吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)B卷

高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A .B . 3C .D .2. （2分）由直线，曲线及轴所围成的图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）若则S1S2S3的大小关系为（）A . S1<S2<S3B . S2<S1<S3C . S2<S3<S1D . S3<S2<S14. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·深圳月考) 设f（x）=|x﹣1|，则 =（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）由y=﹣1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（）A . ln2﹣B . ﹣ln2C . 1﹣ln2D . ln2﹣17. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）A . 2B . 1C .8. （2分）如图，函数y=f（x）在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为（）A . f（x）dxB . f（x）dx﹣ f（x）dxC . ﹣f（x）dx﹣ f（x）dxD . ﹣f（x）dx+ f（x）dx9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）由曲线，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A .B . 4D . 611. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关12. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高二下·海淀期中) 如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．14. （1分）(2017·衡阳模拟) 直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为________．15. （1分）的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________16. （1分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．17. （1分）曲线y=+2x+2e2x ，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是________18. （1分） (2017高二下·宜昌期末) 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为________．三、解答题 (共3题；共15分)19. （5分）求抛物线y2=2x与直线2x+y﹣2=0围成的平面图形的面积．20. （5分） (2016高二下·辽宁期中) 如图所示，抛物线y=1﹣x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元．（1）求等待开垦土地的面积；（2）求等待开垦土地的面积；（3）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．（4）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．21. （5分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共3题；共15分)19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略20-4、答案：略21-1、答案：略。

[第16讲 定积分与微积分基本定理](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．∫π20(x －sin x)d x 等于( )A .π24－1 B .π28－1C .π28 D .π28＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－aaf(x)d x ＝2⎠⎛0a f （x ）d xC ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛ab f(x)d x>0D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛ab f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x<1，1，1<x≤2，则定积分⎠⎛02f(x)d x ＝( )A .83B ．2C .43D .134．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .12 C ．1 D ．2能力提升5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .7127．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J8．若y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．09．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝________．10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________．11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．12．(13分)计算下列定积分：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ；(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛01()e x －e －x 2d x.难点突破13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．课时作业(十六)【基础热身】1．B [解析] ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1. 2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得． 3．C [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x3⎪⎪⎪ )10＋x⎪⎪⎪ )21＝43. 4．B [解析] 如图，所围图形面积A ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－0＝12.【能力提升】5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：S ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝)⎪⎪⎪)sin x⎪⎪⎪ )π3－π3⎪⎪⎪)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3， 故选D .6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k＝100，则W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x2⎪⎪⎪ )0.060＝0.18(J )． 8．B [解析] y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin 2t d t ＝(－cos t) ⎪⎪⎪ )x 0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos 2t⎪⎪⎪ )x 0＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝8π⎠⎛011－x 2d x ＋2⎠⎛013x 2d x ＝8π×π4＋2×x3⎪⎪⎪ )10＝4.10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ， x≤0得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋a 3， x≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3＝1，∴a＝1. 11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x＝23(x ＋1)3⎪⎪⎪ )1－1＝163.12．解：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ＝⎠⎛03π2sin 2x d x ＝2⎠⎛03π⎪⎪⎪)sin x⎪⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π3πs in x d x＝－2cos x⎪⎪⎪ )π0＋2cos x⎪⎪⎪ )2ππ－2cos x⎪⎪⎪ )3π2π＝22＋22＋22＝6 2.(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ＝⎠⎛011x ＋1－1x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)⎪⎪⎪ )10 ＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x d x＝⎠⎛12x d x －2⎠⎛121d x ＋⎠⎛121xd x ＝12x 2⎪⎪⎪ )21－2x⎪⎪⎪ )21＋ln x⎪⎪⎪ )21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－12. (4)⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝⎠⎛01(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x)⎪⎪⎪ )10＝e ＋1e －2. 【难点突破】13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2－1)，设切点Q 的坐标为(x ，x 2)，由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x2a －x＝2x ，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)S ＝⎠⎛a －1a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠⎛aa ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。

第十四节 定积分与微积分基本定理(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73.S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B . 答案 BA ．3B ．4C ．3.5D ．4.5解析答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d xC.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.答案 C4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析答案 B5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.答案 C6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T33＝9，∴T ＝3. 答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.答案 13＋π49．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.答案 54三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.① 由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16. 又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－ 312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2. (1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y＝x3－3x的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。

备考2020年高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）由直线 y =3−x ，曲线 y =2√x 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．83B ．3C ．103D ．√2+22．（2分）曲线 y =2x与直线 y =x −1 及 x =4 所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln2B ．2−ln2C ．4−ln2D ．4−2ln23．（2分）曲线y= 4x与直线y=5-x 围成的平面图形的面积为（ ） A ．152B ．154C ．154 -4ln2D ．152-8ln24．（2分）定积分 ∫−a a √a2−x 2dx 等于( )A ．14πa 2B ．12πa 2C ．πa 2D ．2πa 25．（2分）射线 y =4x(x ≥0) 与曲线 y =x 3 所围成的图形的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．66．（2分）曲线 y 2=x 与 y =x 2 所围图形的面积为（ ）A ．16B ．π−24C ．13D ．π2−17．（2分）曲线y ＝x 2与曲线y ＝8 √x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．643B ．1283C ．483D ．14438．（2分）如图所示，正弦曲线 y =sin x ，余弦曲线 y =cos x 与两直线 x =0 ， x =π 所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√29．（2分）在求由 x =a,x =b(a <b),y =f(x)(f(x)≥0) 及 y =0 围成的曲边梯形的面积 S时，在区间 [a,b] 上等间隔地插入 n −1 个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是( ) A ．n 个小曲边梯形的面积和等于 S B ．n 个小曲边梯形的面积和小于 SC．n个小曲边梯形的面积和大于SD．n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定10．（2分）由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln 2B．ln 2－1C．1＋ln 2D．2ln 211．（2分）求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ [0,t]等分成n个小区间，则第i−1个区间为()A．[i−1n ,in]B．[i n,i+1n]C．[t(i−1)n ,tin]D．[t(i−2)n,t(i−1)n]12．（2分）如图，由曲线y=x2−1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（）A．1B．23C．43D．2二、填空题(共6题；共6分)13．（1分）∫(√1−(x−1)2−2x)dx1=．14．（1分）由曲线y=1x，y2=x与直线x=2，y=0所围成图形的面积为．15．（1分）计算定积分∫(√1−(1−x)2−1)dx=1.16．（1分）∫02√4−x2dx=.17．（1分）曲线y=x2和曲线y= √x围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是．18．（1分）已知抛物线C：y=ax2的焦点坐标为(0，1)，则抛物线C与直线y=x所围成的封闭图形的面积为．三、解答题(共3题；共15分)19．（5分）如图，阴影部分区域是由函数y=cosx的图象，直线y=1，x=π围成，求这阴影部分区域面积．20．（5分）求曲线y=2x﹣x2，y=2x2﹣4x所围成图形的面积．与直线y=x，x=2所围成的图形面积．21．（5分）求曲线y= 1x答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】如下图所示，联立 {y =2√xy =3−x ，得 {x =1y =2 ，则直线 y =3−x 与曲线 y =2√x 交于点 A(1,2) ， 结合图形可知，所求区域的面积为 ∫12√xdx +∫(3−x)31dx=43x 32|1+(3x −12x 2)|13 =43+2=103 ，故答案为：C 。