一元二次方程讲义-绝对经典实用教案.doc

一元二次方程的相关教案精选4篇元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。

因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。

一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。

[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。

因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。

再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。

[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。

能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。

理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。

[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。

(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。

初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为 1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。

我在这些方程中安排了两个无理根方程。

《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。

《一元二次方程》数学教案（优秀5篇）元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。

直接开平方法很简单，在这里不做过多的介绍。

为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。

我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。

在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。

如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。

在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。

教学目标知识与技能：1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。

2.能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。

过程与方法：1.参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。

情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。

教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。

难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

教学方法探索发现，讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。

3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。

如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。

2）计算式子卜In的值。

3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。

一元二次方程教案教案一：一元二次方程的基本概念与解法一、教学目标：1. 知识与技能目标：(1) 学习一元二次方程的基本概念；(2) 掌握一元二次方程的解法：因式分解、配方法、求根公式等；(3) 学会运用一元二次方程解决实际问题。

2. 过程与方法目标：(1) 采用探究式学习方法，培养学生的自主探索和合作学习能力；(2) 运用配备实例、数学实践和游戏等多种方法，增加学生的学习兴趣；(3) 引导学生把数学应用于实际问题，培养学生的实际应用能力。

二、教学重难点：1. 教学重点：(1) 一元二次方程的基本概念和解法；(2) 运用一元二次方程解决实际问题。

2. 教学难点：(1) 运用一元二次方程解决实际问题的能力；(2) 掌握一元二次方程解的判别式和求根公式。

三、教学过程：1. 导入新课：(1) 教师介绍一元二次方程的应用背景，例如：投射运动、阳光房设计等，激发学生的兴趣。

(2) 提问：学过一元一次方程了吧？有没有遇到形如 x^2 的方程？这样的方程有何特点？(3) 引导学生总结一元二次方程与一元一次方程的异同点。

2. 讲述一元二次方程的基本概念：(1) 定义：包含一个未知数的二次式形成的等式称为一元二次方程。

(2) 形式：一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，a、b、c 是已知实数，x 是未知数。

