函数的奇偶性（一）
一、课题引入
幂函数(1) f (x )=x 3
(x ∈R )，(2) f (x )=x 2
(x ∈R )的图像特点、单调区间，并列下表 函数 f (x )=x 3
f (x )=x 2
定义域 (－∞，+∞)关于原点对称
(－∞，+∞)关于原点对称
函数值 f (－x )=－f (x )
f (－x )= f (x )
对称性 图像关于原点对称 图像关于y 轴对称 单调性
在原点两侧单调性相同
在原点两侧单调性相反
图 像
前者曰“奇函数”、后者曰“偶函数”． 二、知识讲解
1．奇函数和偶函数的概念
设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 关于原点对称．
(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．
(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．
定义还可以表达为：
(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )+f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做奇函数．
(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )－f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做偶函数．
第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数()
x x
y -+=1lg
2
的奇偶性．
这种形式能使学生从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f (x )+f (－x )=0的解集为D ；另一方面，若方程f (x )+f (－x )=0的解集D 关于原点对称，则函数
y =f (x )在D 上是奇函数．对偶函数也可以得出类似的结论．
2．奇函数和偶函数的图像特征
(1) 奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数． (2) 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，图像关于y 轴对称函数，必是偶函数．
3．判断函数的奇偶性 对于函数f (x )先求其定义域D ；并判别D 是否关于原点对称，然后再验证f (－x )=±f (x ) (或
f (x )±f (x )=0，或
()()
1±=-x f x f 等)是否成立，最后作出正确结论．
4．判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内，
(1) 两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． (2) 两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． (3) 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． (4) 函数f (x )与
()
x f 1
同奇或同偶． 以上结论，可在讲完出上一例：判断下列函数是否具有奇偶性：(1) f (x )=x 3
；(2) f (x )=2x 4
+3x 2
；
(3) ()3
13
-+=x
x x f ；(4) f (x )=x +1后，结合函数运算引出．直观引入后，可让学生在课后加以
证明，这对学生加深对奇偶性的理解和用这一结论解题都是有帮助的．
5．函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论： (1) 奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性． (2) 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性． 三、例题分析
1．判断函数的奇偶性易犯的错误 (1) 因忽视定义域的特征致错 例1．①()()11--=
x x x x f ；②f (x )=x 2+(x +1)0
错解：①()()x x x x x f =--=1
1，∴ f (x )是奇函数 ②∵ f (－x )=(－x )2
+(－x +1)0
=x 2
+(x +1)0
=f (x ) ∴ f (x )是偶函数．
分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称． 正解：①定义域(－∞，1)∪(1，+∞)关于原点不对称，f (x )是非奇非偶函数．
②定义域(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴ f (x )非奇非偶函数． (2) 因缺乏变形意识或方法致错． 例2．判断()2
1
151+-=
x x f 的奇偶性． 错解：∵ 5x
－1≠0，∴ x ≠0．f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．
∵ ()21
5
1521151+-=+-=-x
x x x f ， ∴ f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴ f (x )是非奇非偶函数．
分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．
正解：()()
1
521
521151-+=+-=x
x x x f ，定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)关于原点对称． ()()()()
()x f x f x
x x x x x -=-+-=-+=-+=--1
521
55125115215 ∴ f (x )是奇函数．
(3) 因忽视f (x )=0致错． 例3．判断函数()2244x x x f -+-=
的奇偶性．
错解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0
40
42
2
x x 得x =±2，∴ f (x )的定义域为{－2，2}，关于原点对称．
()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-222
24444，
∴ f (x )为偶函数
正解：f (x )的定义域为{－2，2}，此时，f (x )≡0，∴ f (x )既是奇函数又是偶函数． 点评：函数f (x )=0 (x ≠0)是f (x )既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f (x )=0 (x ≠0)函数的定义域．
