九年级数学下册第3章圆3-2圆的对称性同步练习新版北师大版_

2圆的对称性基础过关全练知识点1圆的对称性1.下列说法中,不正确的是()A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴2.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形MNEF各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是()A.4πB.3πC.2πD.π知识点2圆心角、弧、弦之间的关系3.下列命题是真命题的是()A.相等的弦所对的弧相等B.圆心角相等,其所对的弦相等C.在同圆或等圆中,圆心角不相等,所对的弦不相等D.弦相等,它所对的圆心角相等4.如图所示,在☉O中,AB=AC,∠A=30°,则∠B=()A.150°B.75°C.60°D.15°5.观察下列图形及相应的推理,其中正确的是()∵AB=AC,∴AB=AC.①∵∠AOB=∠COD,∴AB=CD.②∵AD=BC,∴AB=CD.③∵AB=CD,∴∠AOB=∠COD.④A.①②B.③④C.①③D.②④6.(2022广东广州七中期中)如图,已知AB、CD是☉O的直径,AE= AC,∠BOD=32°,则∠COE的度数为度.7.如图,AB是☉O的弦,C、D为弦AB上的两点,且OC=OD,延长OC、OD分别交☉O于点E、F.求证:AE=BF.能力提升全练8.(2022北京顺义期末,7,)如图,在☉O中,如果AB=2AC,则下列关于弦AB与弦AC之间的关系正确的是()A.AB=ACB.AB=2ACC.AB>2ACD.AB<2AC9.(2018贵州毕节中考,19,)如图,AB是☉O的直径,C、D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为.10.(2022辽宁大连普兰店期末,19,)如图,在☉O中,AB=AC,∠BOC =120°.求证:△ABC是等边三角形.11.(2018黑龙江牡丹江中考,22,)如图,在☉O中,AB=2AC,AD⊥OC于D.求证:AB=2AD.素养探究全练12.【推理能力】把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,求BC所对的圆心角的度数.13.【推理能力】如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.(1)求证:AM=BN.(2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则AM=MN=BN成立吗?请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以A说法正确;圆是一个特殊的中心对称图形,它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合,所以B说法正确;圆的对称轴是过圆心的直线,这样的直线有无数条,对称中心只有一个,是圆心,所以C说法正确;直径是线段而不是直线,不能说直径是圆的对称轴,所以D说法错误.故选D.2.D 利用圆和正方形的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之一,π×22=π.即S阴影=143.C A项、B项、D项中的结论若要成立,都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件,所以A项、B项、D项错误.故选C.4.B ∵在☉O中,AB=AC,∴AB=AC,∴∠B=∠C,=75°.又∠A=30°,∴∠B=180°−30°25.C ∵在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,故①正确;③中,∵AD=BC,∴AD+BD=BC+BD,即AB=CD,∴AB=CD,故③正确;②和④中,不是在同圆或等圆中,故不正确.6.64解析∵∠BOD=32°,∴∠AOC=32°,∵AE=AC,∴∠AOE=∠AOC=32°,∴∠COE=∠AOC+∠AOE=32°+32°=64°,故答案为64.7.证明∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠AOC=∠BOD,∴AE=BF.能力提升全练8.D 如图,取弧AB的中点D,连接AD,BD,则AB=2AD=2BD, ∵AB=2AC,∴AD=BD=AC,∴AD=BD=AC.在△ABD中,AD+BD>AB,∴AC+AC>AB,即AB<2AC.故选D.9.30°解析如图,连接OC.∵AB是直径,AC=CD=BD,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴∠A=60°,∵CE⊥OA,∴∠AEC=90°,∴∠ACE=90°-60°=30°.10.证明∵AB=AC,∴∠AOB=∠AOC,∵∠BOC=120°,∴∠AOB+∠AOC=360°-120°=240°,∴∠AOB=∠AOC=120°,∴∠AOB=∠AOC=∠BOC,∴AB=AC=BC.∴△ABC是等边三角形.11.证明如图,延长AD交☉O于点E,连接OA,OE.∵OC⊥AD,OA=OE,∴∠EOC=∠AOC,AD=DE,∴AE=2AC,AE=2AD,∵AB=2AC,∴AE=AB,∴AB=AE,∴AB=2AD.素养探究全练12.解析如图,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E.由题意可得EO=12BO,AB∥DC,∴∠BOD=∠EBO=30°.∴∠BOC=180°-30°=150°.故BC所对的圆心角的度数是150°.13.解析(1)证明:如图,连接OM,ON.∵OA=OB,AC=BD,∴OA-AC=OB-BD,∴OC=OD.∵MC⊥AB,ND⊥AB,∴∠OCM=∠ODN=90°,又∵OM=ON,∴Rt△OCM≌Rt△ODN,∴∠AOM=∠BON,∴AM=BN.(2)成立.理由如下:∵C为OA的中点,∴AC=OC=12AO=12MO,∴在Rt△MCO中,cos∠COM=COMO =12,∴∠AOM= 60°.同理可得∠BON=60°,∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°,∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,∴AM=MN=BN.。

