定积分与原函数的关系.ppt
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定积分概念与性质
x → 积分变量 f ( x )dx → 被积表达式 ,
a → 积分上限 ,
[a,b] → 积分区间
b → 积分下限
注
(1)定积分是一个数值 (1)定积分是一个数值 (2)定积分的值与区间的分法无关,与 (2)定积分的值与区间的分法无关, ξ i 的取法无关 定积分的值与区间的分法无关 (3)定积分的值只与区间长度有关， 与被积函数有关。 (3)定积分的值只与区间长度有关， 定积分的值只与区间长度有关 与被积函数有关。
3 求和
0
∑
i =1
n
i 2 1 ∆ Ai = ( ) n n i =1
∑
n
=
1 n3
(1 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 )
1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) = 3 6 nn
4 0 取极限
λ→0
lim
∑
f (ξ i ) ∆ x i
i =1
即
∫
1
0
1 n( n + 1)(2n + 1) 1 = lim 3 = n →∞ n 6 3 1 2 x dx = 3
定理表明: 定理表明: (1)连续函数一定存在原函数 (1)连续函数一定存在原函数 牛顿---------莱布尼兹公式 二.牛顿-----莱布尼兹公式 (2) 把定积分与原函数之间 建立起联系 定理 3 .
如果函数 F ( x )是连续函数 f ( x )
b
在区间[a , b]上的一个原函数 , 则 f ( x )dx = F (b ) − F (a )
2 0 若 V = 变量， 则可通过下面的步骤 变量，
（1）分割
第一讲 定积分的概念和性质
f ( x) g( x)dx
b a
lim f (x i ) g(x i )xi
n
0
i 1 n
lim f (x i )xi lim g(x i )xi
0
b
n
i 1
0
i 1
f ( x )dx g( x ) dx.
一点x i （x i xi ），作乘积 f (x i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f (x i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b ]
i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上
x b 所围成.
A?
o
a
b x
求曲边梯形的面积 A 的思路如下：
用矩形面积近似取代曲边梯形面积：
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形的面积
曲边梯形：在直角坐标系下， 由闭区间[a, b] 上的连续曲线 y = f (x) ≥ 0， 直线 x = a，x = b 与 x 轴围成的平面图形 AabB.
当 f (x) > 0 时， 定积分在几何上表示曲边 y = f (x) 在区间 [a, b] 上方的曲边梯形面积， f ( x )dx A.
a b
如果 f (x) < 0 ，曲边梯形在 x 轴下方，
此时该定积分为负值，
定积分
∫
f (ax + b )dx ， ∫ x n−1 f (ax n + b )dx ，
∫
1 1 f ( x )dx ， ∫ f (ln x )dx ， ∫ e x f ( e x )dx ， x x
1 1 f (arctan x ) dx ， ∫ 1 + x2 ∫ 1 − x 2 f (arcsin x )dx ，
∫ [ f ( x) ± ⋅ ⋅ ⋅ ± f
1
k
（4）
基本积分公式：
4．积分方法 （1） 直接积分法： 将所求积分整理、变形、转化， 利用不定积分的基本性质和 基本积分公式求出不定积分
1
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（2） 第一换元积分法（凑微分法） ： 主要解决一个复合函数的积分，两个乘积函数 （其中一个为简单函数、一个为复合函数）的积分。 常见的几种凑微分形式如下：
∫
arctan x x+ x
3
dx
（原式= 2∫ arctan xd (arctan x ) ）
∫
ln( x + 1 + x 2 ) dx 1 + x2
（原式
8
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∫
dx e2 x − 1
=∫
= −∫
= − arcsin e − x + c
x2 （4）求 ∫ dx 1 + x4
解 x2 ∫ 1 + x 4 dx : =
1 x2 + 1 1 x2 − 1 1 1 + x12 1 1 − x12 dx + ∫ dx = ∫ 1 dx + ∫ 1 dx 2 ∫ 1 + x4 2 1 + x4 2 x2 + x 2 2 x2 + x 2
第一讲 定积分的概念和性质
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
17
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
xn= b x
11
(3) 求和
n
把 n 个小矩形面积加起来， 得 和 式 f (i ) xi ,
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
i 1
(4) 取极限
n
n
A Ai f (i ) xi .
i 1
i 1
当分点个数 n 无限增加，且小区间长度的最大值
(即 = max{xi})趋近于 0 时， 上述和式的极限就是
y B
y = f (x)
A x=a
x=b
Oa
b
x
9
可按下面四步计算曲边梯形面积.
(1) 分割
在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点：
a = x0 < x1 < x2 < ··· < xi-1 < xi < ··· < xn-1 < xn =
把区间[a, b]分成 n 个小区间：
[x0, x1]，[x1, x2]，··· ，[xi-1, xi ]，··· ，[xn-1, xn].