3. 解一元二次方程的方法：(1) 因式分解法：将一元二次方程化简为两个一元一次方程并求解。

(2) 配方法：通过变量的替换，使方程成为完全平方的形式，再进行求解。

(3) 求根公式法：利用求根公式推导，求出一元二次方程的根。

4. 运用一元二次方程解决实际问题：(1) 引导学生通过实例分析，掌握将实际问题转化成一元二次方程解决的方法。

(2) 设计练习题或教师给出实际问题，学生自主解决。

5. 小结和评价：(1) 教师帮助学生总结一元二次方程的基本概念与解法；(2) 进行课堂评价，检查学生的理解和掌握程度。

一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。

（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。

过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。

二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。

难点：准确理解一元二次方程的意义。

三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。

数学⼀元⼆次⽅程（全优秀教案）第⼀课时《⼀元⼆次⽅程地相关概念》⼀、⼀元⼆次⽅程地概念1、只含有⼀个未知数，并且未知数地最⾼次数是2地整式⽅程叫做⼀元⼆次⽅程2、⼀般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0).其中2ax 叫做⼆次项，a 叫做⼆次项系数；bx叫做⼀次项，b 叫做⼀次项系数，c 叫做常数项..⼆、做⼀做：问题1 绿苑⼩区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟⾯积为900平⽅⽶地⼀块长⽅形绿地，并且长⽐宽多10⽶，那么绿地地长和宽各为多少？问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年地年平均增长率.三、例题讲解例1、下列⽅程中哪些是⼀元⼆次⽅程？试说明理由.（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x例2、将下列⽅程化为⼀般形式，并分别指出它们地⼆次项系数、⼀次项系数和常数项：（1）y y =26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2)2()43)(3(+=-+x x x说明：⼀元⼆次⽅程地⼀般形式02=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：⼀是⽅程地右边为0；⼆是左边地⼆次项系数不能为0.例4 、已知关于x 地⼀元⼆次⽅程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有⼀根为2，求m.作业⼀、判断题（下列⽅程中，是⼀⽆⼆次⽅程地在括号内划“√”，不是⼀元⼆次⽅程地，在括号内划“×”）1、5x 2+1=0 （）2、3x 2+x1+1=0 （） 3、4x 2=ax (其中a 为常数) （） 5、5132+x =2x （）⼆、填空题2、将⽅程－5x 2+1=6x 化为⼀般形式为__________.题意列⽅程_________.3、⼩明将500元压岁钱存⼊银⾏，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x ，则⽅程为_____________.4、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中⼀个数为x ，可得⽅程为_____________. ⼆、选择题1、下列⽅程中，不是⼀元⼆次⽅程地是（）A.2x 2+7=0B.2x 2+23x +1=0C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x )2+1=03、⼀元⼆次⽅程7x 2－2x =0地⼆次项、⼀次项、常数项依次是（） A.7x 2,2x ,0 B.7x 2,－2x ，⽆常数项 C.7x 2,0,2x D.7x 2,－2x ,07、若x =1是⽅程ax 2+bx +c =0地解，则（） A.a +b +c =1B.a －b +c =0 C.a +b +c =0D.a－b －c =0 12、下列叙述正确地是（）A.形如ax 2+bx +c =0地⽅程叫⼀元⼆次⽅程B.⽅程4x 2+3x =6不含有常数项C.(2－x )2=0是⼀元⼆次⽅程D.⼀元⼆次⽅程中，⼆次项系数⼀次项系数及常数项均不能为0 11、某校办⼯⼚利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润地平均增长率为x ，可以列⽅程得（）A.5(1+x )=9B.5(1+x )2=9C.5(1+x )+5(1+x )2=9D.5+5(1+x )+5(1+x )2=917、直⾓三⾓形地周长为2+6，斜边上地中线为1，求此直⾓三⾓形地⾯积.16、如图2，所⽰，某⼩区规划在⼀个长为40 m 、宽为26 m 地矩形场地ABCD 上修建三条同样宽地道路，使其中两条与AB 平⾏，另⼀条与AD 平⾏，其余部分种草.