天津九校联考2019年高三文数模拟试卷

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．5 10．e −1 11．1612．(x +1)2+(y +1)2=2 13．92 14．(0,1)三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵(3a +b )cos C +c cos B =0，由sin sin sin a b c A B C== ……1分 ∴(3sin A +sin B )cos C +sin C cos B =0， ………………………………2分 ∴3sin A cos C +sin (B +C )=0， ……………………………………………4分 在∆ABC 中，由于sin (B +C )=sin A ≠0， ……………………………………5分 ∴cos C =13−. ………………………………………………．．．．…………6分 （Ⅱ）∵c =√6，由（Ⅰ）及由余弦定理，得6=a 2+b 2−2ab cos C ，……7分即6=a 2+b 2−2ab ×(13−)， ∴a 2+b 2+23ab =6，∴(a +b )2−43ab =6.（※） ……………………9分由（Ⅰ）知sin C =√1−cos 2C =3. ……………………10分由题意，得S ∆ABC =12ab sin C =4，∴ab =94. ………………………12分 结合（※）式，得a +b =3. ……………………………………………13分16．解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人数为5334671000+=，………………………1分被录用的人数为264169433+=． …………………………………2分 所以，从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P =4331000. …………………………………………4分 （Ⅱ）记应聘D 学科的男性为123,,A A A ,应聘D 学科的女性为123,,B B B ，从应聘D 学科的6人中随机选择2人，共有15种结果：12{,},A A 13{,},A A 11{,},A B1213{,},{,}A B A B ，23{,},A A 212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}A B ，121323{,},{,},{,}.B B B B B B ……………………………………8分事件M “抽取的2人性别不同”情况有9种：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B ，212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}.A B …………………………………………10分 易得，其概率为93=155…………………………………………12分 所以事件M 发生的概率为35 ……………………………13分17．解：（Ⅰ）如图所示，四边形BCDE是等腰梯形，所以DE∥BC.所以∠ADE就是异面直线AD与BC所成的角，……2分在∆ADE中，AD=AE.又O为DE的中点，所以AO⊥DE.在∆ADO中，AD=√5,AO=2，所以异面直线AD与BC所成角的正弦值为5.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥DE. ………………………………………6分因为平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED=DE,且AO⊂平面A1DE，所以AO⊥平面BCED，…………………………………………………… 7分所以CO⊥AO.……………………………………………………………8分在∆OBC中，BC=4，易得OB=OC=2√2，所以CO⊥BO，又因为AO∩BO=O，所以CO⊥平面AOB. ……………………………9分又CO⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.……………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知CO⊥平面AOB，所以直线AC与平面AOB所成角就是∠CAO. ……………………………11分在Rt∆AOC中，OC=2√2,AO=2，所以tan∠CAO=OCOA=√2，所以直线AC与平面AOB所成角的正切值为√2．………………………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，………………………………………1分由{a 4−2a 3=9,a 2=3 得{a 2(q 2−2q )=9,a 2=3………………………………2分 解得3q =或1q =-. …………… …………………………………………3分因为数列{a n }为正项数列，所以q =3， …………………………………5分所以，首项a 1=2a q=1， 故其通项公式为a n =3n−1. ………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =(2n −1)∙log 3a 2n+2=(2n −1)(2n +1)， ………8分 所以11111()(21)(21)22121bn n n n n ==−−+−+…………………………10分 所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+L L 11=242n −+ 所以T n <12. …………………………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得2c a =且22211a b+= ，又因为a 2=b 2+c 2， ……………………………3分 解得a 2=4，b 2=2.所以，椭圆C 的方程为22142x y += . …………………………………………5分 （Ⅱ）易知，“椭圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立”． …………………………………6分依题意，点A (−2,0)，设B (t,0),P (m,n )，则有m 2+2n 2=4,① ……7分且PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−n )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −m,−n )， 所以(−2−m,−n )∙(t −m,−n )=0，即(−2−m )(t −m )+n 2=0. ② …………………………………………9分由①得， n 2=242m −代入②，得 (−2−m )(t −m )+242m −=0，③ …………………………………………10分 因为−2<m <2，所以③化为m −t +22m −=0， 即m =2t −2. ………………………………………………………………12分所以−2<2t −2<2，解得0<t <2.故所求点B 的横坐标的取值范围是(0,2)． ………………………………14分20．解：（Ⅰ）由a =0，得f (x )=(x −3)e x ，所以f′(x )=(x −2)e x ， ………………………………2分由f ′(x )<0得x <2, 由f ′(x )>0得x >2,所以，函数()f x 的单调增区间是()2+∞，；单调减区间是()2−∞，.………4分 （Ⅱ）f (x )=(x −3)[e x +a (x −3)]，易得函数f (x )有一个零点x =3. ……………………………………………5分令g (x )=e x +a (x −3).1）若a =0，则g (x )=e x >0，g (x )无零点，所以函数f(x)只有一个零点；………………………………………6分2）若a≠0，则g′(x)=e x+a，①当a>0时，有g′(x)>0，所以函数g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，而g（1a−）=e−1a−1−3a<0, g(3)=e3>0，此时函数g(x)在1(3)a−,内有一个零点，所以f(x)有两个零点. ……………………………………………………7分②当a<0时，由g′(x)=e x+a=0，得x=ln(−a)，所以函数g(x)在区间(−∞,ln(−a))单调递减，在区间(ln(−a),+∞)单调递增，所以函数g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]. …………………………8分（ⅰ）当ln(−a)−4<0，即−e4<a<0时，g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]>0,此时函数g(x)在其定义域内无零点，所以函数f(x)只有一个零点.（ⅱ）当ln(−a)−4=0，即a=−e4<0，此时函数g(x)有一个零点为4，所以函数f(x)有两个零点.（ⅲ）当ln(−a)−4>0，即a<−e4时，g(x)min<0，此时函数g(x)有两个零点，因为(3)0g≠，所以这两个零点均不为3.所以函数()f x有三个零点. ………………………………………………12分综上述，当a=0或−e4<a<0时，函数f(x)只有一个零点；当a>0或a=−e4时，函数f(x)有两个零点；当a<−e4时，函数f(x)有三个零点. ………………………14分。

