
35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
2020/4/4
36
图7：
2020/4/4
37
图7：
2020/4/4
38
图7：
2020/4/4
39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
2020/4/4
9
椭圆抛物面的图形
2020/4/4
10
双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
2020/4/4
11
双曲抛物面（马鞍面） 图形
2020/4/4
12
圆锥面方程
方程： z2 a2 x2 y2
其中：
a
a 为正常数。
53
图22：由 2z x2 y2 , z 1, z 2 所围成的图形如下：
2020/4/4
54
图23：球面 x2 y2 z2 1 的图形如下：
x 0, y 0 z 0, x y z 1
2020/4/4
55
图24：由 x 0 , y 0, z 0,
x 1 围成的图形如下： y 1
z 1
2020/4/4
56
图25：由平面 x 0, y 0 围成的图形如下： z 0, x y z 1
2020/4/4
57
图26： y x 由抛物柱面 y x
及平面
y 0,
z0
x z
围成的图形如下：
2
y 0, z 0 x z 2
2020/4/4
58
图27：由曲面 z xy 与平面 y x, x 1, z 0
z2 2x
2020/4/4
69
图38：锥面 z2 x2 y2 被圆柱面 x2 y2 2x
所截部分的曲面图形如下：
x2 y2 2x
2020/4/4
70
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
2020/4/4
71
3 3
c
处的切平面。
3 a, 3
3 b, 3
3 3
c
2020/4/4
48
图17： 函数
z
4
x
y
x2
y2
的极值图形如下：
z 4x y x2 y2
2020/4/4
49
图18：求函数
z
x 2
xy
y 2
在区域
x y 1
上的最大值、最小值的图形。
x y 1
2020/4/4
50
图19：在直线
围成的图形如下：
2020/4/4
59
图28：由平面 z 0, z y , y 1 及抛物柱面
y x2 围成的区域如下：
x2 y2 z2 1, y 0, y 2
2020/4/4
60
图29：由 x2 y2 z2 1, y 0, y 2
围成的图形如下：
2020/4/4
61
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y 2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
2020/4/4
72
图41：曲面由三部分组成：（1）、 z 1 x2 y2 , x2 y2 1
（2）、x2 y2 1, 1 z 0 （3）、z 1, x2 y2 1
z 1, x2 y2 1
82
图51：柱面 y sin x 的图形如下：
y sin x
2020/4/4
83
图52： 曲面 z x2 2 y 2 及 z 2 x2 所
围成区域图形如下：
2020/4/4
84
图53： 曲面 x y z 2 ， y x 2， y 4x 2 及 y 1所围成的区域图形如下：
2020/4/4
13
圆锥面图形
2020/4/4
14
圆柱面方程（1）
方程： 其中：
x2 y2 a2 a 为正常数。
2020/4/4
15
圆柱面图形（1）
2020/4/4
16
圆柱面方程（2）
方程： y 2 z 2 a 2
a 其中：
为正常数。
2020/4/4
17
圆柱面图形（2）
2020/4/4
2020/4/4
79
图48：曲面 z xy2 D: x y 1
2020/4/4
80
图49： 锥面 z 1 x2 y2 与半球面
z 1 x2 y2 所围立体表面的内侧图形如下：
z 1 x2 y2
2020/4/4
81
图50：曲线
x z 1
x
2
y2

的图形如下：
2020/4/4
抛物柱面方程
方程： 其中：
y 2 px2
p 为正常数。
2020/4/4
23
抛物柱面图形
2020/4/4
24
常见空间图形
以下收集了《高等数学》课程中常用的空间图形， 这些图形准确，对学好《高等数学》很有帮助。
2020/4/4
25
图1（1）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形如下：
x 0, y 0 和 z 0 在第一象限内
围成的立体图形如下：
2020/4/4
88
图57：由曲面 z xy 与平面 z 0, x 1, y 0 和 y 9x 所围成的区域图形如下：
2020/4/4
89
图58：曲面 z 0, z y,，y 1 与柱 面 y x 2 所围成的区域图 形如下：
2020/4/4
85
图54：
由曲 z 1 x2 y 2 及平面
z xx 0, x 0 所围成的区域图形如下：
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图55：由曲面 z x2 y2, y x2 及平面
y 1, z 0 所围成的区域图形如下：
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图56：曲面 x y2 z 2 1 及坐标面
方程： 其中：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
a, b, c 为正常数。
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单叶双曲面图形
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双叶双曲面方程
方程：
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
其中： a, b, c 为正常数。
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双叶双曲面的图形
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8
椭圆抛物面方程
方程：
x2 y2 2z pq
z
1 ey
cos x ye y
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 e y cos x yey
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图15：抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
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图16：椭球面
x2
y2
z2
a2 b2 c2
1 在
点
3 a, 3
3 b, 3
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图59： 由平面 x 0, x 1, y x, y 1 以及 z x, z y 所围成的图形如下：
x 0, x 1, y x , y 1, z x, z y
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图42：平面曲线 y
x
0 x 1
z 0
x 绕
轴旋转一周所得曲面图形如下：
x
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图43：曲面 4 y x2 z 2 的图形如下：
z
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图44：平面曲线 z ey 0 y 2 绕 z 轴
旋转一周所得旋转面图形如下：
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图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
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图2：
（2）、曲线
图形如下：
xyz 1
y
2
x
在点 1,1,1
处的切线
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图3：
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
常用二次曲面图形
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目录
1、椭球面 2、双曲面 3、抛物面 4、圆锥面 5、常见柱面 6、常见空间图形
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