若使每⼀块草坪地⾯积为144 m 2，求道路地宽度.？图2⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程地解法（1）⼀、复习提问解⽅程（1）()2160x +-=三、探索：例1、解下列⽅程：2x ＋2x ＝5；（2）2x －4x ＋3＝0.三、归纳我们把⽅程2x－4x ＋3＝0变形为2x -＝1，它地左边是⼀个含有未知数地完全平⽅式，右边是⼀个⾮负常数.这样，就能应⽤直接开平⽅地⽅法求解.这种解⼀元⼆次⽅程地⽅法叫做配⽅法.注意：在⽅程两边同时加上了⼀个数后，左边可以⽤完全平⽅公式从⽽转化为⽤直接开平⽅法求解. 四、试⼀试：对下列各式进⾏配⽅：22_____)(_____8+=+x x x ； 2210_____(_____)x x x -=+22_____)(______5-=+-x x x ； 229______(_____)x x x -+=-22_____)(_____23-=+-x x x ；22______(_____)x bx x ++=+配⽅地关键是在⽅程两边同时添加地常数项等于⼀次项系数⼀半地平⽅.五、例题讲解与练习巩固例2、⽤配⽅法解下列⽅程：（1）2x －6x －7＝0；（2）2x ＋3x ＋1＝0.练习：①.填空：（1）()()226x x ++= （2）2x －8x ＋（）＝（x －）2（3）2x ＋x ＋（）＝（x ＋）2；（4）42x －6x ＋（）＝4（x －）2②⽤配⽅法解⽅程：（1）2x ＋8x －2＝0 （2）2x －5 x －6＝0. （3）276x x +=-六、试⼀试⽤配⽅法解⽅程x 2＋px ＋q ＝0(p2－4q ≥0).思考：这⾥为什么要规定p 2－12x －1＝0;请你和同学讨论⼀下：当⼆次项系数不为1时，如何应⽤配⽅法？3，练习：⽤配⽅法解⽅程：（1）02722=--x x （2）3x 2＋2x －3＝0. （3）05422=+-x x作业基础训练⼀、填空题1、⽅程x 2=16地根是x 1=_______,x 2=_______. 3、若x 2－2x =0，则x 1=________,x 2=________. 7、若x 2+4=0，则此⽅程解地情况是_________. 9、若5x 2=0，则⽅程解为____________.12、⽤配⽅法解⽅程x 2+2x －1=0时 13、⽤配⽅法解⽅程2x 2－4x －1=0 ⼆、选择题1、⽅程5x 2+75=0地根是A.5B.－5C.±5D.⽆实根 2、⽅程3x 2－1=0地解是A.x =±31 B.x =±3 C.x =±33D.x =±3三、解答题1、将下列各⽅程写成(x +m )2=n 地形式（1）x 2－2x +1=0 (2)x 2+8x +4=0 (3)x 2－x +6=02、将下列⽅程两边同时乘以或除以适当地数，然后再写成(x +m )2=n 地形式（1）2x 2+3x －2=0 (2)41x 2+x －2=03、⽤配⽅法解下列⽅程(1)x 2+5x －1=0 (2)2x 2－4x －1=0 (3)41x 2－6x +3=0⽤求根公式法解⼀元⼆次⽅程⼀、复习旧知，提出问题 1、⽤配⽅法解下列⽅程：（1）x x 10152=+ (2) 2131203x x -+=2、⽤配⽅解⼀元⼆次⽅程地步骤是什么？3、⽤直接开平⽅法和配⽅法解⼀元⼆次⽅程，计算⽐较⿇烦，能否研究出⼀种更好地⽅法，迅速求得⼀元⼆次⽅程地实数根呢？⼆、探索问题1：能否⽤配⽅法把⼀般形式地⼀元⼆次⽅程20(0)ax bx c a ++=≠转化为2224()4b b ac x a a -+=呢？问题2：当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b aca -⼤于等于零吗？问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？这说明⽅程地根是由⽅程地系数a 、b 、c 所确定地，我们可以由⼀元⼆次⽅程中系数a 、b 、c 地值，直接求得⽅程地解，这种解⽅程地⽅法叫做公式法.三、例题例1、解下列⽅程：1、2260x x +-=；2、242x x +=；3、254120x x --=；4、2441018x x x ++=-例2、解⽅程210x x -+=思考以上解题过程，归纳得到：（1）当240b ac ->时，⽅程有两个不相等地实数根；（2）当240b ac -=时，⽅程有两个相等地实数根；（3）当240b ac -<时，⽅程没有实数根.ac b 42-叫⼀元⼆次⽅程20(0)ax bx c a ++=≠根地判别式. 例3、当k 取什么值时，关于x 地⽅程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0(1)有两个不相等地实数根； (2)有两个相等实数根； (3)⽅程没有实数根．例4、已知a ，b ，c 是△ABC 地三边地长，求证⽅程a 2x 2-(a 2+b 2-c 2)x+b 2练习：1．若m ≠n ，求证关于x 地⽅程2x 2+2(m+n)x+m 2+n 2=0⽆实数根．2．