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．17i 55z =-- 10．e 11．4π312．13．14．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵3，∴ ……………2分∵2π，∴ 2π. ………………………4分由正弦定理，得sin 3sin b Aa B=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵2π，∴ ……………………………………8分∴ 1()33333=-+⨯= ………………………11分∴ 27199-=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分 5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵，∴ . …………1分又∵ ， …………………2分 ∴ 平面 . …………………………………3分 又∵ 平面 ，∴ . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：取 中点 ，连接 .∵ 分别是 的中点， ∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵ ⊄平面PAB ， ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵ ，∴ 平面 . ……………………………………………………………9分NBDC APM∴ 为直线 与平面 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，2PA =,2AD =,PD ∴=,MD ∴=分所以在Rt CMD ∆中，tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线 与平面 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为 ，134=112,a a a +=，∴ ，∴ ，∴ . …………………………………4分 设等比数列 的公比为 ，1225,b a b a ==，∴ ， ，∴ ，所以 . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得. ……………………………………………………………8分 ∴ ，∴ . 上述两式相减，得2112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n -+⋅----+--⋅-+1341=(3)22n n +--⋅-. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +-=-⋅-. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆 的方程为22142x y += …………………………………………………5分（Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A -，设直线 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k -.由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++-=.设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=-+-=.2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+ …………………………………………7分 ∴2012214()221k x x x k =+=-+,2002242(2)(2)2121k ky k x k k k =+=-+=++，∴0012OP y k x k ==-，∴直线 的斜率为12EM OPk k k =-= . 所以，直线 方程为22y kx k =+ .直线 的方程为 . ∴点42(,)33M k --…………………………………………………………9分 ∴点 到直线的距离为424|2|||k k k k d -++== .∴12||AB x x -==1||=||2AP AB =.∴244||||113||=2221APMk k S AP d k ∆=⋅=+ ……………………12分∵APMS ∆=24||3213k k =+，解得k = ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得 ， …………………………1分由函数 在点 ， 处的切线与 平行，得(1)0f '= …………2分 即 . ……………………………………………………3分（Ⅱ）当时,，由=0知. ………………………………………………………4分①当时，，在恒成立，所以函数在上单调递增. ……………………………………………6分②当时，由，解得或23x a<-；由，解得23a-.函数在23a-和上单调递增；在23a-，上单调递减.当时，由，解得23a-或；由，解得23a-.函数在和23a-上单调递增；在，23a-上单调递减. 8分（Ⅲ）当时,，由，得对任意的恒成立.∵,∴，∴在恒成立. ……………………………………9分设,.则,令,则,由，解得. …………10分由，解得；由，解得.∴导函数在区间单增；在区间单减，………………12分∴，所以在上单调递减，∴，∴. ……………………………………………13分故所求实数的取值范围. ………………………………………14分。