3.2 圆的对称性同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）1. 下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③B.②④C.①④D.②③2. 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=()A.105∘B.120∘C.135∘D.150∘3. 如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80∘，则∠ACB=()A.80∘B.70∘C.60∘D.40∘4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=25∘，以C为圆心，以CA的长为半径的圆交AB于点D，则弧AD的度数为（）A.25∘B.50∘C.45∘D.30∘5. 在⊙O与⊙O′中，若∠AOB=∠A′O′B′，则AB与A′B′的关系为（）A.AB=A′B′B.AB>A′B′C.AB<A′B′D.无法确定̂上的点，E是AĈ上的点，若∠BAC＝50∘．则6. △ABC的三个顶点在⊙O上，D是AB∠D+∠E＝（）A.220∘B.230∘C.240∘D.250∘∘̂=CD̂，则AC与BD的关系是（）7. 如图，在⊙O中，已知ABA.AC=BDB.AC<BDC.AC>BDD.不确定8. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30∘，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A.30B.45C.50D.609. 下列五个命题：(1)两个端点能够重合的弧是等弧；(2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分(3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形(5)三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）10. 如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝________．11. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中AB是⊙O的直径，已知AD=CD，CD // AB，则∠BCD的度数是________．̂=BĈ，那么与∠AOE相等的角有12. 如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60∘，且AD________，与∠AOC相等的角有________．13. 从圆内一点P引两条弦AB与CD，则∠APC与弧AC、BD度数间的关系是________．14. 弦AB分圆为1:3两部分，则劣弧所对圆心角为________．15. 一条弦把圆分成2:3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为________．16. 如图，弦AB把⊙O分成1:2的两部分，则圆心角∠AOB的大小为________．17. 如图，已知AB 和CD 是⊙O 的两条直径，CE // AB ，若CE ⌢的度数为40∘，则AE ⌢的度数为________．18. 如图，⊙O 中，半径OA ⊥半径OB ，C 是AB̂上任一点，则∠A +∠B =________．19. 如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=________度．三、 解答题 （本题共计 7 小题，共计63分 ， ）20. 如图，⊙O 的弦AB ，AC 的夹角为50∘，P 、Q 分别是AB̂和AC ̂的中点，求PQ ̂的度数．21. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，且OE=DE，试确定BĈ与AD̂之间的数量关系．22. 如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB=CD，求证：AC=BD.23. 如图，在☉O中，AB是直径，C、D是圆上两点，使得AD=BC．求证：AC= BD．24. 如图，在Rt△AOB中，∠B=40∘，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB于点D．求CD̂的度数．25. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC // OD．(1)求证：BD̂=CD̂．(2)若AĈ的度数为58∘，求∠AOD的度数．26. 如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF // AB交⊙O于点F，BE // DC交⊙O于点E．