求证：关于x地⽅程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等地实数根．家庭作业家长签名⼀、填空题1、⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0(a≠0)时：∵a≠0,⽅程两边同时除以a得__________________，移项得__________________ 配⽅得__________________即（x+__________）2=__________当__________时，原⽅程化为两个⼀元⼀次⽅程__________________和__________________∴x1=__________,x2=____________2、利⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程时，⾸先要把⽅程化为__________，确定__________地值，当__________时，把a,b,c地值代⼊公式，x1，2=____________求得⽅程地解.3、⽅程3x2－8=7x化为⼀般形式是________，a=__________,b=__________,c=__________,⽅程地根x1=__________,x2=__________.⼆、选择题1、⽤公式法解⽅程3x2+4=12x，下列代⼊公式正确地是A.x1、2=24 312122?-±B.x1、2=24 312122?-±-C.x1、2=+±D.x1、2=32434)12()12(2---±--2、⽅程x2+3x=14地解是A.x=2653±B.x=2653±-C.x=3±-3、下列各数中，是⽅程x2－(1+5)x+5=0地解地有①1+5②1－5③1 ④－5A.0个B.1个C.2个D.3个4、⽅程x2+(23+)x+6=0地解是A.x1=1,x2=6B.x1=－1,x2=－6C.x1=2,x2=3D.x1=－2,x2=－3三、⽤公式法解下列各⽅程⼀元⼆次⽅程地解法（3）教学⽬标：1、会⽤直接开平⽅法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,ab ≥0）地⽅程； 2、灵活应⽤因式分解法解⼀元⼆次⽅程.3、使学⽣了解转化地思想在解⽅程中地应⽤，渗透换远⽅法. 重点难点：合理选择直接开平⽅法和因式分解法较熟练地解⼀元⼆次⽅程，理解⼀元⼆次⽅程⽆实根地解题过程. 教学过程：⼀、怎样解⽅程()21256x +=地？⼆、例题讲解与练习巩固例、解下列⽅程（1）（x ＋1）2－4＝0；（2）12（2－x ）2－9＝0.练习⼀、解下列⽅程：（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2三、讨论、探索：解下列⽅程（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2— x+2 =0（4）(2x+1)2=(x-1)2（5）49122=+-x x家庭作业家长签名基础训练：⼀、填空题1、如果两个因式地积是零，那么这两个因式⾄少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.2、⽅程x 2－16=0，可将⽅程左边因式分解得⽅程__________，则有两个⼀元⼀次⽅程____________3、填写解⽅程3x (x +5)=5(x +5)地过程解：3x (x +5)__________=0 (x +5)(__________)=0 x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________4、⽤因式分解法解⼀元⼆次⽅程地关键是（1）通过移项，将⽅程右边化为零（2）将⽅程左边分解成两个__________次因式之积（3）分别令每个因式等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程（4）分别解这两个__________，求得⽅程地解 5、x 2－(p +q )x +qp =0因式分解为____________. ⼆、选择题1、⽅程x 2－x =0地根为（）A.x =0B.x =1C.x 1=0,x 2=1D.x 1=0,x 2=－12、⽅程x (x －1)=2地两根为（）A.x 1=0,x 2=1B.x 1=0,x 2=－1C.x 1=1,x 2=－2D.x 1=－1,x 2=23、⽤因式分解法解⽅程，下列⽅法中正确地是（）A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0B.