4
一、引进定积分概念的两个例子(问题的提出) 实例1 （求曲边梯形的面积）
何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可理解成 数个曲边梯形的集合。
图C 5
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
17
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
xn= b x
11
(3) 求和
n
把 n 个小矩形面积加起来， 得 和 式 f (i ) xi ,
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
i 1
(4) 取极限
n
n
A Ai f (i ) xi .
i 1
i 1
当分点个数 n 无限增加，且小区间长度的最大值
(即 = max{xi})趋近于 0 时， 上述和式的极限就是
y B
y = f (x)
A x=a
x=b
Oa
b
x
9
可按下面四步计算曲边梯形面积.
(1) 分割
在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点：
a = x0 < x1 < x2 < ··· < xi-1 < xi < ··· < xn-1 < xn =
把区间[a, b]分成 n 个小区间：
[x0, x1]，[x1, x2]，··· ，[xi-1, xi ]，··· ，[xn-1, xn].
4
一、引进定积分概念的两个例子(问题的提出) 实例1 （求曲边梯形的面积）
何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可理解成 数个曲边梯形的集合。
图C 5
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
一元函数积分学及其应用(课件)
注意：利用MATLAB的int函数求不定积分时，只是求出被积函数的一个原函数，不 会自动补充常数项 C 。
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
§3.2 柯西积分定理与原函数
外面的闭曲线C 按逆时针进行,
内部的闭曲线C1 按顺时针进行,
(即沿 的正向进行时, 的 内部总在 的左手边),
那末
A
D1
C
F
A
F E
E
C1
B
B
f ( z )dz 0.
D
解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理
19
2. 复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
2
i
1 1 1 2 2 2 sin( ) sin . sin z 2 2 2 0
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
15
例5 解
求 z cos zdz 的值.
0
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
依题意知,
在 内作两个互不包含也互 不相交的正向圆周 C1 和 C 2 ,
o
1
x
22
C1 只包含奇点z 0,
C2 只包含奇点 z 1,
根据复合闭路定理,
2z 1 dz 2 z z
2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 z z z z C1 C2
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
此方法使用了微积分中“分部积分法”
16
例6 解
求
1 i
1
ze dz 的值.
z
利用分部积分法可得
ze z 的一个原函数为( z 1)e z ,
定积分概念与性质
0
n
n
（4）取极限
S lim V ( t i) i
i 1
n
( mxa { t i})
1 i n
分割，取近似，求和，取极限
二.定积分的定义 1.定义 在[a, b]中任意插入若干个 分点
设函数f(x)在[a , b]上有界，
a x x x x x b 0 1 2 n 1 n
对于c在区间 则 m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a ) [a,b]之内或之外, a 结论同样成立
b
7设 M .m 分别是 f (x )在 [a ,b ] 上的最大值与最
0
8 定积分中值定理
0
设函 f( 数 x ) 在闭区 [ a ,b 间 ] 上连续，
则在 [a, b] 上 至少存在一个点 ，
在 [ a , b ] 上 , f ( x ) 0 , f ( x ) 单调
2 2 2 故 最大值 M f () , 最小值 m f () 4 2
1 2sin x 2 即 dx 2 x 2
4
定积分与原函数的关系
一.变上限的定积分及其导数
设函数 f(x ) 在区间 [ a ,b ] 上连续，
在时间间隔 [T 内任意插入若干个分 1,T 2]
[ t , t ], [ t , t ], [ t , t ] 0 1 1 2 n 1 n
每个小时间段的长度分 别为 ti ti ti 1
（2）取近似
在每个小时间段上任取 i [ti ti1]
以 时的 V ( 速 来 度 近[ 似 t , t 代 ] 上 替 i i) i 1 i
高等数学- 定积分的计算
§5.2 定积分的计算
一、微积分基本定理 二、牛顿—莱布尼茨公式 三、定积分换元法 四、定积分的分部积分法
一、变上限的定积分
设函数 f ( x)在区间 [a,b上] 连续，并且设 x 为 [a, b]上的一点， 考察定积分
x
a f (t)dt
如果上限x 在区间[a, b] 上任意变动，则 对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应 值，所以它在[a, b]上定义了一个函数，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
(2)计算 e 1 (1 ln x) dx. 1x
例5 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
例 6 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
sin x cos2 x cos x sin2 x
1 cos x
1 sin x
cos
x
sin
x
1
cos x cos
一、微积分基本定理 二、牛顿—莱布尼茨公式 三、定积分换元法 四、定积分的分部积分法
一、变上限的定积分
设函数 f ( x)在区间 [a,b上] 连续，并且设 x 为 [a, b]上的一点， 考察定积分
x
a f (t)dt
如果上限x 在区间[a, b] 上任意变动，则 对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应 值，所以它在[a, b]上定义了一个函数，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
(2)计算 e 1 (1 ln x) dx. 1x
例5 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
例 6 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
sin x cos2 x cos x sin2 x
1 cos x
1 sin x
cos
x
sin
x
1
cos x cos
高等数学(第二版)上册课件：定积分的计算
0
2
例 5.4.4 计算下列积分.
