最新广东省珠海市届高三摸底考试题目数学理

★启用前注意保密珠海市2025届高三第一次摸底考试数学本答案共15页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（）A.(][),12,-∞⋃+∞ B.()[)0,12,+∞ C.()(),12,-∞+∞ D.()()0,12,⋃+∞2.复数103iz =-+（i 为虚数单位），z 的共轭复数为（）A.3i-- B.3i-+ C.3i- D.3i+3.在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uuu r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.1C.78D.584.已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最小值为（）A.6B.112C.92D.1062-5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）A.:2B.1:3:4C.2:D.26.已知函数()()()122,0,R log 1,0,x a x f x a x a x ⎧+≤⎪=∈⎨++>⎪⎩在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（）A.(){},10-∞- B.(),1∞-- C.()1,-+∞ D.()0,∞+7.函数()()22πsin 23f x x x ωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中0ω>，其最小正周期为π，则下列说法错误的是（）A.1ω=B.函数()f x图象关于点π3⎛⎝对称C.函数()f x 图象向右移()0ϕϕ>个单位后，图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为5π12D.若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x的最大值为1+8.若不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立，其中,R a b ∈，e 为自然对数的底数，则a b +的取值范围是（）A.(],1-∞- B.(),1∞-- C.(],1-∞ D.(),2-∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率．()()(),0,1P A P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ B .若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C.若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.()()()()P A BP B A P A B P B A ⋅与()()()()P A B P B A P B A P A B ⋅相等10.设()33f x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象与圆221x y +=有且只有两个公共点B.存在无数个等腰三角形ABD ，其三个顶点都在函数()y f x =的图象上C.存在无数个菱形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上D.存在唯一的正方形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy 中，到两定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积为常数2a 的点的轨迹C 是双纽线.若()3,0M 是曲线C 上一点，则下列结论正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.曲线C 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3D.曲线C 上有且仅有3个点P 满足12PF PF =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线e y ax =-与曲线ln C y x x :=相切，则a =______．13.已知点P 在双曲线22:16436x y C -=上，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为45，则12PF PF +=______．14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分2．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 其中(),m a b = ，3cos ,sin 4n B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m n c ⋅= ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC V 的外接圆半径为5，求ABC V 面积的最大值．16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠= ，点D 是棱11A B 的中点．（1）证明：AD BC ⊥；（2）求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12F F =，点233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭M 在椭圆C 上，直线:l y x t =+．（1）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，求实数t 的取值范围；（2）当2t =时，记直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，求四边形PAQB 面积的最大值．18.设函数()1ln f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0,1x ∈.（1）试判断′的单调性；（2）证明：对任意()00,1x ∈，有()()()()000f x f x x x f x -'≥+，当且仅当0x x =时等号成立.（3）已知1(1,2,3,,),1nj i i X i n X +=∈==∑R ，证明：2111nni i i n x x n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏（其中1231nin i aa a a a ==⋅⋅∏ ）19.对于数列，若存在常数T ，()*00,Nn T n ∈，使得对任意的正整数0n n ≥，恒有n Tn aa +=成立，则称数列是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．当01n =时，称数列为纯周期数列；当02n ≥时，称数列为混周期数列．记为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：[]21log ,212,2n nn n a n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数.（1）若对任意正整数n 都有1n a ≠，请写出三个满足条件的1a 的值；（2）若数列是纯周期数列，请写出满足条件的1a 的表达式，并说明理由；（3）证明：不论1a 为何值，总存在*,N ∈m n 使得21mn a =-．★启用前注意保密珠海市2025届高三第一次摸底考试数学本答案共15页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（）A.(][),12,-∞⋃+∞ B.()[)0,12,+∞ C.()(),12,-∞+∞ D.()()0,12,⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可.【详解】因为{}0U x x =>，{}12A x x =≤<，所以U A =ð()[)0,12,+∞ ，故选：B.2.复数103iz =-+（i 为虚数单位），z 的共轭复数为（）A.3i --B.3i-+ C.3i- D.3i+【答案】B 【解析】【分析】先将该复数化简为复数标准形式，再写出共轭复数即可.【详解】()()()()2103i 103i 103i 3i 3i 3i 9i z ----====---+-+---，所以z 的共轭复数为3i -+.故选:B3.在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uuu r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.1C.78D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =⇒-=-⇒=+，()3334BD DC BC BD BD BC ==-⇒= ,所以有11132228BM BA BD BA BC =+=+ ，所以13,28λμ==，得78λμ+=.故选：C4.已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最小值为（）A.6B.112C.92D.1062-【答案】D 【解析】【分析】求出直线AB 的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P 到直线AB 距离的最小值即可求得最小值.【详解】两点()1,0A -，0,3，则||AB ==，直线AB 方程为33y x =+，圆()2231x y -+=的圆心(3,0)C ，半径1r =，点C 到直线:330AB x y -+=的距离6105d ==，因此点P 到直线AB 距离的最小值为15d r -=-，所以PAB 面积的最小值是161010(1)6252-=-.故选：D5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）A.:2B.1:3:4C.2: D.2【答案】C 【解析】【分析】设该直角三角形的三条边长分别为2，求出三角形斜边上的高，再根据圆锥的体积公式即可求解.【详解】设该直角三角形的三条边长分别为2，设三角形斜边上的高为h ，则1121222S h =⨯⋅=⨯=，32h ∴=，由题意设该3个几何体的体积为123,,V V V ，则113ππ33V =⋅=，221π1π3V =⋅⋅⨯=，2313ππ2322V ⎛⎫=⋅⋅⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，312V V V << ，所以这3个几何体的体积从小到大之比为π3:π:π2:23=.故选：C .6.已知函数()()()122,0,R log 1,0,x a x f x a x a x ⎧+≤⎪=∈⎨++>⎪⎩在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（）A.(){},10-∞- B.(),1∞-- C.()1,-+∞ D.()0,∞+【答案】A 【解析】【分析】将问题转化为()()122,0log 1,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩与函数y a =-的图象没有交点，利用数形结合法求解.【详解】设()()122,0log 1,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，()g x的图象如图所示，问题转化为()g x 与函数y a =-的图象没有交点，所以0a -=或1a ->,解得0a =或1a <-,故选：A.7.函数()()22πsin 23f x x x ωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中0ω>，其最小正周期为π，则下列说法错误的是（）A.1ω=B.函数()f x图象关于点π3⎛ ⎝对称C.函数()f x 图象向右移()0ϕϕ>个单位后，图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为5π12D.若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最大值为1+【答案】D 【解析】【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求ω判断A ，验证π3⎛ ⎝是否为函数()f x 的对称中心判断B ，结合函数图象平移变换结论判断C ，结合不等式性质及正弦函数性质判断D.【详解】由已知()())22π2π2πsin 21cos 2sin 2cos cos 2sin333f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=++=-++ ⎪⎝⎭，所以()13πsin 22sin 2223f x x x x ωωω⎛⎫=--+-++ ⎪⎝⎭，又0ω>，所以函数()f x 的最小正周期为π，由已知2ππ2ω=，所以1ω=，A 正确；所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为ππ2π33⨯+=，所以函数()f x 图象关于点π3⎛ ⎝对称，B 正确，将函数图象向右移()0ϕϕ>个单位后可得函数πsin 223y x ϕ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭因为πsin 223y x ϕ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以ππ,Z 212k k ϕ=--∈，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为5π12，C 正确，若π02x ≤≤，则ππ4π2333x ≤+≤，所以3πsin 2123x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故()12f x -+≤≤，所以当π2x =时，函数()f x 取最大值，最大值为332，D 错误.故选：D.8.若不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立，其中,R a b ∈，e 为自然对数的底数，则a b +的取值范围是（）A.