注意：分段函数奇偶性的判定应注意两点：
(1) 分段函数是一个函数，而不是几个函数； (2) 确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论． 2．函数的奇偶性的应用
例4．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )=x |x －2|，求f (x )<0时，f (x )的表达式． 答：当x <0时，f (x )=x |x +2|．
例5．已知f (x )=x 5
+ax 3
+bx －8，且f (－2)=10，则f (2)=_________ 解：令g (x )=f (x )+8=x 5
+ax 3
+bx ，则g (x )是奇函数∴ g (－2)+g (2)=0，
即f (－2)+8+f (2)+8=0，∴ f (2)=－f (－2)－16=－26．
例6．已知 f (x )、g (x )的定义域均为R ，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且
()()1
1
2
+-=
+x x x g x f ，求f (x )的解析式． 答：()1
24++=x x x
x f ．
例7．已知函数y =f (x )是奇函数，在(0，+∞)上是减函数，且f (x )<0，判断()()
x f x F 1=
在区间(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．
答：F (x )在(－∞，0)是增函数．
例8．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )+f (1－a 2
)<0，求实数a 的取值范围．
答：a ∈(0，1)．
点评：例8、9两题是函数的奇偶性与单调性的综合题．
例9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，x >0时，f (x )=－x 2
+2x －3．
(1) 求f (x )的解析式； (2) 画出y =f (x )的图像； (3) 求出f (x )的单调区间．
解：(1) ()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧∞-∈++=∞+∈-+-=0320003222，，，，，x x x x x x x x f
(2) 画图略．
(3) 单调减区间为(]1-∞-，，[)∞+，1
；单调增区间为[)01，-，(]10，． 点评：本题是函数奇偶性、单调性、图像特征，画图等有关概念、性质、方法的综合运用的一道函数综合题．此题主要是考查学生综合、灵活运用所学知识解题的能力． 四、习 题
1．已知f (x )是奇函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？ 2．已知f (x )是偶函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？
3．函数()[)()⎩
⎨⎧∞-∈-∞+∈=0101，，，，x x x f 是奇函数吗？
答 案1．f (0)=0 2．f (0)不定3．否
五、引伸和提高
定义域关于原点对称的任意一个函数f (x )都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和．即f (x )=
2
1
(F (x )+G (x ))其中F (x )= f (x )+f (－x )，G (x )=f (x )－f (－x ) (1) 利用这一结论可以很简捷地解决一些问题； (2) 在教学中，可根据学生的基础情况，适时引入．
(3) 可以让学生自己证明，增强学生对抽象问题证明的能力，加深学生对奇、偶函数与一般函数关系的理解，使学生对构造法增加一次感性认识． 六、思 考 题
1．设，f (x )=kx +
x
6
－4，(k ∈R )当x =2+3时，f (x )=0，求⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-231f 的值． 答：32024231
-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-f ．
2．已知函数y =f (x )满足f (x +y )+f (x －y )=2f (x ) f (y ) (x ∈R ，y ∈R )，且f (0)≠0，那么f (x )是__________函数(填奇、偶)．
答：偶函数
函数的奇偶性（二）
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，
那么函数)(x f 就叫做偶函数。
再注意观察x x g 1)(=
的图象，显然x
x g 1
)(=不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？引入课件，加深印象。
引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。
（由教师板书概念）
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-, 那么函数)(x f 就叫做奇函数。
图象具有这种特点的函数是奇（或偶）函数，函数图象的这种对称性就是函数的奇偶性。
前面我们得出了函数奇偶性的定义，那么通常为了正确理解和应用定义，就需要我们首先能够找到并把握定义中的关键词语，下面我们一起找找定义中的关键词：定义域内、任意…都、
)()(x f x f =-及)()(x f x f -=-。
分析：⑴ 定义域内：奇偶性是整个定义域上的性质，而不仅仅是某个区间上的 性质，与单调性区分开；
⑵ 任意…都：说明具有普遍性，是对所有的自变量都成立，而不是个别 的；
⑶ )()(x f x f =-及)()(x f x f -=-：首先是函数值必须满足的关系即必要 条件，那么是不是充分条件呢？ 例1 判断下列函数的奇偶性 8)( (1)31
x x
x f +=- 1)( )2(2-=x x f
] 4 , ( 1)( )3(2
∞-∈-=x x x f 2
3
)( )4(2+-+=x x x x f
1)( )5(+=x x f
解：
为奇函数即：31313131318)( )()( )
( )8( 8 )(8)()( 8)()1(x x x f x f x f x f x x x x x x x f x x x f +=-=--=+-=--=-+-=-+=-----∴∴ 为偶函数即：312
228)( )()( )( 1 1)()( 1)()2(x x x f x f x f x f x x x f x x f +==-=-=--=--=-∴∴ 函数既不是奇函数也不是偶即：且无意义而 ] 4 , ( 1)( )()()()( )5( 2415)5()3(22∞-∈-=≠--≠-=-=-∴x x x f x f x f x f x f f f )( )2()2( 2 02 )4(函数既不是奇函数也不是偶无意义有意义即为使函数有意义，则x f f f x x ∴∴--≠≠+