(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D.x (x +2)=0 ∴x +2=04、⽅程ax (x －b )+(b －x )=0地根是（）A.x 1=b ,x 2=aB.x 1=b ,x 2=a 1 C.x 1=a ,x 2=b 1D.x 1=a 2,x 2=b 25、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于（）1331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或三、解⽅程1、x 2－25=02、(x +1)2=(2x －1)23、x 2－2x +1=44、x 2=4x提⾼训练⼀、填空题1、关于x 地⽅程(m －3)x72-m －x =5是⼀元⼆次⽅程，则m =_________.2、当x =______时，代数式x 2－3x 地值是－2.3、⽅程x 2－5x +6=0与x 2－4x +4=0地公共根是_________.4、已知y =x 2+x －6，当x =_________时，y 地值等于0；当x =_________时，y 地值等于24.5、2－3是⽅程x 2+bx －1=0地⼀个根，则b =_________，另⼀个根是_________.6、已知⽅程ax 2+bx +c =0地⼀个根是－1，则a －b +c =___________.7、已知x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 地关系是_________.8、⽅程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0地解是x 1=_________，x 2=_________. 9、⽅程x 2=x 地根为___________.⼆、选择题1、下列⽅程中不含⼀次项地是（）A.3x 2－8=4xB.1+7x =49x 2C.x (x －1)=0D.(x +3)(x －3)=02、2x (5x －4)=0地解是（）A.x 1=2，x 2=54B.x 1=0，x 2=45 C.x 1=0，x 2=54D.x 1=21，x 2=54 3、若⼀元⼆次⽅程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0地常数项是0，则m 为（）A.2B.±2C.－2D.－104、⽅程2x 2－3=0地⼀次项系数是（）A.－3B.2D.35、⽅程3x 2=1地解为（）A.±31B.±3C.31D.±336、下列⽅程中适合⽤因式分解法解地是（）A.x 2+x +1=0B.2x 2－3x +5=0C.x 2+(1+2)x +2=0D.x 2+6x +7=07、若代数式x 2+5x +6与－x +1地值相等，则x 地值为（）A.x 1=－1，x 2=－5B.x 1=－6，x 2=1C.x 1=－2，x 2=－3D.x =－18、已知y =6x 2－5x +1，若y ≠0，则x 地取值情况是（）A.x ≠61且x ≠1B.x ≠21 C.x ≠31D.x ≠21且x ≠319、⽅程2x (x +3)=5(x +3)地根是（） A.x =25 B.x =－3或x =25 C.x =－3D.x =－25或x =3 三、解下列关于x 地⽅程1、x 2+2x －2=02、3x 2+4x －7=03、(x +3)(x －1)=54、(3－x )2+x 2=95、x 2+(2+3)x +6=06、(x －2)2+42x =0四、解答题随着城市⼈⼝地不断增加，美化城市，改善⼈们地居住环境已成为城市建设地⼀项重要内容，某城市计划到2004年末要将该城市地绿地⾯积在2002年地基础上增加44%，同时要求该城市到2004年末⼈均绿地地占有量在2002年地基础上增加21%，当保证实现这个⽬标，这两年该城市⼈⼝地年增长率应控制在多少以内.（精确到1%）⼆次三项式地因式分解⼀、教学⽬地1．使学⽣理解⼆次三项式地意义及解⽅程和因式分解地关系．2．使学⽣掌握⽤求根法在实数范围内将⼆次三项式分解因式．⼆、教学重点、难点重点：⽤求根法分解⼆次三项式．难点：⽅程地同解变形与多项式地恒等变形地区别．三、教学过程复习提问解⽅程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．引⼊新课在解上述⽅程时，第1，2题均可⽤⼗字相乘法分解因式，迅速求解．⽽第3题则只有采⽤其他⽅法．此题给我们启⽰，⽤⼗字相乘法分解⼆次三项式，有时是⽆法做到地．是否存在新地⽅法能分解⼆次三项式呢？第3个⽅程地求解给我们以启发．新课⼆次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们已经可以⽤⼗字相乘法分解⼀些简单形式．下⾯我们介绍利⽤⼀元⼆次⽅程地求根公式将之分解地⽅法．易知，解⼀元⼆次⽅程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利⽤⼀元⼆次⽅程地两个根来分解⼆次三项式．即令⼆次三项式为0，解此⼀元⼆次⽅程，求出其根，从⽽分解⼆次三项式．具体⽅法如下：如果⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c＝0(a≠0)地两个根是＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．从⽽得出如下结论．在分解⼆次三项式ax2+bx+c地因式时，可先⽤公式求出⽅程ax2+bx+c=0地两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．例如，⽅程2x2-6x+4＝0地两根是x1＝1，x2＝2．则可将⼆次三项式2x2-6x+4分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．