(],1-∞- B.(),1∞-- C.(],1-∞ D.(),2-∞【答案】A 【解析】【分析】将原不等式转化为()21e 1xax bx ++≤对一切R x ∈恒成立，设()()21e xf x ax bx =++，则后者可转化为()()0f x f ≤恒成立即()0f 为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为21e x ax bx -++≤，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围.【详解】法一：不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立即为不等式()21e 1xax bx ++≤对一切R x ∈恒成立，今()()21e xf x ax bx =++，则有()01f =；故不等式21e x bx ax -+≤-对一切R x ∈恒成立等价于()()0f x f ≤恒成立，所以()0f 为()f x 的最大值点.显然，0a ≤，否则x →+∞时，()f x ∞→+，与题设矛盾.又()()2e 21xf x ax a b x b ⎡⎤=++++⎣'⎦，此时()01f b '=+若10+>b ，存在区间(),s t ，是否()0,s t ∈且(),x s t ∀∈，总有′>0，这与()0f 为()f x 的最大值点矛盾，故10+>b 不成立，同理10b +<也不成立，故10b +=，则1b =-，()()()2e 21e 21,x xf x ax a x x ax a ⎡⎤∴=++=+-⎣⎦'当0a =时，当(),0x ∞∈-时，′>0，当∈0,+∞时，′<0，故()f x 在(),0∞-上递增，0,+∞上递减，()()0f x f ≤符合题意；当0a <时，当()12,0,a x a ∞∞-⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，′<0，当12,0a x a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，′>0，故()f x 在12,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，12,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭上递增，0,+∞上递减，而当12a x a -<时，12114142022a a a a a----=<，故210ax x -+<即()0f x <，故()()0f x f ≤恒成立，故0a <符合题意.综上，0,1a b ≤=-，因此(],1a b ∞+∈--.法二：不等式()21e 1xax bx ++≤可化为21e x ax bx -++≤，令()()21,exf x ax bxg x -=++=，当0a =时，()211f x ax bx bx =++=+，此时，直线()f x 恒过点0,1，故只需直线()1f x bx =+为()exg x -=在点0,1处的切线即可，()01b g ='=-，此时1a b +=-.当0a ≠时，()f x 亦恒过点0,1，为使21e x ax bx -++≤对一切∈恒成立，需()21f x ax bx =++开口向下，且在点0,1处与()exg x -=有公切线即可，故()001a f b ='<⎧⎨=-⎩，此时1a b +≤-.综上，a b +的取值范围是(],1a b ∞+∈--.故选：A.【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率．()()(),0,1P A P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B =+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C.若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.()()()()P A BP B A P A B P B A ⋅与()()()()P A B P B A P B A P A B ⋅相等【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由条件概率公式化简，可判断D 选项.【详解】对于A ：若A ，B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B =+ ，故A 正确；对于B ：由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件A ，B 是相互独立事件，故B 正确；对于C ：若A ，B 互斥，则A ，B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A =“正面朝上”，事件B =“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，所以不满足相互独立事件的定义，故C 错误；对于D ：()()()()()()()()()()()()()()=P A BP B A P BA P AB P A P AB P B P B P AB P AB P A B P B A P A P BA ⋅⋅⋅⋅=，()()()()()()()()()()()()()()P A B P B AP AB P AB P AB P B P A P A P AB P AB P B A P A B P B P AB ⋅=⋅⋅⋅=，所以()()()()P A BP B A P A B P B A ⋅与()()()()P A B P B A P B A P A B ⋅相等，故D 正确.故选：ABD.10.设()33f x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象与圆221x y +=有且只有两个公共点B.存在无数个等腰三角形ABD ，其三个顶点都在函数()y f x =的图象上C.存在无数个菱形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上D.存在唯一的正方形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图象上【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，结合函数的性质与图象判断即可；对于B 、C ，利用函数=关于原点对称，结合等腰三角形三线合一，以及菱形的对角线互相垂直判断即可；对于D ，由曲线的对称性，可知要使得正方形存在，则AOB V 为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形.【详解】对于选项A ，令()()()233311f x x x x ==+'--，当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，′>0，当∈−1,1时，′<0，则函数()f x 在(),1∞--、1,+∞上单调递增，在−1,1上单调递减，又()1132f -=-+=，()1132f =-=-，函数=的图象与圆221x y +=得图象如图所示：故函数=的图象与圆221x y +=有且只有两个公共点，故A 正确；对于选项B 、C ，由于函数=的图象关于坐标原点O 成中心对称，过点O 作直线交()f x 的图象于B 、D 两点，过点O 作BD 的垂线交()f x 的图象于A 、C 两点，则ABD △为等腰三角形，四边形ABCD 为菱形，当线段BD 绕点O 转动时，ABD △仍为等腰三角形，四边形ABCD 仍为菱形，故选项B 、C 均正确；对于选项D ：由于()()33f x x x f x -=-+=-，故要使得正方形存在，则AOB V 为等腰直角三角形，显然，当()1,2B -时，OB =()2,1P 在函数图象外侧，则OA <此时OB OA >，利用极限思想，当0OB →时，OA →OB OA <；当OB →时，OA ∞→+，此时OB OA <；如图所示，故至少存在两个正方形，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是，熟练掌握函数的对称性，注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形.11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy 中，到两定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积为常数2a 的点的轨迹C 是双纽线.若()3,0M 是曲线C 上一点，则下列结论正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.曲线C 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3D.曲线C 上有且仅有3个点P 满足12PF PF =【答案】AC 【解析】【分析】根据题意求出轨迹C 的方程，把(),x y --代入C 的方程可判断A ；令0y =，1,2x x =±=±，得y的范围可判断B ；由曲线C 的方程可得()22222299x y x y x y-+=≤+，根据3=≤d 可判断C ；由题意得0Px =，设()0,p P y ，结合题意计算p y 可判断D .【详解】对于选项A ：212,PF PF a ⋅==化简得到：()()2222222x y a x y +=-，将()3,0M 代入可得229a =，所以曲线()()22222:9C x y x y +=-.把(),x y --代入()()222229x y x y +=-得()()222229x y x y +=-，所以，曲线C 的图象关于原点对称，故A 正确；对于选项B ：令0y =解得0,3x x ==±，即：曲线经过()()()0,0,3,0,3,0-，结合图象，得33x -≤≤.今1x =±，得21y =，令2x =±，得217369122-+<=<y ，因此，结合图象曲线C 只能经过3个整点()()()0,0,3,0,3,0-.故B 错误；对于选项C ：()()222229x y x y +=-可得()22222299x y x y x y -+=≤+，所以曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离3=≤d ，即：都不超过3，故C 正确；对于选项D ：点P 满足12PF PF =，则P 在2FF 垂直平分线上，则0P x =，设()0,p P y ，则22a =，0p y ∴=，故只有原点满足，故D 错误.故选：AC .【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法：一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系.（1）求谁设谁，设所求点的坐标为(,)x y ；（2）所依赖的点称之为“参数点”，设为(,)(0,1,2)i i x y i = 等；（3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入；（4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值；（5）代入方程，消去参数值.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线e y ax =-与曲线ln C y x x :=相切，则a =______．【答案】2【解析】【分析】设切点坐标为(),ln t t t ，由导数的几何意义求解即可.【详解】设切点坐标为(),ln t t t ，由于ln 1y x ¢=+，所以切线的斜率为：ln 1k t =+，所以曲线在(),ln t t t 处的切线方程为：()()ln 1ln y t x t t t =+-+，即()ln 1y t x t =+-，所以e t =，ln 1ln e 12a t =+=+=，故答案为：2.13.已知点P 在双曲线22:16436x y C -=上，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为45，则12PF PF +=______．【答案】25【解析】【分析】设P 在双曲线右支上，由双曲线定义得到1216PF PF -=，由余弦定理和面积公式，得到125ta 4n2F PF ∠=，进而得到123694PF PF ⋅=，从而求出()()221212124625PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，求出答案.【详解】设P 在双曲线右支上，则122816PF PF -=⨯=，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF --+⋅+-∠==⋅⋅222121212124422422a c PF PF PF PF b PF PF PF PF -+⋅⋅-==⋅⋅，所以2221222121212221cos 2sin sin 22b b b PF PF F PF F PF F PF ⋅===∠∠-∠，又1221212121221211sin 2sincos 2222sin 2PF F F PF F PF b S PF PF F PF F PF ∠∠=⋅∠=⋅∠ 122tan2F b PF =∠所以1235ta 64n 2F PF =∠，解得121212sin 4tan 25cos F PF F PF F PF ∠∠==∠，结合221212sin cos 1F PF F PF ∠+∠=，则2121s 264in1F PF ∠=，12212363641369164sin 2PF PF F PF ⨯⋅===∠，又122816PF PF -=⨯=，故()()221212124256369625PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=+=，故1225PF PF +=.故答案为：2514.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分2．【答案】①.80②.4703【解析】【分析】利用平均数的定义求出90名学生的平均成绩，根据局部方差和整体方差的公式进行求解.