2019届天津市部分区高三联考一模数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可. 【详解】集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合{}1,2A B ⋂=，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由202390x y x y +-=⎧⎪⎨⎪--=⎩可得31x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 3．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．12-【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值. 【详解】 输入3,1a i ==，第一次循环2,23a i ==； 第二次循环1,32a i =-=；第三次循环3,4,43a i ==>， 退出循环输出3a =，故选A. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立. 【详解】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立， 若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】00.310.3222,122<<∴<<， 22log 5log 42>=， 0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，结合222+=a b c ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果. 【详解】()3,4在22221x y a b-=的渐近线上，43b a ∴=，① 又12PF PF ⊥，44133c c∴⋅=--+，② 又222+=a b c ，③由①②③得，229,16a b ==，∴双曲线方程为221916x y -=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 7．函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π=D ．12x π=【答案】D【解析】利用图象求得函数()f x 的解析式，根据平移法则求得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由232x k πππ+=+可得结果.【详解】()sin 2y x ϕ=+过,06π⎛⎫⎪⎝⎭，()3k πϕπϕπ∴+=<，k Z ∈,3ϕπ∴=-或23ϕπ=， 又()200,3f πϕ>∴=， ∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位，得()2sin 263g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令232x k πππ+=+，212k x ππ=+，k Z ∈, 0k =时，12x π=为()y g x =的一条对称轴的方程，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8．已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，其中c b a >>，则()()a b f c +的取值范围是（ ）A ．24,36（）B ．48,54（）C ．24,27（）D ．()48,+∞【答案】B【解析】由二次函数的性质可得()()()6a b f c f c +=，数形结合求出c 的取值范围，可得()f c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩ 图象，如图， a b c <<，∴由二次函数的性质可得6a b +=，由图可知，24log 91c <<+，()()()24log 91f f c f ∴<<+， ()()()2log 911248,log 9129f f +-=+==，()89f c ∴<<， ()48654f c <<，即()()a b f c +的取值范围是()48,54，故选B. 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题9．i 是虚数单位，复数132ii-=+_____________. 【答案】1755z i =-- 【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数132i i-+即可. 【详解】()()()()13i 2i 13i 2i 2i 2i ---=++- 17i 17i 555--==--，故答案为17i 55z =--. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()'11f =，则a =____________.【答案】e【解析】利用对数函数的求导公式求出()'f x ,将1x =代入所求导函数，从而可得结果. 【详解】()log a f x x =，()()11','11ln ln f x f x a a∴===， a e ∴=，故答案为e .【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.11．圆柱的体积为34π，底面半径为2，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________. 【答案】43π 【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果. 【详解】设圆柱的高为h ，圆柱体积为34π，底面半径为2， 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭，1h =，设球半径为R ，则()22221R =+，244R =，可得1R =，∴球的体积为34433R ππ=，故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质，以及柱体与球体的体积公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，考查了空间想象能力，属于中档题.12．已知圆心在直线10x y --=上的圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，则该圆的方程为_____________. 【答案】()()222113x y -+-=【解析】求出()()0,4,0,2-的垂直平分线方程，与直线10x y --=联立，可得圆心坐标，从而求得圆的半径，进而可得结果. 【详解】圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，∴圆心在()()0,4,0,2-的垂直平分线上1y =，又圆心在10x y --=上，∴由110y x y =⎧⎨--=⎩得圆心坐标为()2,1，=∴圆的方程为()()222113x y -+-=，故答案为()()222113x y -+-=. 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.13．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】由(),P a b 在直线2x y c ++=上，可得20a b c +=->，设2c mc n-=⎧⎨=⎩，则2m n +=，原式化为4212m n m n +⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可得结果. 【详解】(),P a b 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--， 设2c mc n-=⎧⎨=⎩，则2m n +=，42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c ∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=___________. 【答案】200【解析】由已知，求得15,2102OD AB OC OD ====，且0OA OB ⋅=，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥， 10AB =， 15,2102OD AB OC OD ∴====，且0OA OB ⋅=， ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅- ()2OC OC OA OB OA OB =-⋅++⋅22OC OC OD =-⋅22100100200OC OC =+=+=，故答案为200.【点睛】本题主要考查平面向量的运算以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．