高三数学总复习文科 第2章 第1节 函数及其表示

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。

第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第一讲 函数及其表示1.下列说法中正确的个数是 ( )(1)f (x )=√x - 4+√3 - x 是一个函数.(2)已知f (x )=m (x ∈R ),则f (m 3)=m 3. (3)y =ln x 2与y =2ln x 表示同一函数.(4)f (x )={x 2+1, - 1≤x ≤1,x +3,x >1或x < - 1,则f ( - x )={x 2+1, - 1≤x ≤1,- x +3,x >1或x < - 1.A .0 B.1 C.2 D.32.[2020湖南师大附中模拟]已知函数f (x )的图象如图2 - 1 - 1所示,则函数f (x )的解析式可能是 ( )A.f (x )=(4x +4 - x )|x | B .f (x )=(4x - 4 - x )log 4|x | C .f (x )=(4x +4 - x )lo g 14|x |D .f (x )=(4x +4 - x )log 4|x |3.[2016全国卷Ⅱ,10,5分][文]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是 ( )A .y =xB.y =lg xC.y =2xD.y =1√x4.[2020成都市高三测试]已知函数f (x )={sin(πx +π6),x ≤0,2x +1,x >0,则f ( - 2)+f (1)=( )A.6+√32B .6 - √32C .72D .525.[2019江苏,4,5分]函数y =√7+6x - x 2的定义域是 .6.[2015福建,14,4分]若函数f (x )={ - x +6,x ≤2,3+log a x,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是 .考法1 求函数的定义域命题角度1 求具体函数的定义域1(1)函数y =1√log 12(2 - x)+12x - 3的定义域为 .(2)函数y =log a (x - 1)(a >0且a ≠1)的定义域为 .(1)要使函数有意义,则{log 12(2 - x)>0,2x - 3≠0⇒{0<2 - x <1,x ≠32⇒{1<x <2,x ≠32. 所以函数的定义域为(1,32)∪(32,2).(2)当a >1时,由log a (x - 1)>0,得x - 1>1,所以x >2;当0<a <1时,由log a (x - 1)>0,得0<x - 1<1,所以1<x <2.所以当a >1时,函数的定义域为(2,+∞);当0<a <1时,函数的定义域为(1,2). 命题角度2 求抽象函数的定义域2(1)若函数f (x )的定义域为[ - 1,2],则函数f (1 - 2x )的定义域为 . (2)若函数f (1 - 2x )的定义域为[ - 1,2],则函数f (x )的定义域为 .(3)若函数f (2x )的定义域为[ - 1,1],则函数h (x )=f (x )+f (x - 1)的定义域为 .(1)由 - 1≤1 - 2x ≤2,得 - 12≤x ≤1, 所以函数f (1 - 2x )的定义域为[ - 12,1]. (2)因为函数f (1 - 2x )的定义域为[ - 1,2], 所以 - 1≤x ≤2,所以 - 3≤1 - 2x ≤3. 所以函数f (x )的定义域为[ - 3,3]. (3)因为函数f (2x )的定义域为[ - 1,1], 所以12≤2x ≤2,所以函数f (x )的定义域为[12,2].对于函数h (x ),有{12≤x ≤2,12≤x - 1≤2,所以32≤x ≤2,所以函数h (x )的定义域为[32,2].(x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在[a ,b ]上的值域.易错警示(1)函数f (g (x ))的定义域指的是x 的取值范围,而不是g (x )的取值范围;(2)求函数的定义域时,先不要对函数解析式化简;(3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式; (4)函数f (x )±g (x )的定义域是函数f (x ),g (x )的定义域的交集.考法2 求函数的解析式3已知二次函数f (2x +1)=4x 2 - 6x +5,则f (x )= .已知复合函数f (g (x ))求f (x ),可用换元法或配凑法求解.由于f (x )是二次函数,也可采用待定系数法求解.解法一 (换元法)令2x +1=t (t ∈R ),则x =t - 12,所以f (t )=4(t - 12)2 - 6·t - 12+5=t 2 - 5t +9(t ∈R ), 所以f (x )=x 2 - 5x +9(x ∈R ).