【详解】甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为72509040805040⨯+⨯=+分，方差为()()2250405447090728060908015416050405040993⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⨯+⨯=⎣⎦⎣⎦++故答案为：80，4703四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 其中(),m a b = ，3cos ,sin 4n B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m n c ⋅= ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC V 的外接圆半径为5，求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）45（2）32【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得3sin cos sin sin sin 4A B B A C +=，根据()sin sin A B C +=可变形为3sin cos 4A A =，由22sin cos 1A A +=，即可求解；（2）由正弦定理可得8a =，根据余弦定理结合基本不等式可得80bc ≤，根据面积公式即可求解面积的最大值.【小问1详解】由题意得，3cos sin 4m n a B b A c ⋅=+= ，由正弦定理可知，3sin cos sin sin sin 4A B B A C +=，在ABC V 中，因为πA B C ++=，()sin sin A B C +=，所以3sin cos sin sin sin cos cos sin 4A B B A A B A B +=+，即3sin sin cos sin 4B A A B =，因为(),0,πA B ∈，所以sin 0B ≠，所以3sin cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，所以sin 45A =；【小问2详解】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，因为5R =，sin 45A =，所以8a =，3cos 5A =，由2222cos a b c bc A =+-，得226645b c bc =+-，由基本不等式可知，22664642555b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以80bc ≤，当且仅当b c ==时等号成立，所以114sin 8032225ABC S bc A =≤⨯⨯= ，所以ABC V 面积的最大值为32.16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠= ，点D 是棱11A B 的中点．（1）证明：AD BC ⊥；（2）求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）由侧面11ABB A ⊥底面ABC 得AD ⊥底面ABC ，进而可证；（2）向量法求面与面的夹角.【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C -中1AB AA =，故四边形11ABB A 为菱形，又因160ABB ∠=，点D 是棱11A B 的中点，故AD AB ⊥，又侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面=ABC AB ，AD ⊂侧面11ABB A ，所以AD ⊥底面ABC ，又⊂BC 底面ABC ，故AD BC ⊥.【小问2详解】因2AB AC ==，BC =ABC V 为直角三角形，故AB AC ⊥，如图分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则0,0,0，()2,0,0B ，()0,2,0C ，由（1）可知，11A D =，AD ==，故(1A -，(D ，则(1BA =-，(11,CA =--由题意平面ABC的一个法向量为(AD =设平面1A BC 的一个法向量为 =s s ，则1100n BA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3020x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，令1x =，则z =，1y =，则(n =，设面ABC 与面1A BC 夹角为θ，则cos AD n AD nθ⋅===⋅故sin tan cos cos 3θθθθ===，面ABC 与面1A BC夹角的正切值为3.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12F F =，点233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭M 在椭圆C 上，直线:l y x t =+．（1）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，求实数t 的取值范围；（2）当2t =时，记直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，求四边形PAQB 面积的最大值．【答案】（1）221124x y +=（2）8【解析】【分析】（1）根据焦距可得228a b -=，再根据点在椭圆上可得228413a b +=，解出,a b 后可得椭圆的方程，联立直线方程和椭圆方程后结合判别式可求t 的范围；（2）由题设可得当过,P Q 且与直线l 平行的直线与椭圆相切时面积之和最大，故求出切点坐标后可求面积和的最大值.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c ，则c =，故228a b -=，而3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，故228413a b +=，故2212,4a b ==，故椭圆方程为：221124x y +=，由22312y x tx y =+⎧⎨+=⎩可得22463120x xt t ++-=，故()22Δ36163120t t =-->即2192120t ->即44t -<<.【小问2详解】当2t =时，直线:2l y x =+，故()()2,0,0,2A B -，由题设可得,P Q 为位于直线AB 的两侧，不妨设Q 在直线AB 上方，P 在直线AB 的下方，当过Q 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时，Q 到直线AB 的距离最大及QAB 的面积最大，当过P 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时，Q 到直线AB 的距离最大及QAB 的面积最大，由（1）可得相切时0∆=即4t =±，当4t =时，切点的横坐标为638t-=-，切点坐标为()3,1-，在直线AB 上方，此时()3,1-到AB =当4t =-时，切点的横坐标为638t-=，切点坐标为()3,1-，在直线AB 下方；此时()3,1-到AB=，又AB =故四边形PAQB 面积的最大值为8.18.设函数()1ln f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0,1x ∈.（1）试判断′的单调性；（2）证明：对任意()00,1x ∈，有()()()()000f x f x x x f x -'≥+，当且仅当0x x =时等号成立.（3）已知1(1,2,3,,),1nj i i X i n X +=∈==∑R ，证明：2111nni i i n x x n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏（其中1231nin i aa a a a ==⋅⋅∏ ）【答案】（1）()f x '在()0,1上单调递增.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用二次求导即得；（2）令()()()()()000g x f x f x x x f x ⎡⎤=--+⎣'⎦，则()()0()g x f x f x ''-'=，由（1）得()g x 在0,1上的单调性，进而()()00g x g x ≥=，即可证明；（3）将原不等式转化为111ln ln ni i j x n n x n =⎛⎫⎛⎫+≥⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，令()()1ln ,0,1f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由（2）得11111()ln nni i f x f x n n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅-++ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝'⎭⎣⎦∑∑，结合1111ln ni i f x n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣'⎦∑1ln n n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可证明.【小问1详解】()()1ln ,0,1f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，()()221,1x f x x x -∴=+'令()()h x f x ='，()()()()()22242223341141x x x x x h x xxx x ++--++==+'+，01x <<Q ，210x ∴->，()()()()222234110x x x h x x x ++-∴==>+'故′在0,1上单调递增.【小问2详解】令()()()()()000g x f x f x x x f x ⎡⎤=--+⎣'⎦，则()()()()()()()0000000,()g x f x f x x x f x g x f x f x ⎡⎤=--+==-''''⎣⎦.又()f x ' 在0,1上单调递増，∴当001x x <<<时，()()()()()000f x f x g x f x f x <⇒=-''''<'；当001x x <<<时，()()()()()000f x f x g x f x f x '''⇒=-；当0x x =时，()()()00g x f x f x =-'='；所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(),1x 上单调递增，故()g x 在0x x =处取最小值()0g x ，即()()00g x g x ≥=，从而()()()()0000f x f x x x f x ⎡⎤--+≥⎣⎦'，即()()()()000f x f x x x f x -'≥+.【小问3详解】10i jx x +> ，要证111nni i i x n x n =⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏，只需证111ln ln nn i i i x n x n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∏，即证111ln ln ni i j x n n x n =⎛⎫⎛⎫+≥⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（*）显然，当()11,2,,i X i n n== 时，不等式（*）中等号成立.令()()1ln ,0,1f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由（2）可知：111()f x f x f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'成立，即：111()ln f x f x n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝'⎭⎭成立，即：11111()ln nni i f x f x n n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝'⎭⎣⎦∑∑而111()ln nni i i i f x x x ==⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑11111111ln ln nn i i i i f x n f x n n n n n n n n ==''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++=⋅-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑1111ln n i i f X n n n n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝'⎭∑1ln n n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111ln ln ni i i x n n x n =⎛⎫⎛⎫∴+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑成立，从而111nnj j i x n x n =⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏成立.【点睛】关键点点睛：小问（2），令()()()()()000g x f x f x x x f x ⎡⎤=--+⎣'⎦，则()()0()g x f x f x ''-'=，由()f x '在(0,1)上单调递增，得到()g x 在0x x =处取最小值()0g x ，即()()00g x g x ≥=，命题得证；小问3，解决该小问的关键是利用分析法证明111ln ln ni i i x n n x n =⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑即可.19.对于数列，若存在常数T ，()*00,Nn T n ∈，使得对任意的正整数0n n ≥，恒有n Tn aa +=成立，则称数列是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．