三、解答题15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b A B A π===+. （1）求a 的值；（2）求cos 2C 的值. 【答案】（1）3；（2）79. 【解析】（1）由同角三角函数的关系可得sin A 的值，由诱导公式可得sin B 的值，利用正弦定理可得结果；（2）由2B A π=+，可得cos sin 3B A =-=-，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得sin C 的值，再利用二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】（1）cos A =，sin 3A ∴===2B A π=+，sin sin cos 23B A A π⎛⎫∴=+== ⎪⎝⎭.由正弦定理，得sin 3sin b Aa B=== .（2）2B A π=+，cos sin 3B A ∴=-=-. ()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B ⎛∴=+=+== ⎝⎭227cos212sin 199C C ∴=-=-=. 【点睛】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角公式以及正弦定理的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 16．“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动”.他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为()1,2,3i A i =，属于“懈怠型”的人依次记为()1,2,3i B i =，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）56；（2）35. 【解析】（1）根据30人中一天走路步数超过5000步的有25人，由古典概型概率公式可得结果；（2）根据分层抽样方法可得，5人中“积极型”有2人， “懈怠型”有3人，利用列举法可得，在这5人中任选2人，共10种不同的等可能结果：抽取的2人来自不同的类型”有6种不同的等可能结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56， ∴估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. （2）5人中“积极型”有125230⨯=人，这两人分别记为12,A A 5人中“懈怠型”有185330⨯=人，这三人分别记为123,,B B B . 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B .事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6种不同的等可能结果：{}{}{}{}{}{}111213212223,,,,,,,,,.,A B A B A B A B A B A B .易得，其概率为63105=. ∴事件M 发生的概率35.【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题. 利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，//AD BC ，90ADC PAD ∠=∠=︒，112BC CD AD ===，PA =，M 为PD 的中点.（1）求证：PA AB ⊥； （2）求证：//CM 平面PAB ； （3）求直线CM 与平面PAD 所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6π. 【解析】（1）由90PAD ∠=︒，可得PA AD ⊥. 结合,PA CD ⊥利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，进而可得结果；（2）由三角形中位线定理可得//MN AD ，可证明四边形MNBC . 是平行四边形，可得//CM BN ，由线面平行的判定定理可得结果；(3)以A 为原点，以BA 的延长线，,AB AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，先证明CD 是平面PAD 的法向量，求出()()1,1,2,1,0,0CM CD ==，利用空间向量夹角公式可得结果. 【详解】（1）90PAD ∠=︒，PA AD ∴⊥.又,PA CD CD AD D ⊥⋂=，PA ABCD ∴⊥平面.又AB ABCD ⊂平面，PA AB ∴⊥.（2）取PA 中点N ，连接,MN BN .,M N 分别是,PA PD 的中点，//MN AD ∴且12MN AD =， 又//BC AD 且12BC AD =，//MN BC ∴且MN BC =，∴四边形MNBC 是平行四边形，//CM BN ∴，又CM PAB BN PAB ⊄⊂平面，平面，//CM PAB ∴平面.（3）以A 为原点，以BA 的延长线，,AB AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则(()()(,0,2,0,1,0,0,P D C M -，()()1,1,2,1,0,0CM CD ==，,,CD PA CD AD PA AD A ⊥⊥⋂=，CD \^ 平面PAD . ∴CD 是面PAD 的法向量，1cos ,2CD CM CD CM CD CM⋅===⋅, 设直线CM 与平面PAD 所成的角为θ， 则1sin ,26πθθ==， ∴直线CM 与平面PAD 所成的角为6π.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及线面角的向量法，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，3412a a +=，12b a =，25b a =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()()*1nn n n c a b n N=-∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()1341388n n n S +-=-⋅-. 【解析】（1）由11a =，3412a a +=求出{}n a 的公差，可得{}n a 的通项公式，由1225,b a b a ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1341,12a a a =+=，12512a d ∴+=，2d ∴=，21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，1225,b a b a ==，1223,9b a b ∴===，3q ∴=，∴3n n b =.（2）由题意，得()()()11213nnn n n n c a b n =-⋅⋅=-⋅-⋅()()213nn =-⋅- ,()()()()()23133353213nn S n ∴=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅- ,()()()()()()23131333233213nn n S n n +∴-=⋅-+⋅-++-⋅-+-⋅- ,上述两式相减，得()()()()()23143232323213n n n S n +=-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅-. ()1341388n n n S +-∴=-⋅-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM ∆面积为3，求k 的值. 【答案】（1）22142x y +=；（2）2±. 【解析】（1，短轴长为222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线EM 的斜率，可得直线EM 方程，与直线AH 的方程联立求得点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得2413221APMkS AP d k ∆=⋅==+. 【详解】（1）由题意，知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -.由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=.设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∴∆=-+-=. 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+. ()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭， 0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=. ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+.∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12221AB x k ∴=-==+.21221AP AB k ==+. 224113222121APMkS AP d k k ∆∴=⋅=⨯=++. 3AOMS ∆=，243213k k ∴=+，解得2k =±. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 20．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()xf x x e k <+成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞.【解析】（1）求出()'f x ，由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =，从而可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，()()x f x x e k <+对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于21x k x e >--在()0,x ∈+∞恒成立. 设()()21,0x g x x e x =-->，两次求导，可得()()02g x g <=-，从而可得结果.【详解】（1）由题意，得()22'32f x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，()2'32f x x ax =+，由()'0f x =知240a ∆=≥.①当0a =时，0∆=，()'0f x ≥在R 恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()'0f x >，解得0x >或23x a <-； 由()'0f x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()'0f x >，解得23x a >-或0x <； 由()'0f x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，由()()xf x x e k <+，得()3xx x x e k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x >，21x x e k ∴-<+，21x k x e ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21,0xg x x e x =-->，则()'2xg x x e =-，令()2xh x x e =-，则()'2xh x e =-，由()'0h x =，解得ln2x =. 由()'0h x >，解得0ln2x <<； 由()'0h x <，解得ln2x >.∴导函数()'g x 在区间()0,ln2单增；在区间()ln2,∞+单减，()()''ln22ln220g x g ∴≤=-<，∴()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成第 21 页 共 21 页 立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．17i 55z =-- 10．e 11．4π312．13．14．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵3，∴ ……………2分∵2π，∴ 2π. ………………………4分由正弦定理，得sin 3sin b Aa B=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵2π，∴ ……………………………………8分∴ 1()33333=-+⨯= ………………………11分∴ 27199-=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分 5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵，∴ . …………1分又∵ ， …………………2分 ∴ 平面 . …………………………………3分 又∵ 平面 ，∴ . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：取 中点 ，连接 .∵ 分别是 的中点， ∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵ ⊄平面PAB ， ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵ ，∴ 平面 . ……………………………………………………………9分NBDC APM∴ 为直线 与平面 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，2PA =,2AD =,PD ∴=,MD ∴=分所以在Rt CMD ∆中，tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线 与平面 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为 ，134=112,a a a +=，∴ ，∴ ，∴ . …………………………………4分 设等比数列 的公比为 ，1225,b a b a ==，∴ ， ，∴ ，所以 . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得. ……………………………………………………………8分 ∴ ，∴ . 上述两式相减，得2112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n -+⋅----+--⋅-+1341=(3)22n n +--⋅-. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +-=-⋅-. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆 的方程为22142x y += …………………………………………………5分（Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A -，设直线 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k -.由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++-=.设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=-+-=.2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+ …………………………………………7分 ∴2012214()221k x x x k =+=-+,2002242(2)(2)2121k ky k x k k k =+=-+=++，∴0012OP y k x k ==-，∴直线 的斜率为12EM OPk k k =-= . 所以，直线 方程为22y kx k =+ .直线 的方程为 . ∴点42(,)33M k --…………………………………………………………9分 ∴点 到直线的距离为424|2|||k k k k d -++== .∴12||AB x x -==1||=||2AP AB =.∴244||||113||=2221APMk k S AP d k ∆=⋅=+ ……………………12分∵APMS ∆=24||3213k k =+，解得k = ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得 ， …………………………1分由函数 在点 ， 处的切线与 平行，得(1)0f '= …………2分 即 . ……………………………………………………3分（Ⅱ）当时,，由=0知. ………………………………………………………4分①当时，，在恒成立，所以函数在上单调递增. ……………………………………………6分②当时，由，解得或23x a<-；由，解得23a-.函数在23a-和上单调递增；在23a-，上单调递减.当时，由，解得23a-或；由，解得23a-.函数在和23a-上单调递增；在，23a-上单调递减. 8分（Ⅲ）当时,，由，得对任意的恒成立.∵,∴，∴在恒成立. ……………………………………9分设,.则,令,则,由，解得. …………10分由，解得；由，解得.∴导函数在区间单增；在区间单减，………………12分∴，所以在上单调递减，∴，∴. ……………………………………………13分故所求实数的取值范围. ………………………………………14分。