（1）求证：BE=DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）．参考答案一、选择题（本题共计9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】C【解答】解：圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确；在同圆和等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦相等，所以②错误；③在同圆和等圆中，两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等，所以③错误；在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变，所以④正确．故选C．2.【答案】B【解答】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，☉ 弦BC和CD和DA对的圆心角均为60∘，☉ ∠BCD=120∘．故选B．3.【答案】D【解答】解：由题意得，∠ACB=12∠AOB=12×80∘=40∘．故选D．4.【答案】B【解答】解：连接CD．☉ 在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=25∘☉ ∠A=90∘−∠B=65∘．☉ CA=CD，☉ ∠CDA=∠CAD=65∘（等边对等角），☉ ∠ACD=50∘即弧AD的度数是50∘．故选B．5.【答案】D【解答】解：☉ ⊙O与⊙O′的半径不知大小，☉ AB与A′B′的大小也不能确定．故选D．6.【答案】B【解答】连接OA、OB、OC，如图所示：☉ ∠BAC＝50∘，☉ ∠BOC＝2∠BAC＝100∘，☉ ∠AOB+∠AOC＝360∘−100∘＝260∘，☉ ∠D=12(∠BOC+∠AOC)，∠E=12(∠BOC+∠AOB)，☉ ∠D+∠E=12(∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB)=12(260∘+100∘+100∘)＝230∘．故选：B．7.【答案】A【解答】̂=CD̂，解：☉ AB̂−BĈ=CD̂−BĈ，☉ AB☉ AĈ=BD̂，☉ AC=BD．故选A．8.【答案】A【解答】解：☉ OD⊥BC，∠ABC=30∘，☉ 在直角三角形OBE中，∠BOE=60∘（直角三角形的两个锐角互余）；∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），又☉ ∠DCB=12☉ ∠DCB=30∘；故选A．9.【答案】A【解答】解：(1)两个端点能够重合的弧是等弧；故错误．(2)半圆是特殊的弧，是圆的一半，优弧是大于半圆的弧，劣弧是小于半圆的弧；故错误．(3)经过平面上在同一直线上的三点不能确定一个圆；故错误．(4)任意一个圆有无数个内接三角形，一个三角形只能确定一个外接圆；故错误．(5)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线，到各顶点的距离相等；故正确．故选A．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）10.【答案】120∘【解答】连接OC、OD，☉ BC＝CD＝DA，̂=DĈ=CB̂，☉ AD☉ 弦BC、CD、DA三等分半圆，☉ 弦BC和CD和DA对的圆心角均为60∘，(180∘+60∘)＝120∘．☉ ∠BCD=1211.【答案】120∘【解答】解：如图，连结AC，设∠CAD=α．☉ AB是⊙O的直径，☉ ∠ACB=90∘．☉ AD=CD，☉ ∠ACD=∠CAD=α，☉ CD // AB，☉ ∠ACD=∠CAB=α，☉ ∠DAB=∠CAD+∠CAB=2α，AD=BC．☉ CD // AB，☉ 四边形ABCD是等腰梯形，☉ ∠B=∠DAB=2α．在△ABC中，☉ ∠ACB=90∘，☉ ∠CAB+∠B=90∘，☉ α+2α=90∘，☉ α=30∘，☉ ∠B=2α=60∘☉ CD // AB，☉ ∠BCD=180∘−∠B=120∘．故答案为120∘．12.【答案】∠AOD，∠DOC，∠BOC,∠DOE，∠DOB，∠BOE 【解答】解：如图，☉ AB是⊙O的直径，∠COD=60∘，☉ ∠AOD+∠BOC=120∘．̂=BĈ，☉ AD∘☉ ∠AOE=∠BOC=60∘，☉ ∠AOC=2∠COD=120∘，☉ ∠DOE=∠DOB=∠BOE=120∘．综上所述，∠AOE相等的角有：∠AOD，∠DOC，∠BOC；与∠AOC相等的角有：∠DOE，∠DOB，∠BOE．故答案分别是：∠AOD，∠DOC，∠BOC；∠DOE，∠DOB，∠BOE．13.【答案】∠APC=12（弧AC的度数+弧BD的度数）【解答】解：如图，连BC，☉ ∠APC=∠B+∠C，又☉ ∠B=12弧AC的度数，∠C=12弧BD的度数，☉ ∠APC=12（弧AC的度数+弧BD的度数）．14.【答案】90∘【解答】解：设弦AB分圆的两部分别为x，3x，☉ x+3x=360∘，解得：x=90，则劣弧所对圆心角为90∘．故答案为：90∘15.【答案】144∘【解答】解：☉ 弦AB 把圆O 分成2:3两部分，☉ 弧AB 的度数是25×360∘=144∘， ☉ 弧AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是144∘，故答案为：144∘．16.【答案】120∘【解答】解：☉ 弦AB 把⊙O 分成1:2的两部分，☉ 弧AB 的度数=13×360∘=120∘，☉ ∠AOB =120∘．故答案为120∘．17.【答案】70∘【解答】解：连接OE ，☉ CE ⌢=40∘，∘☉ OC =OE ，☉ ∠E =180∘−40∘2=70∘．