当01n =时，称数列为纯周期数列；当02n ≥时，称数列为混周期数列．记为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：[]21log ,212,2n nn n a n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数.（1）若对任意正整数n 都有1n a ≠，请写出三个满足条件的1a 的值；（2）若数列是纯周期数列，请写出满足条件的1a 的表达式，并说明理由；（3）证明：不论1a 为何值，总存在*,N ∈m n 使得21mn a =-．【答案】（1）3,5,6（2）()121Nka k *=-∈，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别取12a =，3，4，5，6，根据已知条件逐一验证即可求解；（2）分别取11a =，2，3，4，5，6，7，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想；（3）根据（2）的分析，()121Nka k *=-∈时，满足题意；再证明，当()121N k ak *≠-∈时，也存在,m n使得21mn a =-即可.【小问1详解】因为对任意整数n 都有1n a ≠，所以取12a =，则1212a a ==，不符合题意；取13a =，[]2log 312121232a a -=+=+=，343n a a a ==== ，此时，数列{}n a 为常数列{}3；取14a =，1222a a ==，2312aa ==，不符合题意；取15a =，[]2log 5212122262a a -=+=+=，2332aa ==，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为5,16,23,3n n a n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩；取16a =，1232a a ==，[]2log 323121232a a -=+=+=，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为6,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩；所以满足条件的三个1a 的值为3,5,6；【小问2详解】取11a =，[]2log 1121212a a -=+=，341n a a a ==== ，此时数列{}n a 为常数列{}1，为纯周期数列；取12a =，则1212a a ==，341n a a a ==== ，此时数列{}n a 的通项公式为2,11,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，为混周期数列；取13a =，[]2log 312121232a a -=+=+=，343n a a a ==== ，此时，数列{}n a 为常数列{}3，为纯周期数列；取14a =，1222a a ==，2312aa ==，451n a a a ==== ，此时数列{}n a 的通项公式为4,12,21,3n n a n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩，为混周期数列；取15a =，[]2log 5212122262a a -=+=+=，2332aa ==，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为5,16,23,3n n a n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩，为混周期数列；取16a =，1232a a ==，[]2log 323121232a a -=+=+=，453n a a a ==== ，此时，数列{}n a 的通项公式为6,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，为混周期数列；取17a =，[]2log 7212123272a a -=+=+=，347n a a a ==== ，此时，数列{}n a 为常数列{}7，为纯周期数列；根据上述计算得出猜想，当()121Nka k *=-∈时，数列{}na 为常数列也是纯周期数列{}()21N kk *-∈，下面进行验证：当121ka =-时，[]()221log 21log 11121211222122122k k a k k k a a ⎡⎤---⎣⎦---=+=+=-+=-，3421k n a a a ====- ，()N k *∈，此时数列{}n a 为常数列，也是纯周期数列；【小问3详解】首先，根据（2）的分析，发现当()121Nka k *=-∈时，数列{}na 为常数列，也是纯周期数列{}()21Nkk *-∈，满足题意；接下来证明，当()121N ka k *≠-∈时，也存在,m n 使得21m na=-；因为1121=-，所以只需要证明数列{}n a 中始终存在值为1的项即可，当()12N ka k *=∈时，显然存在值为1的项，当()()12,21N kka k *∈-∈时，有122a a=或[]21log 12122a a a -=+，若1a 为偶数，则122a a =，若1a 为奇数时，则[]()12211log 21log 112121122212222k k a k k k a a ++⎡⎤-+⎣⎦---=+<+=-+<，1111121111212222202222k k k k ka a a a a a a +-----=+-=+=->-=，所以()11122222,2kk k k a a a ++<<<⇒∈，所以无论1a 为奇数还是偶数，均有122k a +<；特别的，当1a 为奇数时，()122,2k k a +∈且12aa <，类似的，可得：无论2a 为奇数还是偶数，均有132k a +<；特别的，当2a 为奇数时，()132,2k k a +∈且()1123221k aa a a +<≤=-取等；所以无论无论1a 为奇数还是偶数，均有12k n a +<；若()()12,22kk n a n +∈≥，则na恒为奇数且()11234221k n a a a a a a +<≤≤≤≤≤=- 取等，于是，假设数列{}n a 的()121Nka k *≠-∈且()()12,22kk na n +∈≥，所以，n a 恒为奇数且()11234221k n a a a a a a +<≤≤≤≤≤=- 取等，由于()12,2k k +中仅有有限个正整数，故数列{}na 从某项起恒为常数121k +-；设i a 为第一个值为121k +-的项，而[]2log 11112222i a ki i i a a a ----=+=+，故11111221212kk k i i i a a a ++---=+=-⇒=-，这与“i a 是第一个值为121k +-的项”相矛盾，所以，数列{}n a 除第一项外，还存在不属于区间()12,2kk +的项，假设这些不属于区间()12,2k k +的项全部属于区间()12,2k k -，那么也会出现类似的矛盾，所以，数列{}n a 除第一项外，存在不属于区间()12,2kk +和()12,2k k -的项，以此类推，数列{}n a 一定存在小于值为2的正整数的项，即存在值为1的项，得证.【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给1a 赋值，逐一根据已知题意进行验证.。

2024学年广东省珠海市数学高三第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A ．131+ B ．132+ C ．151+D ．152+2．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C ．33D ．33．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12804．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭6．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．57．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．19．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1510．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=11．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年12．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1<x<2}，则∁U A=( )A. (−∞,1]∪[2,+∞)B. (0,1]∪[2,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)2.复数z=10−3+i(i为虚数单位)，z的共轭复数为( )A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i3.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=( )A. 54B. 1 C. 78D. 584.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为( )A. 6B. 112C. 92D. 6−1025.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为( )A. 1：3：2B. 1：3：4C. 3：2：23D. 3：2：66.已知函数f(x)={2 x− a,x≤0log12(|x|+1)−a,x>0，(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是( )A. (1,+∞)∪{0}B. (0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,1]7.函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2π3)，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是( )A. ω=1B. 函数f(x)图象关于点(π3,3)对称C. 函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12D. 若x∈[0,π2]，则函数f(x)的最大值为3+18.若不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,1]D. (−∞,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。

一、单选题1. 设、，那么“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件2.（ ）A．B．C．D ．23. 设集合，集合．若，则（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．5. 已知单位向量满足，则（ ）A．B．C ．0D．6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则7.设集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知函数在上的图象如图所示，则a ，b 的值分别为（）A ．，B ．，C ．，D ．，9. 近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）A ．方案一更经济B ．方案二更经济C ．两种方案一样D ．条件不足，无法确定10. 已知存在正实数，满足，则实数的取值范围是A．B．，C．，D．，11. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题的最小值为（ ）A ．4B ．12C ．16D ．1812. 已知函数，记方程的最小的两个正实数解分别为，若，则（ ）A．B．C．D．13. 下列说法正确的有（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则14. 在三棱锥P -ABC 中，，，，O 为的外心，则（ ）A ．当时，PA ⊥BCB ．当AC =1时，平面PAB ⊥平面ABC C ．PA 与平面ABC所成角的正弦值为D ．三棱锥A -PBC的高的最大值为15. 已知，为导函数，，，则下列说法正确的是（ ）A ．为偶函数B ．当且时，恒成立C ．的值域为D．与曲线无交点16. 已知a 是实数，则函数的图像可能是（ ）A．B．C．D．17.函数的定义域为____________.18.为抛物线上一点，其中，F 为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则________．19.的展开式中系数为有理数的各项系数之和为________.20. 已知函数则________；若，则________.21. 已知函数（为自然对数的底数），则_____，的解集是____.六、解答题七、解答题八、解答题22.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值23. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．24. 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.(1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程；(2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：．25. 如图，在几何体中，底面是平行四边形，，，，平面，与交于点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的表面积.26. 如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，平面平面，且.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.27. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产不超过九、解答题的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm ）， 将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率0.1080.5010合计50 1.00(1)将上面表格中缺少的数据填在相应的位置；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间内的概率；28.已知函数的图象过坐标原点O，且在点处的切线的斜率是．（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若函数图象上存在两点，使得对任意给定的正实数a 都满足是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．。