解法二 (配凑法)因为f (2x +1)=4x 2 - 6x +5=(2x +1)2 - 10x +4=(2x +1)2 - 5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2 - 5x +9(x ∈R ).解法三 (待定系数法)因为 f (x )是二次函数,所以设 f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则 f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c = 4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2 - 6x +5,所以{4a =4,4a +2b = - 6,a +b +c =5,解得{a =1,b = - 5,c =9,所以f (x )=x 2 - 5x +9(x ∈R ).4已知f (x )满足2f (x )+f (1x )=3x - 1,则f (x )= .注意等式左边两个变量的内在联系(互为倒数),先构造一个新的等式,然后通过解方程组求得f (x )的解析式.(构造方程组法)已知2f (x )+f (1x )=3x - 1 ①, 以1x代替①中的x (x ≠0),得2f (1x)+f (x )=3x- 1 ②,①×2 - ②,得3f (x )=6x − 3x−1,故f (x )=2x − 1x− 13(x ≠0).易错警示求函数的解析式时要根据题目的类型采取相应的方法,同时要注意函数的定义域.如已知f (√x )=x +1,求函数f (x )的解析式,可通过换元的方法得f (x )=x 2+1,函数f (x )的定义域是[0,+∞),而不是( - ∞,+∞).1.已知函数 f (x )={1x (x <0),x 2(x ≥0),g (x )=x +1,则①g (f (x ))= ;②f(g (x ))= .考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围5已知函数y =kx+1k 2x 2+3kx+1的定义域为R ,则实数k 的值为 .函数y = kx+1k 2x 2+3kx+1的定义域即满足k 2x 2+3kx +1≠0的实数x 的集合. 由函数的定义域为R ,得方程k 2x 2+3kx +1=0无解.当k =0时,函数y = kx+1k 2x 2+3kx+1=1,函数的定义域为R ,因此k =0符合题意; 当k ≠0时,要使k 2x 2+3kx +1=0无解,即Δ=9k 2 - 4k 2=5k 2<0,不等式不成立. 所以实数k 的值为0.6已知函数f (x )= - x 2+4x +1,其中x ∈[ - 1,t ],函数的值域为[ - 4,5],则实数t 的取值范围是 .函数f (x )= - x 2+4x +1= - (x - 2)2+5,对称轴方程为x =2,且f (x )在[ - 1,2]上单调递增,f ( - 1)= - 4,f (2)=5,因为x ∈[ - 1,t ]时,f (x )的值域为[ - 4,5],所以t ≥2, 由 - x 2+4x +1= - 4,可得x = - 1或x =5,所以t ≤5, 所以实数t 的取值范围是[2,5].2.(1)已知函数 f (x )=lg (2a ·x - 1)的定义域是(2,+∞),则实数a 的取值集合是 .(2)已知函数f (x )=12(x - 1)2+1的定义域与值域都是[1,b ](b >1),则实数b 的值为 .考法4 分段函数的应用7(1)[2015新课标全国Ⅱ,5,5分]设函数f (x )={1+log 2(2 - x),x <1,2x - 1,x ≥1,则f ( - 2)+f (log 212)=A .3 B.6 C.9 D.12(2)[2017 山东,9, 5分][文]设f (x )={√x,0<x <1,2(x - 1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则f (1a )=A .2 B.4 C.6 D.8(3)[2019南京金陵中学模拟]已知函数f (x )={2x - 1(x ≥0),x 2 - 2x(x <0),则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是 .(1)因为f ( - 2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212- 1=2log 26=6,所以f ( - 2)+f (log 212)=9.故选C .(2)当0<a <1时,a +1>1,f (a )=√a ,f (a +1)=2(a +1 - 1)=2a ,因为f (a )=f (a +1),所以√a =2a ,解得a =14或a =0(舍去).所以f (1a )=f (4)=2×(4 - 1)=6.当a >1时,a +1>2,所以f (a )=2(a - 1),f (a +1)=2(a +1 - 1)=2a ,所以2(a - 1)=2a ,无解.