☉ CE // AB ，☉ ∠AOE =∠E =70∘，☉ AE ⌢的度数为70∘，故答案为：70∘．18.【答案】135∘【解答】解：在优弧AB̂上取点D ，连接DC 、DB ， ☉ OA ⊥OB ，☉ ∠AOB =90∘，☉ ∠ADB =45∘，☉ ∠ACB =180∘−45∘=135∘，☉ ∠A +∠B =360∘−135∘90∘=135∘， 故答案为：135∘．19.【答案】 135【解答】解：☉ ∠α+∠β=360∘，且∠α:∠β=0.6，☉ ∠β=360∘÷1.6=225∘，∠α=360∘−225∘=135∘． 故本题答案为：135∘．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 20.【答案】解：☉ P 、Q 分别是AB̂和AC ̂的中点， ☉ OP ⊥AB ，OQ ⊥AC ，☉ ∠OEA =∠OFA =90∘，∘☉ ∠EOF=180∘−50∘=130∘，̂的度数为130∘．☉ PQ【解答】̂和AĈ的中点，解：☉ P、Q分别是AB☉ OP⊥AB，OQ⊥AC，☉ ∠OEA=∠OFA=90∘，而∠CAB=50∘，☉ ∠EOF=180∘−50∘=130∘，̂的度数为130∘．☉ PQ21.【答案】解：连结OC、OD，如图，☉ OE=DE，☉ ∠1=∠D，☉ ∠2=∠1+∠D=2∠1，☉ OC=OD，☉ ∠D=∠C，☉ ∠C=∠1，☉ ∠BOC=∠C+∠2，☉ ∠BOC=3∠1，☉ BĈ=3AD̂．【解答】解：连结OC、OD，如图，☉ OE=DE，☉ ∠1=∠D，☉ ∠2=∠1+∠D=2∠1，☉ OC=OD，☉ ∠D=∠C，☉ ∠C=∠1，☉ ∠BOC=∠C+∠2，☉ ∠BOC=3∠1，☉ BĈ=3AD̂．22.【答案】证明：☉ AB=CD，̂=CD̂，☉ AB̂+BĈ=CD̂+BĈ，☉ AB̂=BD̂，即AC☉ AC=BD．【解答】证明：☉ AB=CD，̂=CD̂，☉ AB̂+BĈ=CD̂+BĈ，☉ AB̂=BD̂，即AC☉ AC=BD．23.【答案】证明：☉ AD=BC，̂=BĈ，☉ AD☉ AĈ=BD̂，☉ AC=BD．【解答】证明：☉ AD=BC，̂=BĈ，☉ AD☉ AĈ=BD̂，☉ AC=BD．24.【答案】解：连接OC，☉ ∠O=90∘，∠B=40∘，☉ ∠A=180∘−90∘−40∘=50∘，☉ OA=OC，☉ ∠ACO=∠A=50∘，☉ ∠COD=∠ACO−∠B=10∘，̂的度数是10∘．．☉ CD【解答】解：连接OC，☉ ∠O=90∘，∠B=40∘，☉ ∠A=180∘−90∘−40∘=50∘，☉ OA=OC，☉ ∠ACO=∠A=50∘，☉ ∠COD=∠ACO−∠B=10∘，̂的度数是10∘．．☉ CD25.【答案】解：(1)证明：连接OC．☉ OA=OC，☉ ∠OAC=∠ACO．☉ AC // OD，☉ ∠OAC=∠BOD．☉ ∠DOC=∠ACO．☉ ∠BOD=∠COD，̂=CD̂．☉ BD☉ BD ̂=CD ̂=12BC ̂=(180∘−58∘)=61∘． ☉ AD̂=61∘+85∘=119∘， ☉ ∠AOD =119∘．【解答】解：(1)证明：连接OC ．☉ OA =OC ， ☉ ∠OAC =∠ACO ．☉ AC // OD ，☉ ∠OAC =∠BOD ．☉ ∠DOC =∠ACO ．☉ ∠BOD =∠COD ，☉ BD̂=CD ̂．(2)☉ BD ̂=CD ̂， ☉ BD ̂=CD ̂=12BC ̂=(180∘−58∘)=61∘． ☉ AD̂=61∘+85∘=119∘， ☉ ∠AOD =119∘．26.【答案】（1）证明：☉ DF // AB ，BE // DC ， ☉ ∠EBA =∠COA =∠CDF ．☉ ECÂ=CAF ̂， ☉ BÊ=DF ̂， ☉ BE =DF ；（2）图中相等的劣弧有：DF̂=BE ̂， EĈ=FA ̂=AC ̂=BD ̂， DÂ=BC ̂， BF̂=DE ̂等． 【解答】（1）证明：☉ DF // AB ，BE // DC ， ☉ ∠EBA =∠COA =∠CDF ．̂=DF̂，☉ BE☉ BE=DF；（2）图中相等的劣弧有：DF̂=BÊ，EĈ=FÂ=AĈ=BD̂，DÂ=BĈ，BF̂=DÊ等．。

北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性同步测试(原卷版)一．选择题1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60B．80 C．100 D．1202．如图，在∠O中，＝2，则以下数量关系正确的是（）A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB3.如图，AB是∠O的直径，BC、CD、DA是∠O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105° B．120° C．135° D．150°4.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．B．C．D．4cm5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．6B．5C．4D．36．如图在∠O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（）A．45°B．80°C．85°D．90°7.如图，弧DA A是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧D 上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）D．15＋A．15 B．20 C．15＋8.如图，已知：AB是∠O的直径，C、D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（）A．