一、单选题二、多选题1. 设复数z 满足，则z 的在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限共轭复数2. 已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，则（ ）A ．2B．C．D．4. 已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1)5. 若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6. 如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7. 从，，，…，中任取一个数，它能被整除的概率（ ）A．B．C．D．8. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点P 为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．若，则D ．若，的最小值为，则10. 已知函数在上的值域为，则实数的值可能取（ ）A ．1B．C．D ．2广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷三、填空题四、解答题11. 如图，在多面体中，，，两两垂直，四面体是正四面体，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C ．平面D．12.在平面直角坐标系中，已知圆，其中，则（ ）A ．圆过定点B ．圆的圆心在定直线上C ．圆与定直线相切D ．圆与定圆相切13. 如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.14.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_____.15. 已知，，、的夹角为，如图，若，，D 为BC的中点，则______．16. 已知点M （x 0，y 0）为椭圆C：+y 2＝1上任意一点，直线l ：x 0x +2y 0y ＝2与圆（x ﹣1）2+y 2＝6交于A ，B 两点，记线段AB 中点为N ，点F 为椭圆C 的左焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；（Ⅱ）证明：|FN |＝|AN |.17. 随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚，“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连.为了更好的普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：分数人数815253022(1)若测试成绩不低于60分为合格，否则为不合格，为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s ，绘计算得，若，则这次培训中不合格的学生需要参加第二次讲座；否则，不需要参加第二次讲座，试问不合格学生是否参加第二次讲座；(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，否则为不优秀.（i）若在样本中利用分层抽样从成绩在的学生中抽取11人，再从这11人中随机抽取4人担任讲座助理，设成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望；（ii）视频率为概率，若从所有参加讲座的大学生中随机抽取3人，设成绩优秀的人数为Y，求Y的数学期望，并比较与大小.18. 为了了解游客对景区的满意度，市旅游部门随机对景区的100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，内，且游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示.（1）求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；（2）视频率为概率，规定评分不低于80分为满意，低于80分为不满意，记游客不满意的概率为p.①若从游客中随机抽取m人，记这m人对景区都满意的概率为，求数列的前4项和；②为了提高游客的满意度，市旅游部门对景区设施进行了改进，游客人数明显增多，旅游部门随机抽取了3名游客进行了继续旅游的意愿调查，若不再去旅游记分，继续去旅游记1分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为p，记调查总得分为X，求X的分布列与数学期望.19. 动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.20. 如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；(2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21. 如图，在四棱锥中，面，.（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角的正弦值为，求的长.。

广东省珠海市 2 0 2届高三9 月摸底测试数学理试题珠海市2019〜2020学年度第一学期高三摸底测试理科数学时间：120分钟 满分：150分、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.5.我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均海人每天做作业时间为x （单位:分钟），按时间分下列四种情况统计：①0 X 30;②30 X 60;③60 X 90;④X学生参加了此项调查，如图是此次调查中某-项的程序框图，其输出的结果是 天做作业时间在0,60分钟内的学生的频率是（）2019.91.已知集合Ax 2 3x 2 0，Bxx 22 ,则 C B Ax1 x 2xx 22.已知i 为虚数单位, 若复数z 满足z3.若角的终边过点4, 3 ,则 cos(4 A . 4 B54.已知等差数列 a n 的前n 项和为S n ，且S 5 S I0 ,则 a 11a5.5 C. 8 D . 1690,有1000名小200,则平均每.0.8f x ,则 f 2019(A. 2019 B.3 C.7. “I n x In y ”是 “e x e y ”的() 为定义在R 上的奇函数，且f6.已知函数f xB.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.充分非必要条件8.已知a 着b 為,c e '则下列大小关系正确的是（）A. a b c BA.-3围是（） 1,1 C.5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量a,b 不共线，m 2a 3b,n 3a kb ,如果m//n ,则k 14. 已知等比数列a n 的各项均为正数，a 5 5,则4a ? a 3的最小值为 15.研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数x 服从正态分布N （90, 2）,且P x 70 0.1,从中随机抽取10株，果实个数在90,110的株数记作随机变量X,假设X 服 从二项分布，则 X 的方差为 _______________________ .C.9.已知边长为1的菱形ABCD 中,BAD 60°, 点E 满足BE uuurUUUT EC ,则AE BD 的值是(10.函数f xxxe e ,x 2sin x（,0）U （0,）的图象大致为（）11.已知点 :Vk >：匕\)\F ； <>O K JTB C D1,0 , N 1,0 .若直线丨:xm 上存在点P 使得PM PN ,则实数m 的取值范A.1,112.将函数sin2x 的图象向右平移i个单位长度得到 f x的图象，若函数f在区间 0,3上单调递增，且f x 的最大负零点在区间令，-上，则的取值范围是A (67]诂于 C.匕、填空题（每题 AM y16. 已知F是抛物线C: y2 8x的焦点，点M 2,6，点P是C上任意一点，当点P在R时，PF| | PM取得最大值，当点P在P2尽时，|PF | PM\取得最小值，则|RP2 _______________________________ •三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17. 已知ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且2acosA ccosB bcosC.⑴求角A的大小；⑵若a 2,求ABC周长的取值范围.18. 如图，在直角梯形ABED中，AB//ED, AB EB ,点C是AB中点，且AB CD,AB 2CD 4,现将三角形ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45°•⑴求证:平面PBC 平面DEBC ;19. 珠海市某学校的研究性学习小组，对昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行了研究，该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度（如图1）,以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数（如图2）已知绿豆种子出芽数y(颗)和温差x °C 具有线性相关关系(1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x °C 的回归方程y bx a?；内的出芽数.后，直线OQ 的斜率为k 2. (1) 求椭圆方程；1(2) 若k 1 k 2 丄，则三角形OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理9由•21. 已知函数f x e x1,(1)若f x ax 对x (0,)恒成立，求a 的取值范围； ⑵数列罂n N *的前n 项和为T n ,求证：T n--n2 n 1(二)选考题：共10分.请考生在第22/23题中任选一题作答.⑵假如4月1日至7日的日温差的平均值为10°C ,估计4月7日浸泡的2000颗绿豆种子一天xiSi nx y附：bi 1n2X i xi 1―，? y 伎.2—2x nxi 120. 已知离心率为 亠2的椭圆笃 y 2 1 a3a1 ,与直线I 交于P,Q 两点，记直线OP 的斜率为1日2B 3B 4日5B 6日度 最低湛度22. 选修4-4 :坐标系与参数方程（1）把C i 的参数方程化为极坐标方程;23. 选修4-5 :不等式选讲 已知函数f x （1）当a 2时，求不等式f x 5的解集;2的解集为R ，求a 的取值范围.珠海市2019~2020学年度第一学期高三摸底试时间：120分钟 满分：150分、选择题、填空题 13.9 214. 20 15. 2.4 16. £2三、解答题在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x 2 2cosy 4 2sin （为参数）’以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2的极坐标方程为p 4sin .⑵ 求C 与C 2交点的极坐标（0,02 ).理科数学答案2019.91-5:DCBAD6-10:DADCA 11 、12： CB（一）必考题:共60分 17.解:⑴在ABC 中，Q 2acosA ccosB bcosC2si nAcosA sinCcosB sinBcosC 2si nAcosA sin C B 2sin AcosA sin AeosA 1 2又因为三角形两边之和大于第三边，所以 b e 218.(1)证明：在平面 ABED 中，AB CD, BC CD Q PC 为AC 沿CD 折起得到， PC CD Q PCI BC C ，CD 平面 PBC ，又QCD 平面DEBC,平面PBC 平面DEBC(2) 解:在平面 ABED 中, AB CD ，AB BE ，CD//EB 由(1)知 CD 平面 PBC ， EB 平面 PBC ， EB PB.由PE 与平面PBC 所成的角为45°，得 EPB 45°，PBE 为等腰直角三角形， PB EB, Q AB//DE ，又 CD//EB ，得 BE CD 2, PB 2，故 PBC 为等边三角形， 取BC 的中点O,连结PO,Q PO BC, PO 平面 EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线y 轴OP 所在的直 线为z 轴建立空间直角坐标系如图， 则 B 0,1,0，E 2,1,0 ,D 2, 1,0，P(0,0八 3 )Q A (0,):.A —3⑵由于 a 2, A3由余弦定理有eosA,2 2 2b e a2bebe b 2 e 2 42be ， be又根据基本不等式有be e，所以-2e 4 ~3解得b e 4(当且仅当eb 2时等号成立)因为a 2，所以ABC 周长ab e 的取值范围为4,6 .uuu UJU uuu从而DE 0,2,0 ,BE 2,0,0 ,E (2,1, , 3),即二面角D PE B的余弦值为辽719.