当a =1时,a +1=2,f (1)=0,f (2)=2,不符合题意.综上,f (1a )=6.故选C . (3)当x ≥0时,2x - 1≤3,所以2x ≤4=22,所以0≤x ≤2. 当x <0时,x 2 - 2x ≤3,所以x 2 - 2x - 3≤0,所以 - 1≤x <0. 综上可得x 的取值范围是[ - 1,2].3.(1)[2018全国卷Ⅰ,12,5分][文]设函数f (x )={2 - x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x的取值范围是( )A .( - ∞, - 1] B.(0,+∞) C.( - 1,0) D.( - ∞,0) (2)[2016北京,14,5分]设函数f (x )={x 3 - 3x,x ≤a,- 2x,x >a.①若a =0,则f (x )的最大值为 ;②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是 .数学探究 与函数有关的新定义问题8在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点,则称函数f (x )为n 阶整点函数.给出下列函数: ①f (x )=sin 2x ; ②g (x )=x 3; ③h (x )=(13)x ; ④φ(x )=ln x. 其中是一阶整点函数的是 A .①②③④ B.①③④ C.①④ D.④给什么 得什么 (1)新定义——n 阶整点函数,即其图象恰好经过n 个整点(其横、纵坐标为整数的点),注意这里“恰好”指的是经过且仅经过n 个整点. (2)4个具体的函数.求什么 想什么 判定给出的4个具体函数中哪几个为一阶整点函数. 差什么 找什么分别判定有关函数是否为一阶整点函数,并结合选项排除得解.对于函数f (x )=sin 2x ,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D ;对于函数g (x )=x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A …………………………….….(只要找到两个整点,即可判断函数不是一阶整点函数)对于函数h (x )=(13)x ,它的图象(图略)经过整点(0,1),( - 1,3), … ,所以它不是一阶整点函数,排除B .选C .C4.[2017山东,10,5分][文]若函数e x f (x )(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 ( )A .f (x )=2 - xB.f (x )=x 2C.f (x )=3 - xD.f (x )=cos x思想方法 分类与整合思想在函数中的应用9 [2015山东,10,5分]设函数f (x )={3x - 1,x <1,2x ,x ≥1.则满足 f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是A .[23,1]B.[0,1]C.[23,+∞)D.[1,+∞)由f (f (a ))=2 f (a ),得f (a )≥1.若a <1,则3a - 1≥1,解得23≤a <1;若a ≥1,则2a ≥1,解得a ≥1.综上,a 的取值范围是[23,+∞).C5.函数y =f (x )的图象是如图2 - 1 - 2所示的折线段OAB ,其中A (1,2),B (3,0),函数g (x )=x ·f (x ), 那么函数g (x )的值域为 ( )A .[0,2] B.[0,94]C.[0,32]D.[0,4]1.B 对于(1),定义域是空集,不满足函数的概念,故(1)错误;对于(2),f (x )是常数函数,所以f (m 3)=m ,故(2)错误;对于(3),两个函数的定义域不同,故不是同一函数,(3)错误;对于(4),结合分段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1,故选B .2.D 对于A ,f (x )大于等于0恒成立,与图象不符,排除;对于B ,当x < - 1时,f (x )<0,与图象不符,排除;对于C ,当x >1时,f (x )<0,与图象不符,排除.选D .3.D 解法一 函数y =10lg x 的定义域为(0,+∞),当x >0时,y =10lg x =x ,故函数的值域为(0,+∞).只有选项D 符合.解法二 易知函数y =10lg x 中x >0,排除选项A ,C ;因为10lg x 必为正值,所以排除选项B.选D . 4.C f ( - 2)+f (1)=sin ( - 2π+π6)+(21+1)=sin π6+3=12+3=72,故选C .5.[ - 1,7] 要使函数有意义,则7+6x - x 2≥0,解得 - 1≤x ≤7,则函数的定义域是[ - 1,7].6.(1,2] 因为f (x )={ - x +6,x ≤2,3+log a x,x >2,所以当x ≤2时, f (x )≥4.