40° B．60° C．80° D．120°9．下列语句中不正确的有（）∠相等的圆心角所对的弧相等；∠平分弦的直径垂直于弦；∠圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；∠长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD∠OA，交AB于点D，则CD的长为（）A．B．3C．D．211．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm12．如图，AB是∠O的直径，C，D分别是∠O上的两点，OC∠OD，AC＝2cm，BD＝cm，则∠O的半径是（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm二．填空题13．如图，在∠O中，，AB＝3，则AC＝．14.如图，圆心角∠AOB＝20°，将AB旋转n°得到CD，则CD的度数是度．15.已知：如图，在∠O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____16．点A、C为直径是6的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC 为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为．17．如图，∠O的半径为10，点A、E、B在圆周上，∠AOB＝45°，点C、D分别在OB、OA上，菱形OCED的面积为．18．如图，AB是∠O的直径，点D、C在∠O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则∠O的半径长为．三．解答题19．如图，点A，B，C，D在∠O上，BD＝AC．求证：AB＝CD．20．如图，在Rt∠ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为．（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．21．如图，已知：AC、BD是∠O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．22.如图，在∠ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的∠O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．（1）求证：∠ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使∠PBD∠∠AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．23．如图，AB为 ∠O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON∠AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．24.如图，等边∠ABC内接于∠O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∠BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度；（2）求证：∠ACM∠∠BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．25．已知∠O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．（1）如图∠，连接BD，若BD是∠O的直径，求证：∠A＝∠C；（2）如图∠，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性同步测试(解析版)一．选择题1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60B．80 C．100 D．120解：∠内接四边形的对角互补，∠∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x∠3x＋4x＋6x＋5x＝360°∠x＝20°∠∠D＝100°故选：C．2．如图，在∠O中，＝2，则以下数量关系正确的是（）A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB 解：如图．连接BC．∠＝2，∠＝，∠AB＝BC，∠AB+BC＞AC，∠2AB＞AC，故选：C．3.如图，AB是∠O的直径，BC、CD、DA是∠O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105° B．120° C．135° D．150°解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，∠弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∠∠BCD＝120°．故选：B．4.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．B．C．D．4cm解：连接OD，OC，作DE∠AB于E，OF∠AC于F，∠∠CAD＝∠BAD，∠CD BD，∠∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∠∠AOF∠∠ODE，AC＝3（cm），在Rt∠DOE中，DE4（cm），∠OE＝AF＝12在Rt∠ADE中，AD（cm）．