函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念：
①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。
（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =）
②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。
也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。
③图像特征
如果一个函数是奇函数⇔这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数⇔这个函数的图象关于y 轴对称。
④复合函数的奇偶性：同偶异奇。
⑤对概念的理解：
(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。
(2))(x f 与)(x f -的关系：
当)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f 或1)
()(=-x f x f 时为偶函数； 当)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f 或1)
()(-=-x f x f 时为奇函数。
二、函数的奇偶性与图象间的关系：
①偶函数的图象关于y 轴成轴对称，反之也成立；
②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。
三、关于函数奇偶性的几个结论：
①若)(x f 是奇函数且在0=x 处有意义，则(0)0f =
②偶函数± 偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数；
偶函数⨯偶函数=偶函数；奇函数⨯奇函数=偶函数；
偶函数⨯奇函数=奇函数
③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，
偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
四．典型问题
（一）、关于函数奇偶性的判定
方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；
()2图象法：观察图像是否符合奇、偶函数的对称性
说明：
（1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。
（2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。
（3）若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。
（4）函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。
1.判断下列函数的奇偶性： 1)x
x x x f ++=1)(2； 2）()(
1f x x =-
3）()0f x = 4）()⎩⎨⎧≤+>+-=)0()0(22x x x x x x x f
5）()2
212
-+-=x x x f
(6) 已知函数)(x f 满足：),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++，且0)0(≠f ，则函数)(x f 的奇偶性为 。
（二）、关于函数奇偶性的运用
1．利用奇偶性求函数式或函数值
1．设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数，又当0>x 时2()23f x x x =--，试求)(x f 的解析式。
2.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()221f x x x =-+，求当0x <时，()f x 得解析式。
3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，()f x x =，求(7.5)f 的值
4.设()f x 在R 上是偶函数，在区间(,0)-∞上递增，且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+，求a 的取值范围。
5.已知函数53()4f x ax bx =++，若(2)0f -=，求(2)f 的值。
6．若函数()f x 是偶函数，则=--+)2
11()21(f f 。
7.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()11
f x
g x x +=-，试求()()f x g x 与的表达式。
2．逆用函数奇偶性求参数的值
1．若函数43()(2)(22)f x x m n x m n x mn =+-++-+为偶函数，求实数,m n 的值。
2．若函数()ln(f x x =是R 上的奇函数，则实数k =_____________
3.已知函数()121
x f x a =-+，若()f x 为奇函数，求实数a 的取值。
3．奇偶函数的图象关系及其运用
1．若奇函数)(x f 在区间]7,3[上是增函数且最小值为5，则)(x f 在区间[7,3]--上是( )
A ．增函数且最小值为5-；
B ．增函数且最大值为5-；
C ．减函数且最小值为5-；
D ．减函数且最大值为5-
2．已知函数)(x f 在)2,0(上是增函数，又函数)2(+x f 是偶函数，则（ ）
A ．57(1)()()22f f f <<；
B ．75()(1)()22f f f <<；
C ．75()()(1)22f f f <<；
D ．57()(1)()22f f f <<
3．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，已知12120,0,()()x x f x f x ><<，那么一定有( )
A ．120x x +<；
B ．120x x +>；
C ．12()()f x f x ->-；
D ．12()()0f x f x --<
4.定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数；偶函数)(x g 在区间),0[+∞上的图象与)(x f 的图象重合，设0>>b a ，给出下列不等式：
①)()()()(b g a g a f b f -->--; ②)()()()(b g a g a f b f --<--; ③)()()()(a g b g b f a f -->--; ④)()()()(a g b g b f a f --<--。
其中正确的不等式个数为( )
A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ．4
5.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(2)0f =，则不等式()0f x ≤的解集是___________________________
6.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为( )
A ．(1,0)(1,)-+∞
B ．(,1)(0,1)-∞-；
C ．(,1)(1,)-∞-+∞
D ．(1,0)(0,1)-
7.设(),()f x g x 都是R 上的奇函数，{|()0}(4,10),{|()0}(2,5)x f x x g x >=>=，则集合{|()()0}x f x g x >=( )
A ．(2,10)
B ．(10,2)(2,10)--
C ．(4,5)
D ．(5,4)(4,5)--
8.设()x f y =的定义域是R ，对于任意y x ,都有()()()0,>+=+x y f x f y x f 时()()12,0-=<f x f ，讨论①()x f y =的奇、偶性并加以证明；②()x f y =在R 上的单调性并加以证明。
③求在[]6,6-上的最值。