2019天津市高三第三次模拟试卷文科数学（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 一、选择题(每小题5分,共40分)1.若复数iia 213++（a ∈R,i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ( ) A.6B.-6C.23 D. 23- 2.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ． 若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠D ． 若tan 1α≠，则4πα=3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ． 44π-4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+B ．30+．56+． 60+5.将)63cos(2π+=x y 图像按向量)2,4(--=πa 平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）A.π3 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,4π B. π6 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43π C. π6 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,43π D. π3 ，⎪⎭⎫⎝⎛2,4π6.如右图的流程图，若输出的结果132=s ，则判断框中应填 A ．?10≥i B ．?11≥i C ．?11≤i D ．?12≥i7.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （θ为参数） 8.已知双曲线2221(0)x y a a-=>,过点C （0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于A 、B 两点,若2AC CB =，则双曲线的离心率为A23二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.如果不等式组0210x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k =_______________.10.由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分 由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分 易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分 所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分 设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分 解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分 （Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分 即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分。

天津市届高三数学月九校联考试卷理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合均为全集的子集，且,,则( ) . . . .【答案】【解析】,因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.【此处有视频，请去附件查看】.【年天津卷文】设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为. . . .【答案】【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择选项.点睛：求线性目标函数＝＋(≠)的最值，当＞时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当＜时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大..执行如图所示的程序框图，输出的值为( ). . . .【答案】【解析】分析】根据循环结构特征，先判断为奇数还是偶数，代入不同的处理框，依次算出的值，同时判断是否继续执行循环，即可求得的值【详解】由程序框图可知：第一次循环：为奇数，，第二次循环：为偶数，，第三次循环，为奇数，，第四次循环，为偶数，，此时不满足，退出循环，输出，结束，故选。