故选：A．5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．6B．5C．4D．3解：设正多边形的边数为n．由题意＝72°，∠n＝5，故选：B．6．如图在∠O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（）A．45°B．80°C．85°D．90°解：∠＝，∠∠AOC＝∠BOC＝45°，∠∠AOB＝45°+45°＝90°，故选：D．7.如图，弧DA A是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧D 上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15 B．20 C．15＋D．15＋解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∠当P的运动到D点时，AP最长为，所以周长为5×3＋＝15＋C．8.如图，已知：AB是∠O的直径，C、D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（）A．40° B．60° C．80° D．120°解：∠∠AOE＝60°，∠∠BOE＝180－∠AOE＝120°，∠BE的度数是120°，∠C、D是BE上的三等分点，∠CD与ED的度数都是40度，∠∠COE＝80°．故选：C．9．下列语句中不正确的有（）∠相等的圆心角所对的弧相等；∠平分弦的直径垂直于弦；∠圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；∠长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个解：∠和∠、错误，应强调在同圆或等圆中；∠、错误，应强调不是直径的弦；∠、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴．故选：D．10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD∠OA，交AB于点D，则CD的长为（）A．B．3C．D．2解：连接OC，交AB于F，∠C是的中点，∠，∠∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝＝60°，OC∠AB，Rt∠BOF中，OB＝OA＝6，∠OF＝OB＝3，∠CF＝6﹣3＝3，∠CD∠OA，∠∠OEC＝90°，∠∠OCE＝30°，∠∠CFD＝90°，∠DF＝，CD＝2DF＝2，故选：D．11．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm解：连接OD，OC，作DE∠AB于E，OF∠AC于F，∠∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∠＝，∠∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∠∠AOF∠∠ODE，∠OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt∠DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt∠ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．12．如图，AB是∠O的直径，C，D分别是∠O上的两点，OC∠OD，AC＝2cm，BD＝cm，则∠O的半径是（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm解：过点O作OE∠AB，与圆交于点E，过点D作DH∠BC于点H，过点E作EG∠BC于点G，连接CE、DE、BC．∠GH＝DE＝2∠OC∠OD，OE∠AB，∠∠COD＝∠AOE＝∠BOE＝90°，∠∠AOC＝∠EOD，∠COE＝∠BOD，∠AC＝DE＝2，CE＝BD＝，∠∠COD＝90°，∠BOE＝90°，∠∠CBD＝∠COD＝45°，∠BCE＝BOE＝45°，∠∠CED＝180°﹣∠CBD＝135°，∠BDE＝180°﹣∠BCE＝135°，∠∠CED+∠BCE＝180°，∠DE∠BC，四边形EDBC为等腰梯形，∠BD＝，∠CBD＝45°，∠DBH＝45°，∠HB＝HD＝BD＝1，同理EG＝1，∠EG∠BC，DH∠BC，∠EG∠DH，∠四边形EDHG是平行四边形，∠GH＝DE＝2，∠BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4在Rt∠ABC中，AB2＝AC2+BC2＝AC2+BC2＝22+42＝20，∠AB＝，OA＝OB＝故选：C．二．填空题13．如图，在∠O中，，AB＝3，则AC＝3．解：∠在∠O中，，∠AC＝AB＝3，故答案为：314.如图，圆心角∠AOB＝20°，将AB旋转n°得到CD，则CD的度数是度．解：∠将AB旋转n°得到CD，∠AB＝CD，∠∠DOC＝∠AOB＝20°，∠CD的度数为20度．故答案为20．15.已知：如图，在∠O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____解：∠在∠O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，∠∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°．故答案为：90°．16．点A、C为直径是6的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC 为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为6或3．