(1)
2
sin3
xdx;
2
(2)
2
cos2
xdx.
2
分析 三角函数的平方或立方的积分,利用公式降次或变
形,变为已知积分计算.
解
(1)
2
sin3
xdx
2
sin 2
x sin
xdx
2
1 cos2 x dcosx
2
2
2
cosx1 Nhomakorabea3c
os3
x
2
e
ln xdx
1
e
e
e
1 2 1 2 2
e
e
例 5.4.7 设 f x 在 0,1 连续, 且
f
0 1,
f
2 3,
f 2 5,
求
1
0
xf
2
xdx
分析 观察题目,本题是抽象函数的积分,需要用到分部积分法.
解
1
0
xf
2 xdx
1 2
1
0
xdf
2x
1 2
xf
2x1 0
1
0
f
2xdx
因为
f 0 1, f 2 3, f 2 5
分析 连续函数为可积函数，因此被积函数的原函数存在，
可用N-L公式计算.
证明 假设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
又由复合函数的求导法则知 (t) F ((t)) t ( , ) 是
f ((t))(t) 的一个原函数，所以
f ((t))(t)dt F(( )) F(( )) F(b) F(a)
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程计算
总结词
定积分在变速直线运动的路程计算中有着重要的应用。 通过定积分，我们可以求出物体在一定时间内的位移， 从而得到物体的运动轨迹。
详细描述
在变速直线运动中，物体的速度是随时间变化的。为了 计算物体在一定时间内的位移，我们需要将这段时间分 割成许多小的等时间段，并计算每个时间段内物体的位 移增量。将这些位移增量相加，就可以得到物体在整段 时间内的位移。这个过程可以用定积分来表示，其中被 积函数表示速度函数，积分变量表示时间，积分区间表 示时间范围。通过定积分的计算，我们可以得到物体在 一定时间范围内的位移。
定积分的计算方法
要点一
直接积分法
要点二
换元积分法
根据定积分的定义，直接计算出函数 在区间[a,b]上的积分值。
通过引入新的变量替换原来的被积函 数中的变量，将复杂函数的积分转化 为简单函数的积分。
要点三
分部积分法
通过将两个函数相乘，将其中一个函 数的积分转化为另一个函数的积分， 从而求得原来函数的积分。
恒力做功的计算
总结词
定积分在恒力做功的计算中也有着广泛的应用。通过 定积分，我们可以求出物体在一定距离内受到恒力作 用所做的功。
详细描述
在恒力做功的计算中，物体的受力是恒定的，而物体 移动的距离是变化的。为了计算物体在一定距离内受 到恒力作用所做的功，我们需要将这段距离分割成许 多小的等距离段，并计算每个距离段内物体所做的功 。将这些功相加，就可以得到物体在整个距离范围内 受到恒力所做的总功
06
定积分的数值计算方法
梯形法
要点一
总结词
简单易懂，适合初学者，但精度较低。
要点二
高等数学(第二版)上册课件：微积分基本公式
a
x
F (x) a f (t)dt C,
x
a f (t)dt F (x) F (a),
令 x b
b
f (x)dx F (b) F (a).
a
牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本公式表明：
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a b 时，
b
f (x)d (x) F(b) F(a) 仍成立.
0
0
2 0 |cos x |dx
2 2 cosxdx 0
2 cos xdx
2
2 2
例5.3.5
求由
x
sintdt
y et dt 0所确定的隐函数对x的导数。
0
0
分析 采用隐含数求导的方法.
解 等式两边分别关于x求导，得：
sinx ey dy 0 dx
解得：
dy dx
sin ey
用洛必达法则，同时需用变限积分的导数0公式.
解
lim
cos x et2 dt
1
ecos2 x sin x lim
x0
x2
x0
2x
1 lim ecos2 x lim sin x
2 x0
x0 x
1 2e
5.3.2 微积分基本公式
定理 5.5 （微积分基本公式）:
设 F (x) 是连续函数 f ( x)在区间 a,b 上的一个原
由于 x 0 时， x ，故两边取极限，得：
lim lim f ( ) lim f ( ) f (x)
x x0
x0
x
即
(x) d
x
f (t)dt f (x)
dx a
另外，若 f (x) 在 a,b 上连续，则称函数
定积分
概述众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导函数，而求积分是求已知导函数的原函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
积分分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。
不定积分（Indefinite integral）即已知导数求原函数。
若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。
所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。
我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分（definite integral）定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定义设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (x n-1,x n]，其中x0=a，x n=b。
可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △x n=x n-x n-1。
在每个子区间(x i-1,x i]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式。
设λ=max{△x1, △x2, …, △x n}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为：其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分。
高等数学第五版原函数的概念与性质演示文稿
(A) 1 sin x; (C) cos x;
(B) 1 sin x; (D) cos x .