【点睛】本题考查循环结构的程序框图，按照要求逐步计算即可，属基础题。

.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的( ). 充分不必要条件. 必要不充分条件. 充要条件. 既不充分也不必要条件【答案】【解析】试题分析：因为直线在平面内，直线在平面内，且，若，根据面面垂直的性质定理，一定有；反之，当，若时，不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选.考点：、充分条件与必要条件；、面面垂直的判定与性质..设函数，则函数是( ). 奇函数，其图象关于点对称. 奇函数，其图象关于直线对称. 偶函数，其图象关于点对称. 偶函数，其图象关于直线对称【答案】【解析】【分析】化简三角函数式可得，据此考查函数的奇偶性和函数的对称性即可.【详解】由题意可得：.故函数为偶函数，且当时，，其图像不关于点对称，且当时，，其图像关于直线对称.故选：.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的周期性，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力..已知函数的定义域是，当,时，若，，，则有的值( ). 恒等于零. 恒小于零. 恒大于零. 可能小于零，也可能大于零【答案】【解析】【分析】由题意可得函数为奇函数，利用导函数的解析式可得：在时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，结合函数的奇偶性和函数的单调性确定的符号即可.【详解】函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，又由，在时恒成立，故时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，若，则，则，，，从而：，，，据此可得：，即的值恒大于零.故选：【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力..已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为( ). . . .【答案】【解析】双曲线的左顶点为（－，），抛物线的焦点为（，），于是＋＝而抛物线的准线为＝－，由与渐近线的交点为（－，－），可知＝，于是＝，又双曲线的渐近线为＝±，点（－，－）在渐近线上，得，故＝于是＝，故焦距为2c＝考点：双曲线与抛物线的标准方程及其性质【此处有视频，请去附件查看】.设，，若函数在内有个零点，则实数的取值范围是( ). . . .【答案】【解析】令，据此可得：，据此可得函数与在内有个交点，结合函数图像可得实数的取值范围.【详解】很明显不是函数的零点，令函数，则，则，令，则函数的图象与在内有个交点，函数的图象如下图所示：由图可得：.故选：.【点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（将答案填在答题纸上）.设复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部是．【答案】【分析】由题意可得：，据此结合复数的运算法则计算确定的虚部即可.【详解】由题意可得：，即,，则复数的虚部是.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式..若的展开式中的系数为，则实数.【答案】【解析】【分析】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，据此结合题意求解的值即可.【详解】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，则展开式中的系数为：，故.故答案为：．【点睛】()二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即，均为非负整数，且≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．()求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．.在极坐标系中，直线被圆所截弦长为，则.【答案】 【解析】 【分析】由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长确定的值即可.【详解】很明显，直线与圆均经过极点， 将代入圆的方程可得：，据此可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长可得：. 【点睛】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，属于中等题..已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球的体积为． 【答案】 【解析】 【分析】三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，据此求得外接球的半径，然后确定其体积即可. 【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 设外接球半径为，则：，则， 外接球的体积：.。

1、填写信息、稳定情绪试卷一发下来，立即忙于答题是不科学的，应先填写信息。

如本答题卡上涂清“试卷类型”写清姓名和准考证号等，这样做不但是考试的要求，更是一剂稳定情绪的良药。

2、总览全卷，区别难易。

打开试卷后，看看哪些是基础题，哪些是中档题，哪些是难题或压轴题，按先易后难的原则，确定解题顺序，逐题进行解答。

力争做到“巧做低档，题全做对；稳做中档题，一分不浪费，尽力冲击高档题，做错也无悔。

”3、认真审题灵活作答审题要做到：一不漏掉题，二不看错题，三要审准题，四要看全题目的条件和结论。

要遵循“审题要慢，做题要快”的原则。

坚决避免因审题不清或审题时走马观花，粗心大意造成失分现象。

如《父辈》看成《父亲》要求介绍漫画，应该是说明文，写成了记叙文。

4、过程清晰，稳中求快，要注意“三要”①要书写清晰，卷面整洁。

特别是数学、理综解题过程要力求完整。

我们提的口号是“争取多写一步”。

文科作文和文综要注意卷面整洁。

②一次成功。

要提高第一次做题的成功率，不要认为反正还得检查而粗枝大叶。

即使查出错误再去纠正，在时间上也是不合算的。

③科学地使用草稿纸。

利用草稿纸也有学问，利用好了能帮助思考，节省时间，储存记忆；反之就要扰乱思维，浪费时间。

使用的方法不应该是先正中间写一写，然后边缘，拐解，最后填空，结果自己都很难看清。

而应该是：一卷面上不写解答过程的题，把过程在草稿纸上演算，标上题号以便检查时用；二是卷面要求写解答过程的题，如果思路很清楚就直接写在卷面上，不必在草稿纸上写一遍又抄一遍，要在草稿纸上标出记号。

四折叠草稿纸也是一种方法。

5、注重策略，减少失误。

①答题顺序策略。

做题是按顺序做还是先易后难做，科学的方法是按顺序做与先易后难相结合。

先把自己有把握的题一次性做好，再逐一攻克难度较大的题。

如文综卷，按顺序仍然是先做容易基础题，先易后难，但由于地理一般给一个空间概念，历史给一个时间线索，政治给予认识，评价等。

如果有的同学看了材料分析后做政治评价比较容易，也可以先做政治题。