解：过B作直径，连接AC交AO于E，∠点B为的中点，∠BD∠AC，如图∠，∠点D恰在该圆直径的三等分点上，∠BD＝×6＝2，∠OD＝OB﹣BD＝，∠四边形ABCD是菱形，∠DE＝BD＝，∠OE＝2，连接OC，∠CE＝，∠边CD＝；如图∠，BD＝×6＝4，同理可得，OD＝，OE＝，DE＝2，连接OC，∠CE＝，∠边CD＝，故答案为6或3．17．如图，∠O的半径为10，点A、E、B在圆周上，∠AOB＝45°，点C、D分别在OB、OA上，菱形OCED的面积为50﹣50．解：连接OE，CD交于点G，过D作DF∠OB于F，∠∠AOB＝45°，∠∠ODF是等腰直角三角形，设OF＝x，则DF＝x，OD＝x，∠四边形OCED是菱形，∠OE∠CD，OG＝EG＝OE＝5，∠OC＝OD，∠∠ODG＝∠DCF，∠∠DFC＝∠OGD＝90°，∠∠DFC∠∠OGD，∠，∠，DC＝，在Rt∠OCG中，，解得x2＝50+25（舍）或50﹣25，∠菱形OCED的面积＝CD•OE＝•10＝＝50﹣50，故答案为：50﹣50．18．如图，AB是∠O的直径，点D、C在∠O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则∠O的半径长为．解：延长CO交∠O于R，连AR，DR，过D作DM∠AR于M，∠∠DOC＝90°，∠∠DOR＝90°，∠∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∠∠DAM＝45°，∠DM∠AM，DA＝2，∠DM＝AM＝，∠MR＝2，DR＝，∠2OD2＝DR2，∠OD＝故答案为三．解答题19．如图，点A，B，C，D在∠O上，BD＝AC．求证：AB＝CD．证明：∠BD＝AC，∠，∠，即，∠AB＝CD20．如图，在Rt∠ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为50°．（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．解：（1）连接OC．∠∠AOB＝90°，∠A＝25°，∠∠B＝90°﹣∠A＝65°，∠OB＝OC，∠∠B＝∠OCB＝65°，∠∠BCO＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∠弧BC的度数为50°，故答案为50°．（2）如图，作OH∠BC于H．在Rt∠AOB中，∠∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，∠AB＝＝＝5，∠S∠AOB＝•OB•OA＝•AB•OH，∠OH＝＝，∠BH＝＝＝，∠OH∠BC，∠BH＝CH，∠BC＝2BH＝．21．如图，已知：AC、BD是∠O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．证明：∠AC＝BD，∠＝，∠﹣＝﹣，∠＝，∠AB＝CD．22.如图，在∠ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的∠O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．（1）求证：∠ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使∠PBD∠∠AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：连接AD，∠AB是∠O的直径，∠∠ADB＝90°．∠点D是BC的中点，∠AD是线段BC的垂直平分线，∠AB＝AC，∠AB＝BC，∠AB＝BC＝AC，∠∠ABC为等边三角形．（2）解：连接BE．∠AB是直径，∠∠AEB＝90°，∠BE∠AC，∠∠ABC是等边三角形，∠AE＝EC，即E为AC的中点，∠D是BC的中点，故DE为∠ABC的中位线，∠DE＝12AB＝12×2＝1．（3）解：存在点P使∠PBD∠∠AED，由（1）（2）知，BD＝ED，∠∠BAC＝60°，DE∠AB，∠∠ABC＝60°，∠∠PBD＝120°，∠∠PBD＝∠AED，要使∠PBD∠∠AED；只需PB＝AE＝1．23．如图，AB为 ∠O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON∠AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∠OA＝OB，∠∠A＝∠B，∠＝，∠∠AOE＝∠BOF，在∠AOE和∠OBF中，，∠∠AOE∠∠BOF（ASA），∠OE＝OF；（2）解：连接OA，如图2所示：∠OM∠AB，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt∠AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∠OM＝3．24.如图，等边∠ABC内接于∠O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∠BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度；（2）求证：∠ACM∠∠BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．