解：⑴依照最高（低）温度折线图和出芽数条形图可得如下数据7,23,8, 26 ,12,37 ,9,31,13, 40,11,35故x10, y32,6X ii 1X y i y39 2 6 2 5 1 23 8 1 3 77，622亠2 ,2,2 小小X ii 1x y y32 2 1 3 1 28,nX i X Y i y所以t? i1n7711—2284设平面PDE的一个法向量为m x, y, z 平面PEB的一个法向量为n a, b, c ir uur … mDE2y0则由ir JJJ得m PE02x y，令z 2得m、.3z 0r f n JJJBE0〜2a0r由r JJJ得- ，令c 1得nn P E02a b.3c 00,、、3,1设二面角D PE B的大小为J3,0, 2 ,，贝U cos m in—F2近m1眉27i 1X i X则a y bX321110942所以，绿豆种子出芽数y （颗）关于温差X°C的回归方程为21. (1)解:f xe x 1,若函数f x ax 对x (0,)恒成立,⑵因为4月11日至7日温差的平均值为10°C ,所以4月7日的温差x 77 10 60 10 C ,11 9 所以?710 9 32 4 2 32 ——2000 640(颗),100 所以4月7日浸泡的2000颗绿豆种子一天内的出芽数约为 640颗.2所以椭圆方程为环y 2⑵设 P X 1,y 1 ,Q X 2,y 22 18km 9m 9 贝 U x-1 x 22 , x-|x 2 9k 2 1 9k 2 1化简得9k 2 2m 2 1代入上式得S POQ3若直线斜率不存在易算得S poQ 32综上得，三角形POQ 的面积是定值2 2m “ m—2 1 —2 9k 1 9k 1 点O 到直线的距离dm FT 2 所以SpoQ 2 PQ d由 k 1k 2 2 yy k 住 N X 2km 为 x 2 ^x 2 m 2 1 9 20.解：(1)由题意可知 1空，解得a3 2 c c a b 2 3,c 2迈,当直线PQ 的斜率存在时, 设其方程为y kxm , 联立椭圆方程得9k 21 2 2x 18kmx 9m 9即a x 1——在x (0,)上恒成立,xx 1令g x e ，则g x x 所以g x 在0,1上单调递减，在(1,)上单调递增.所以 g x i g 1 1, min所以a 1.⑵证明：由(1)得当a 1时，有e x1 x 恒成立，2令 x n 3，则 e n 1 n 2两边取对数得到n 2 1 Inn 2，2 2 n 1 In n 2In n 所以「 2—，n n n (二)选考题：共10分.请考生在第22/23题中任选一题作答即 x 2 y 2 4x 8y 16 0.4 2 234 pcos 8psin 16 ⑵联立4si n x 2令g' x 0,得x 1;令 g x 0,得0 x 1. 所以 ln n 2 1 1 1~2" 1 1 n 2 n 2 则： T n i 1l ni n1 1n i 2 2 n 1 1 12 n2 2 n 1 2 n 111 1 1 1n n 12 n n 1 '1 1 1L 1 12 23 n n 122.解(1)曲线C 的直角坐标方程为 2 4 4, C 1的参数方程化为极坐标方程为 4 pcos 8 psi n 16 0;可得：或2 4G与C2交点的极坐标为4,—和2、. 2,—2 4 23.解(1)当a 2时，原不等式可化为x 22x 11 2x解得x 2,3，所以不等式的解集为2,3⑵由题意可得f min x 2,Q x 1 x a x 1 x a a 1 ,当x 1 x a 0时等号成立,f min x a 1,a 1 2 或a 1 2，即a 1或a 3.。

珠海市2021年9月高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（集合）已知全集{012}U =±±，，，集合{0}M =，那么U C M =（A ）A ．{12}±±，B ．{012}±±，，C ．{01}±，D ．{02}±， 2．（复数）复数(2)i i +的虚部是 （D ）A ．2-B ．1C ．1-D ． 23．（程序框图）阅读如下图的程序框图，运行相应的程序， 输出的s 值是（C ）A ．7B ．67C ．39D ．1525 4．（等比数列）等比数列{}n a 中，33a =-，那么前5项之积是（B ）A ．53 B ．53- C ．63 D ．63-5．（三视图）如图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积为（A ）A ．163πB ．16πC ．83πD ．8π6．（空间向量运算）向量)1,1,0(-=a ，)0,1,0(=b ， 则a 与b 的夹角为（C ）A ．︒0B ．︒30C ．︒45D ．︒607．（几何概型）在区间[02]，上随机取两个数x y , 其中知足2y x ≥的概率是（ B ）A ．12B ．14C ．18D ．1168．（简易逻辑与命题）以下命题中是真命题的是（C ） A ．R αβ∀∈、，均有cos()cos cos αβαβ+=-第3题图侧视图俯视图第5题图B ．假设()cos(2)f x x ϕ=-为奇函数，那么k k Z ϕπ=∈，C ．命题“p ”为真命题，命题“q ”为假命题，那么命题“p q ⌝∨”为假命题D ．0x =是函数3()2f x x =-的极值点 二、填空题：本大题共7小题，每题5分，考生做答6小题，总分值30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．（绝对值不等式）不等式344x -≤的解集是8[0,]3 10．（二项展开式）5()ax x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，那么实数_____a =．2 11．（定积分）1x e dx =⎰．1e -12．（线性计划）已知变量x y 、知足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么函数z x y =+的最大值是 ．313．（圆锥曲线）在平面直角坐标系xoy 中，曲线2:2(0)C x py p =->的核心F ，点()M M p y C∈，，假设M为圆心的圆与曲线C 的准线相切，圆面积为36π，那么p = ．6 14．（几何证明选讲选做题）如图,在Rt ABC ∆中,斜边12AB =,直角边6AC =,若是以C 为圆心的 圆与AB 相切于D ,那么C 的半径长为15．(极坐标选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，成立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为)4π，，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，那么曲线C 上的点B 与点A 距离的最大值为 ．5三、解答题:此题共有6个小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤．16. （本小题总分值12分）（三角函数）已知函数R x x x x x f ∈+⋅=,cos 2cos sin 32)(2．（1）求)(x f 的最小正周期；（2）已知],0[,31)2(παα∈=f ，求cos()6πα+的值．解：（1）1)62sin(21)2cos 212sin 23(212cos 2sin 3)(++=++=++=πx x x x x x f ……………4分()f x 的最小正周期为π。

一、单选题1.已知函数，则的图象大致为（ ）A．B．C．D．2. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）A ．81种B ．72种C ．36种D ．24种3. 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一4. 若，，，则（ ）A．B．C．D．5.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）A．B．C．D．6.若集合，集合（ ）A．B．C．D．广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷二、多选题三、填空题四、解答题7.三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O 上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O 截得的截面面积为（ ）A．B．C．D．8. 设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：①＞ ；②＜ ； ③ ，其中所有的正确结论的序号是A ．①B ．① ②C ．② ③D ．① ②③9. 下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B互斥，B ．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11C ．若随机变量，，则D ．已知y 关于x 的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.210. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．11. 过抛物线C ：的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）A ．可能为锐角三角形B．过点且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有2条C ．若，则的面积为D．最小值为12. 在棱长为的正方体中，是棱的中点，点在棱上运动（不与端点重合），则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为B．直线与平面所成角的正弦值可能是C ．三棱锥外接球的表面积的最小值为D ．平面截正方体所得的截面各边长的平方和的最大值是13. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.14. 假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩近似服从正态分布，已知某学生成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于____________分.（参考数据：，）15.设为的反函数，则___________.16. 已知点M 是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C 的上、下焦点，，当，的面积为.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点的直线和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线，使得与（O 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.17.已知定义域为的函数是奇函数，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．19. 已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．20. 2020年11月1日，我国开展第七次全国人口普查，它是中国特色社会主义进入新时代、第一个百年奋斗目标即将实现、开启全面建设社会主义现代化国家新征程的一项基础性工作，将为我们科学制定“十四五”规划和社会民生政策等提供重要信息支撑，具有重大而深远的意义.大国点名，没你不行.全国每个家庭每位居民都是人口普查的参与者和受益者，都有义务如实填报人口普查信息.齐心协力共同高质量完成人口普查任务.为了保障普查顺利进行，某市选取一个小区进行试点，该试点小区共有A类家庭(指公务员，机关干部，教师，高级白领族等)200户，B类家庭(指农民，留守老人族，打工族，低收入族等)300户，普查情况如下表所示：普查对象类顺利不顺利合计别A类家庭180200B类家庭60300合计（1）补全上述列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“此普查试点小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（2）普查领导小组为了了解公民对这次普查的认识情况，准备采取分层抽样的方法从该试点小区抽取5户家庭户主，再从这5户家庭户主中，随机抽取2户家庭户主进行谈话交流，求至少有1户家庭户主是来自A类家庭的概率.参考公式：，其中.参考数据：P(K2≥P0.100.050.0250.0100.001)k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82821. 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）。