又函数f (x )的值域是[4,+∞),所以{a >1,3+log a 2≥4,解得1<a ≤2,所以实数a 的取值范围是(1,2].1.{1x+1(x <0),x 2+1(x ≥0){1x+1(x < - 1),(x +1)2(x ≥ - 1)①当x <0时,f (x )=1x ,则g (f (x ))=1x +1;当x ≥0时,f (x )=x 2,则g (f (x ))=x 2+1. ∴g (f (x ))={1x +1(x <0),x 2+1(x ≥0).②令g (x )=x +1<0,得x < - 1,则此时f (g (x ))=1x+1. 令g (x )=x +1≥0,得x ≥ - 1,则此时f (g (x ))=(x +1)2. ∴f (g (x ))={1x+1(x < - 1),(x +1)2(x ≥ - 1).2.(1){ - 1} 由题意得,不等式2a ·x - 1>0的解集为(2,+∞),由2a ·x - 1>0可得x >12a ,∴12a =2,∴a = - 1.(2)3 f (x )=12(x - 1)2+1,x ∈[1,b ]且b >1,f (1)=1, f (b )=12(b - 1)2+1,函数图象的对称轴为直线x =1,且f (x )在[1,b ]上单调递增. ∴函数的值域为[1,12(b - 1)2+1].由已知得12(b - 1)2+1=b ,解得b =3或b =1(舍).3.(1)D 当x ≤0时,函数f (x )=2 - x 是减函数,则f (x )≥f (0)=1.作出f (x )的大致图象如图D 2 - 1 - 1所示,结合图象可知,要使f (x +1)<f (2x ),则需{x +1<0,2x <0,2x <x +1或{x +1≥0,2x <0,解得x <0,故选D .图D 2 - 1 – 1(2)① 2 若a =0,则f (x )={x 3 - 3x,x ≤0,- 2x,x >0.当x >0时, - 2x <0;当x ≤0时,f ' (x )=3x 2 - 3=3(x +1)(x - 1),令f ' (x )>0,得x < - 1,令f ' (x )<0,得 - 1<x ≤0,所以函数f (x )在( - ∞, - 1]上单调递增,在( - 1,0]上单调递减,所以函数f (x )在( - ∞,0]上的最大值为f ( - 1)=2.综上可得,函数f (x )的最大值为2. ②( - ∞, - 1) 函数y =x 3 - 3x 与y = - 2x 的大致图象如图 D 2 - 1 - 2所示,若函数f (x )={x 3 - 3x,x ≤a, - 2x,x >a 无最大值,由图象可知 - 2a >2,解得a < - 1.所以实数a 的取值范围是( - ∞, -1).图D 2 - 1 - 24.A 对于选项A ,f (x )=2 - x =(12)x , 则e x f (x )=e x ·(12)x =(e2)x ,∵e2>1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )=2 - x具有M 性质.对于选项B ,f (x )=x 2,e x f (x )=e x x 2,[e x f (x )] ' =e x (x 2+2x ),令e x (x 2+2x )>0,得x >0或x < - 2;令e x (x 2+2x )<0,得 - 2<x <0,∴函数e x f (x )在( - ∞, - 2)和(0,+∞)上单调递增,在( - 2,0)上单调递减,∴f (x )=x 2不具有M 性质.对于选项C ,f (x )=3 - x =(13)x ,则e x f (x )=e x ·(13)x =(e3)x ,∵0<e3<1,∴y =(e3)x 在R 上单调递减,∴f (x )=3 - x 不具有M 性质.对于选项D , f (x )=cos x ,e x f (x )=e x cos x ,则[e x f (x )] ' =e x (cos x - sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )=e x cos x 在R 上不是单调递增的,所以f (x )=cos x 不具有M 性质.故选A . 5.B 由题图可知,直线OA 的方程是y =2x ;因为k AB =0 - 23 - 1= - 1,所以直线AB 的方程为y = - (x - 3)= -x +3.所以f (x )={2x,0≤x ≤1, - x +3,1<x ≤3,所以g (x )=x f (x )={2x 2,0≤x ≤1,- x 2+3x,1<x ≤3.当0≤x ≤1时,g (x )=2x 2,此时函数g (x )的值域为[0,2];当1<x ≤3时,g (x )= - x 2+3x = - (x - 32)2+94,显然,当x =32时,函数g (x )取得最大值94;当x =3时,函数g (x )取得最小值0.此时函数g (x )的值域为[0,94].综合上述,函数g (x )的值域为[0,94].故选B .。