解: f ( x) sin x
f ( x) sin xdx cos x C1 ,
x
f(x)d xa f(t)d tC.
因此有些书将 f ( x)dx 称为f ( x)的不定积分.
综上所述，原函数（反导数）也可以理解为 积分函数。
例1 1 dx xC
x
dx
1 2
x2
C
t dt
1 t2 2
C
一般的, xdx 1 x1 C (1)
1
x1dx
1 dx
x
lnx C
因为求原函数的运算是求导数的逆运算， 所以可以把基本导数公式反过来得到基本 的反导数公式。
o
x
注：原函数之所以分用的积符号表示是因为
积分x f(t)dt是f(x)的一个原函数，f因 (x)此 a
的所有原函数可以为表x 示 f(t)dtC的形式。 a
因此 f(x)dx可以从两个角度： 去理解
(1)从定义上看它代表f ( x)的所有反导数.
(2) 它也可理解为积分,
( x a
f(t)d)txf(x)
求原函数的运算是求导数的逆运算。
因此要求一个函数的原函数，就是找另一个函 数，使另一个函数的导数等于这个函数。
例1 因为位移对时间的导数是速度， 所以位移是速度对时间的原函数。
例2 (x2)x 2x x2是2x对x的原函. 数
问题：什么样的函数具有原函数？
连续函数
f
(x)一定有原函数.（
即 x a
sec2 xdx dx
tan x x C.
例6. 求
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数是( x)
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
( x)
x
a
f
(t )dt为f
( x)在[a,b]上的一个原函数.
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定理3（原函数存在定理）
如果 f ( x) 在[a,b] 上连续，则积分上限的函数
( x)
x
a
f
(t )dt 就是 f
( x) 在[a,b] 上的一个原函数.
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
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f ( x)在[a,b]上连续, x [a,b]
( x)
d dx
ax
f (t)dt
f (x)
一般地 如果 f (t)连续，a( x)、b( x) 可导，
则F ( x)
证
F ( x)
0
a( x)
b( x) 0
f (t)dt
b( x)
0
f
(t )dt
a( x)
f (t)dt,
0
F( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
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例1 求
lim
x
0
cos
t
2dt
.
x0 x
例2
已知
x y
t2
2
2
t 3
cos u du u
sin u du u
,求
dy dx
.
例 3 设 f ( x)在[0,)内连续，且 f ( x) 0.证明函数
F(x)
x
0
tf
0x f
(t )dt
在(0,)内为单调增加函数.
(t )dt
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例4
已知F
(
x)
x
0
(
x
2
t
2
)
sin
tdt
,
求F
(
x).
定理4（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{ x, x2 }
y x
x2, 2 x 0
x
,
0 x1 ,
2
o 1 2x
x2 , 1 x 2
原式
0
2
x
2dx
1
0
xdx
2
1
x
2dx
11. 2
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例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x 轴所围
成的平面图形的面积.
注意 当a b时，ab f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.
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例5 求 例6 设
02(2cos x sin x 1)dx.
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f ( x)dx.
y
o 12x
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例7 求
2
2
max{
x
,
x
2
}dx.
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牛顿(Newton)—莱布尼茨(Lebniz)公式
ab f ( x)dx
F(b) F(a)
F ( x)ba
F
(
x
)
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的任 意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
定积分与原函数的关系 微积分基本公式
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设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对于每
一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在
[a, b]上定义了一个函数，的一个原函数来自则baf
(
x )dx
F
(b)
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又 ( x) ax f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F (a) (a) C ,
(a) aa f (t )dt 0 F (a) C ,
b( x)
a( x)
f
(t)dt 的导数F( x)
为
F (
x)
d dx
b( x)
a( x)
f
(t )dt
f b( x)b( x) f a( x)a( x)
特别
d dx
b
x
f
(t )dt
f
(
x)
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F( x)
d dx
b( x)
a( x)
f
(t )dt
f b( x)b( x) f a( x)a( x)
解 面积
A
0
sin
xdx
y
o
cos x0 2.
x
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小结
1.积分上限函数
x
( x) a f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的
关系．
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记
x
( x) a
f (t)dt.
积分变上限函数
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积分上限函数的性质
定理1
若f
(
x)在[a
,
b]上可积,则(
x
)
x
a
f (t)dt
在[a , b]上连续.
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x) ax f (t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
思考题
设
f
(
x
)
在[a,
b]上连续，则
x
a
f
(t )dt 与
b
x
f
(u)du是
x
的函数还是
t
与
u
的函数？它们的
导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与
b
x
f
(u)du都是 x的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
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