2021年广东珠海市高三9月摸底考试数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知a R ∈，i 是虚数单位，若()()1-i 12ai +=，则a = A ．1 B ．5 C ．3 D ．6 2．设集合{}{}11,3<<-=∈==x x B R x y y A x ，，则A B =A ．()11-， B ．()10， C ．()∞+，1- D ．()+∞0, 3．已知{}n a 是公差为4的等差数列，n S 是其前n 项和.若515S =，则10a 的值是 A ．11 B ．20 C ．29 D ．314．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为 A ．151 B ．52 C ．158 D ．545．已知双曲线2222:1(00)x y E a b a b-=>>，的离心率是2，则E 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y=2x ±C ．y x =D ．y=2x ± 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．187．若平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤-0430y 02y x x x 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A ．32B ．23C ．4 D8．函数5x y x xe =-在区间上的图像大致是A ．B ．C ．D ．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4,3，则输出v 的值为A ．B ．C ．D ．10．设抛物线22(0)y px p => 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ，若2CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为 A ．B ．C ．D ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，F E ,分别是棱1111,A B B C 的中点，O 是的交点与BD AC ，面OEF 与面11BCC B 相交于m ，面1OD E 与面11BCC B 相交于n ，则直线n m ,的夹角为 A ．0 B ．6π C ．3π D ．2π 12．设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是d 个,则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为 A ．7 B ．11 C ．14 D ．28二、填空题13．在()63-1x 的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）14．已知向量，则实数k 的值为___________.15．已知函数)x (f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当2x 0<<时，xx f 4)(=，则()=+⎪⎭⎫⎝⎛-229f f . 16．已知数列{}n a 满足243n n a +=，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11,k =且*12...,n n k k k k N <<<∈，则满足条件的最小q 的值为 .三、解答题17．在B C A ∆中，ac b a -=+222c . （1）求B ∠的大小；（2）求C A cos cos +的最大值.18．在如图所示的圆台中，C A 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆/O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知H G ，分别为FB E ,C 的中点，求证：ABC GH 面//；（2）已知221===AC FB EF ，BC AB =，求二面角O BC F --的余弦值. 19．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．设椭圆:C 18222=+y a x （22>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||8||1||1FA eOA OF =+，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证:BM AN ⋅为定值. 21．已知()R a xx x x a x f ∈-+-=,12ln )(2. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当21=a 时，证明：()45)(/+>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立. 22． 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E （Ⅰ）证明：△ABE△△ADC； （Ⅰ）若△ABC 的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为，求||||PA PB +的值． 24．已知函数()2f x x a x =++-.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2[]1,2，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 试题分析：因为()()1-i 12ai +=，所以212=--+ai i ai ，即0)1()1(=-+-i a a ，所以01=-a ，即1=a ，故应选A .考点：1、复数及其四则运算. 2．C 【解析】试题分析：因为03>=xy ，所以集合{}3,xA y y x R ==∈{}0>=y y ，由集合的并集定义可得A B =()∞+，1-，故应选C .考点：1、集合及其基本运算. 3．D 【解析】试题分析：因为515S =，所以1524551=⨯+d a ，所以51-=a ，所以319110=+=d a a ，故应选D .考点：1、等差数列；2、等差数列及其前n 项和. 4．C 【解析】试题分析：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，绿灯的时间为40秒，所以当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为1587540==P ，故应选C . 考点：1、几何概型. 5．C 【解析】试题分析：因为双曲线2222:1(00)x y E a b a b-=>>，，所以27==a c e ，所以2247a c =，又因为222a cb -=，所以22247a a b =+，即2243a b =，所以a b 23=，所以E 的渐近线方程为2y x =±，故应选C . 考点：1、双曲线的简单几何性质. 6．B 【解析】13V Sh =Ⅰ1163332=⨯⨯⨯⨯Ⅰ 9=Ⅰ选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 7．B 【解析】试题分析：作出平面区域如下图所示：所以当直线b x y +=分别经过A ，C 时，平行线间的距离相等，联立方程组⎩⎨⎧≥+-≥+0430y y x x 和⎩⎨⎧≥+≤-0y 02x x ，解得)2,2(),1,1(--C A ，所以两条平行线分别为04,02=--=+-y x y x ，所以两平行线间的距离为23242=+=d ，故应选B .考点：1、线性规划. 8．B 【解析】试题分析：因为5xy x xe =-，所以，当时，，所以函数5xy x xe =-在上单调递增，所以排除A,C ；又因为当时，，所以排除D ，故应选.考点：1、函数图像；2、导数在研究函数的单调性中的应用.【思路点睛】本题考查了函数图像和导数在研究函数的单调性中的应用，重点考查学生识图能力和判断推理能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先求出函数的导函数，并由导函数可判断函数5x y x xe =-在上单调递增即可排除不满足题意的选项，然后取出特值即可得出所求的正确答案.9．C 【详解】试题分析：初始值,n x 的值分别为4,3，程序运行过程如下所示：，，，，，，，，，跳出循环，输出v 的值为，故应选C .考点：1、程序框图. 10．A 【解析】 试题分析：设点A ，则因为，所以由2CF AF =可得，再由抛物线的定义可得：，即，所以，，所以的面积为，所以ACE ∆的面积为，所以，即，故应选A .考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质. 11．A 【解析】试题分析：延长111,B C E D 交于点M ，延长B B O D 11,交于点N ，连接MN .因为F E ,分别是棱1111,A B B C的中点，O 是的交点与BD AC ，所以面OEF 与面11BCC B 的交线为CF ，即m CF =；由作法知面1OD E与面11BCC B 的交线为MN ，即n MN =，因为EF ‖CO ，且EF CO =，所以四边形EFCO 为平行四边形，所以CF ‖EO ，所以EF ‖平面1OD E ，所以CF ‖MN ，即m ‖n ，所以直线n m ,的夹角为0， 故应选A .考点：1、线面平行的判定定理；2、线面平行的性质定理；3、直线与直线所成的角.【思路点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理和直线与直线所成的角，考查学生综合运用知识的能力和空间想象能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先运用空间公理正确找出平面OEF与面11BCC B 、面1OD E 与面11BCC B 的交线，然后运用线线平行得出线面平行进而得出线线平行，即可得 出所求的结果. 12．D 【解析】试题分析：因为对于任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，所以必有2=a . 若2=a ，则方程等价为)sin()33sin(c bx x +=-π，则函数的周期相同，若3=b ，此时35π=C ；若3-=b ，此时34π=C ；若2-=a ，则方程等价为)sin()sin()33sin(c bx c bx x --=+-=-π，若3-=b ，此时3π=C ；若3=b ，此时32π=C ；综上满足条件的有序实数组),,(c b a 为),32,3,2(),3,3,2(),34,3,2(),35,3,2(ππππ----共4组；而当x x cos 2sin =时，x x x cos cos sin 2=，即0cos =x 或21sin =x ，所以Z k k x ∈+=,2ππ，或Z k k x ∈+=,26ππ或Z k k x ∈+=,265ππ，又因为∈x []0,3π，所以πππππππππ265,65,26,6,25,23,2++=x ，所以满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为2874=⨯，故应选D .考点：1、三角函数的周期性；2、三角函数恒等变换；3、三角函数的图像及其性质. 【思路点睛】本题主要考查了三角函数的周期性、三角函数恒等变换和三角函数的图像及其性质，考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π求解出参数a 的值，然后利用三角恒等式x x cos 2sin =求出所有的根的个数，最后运用排列组合的思想求出满足条件的有序实数组对. 13．135 【解析】试题分析：因为()63-1x 的展开式中的通项为rrx C )3(6-，令2=r 可得2x 的系数为135)3(226=-C ，故应填135.考点：1、二项式定理的应用. 14．16 【解析】试题分析：因为向量，所以，即，故应填 16.考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积的运算. 15．-2 【解析】试题分析：因为函数)x (f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，所以)()4(x f x f =+，令2-=x ，则)2()42(-=+-f f 即)2()2(-=f f ，又因为)2()2(--=f f ，所以0)2()2(=-=f f ，所以24)21()21()429()29(21-=-=-=-=+-=-f f f f ，故应填-2. 考点：1、函数的周期性；2、函数的奇偶性；3、函数的求值.【易错点睛】本题主要考查了函数的周期性、函数的奇偶性和函数的求值，考查了学生综合应用知识的能力和知识的迁移能力，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地进行赋值得出)2(),2(-f f 的值，进而导致出现错误；其二是不能正确地运用函数的周期性和奇偶性将29-转化为已知区间，从而导致出现错误. 16．2 【解析】试题分析：因为数列{}n a 满足243n n a +=，所数列{}n a 是正项递增等差数列，所以等比数列{}n k a 的公比1>q ，若22=k ，则342)22(3212=+==a a q ，则932)34(223=⨯=k a ，由342932+=n 得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ，若42=k ，由44=a 得2=q ，此时2221+=⨯=-m a n k n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，所以n k a 是数列{}n a 的第2231-⋅-n 项，所以最小公比为2=q ，故应填2.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式.【思路点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的定义和通项公式，属中档题.其解题的一般思路为：首先令4,3,22=k ，由题意和等比数列的定义进行验证，求出等比数列{}n k a 的通项公式，然后求出对应数列{}n a 的项数，最后确定公比的最小值即可.其解题的关键是运用等比数列的通项公式求出数列{}n k a 的通项公式. 17．（Ⅰ）32π=B ；（Ⅱ）3 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先运用余弦定理并结合已知可得出角B 的余弦值，然后由三角形的内角取值范围即可得出角B 的大小；（Ⅱ）首先由（Ⅰ）知3π=+C A ，然后将其代入C A cos cos +并运用两角差的余弦和三角恒等变换将其化简为C C cos 23sin 23+，再结合角C 的取值范围即可得出所求的最大值.试题解析：（1）由已知得:212cos 222-=-+=ac b c a B ，π<<B 0 ，32π=∴B（2） 由（1）知:3π=+C A ，故30-3ππ<<=C C A ，，所以CC C C C A cos 23sin 23cos 3cos cos cos +=+⎪⎭⎫⎝⎛-=+π13sin 2330≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴<<ππC C ，3cos cos 23≤+<∴C A .考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理；3.消元；4.三角函数范围. 18．