解：（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；（2）证明：∠CM∠BP，∠∠BPM＋∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC，∠∠BPC ＝∠BAC ＝60°，∠∠PCM ＝∠BPC ＝60°，∠∠M ＝180°－∠BPM ＝180°－（∠APC ＋∠BPC ）＝180°－120°＝60°， ∠∠M ＝∠BPC ＝60°，又∠A 、P 、B 、C 四点共圆，∠∠PAC ＋∠PBC ＝180°，∠∠MAC ＋∠PAC ＝180°∠∠MAC ＝∠PBC∠AC ＝BC ，∠∠ACM∠∠BCP ；（3）解：作PH∠CM 于H ，∠∠ACM∠∠BCP ，∠CM ＝CP AM ＝BP ，又∠M ＝60°，∠∠PCM 为等边三角形，∠CM ＝CP ＝PM ＝PA ＋AM ＝PA ＋PB ＝1＋2＝3，在Rt∠PMH 中，∠MPH ＝30°，∠PH ，∠S 梯形PBCM ＝12（PB ＋CM ）×PH ＝12(2＋＝ ．25．已知∠O 经过四边形ABCD 的B 、D 两点，并与四条边分别交于点E 、F 、G 、H ，且＝．（1）如图∠，连接BD，若BD是∠O的直径，求证：∠A＝∠C；（2）如图∠，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．解：（1）连接DF、DG．∠BD是∠O的直径，∠∠DFB＝∠DGB＝90°，∠＝，∠∠EDF＝∠HDG，∠∠DFB＝∠EDF+∠A，∠DGB＝∠HDG+∠C，∠∠A＝∠C．（2）结论：α+β+θ＝180°．理由：如图∠中，连接DF，BH．∠＝，∠∠ADF＝∠HBG＝θ，∠∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°，∠∠AFD＝∠DHB，∠∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG，∠∠A+θ+∠C+θ＝180°，∠α+β+θ＝180°．。

北大版九年级数学下册第三章圆 3.2 圆的对称性同步练习一、单选题（共10题；共30分）1.下列命题中，假命题是（）A. 两条弧的长度相等，它们是等弧B. 等弧所对的圆周角相等C. 直径所对的圆周角是直角D. 一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍2.如图，点A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于（）A. 50°B. 60°C. 65°D. 70°3.如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°4.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个5.如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（）A. B. C. D.6.下列说法不正确的有（）①直径是弦，弦是直径；②长度相等的弧是等弧；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°8.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A. 30°B. 40°C. 60°D. 80°10.如图，D是弧AC的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（共10题；共28分）11. 如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.12.如图，⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，的度数是40°，则∠BOD=________ ．13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=50°，则∠OAB= ________°．14.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=________ ．15.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．16.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，则∠AOE=________ °．17.如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=________．18.如图，⊙经过五边形的四个顶点，若∠°，∠°，∠°，则的度数为________．19.如图3，A、B、C、D是⊙ O 上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，∠AOB=100°，∠OBC=55°，∠OEC =________度.20.如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为________．三、解答题（共7题；共42分）21.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．22.如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．求证：△ABD为等边三角形．23.如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：=．24.如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．25.如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC，AD于E，F两点，交BA 的延长于G，判断弧EF和弧FG是否相等，并说明理由。