函数
既不是奇函数也不是偶及但不满足的定义域为虽然∴=--=-+= )
()( )()( 1)( )5(x f x f x f x f R
x x f
继续前面提出的问题，按函数法则有意义，结合“任意…都” 要求定义域必须 关于原点对称（即满足)()(x f x f =-及)()(x f x f -=-时定义域一定关于原点对 称；若定义域不关于原点对称，则必无)()(x f x f =-及)()(x f x f -=-），即
)()(x f x f ±=-是函数具有奇偶性的充要条件。
小结：判断函数奇偶性的步骤：
⑴ 判断定义域是否关于原点对称； ⑵ 比较)(x f -与)(x f 的关系。
练习 ⑴ 当a 为何值时，函数),5( )(2
a x x x f -∈=为偶函数； ⑵ 当
b 为何值时，函数2
)(2-+=
x b
x x f 为奇函数。
通过练习强化：函数奇偶性定义中定义域的作用； 明确：)()(x f x f =-及)()(x f x f -=-的变形 0)()(=--x f x f （0)()(=+-x f x f ） 为加强学生对定义的理解和应用，给出思考题。
思考题：判断是否存在函数)(x f 既是奇函数又是偶函数。
分析引导学生：若函数是奇函数，则)()(x f x f -=-； 若函数是偶函数，则)()(x f x f =-； 所以可得：)()(x f x f -= 0)(=x f
进一步提问：解析式为0)(=x f 的函数一定既是奇函数又是偶函数吗？
1)(=x f 又是个什么函数？
例2 ⑴ 若2)(2
4+-=bx ax x f ，且5)(=c f ，求)(c f -的值；
⑵ 若2)(3
+-=bx ax x f ，且5)(=c f ，求)(c f -的值； 分析：⑴ 能够看出函数为偶函数，所以5)(=-c f ；
⑵ 能够看出函数既不是奇函数又不是偶函数，但仍然可以用
4)()(=-+c f c f ，得出1)(-=-c f
接着引导学生寻找其中的规律。
总结：1、函数奇偶性的定义；
利用定义判断奇偶性要把握：⑴ 定义域关于原点对称；
⑵ )()()(x f x f x f -=-或
2、函数奇偶性揭示：自变量符号的改变与函数值符号的关系。
函数的奇偶性（三）
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，利用函数奇偶性解题，能加深对函数知识的理解和掌握，下面谈谈函数奇偶性在解题中的应用。
一、求函数值
例1.已知
这是利用函数的奇偶求值的一种典型题目。
二、求函数表达式：
的表达式。
例3: 已知f(x+1)是偶函数，且当x≤1时，f(x)=x2+x，求x>1时，f(x)的表达式。
分析：设F(x)=f(x+1)，由F(x)是偶函数，得f(1+x)=f(1-x)，从而f(x)图象关于直线x=1对称。
下面利用对称性，作出x>1时f(x)的图象，就可得到f(x)的表达式。
解：设F(x)=f(x+1)，∵F(x)是偶函数，
∴F(-x)=F(x)，即 f(1-x)=f(1+x)，
∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称，
又x≤1时，f(x)=x2+x=(x+)2-
因此，作图，由图可知在x>1时，
f(x)=(x-)2-=x2-5x+6。
三、判断函数的奇偶性
的奇偶性。
例4:如果 a>0, a≠1，且G(x)是奇函数，试判定F(x)=G(x)（+）的奇偶性。
解法1：∵G(x)是奇函数，则有G(-x)=-G(x)。
F(-x)=G(-x)(+)=-G(x)(+)=-G(x)(+1-)
=-G(x)(-)=G(x)(+)=F(x)。
∴ F(x)是偶函数。
解法2：∵ F(-x)+F(x)=G(-x)(+)+G(x)(+)
=-G(x)(+)+G(x)(+)
=G(x) (+)
=G(x)·(+)
=G(x)(+1)
=2·G(x)(+)=2F(x),
∴ F(-x)=F(x)，故F(x)是偶函数。
函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数，
偶函数±偶函数=偶函数，
奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，
奇函数×偶函数=奇函数。
四、利用单调性和增减性比较大小
的大小。
五、利用单调性和增减性求范围
例6、定义在（-1，1）上的奇函数f(x)是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。
解：f(x)的定义域为(-1，1)，
∴
又因为f(x)为奇函数，由f(1-a)+f(1-a2)<0f(1-a)<-f(1-a2)=f[-(1-a2)]。
而f(x)单调递减，∴1-a>-(1-a2)-2<a<1，
综合起来，0<a<1。
反函数的性质应用举例
我们知道，函数y=f(x)若存在反函数，则y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)有如下性质：性质若y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数，则有f(a)=b f-1(b)=a。
这一性质的几何解释是y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。
例1．函数（1≤x≤2）的反函数是y=f(x)，则f(2)=______。
解：设f(x)=x, 则由性质知f-1(x)=2,
即（1≤x≤2），
化简得x2-4x+3=0, 解得x=1，所以f(2)=1。
例2．函数的图象关于直线y=x对称，则a的值是（）。
A、1
B、-1
C、2
D、-2
解：因没有a=0的选项，
所以由，知。
又因函数的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=f-1(x),
从而，求得a=-1，故选B。
例3．若f(2x-1)=x+1，求f-1(x)的解析式。
解：因为f(2x-1)=x+1, 所以f-1(x+1)=2x-1。
令t=x+1, 则x=t-1，代入上式得f-1(t)=2(t-1)-1=2t-3,
故f-1(x)=2x-3。
例4．设，函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，
求g(3)的值。
解：设g(3)=x，则g-1(x)=3，因为函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，所以y=g(x)与y=f-1(x+1)互为反函数，因此有g-1(x)=f-1(x+1)=3, 由反函数
的性质得，而，求得，所以。
以上几例，省去了用解方程的形式求反函数的过程，大大提高了解题的速度。