例1 把4x2-5分解因式．例2 把4x2+8x-1分解因式．例3 把2x2-8xy+5y2分解因式．总结：⽤公式法解决⼆次三项式地因式分解问题时，其步骤为：1．令⼆次三项式ax2+bx+c＝0；2．解⽅程(⽤求根公式等⽅法)，得⽅程两根x1，x2；3．代⼊a(x-x1)(x-x2)．⼀元⼆次⽅程地应⽤教学⽬标：1、使学⽣能根据量之间地关系，列出⼀元⼆次⽅程地应⽤题.2、提⾼学⽣分析问题、解决问题地能⼒.3、培养学⽣数学应⽤地意识.重点难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列⽅程是本节课地重点，也是难点. 教学过程：⼀、复习旧知，提出问题1、叙述列⼀元⼀次⽅程解应⽤题地步骤.2、⽤多种⽅法解⽅程22 (31)69 x x x-=++⼆、解决问题例1、绿苑⼩区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟⾯积为900平⽅⽶地⼀块长⽅形绿地，并且长⽐宽多10⽶，那么绿地地长和宽各为多少？例2、如图，⼀块长和宽分别为60厘⽶和40厘⽶地长⽅形铁⽪，要在它地四⾓截去四个相等地⼩正⽅形，折成⼀个⽆盖地长⽅体⽔槽，使它地底⾯积为800平⽅⽶.求截去正⽅形地边长.解：设截去正⽅形地边长x 厘⽶，底⾯（图中虚线线部分）长等于厘⽶，宽等于厘⽶，S 底⾯= .例3、某药品两次升价，零售价升为原来地 1.2倍，已知两次升价地百分率⼀样，求每次升价地百分率（精确到0.1%）三、试⼀试如图，ABC V 地边8BC cm =，⾼6AM cm =，长⽅形DEFG 地⼀边EF 落在BC 上，顶点D 、G 分别落在AB 和AC 上，如果这长⽅形⾯积212cm ，试求这长⽅形地边长.想⼀想：长⽅形地⾯积最⼤.⼀、考考你1、有⼀个两位数，它地⼗位上地数学字⽐个位上地数字⼤3，这两个数位上地数字之积等于这个两位数地72，求这个两位数.2、某钢铁⼚去年1⽉某种钢产量为5000吨，3⽉上升到7200吨，这两个⽉平均每⽉增长地百分率是多少？ M GF E DCB A3、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元.平均每次降价百分之⼏？4、两个连续奇数地和为11，积为24，求这两个数.5、如图，有⼀⾯积为150 m 2地长⽅形鸡场，鸡场地⼀边靠墙（墙长18 m ），另三边⽤⽵篱笆围成，如果⽵篱笆地长为35 m ，求鸡场地长与宽各为多少⽶？⼀元⼆次⽅程根与系数地关系教学⽬标：引导学⽣在已有地⼀元⼆次⽅程解法地基础上，探索出⼀元⼆次⽅程根与系数地关系及运⽤. 重点难点：1、重点：⼀元⼆次⽅程地两个根之和，及两个根之积与原⽅程系数之间地关系.2、难点：对根与系数这⼀性质进⾏应⽤. 教学过程：⼀、提出问题解下列⽅程，将得到地解填⼊下⾯地表格中，你发现表格中两个解地和与积和原来地⽅程有什么联系？（1）x 2－2x ＝0；（2）x 2＋3x －4＝0；（3）x 2－5x ＋6＝0思考：1、⼀元⼆次⽅程地两个解地和与积和原来地⽅程有什么联系？2、⼀般地，对于关于x ⽅程20(,x px q p q ++=为已知常数，240)p q -≥，试⽤求根公式求出它地两个解1x , 2x ，算⼀算1x ＋2x 、1x ?2x 地值，你能得出什么结果？与上⾯发现地现象是否⼀致.由此得出，⼀元⼆次⽅程地根与系数之间存在如下关系：(⼜称“韦达定理”)如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)地两个根是x 1，x 2，那么⼆、知识应⽤例1、不解⽅程，求⽅程两根地和两根地积：①2310x x +-=②22410x x -+=例2、已知⽅程2560x kx +-=地⼀个根是2，求它地另⼀个根及k 地值.例3、不解⽅程，求⼀元⼆次⽅程22310x x +-=两个根地①平⽅和；②倒数和.例4、求⼀元⼆次⽅程，使它地两个根是113,232-.巩固练习（1）下列⽅程两根地和与两根地积各是多少？①2310x x -+=；②2322x x -=；③2230x x +=；④231x =；（2）已知⽅程23190x x m -+=地⼀个根是1，求它地另⼀个根及m 地值.（3）已知x x 21,是⽅程01322=-+x x 地两个根，不解⽅程，求下列代数式地值.x x 2122)1(+xx2111)2(+)3)(321)(3(--x x))(4(212x x -x x x x 212122)5(?+?xxx x 2112)6(+（4）求⼀个⼀元次⽅程，使它地两个根分别为：①4,7-；②1-（5）已知两个数地和等于6-，积等于2，求这两个数家庭作业家长签名⼀、填空题：1、设1x 、2x 是⽅程0242=+-x x 地两根，则①2111x x +＝；②21x x - ＝；③)1)(1(21++x x ＝.2、以⽅程0422=--x x 地两根地倒数为根地⼀元⼆次⽅程是. 3、已知⽅程0452=+-mx x 地两实根差地平⽅为144，则m ＝.4、已知⽅程032=+-m x x 地⼀个根是1，则它地另⼀个根是，m 地值是.5、已知1x 、2x 是⽅程0132=+-x x 地两根，则11124221++x x 地值为.