（1）详见解析；（Ⅱ）77【解析】试题分析：（Ⅰ）首先作出辅助线设FC 的中点为I ，连接HI GI ,，然后由已知条件可得GI EF ，再由OB EF //可得GI OB ，进而得出GI ABC 面，同理由已知可得IH ABC 面，于是得出面面平行ABC GIH 面面//，最后得出所证的结论即可；（Ⅱ）首先连接/OO ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz O -，然后由已知条件分别求出点B,C 的坐标，并过点F 作OB FM ⊥于点M 可得→→BF BC ,，进而可得出平面BCF 的一个法向量→n ，再由题意可得平面ABC 的一个法向量()3,0,0/=→OO ，最后运用→→→→→→⋅>=<///,cos OO n OOn OO n 即可得出所求的答案..试题解析：（1）证明:设FC 的中点为I ，连接HI GI ,，在CEF ∆中，EF GI IF CI GE CG //∴==， ，又OB EF //，OB GI //∴，ABC GI ABC GI ABC OB 面面面//,,∴⊄⊂ 在FCB ∆中，CB IH HB FH IC FI //,∴== ，ABC IH 面//∴，又I IH IG =⋂，所以ABC GIH 面面//，ABC GH GIH GH 平面平面//∴⊂（2）连接/OO ，则ABC OO 平面⊥/，又BC AB =，且AC 是圆O 的直径，所以AC BO ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -（OA 方向为x 轴，OB 方向为y轴，/OO 方向为z 轴，图略）由题意得:()()002-,0,2,0，，C B ,过点F 作OB FM ⊥于点M ，故()310322，，F BM FB FM ∴=-=，故()()3,1,0,0,2,2-=--=→→BF BC ，设()z y x n ,,=→是平面BCF 的一个法向量，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0BF n BC n ⎩⎨⎧=+-=--∴03022z y y x ，取1-=z ，则()1,3,3--=→n ，又平面ABC 的一个法向量()3,0,0/=→OO ，故77,cos ///-=⋅>=<→→→→→→OO n OOn OO n ，所以二面角O BC F --的余弦值为77.考点：1.空间平行判定与性质；2.二面角的计算；3.空间想象能力;4.推理论证能力 【易错点睛】本题主要考查了空间平行判定与性质、二面角的计算、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对于第一问不能熟练运用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，进而不能正确处理线面平行的问题；其二是对于第二问不能正确运用空间向量求二面角的大小，其关键是正确地求出各面的法向量. 19．（1）141P ==，2162P ==；（2）①63()105P A ==；②ξ的分布列为()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【解析】试题分析：（1）直接由已知表中信息求出产假为14周和16周时某家庭有生育意愿的频率，进而得出所求的概率；（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，所以基本事件的总数为2510C =（种），然后列举出其中不低于32周的选法的种数，最后由古典概型的计算公式即可得出所求的概率；②首先由题意可得随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．然后运用古典概型的计算公式分别计算出ξ等于29，30，31，32，33，34，35的概率，进而得出所求的ξ的分布列并计算出其数学期望. 试题解析：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==. （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35． 1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============因而ξ的分布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列；3.数学期望.【方法点睛】本题主要考查了利用古典概型计算公式计算概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生基本的统计知识和综合应用知识的能力，属中档题.对于第一问利用古典概型计算公式计算概率，其解题的关键是正确地列举基本事件的个数和满足事件的基本事件的个数；对于第二问求解离散型随机变量的分布列和数学期望，其解题的关键是正确地求出随机变量取值时的概率.20．（Ⅰ）18922=+y x ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据已知条件并结合图像可得到等式()c a a ca c -=+811，然后结合222bc a =-即可得出22,a c 的值，最后得出椭圆C 的方程即可；（Ⅱ）首先设出()00,y x P ，则72982020=+y x ，然后分两类进行讨论：00=x 和00≠x ，其中当00=x 时，容易得出BM AN ⋅为定值；当00≠x 时，分别求出，直线PA 和PB 的方程，进而求出BM AN ,的值，最后化简即可得出BM AN ⋅的值.运用特殊情况求出定点T 的坐标，然后对其进行证明，运用圆锥曲线与直线的位置关系并结合已知条件可得出TA TB ⋅的值，进而证明了所求的结论. 试题解析：（1）解:设()0,c F ，由||8||1||1FA eOA OF =+，得:()c a a c a c -=+811,故22228c b c a ==-，9,122==∴a c 故椭圆C 的方程为:18922=+y x （2）证明:由（1）知:()()22,003B A ，，,设()00,y x P ，则72982020=+y x 当00=x 时，()()24,30022-0,220==-=BM AN N M y ，，，，， 故:212=⋅BM AN ，当00≠x 时，直线PA 的方程为:()3300--=x x y y ,令0=x ,得:33-00-=x y y M , 故:33222200-+=-=x y y BM M ,直线PB 的方程为:222200+-=x x y y ,令0=y 得:2222-00-=y x x N ,故:22223300-+=-=y x x AN N ，所以()()()263227223648212982232632200000000202000200+--+--++=---+=⋅y x y x y x y x y x y x y x BM AN =2122632214423648x 21200000000=+--+--y x y x y x y 综上可知:212=⋅BM AN ，即BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题.21．（1）当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a时，函数)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a 时，函数)(x f 在)2,0(a内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）首先求出函数的定义域，然后求出其导函数，并对a 进行分类讨论：0≤a ，0>a ，20<<a ，2=a ，2>a ，结合导数大于0和小于0所对应的自变量的取值范围，进而得出所求的结论；（2）构造函数()()()[]2,1,212125,ln 2132∈--+=-=x xx x x h x x x g ，则())()()(/x h x g x fx f +=-，然后分别求出，()42/21245x x x x h +--=，利用导数研究函数的单调性与最值即可得出函数)(),(x g x f 的最小值，最后结合已知得出所求的结果即可. 试题解析：（1）解：)(x f 的定义域为()+∞,0，()()()3232/122211x x ax x x x a x f --=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=当0≤a ，)1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，/3(1)22()()(a x f x x x x a a -=+.①20<<a 时12>a ，当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈∈,21,0a x x 或时，())(,0/x f x f >单调递增，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 2,0时，())(,0/x f x f <单调递减；②2=a 时12=a，当()+∞∈,0x 时())(,0/x f x f ≥单调递增；③2>a 时，120<<a，当()())(,0,12,0/x f x f x a x >+∞∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈时，或单调递增，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈1,2a x 时，())(,0/x f x f<单调递减.综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，函数)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a 时，函数)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.（2）由（1）知，21=a 时， ()()322/22112112ln 21)(x x x x xx x x f x f -+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=-()[]2,1,212125ln 2132∈--++-=x xx x x x ，设()()()[]2,1,212125,ln 2132∈--+=-=x x x x x h x x x g 则由可得，当且仅当x=1时取等号又()42/21245xx x x h +--=，设()12452+--=x x x ϕ，则()x ϕ在[]2,1∈x 单调递减， ()()162,31-==ϕϕ []2,10∈∃∴x 使得()()()()0x 2,,0x ,100<∈>∈ϕϕ时时x x x x ， ()x h ∴在()01x ，，上单调递增，在()2,0x 上单调递减()()()()432432,11=≥∴==h x h h h 当且仅当2=x 时等号成立，()()()()4521/=+>-∴h g x f x f ，即()45)(/+>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立.考点：1.利用导函数判断函数的单调性；2.构造函数；3.分类讨论思想. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）90. 【分析】（Ⅰ）先证明∠BAE ＝∠CAD ，∠AEB ＝∠ACD ，利用相似三角形的判定定理可得结论；（Ⅱ）()()()x h x g x f x f +=-/)(利用三角形相似可得AB·AC ＝AD·AE ，结合△ABC 的面积12S AD AE =⋅，可得s in ∠BAC ＝1，从而可得结果.【详解】由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC . （Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC=， 即AB·AC ＝AD·AE . 又S ＝12AB·AC·sin ∠BAC ，且S ＝12AD·AE ， 故AB·AC·sin ∠BAC ＝AD·AE.则s in ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，考查了圆周角定理的应用以及三角形面积公式的应用，属于中档题.23．（1）l ：3y x =，C:22(5x y +=；（2）【分析】（1）消去参数t 可得直线的普通方程，再把ρθ=化成2sin ρθ=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得圆的直角方程. （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程后利用韦达定理可求||||PA PB +的值. 【详解】（1）由直线l 的参数方程消参得直线普通方程为3y x =，由ρθ=得2sin ρθ=，故220x y +-=，即圆C 的直角坐标方程为22(5x y +-=.（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即240t -+=，由于24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根,所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 又直线l过点P ，故由上式及t 的几何意义得：1212t t t t PA PB +=+=+=【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩Ⅰ直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．24．（1）{x|x≤1，或x≥4}；（2）[－3，0]．【解析】试题分析：（1）当3a =-时，用分段函数的形式表示出函数)(x f 的解析式，并分三种情况对其进行讨论，得出相应的不等式的解集，最后可得出该不等式的解集即可；（2）首先将问题()4f x x ≥-的解集包含[]1,2转化为.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|，进而转化为－2－a≤x≤2－a ，由集合间的包含关系可得出证明.试题解析：（1）当a ＝－3时，25,2,()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}.（2）f （x ）≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔4－x －（2－x ）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a 的取值范围是[－3，0].考点：1.含绝对值的不等式的解法；2.集合的包含关系.。