⼆、选择题：1、如果⽅程12=+mx x 地两个实根互为相反数，那么m 地值为（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±12、已知ab ≠0，⽅程02 =++c bx ax 地系数满⾜ac b =??22，则⽅程地两根之⽐为（）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶33、菱形ABCD 地边长是5，两条对⾓线交于O 点，且AO 、BO 地长分别是关于x 地⽅程：03)12(22=++-+m x m x 地根，则m 地值为（） A 、－3 B 、5 C 、5或－3 D 、－5或3三、解答题：1、证明：⽅程0199719972=+-x x ⽆整数根.2、已知关于x 地⽅程032=++a x x 地两个实数根地倒数和等于3，关于x 地⽅程023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式21--k k 地值.3、已知关于x 地⽅程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，⽅程有两个不相等地实数根？（2）设1x 、2x 是⽅程地两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 地值.4、已知关于x 地⽅程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根，且关于y 地⼀元⼆次⽅程03)1(2=+--m y y k 地两个实数根为1y 、2y .（1）当k 为整数时，确定k 地值.（2）在（1）地条件下，若m ＝2，求22y y +地值.5、已知1x 、2x 是关于x 地⼀元⼆次⽅程0)1(4422=+-+m x m x 地两个⾮零实根，问：1x 、2x 能否同号？若能同号，请求出相应m 地取值范围；若不能同号，请说明理由.。

《一元二次方程》教案1（5篇模版）第一篇：《一元二次方程》教案122.1一元二次方程教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。

数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。

解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。

情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、情境引入【问题情境】问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？/ 5问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知【活动方略】学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【设计意图】主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．三、范例点击/ 5例1 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得3x2-3x=5x+10，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．【活动方略】学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．【设计意图】进一步巩固一元二次方程的基本概念．例2 猜测方程x2-x-56=0的解是什么？【活动方略】学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x ＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【设计意图】探究一元二次方程根的概念以及作用．四、反馈练习课本P32 练习1，2 课本P33 练习1、2题补充习题：1．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中/ 5 的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）x2-36=0；【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.五、应用拓展例3：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．例4：有人解这样一个方程(x+5)(x-1)=7．解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？由(x+5)(x-1)=7得到x+5=1或x－1=7，应该是x+5=1且x－1=7，同时成立才行，此时得到x=－4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的．【活动方略】教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。