广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试 数学(word版含答案)

2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题一、单选题1．设集合{}2|4A x x =>，{}2|30B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(5,2)(2,6)--B ．(2,2)-C ．(,5)(6,)-∞-+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A【解析】本题首先可以通过对不等式24x >、230x x -<进行计算得出集合A 和集合B 中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果. 【详解】24x >，即2x >或2x <-，则集合()(),22,A =-∞-⋃+∞，230x x -<，即650x x ，解得56x ，则集合()5,6B =-，故(5,2)(2,6)A B ⋂=--⋃， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，是简单题.2．27(1)i i-=（ ） A ．1 B ．2C ．−iD ．−2i【答案】B【解析】利用复数的四则运算，计算结果即可. 【详解】化简得2732(1)22221i i i i i ----====-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算和虚数单位的幂运算，属于基础题.3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种【答案】B【解析】对医生a 去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果. 【详解】若医生a 去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得322742210C C C =； 若医生a 去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得331741140C C C =；所以不同的选派方式共有210140350+=种. 故选：B. 【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题. 4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．15°D ．60°【答案】D【解析】分析得平面α与圆锥底面平行，求直线AC 与圆锥底面所成的角，即得结果. 【详解】如图所示截面为正三角形的三棱锥中，,,A B C 在球O 上，过C 作与球O 相切的平面α必然与圆锥底面平行，则直线AC 与平面α所成的角，即直线AC 与圆锥底面所成的角，即60CAB ∠=︒， 故选：D. 【点睛】本题考查了球内接圆锥，直线与平面所成的角，属于基础题.5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（ ）A ．14B ．12C ．38D ．58【答案】A【解析】根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有2位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可； 【详解】由题意知，8位同学中有2位同学两种乐器都会演奏∴从8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：(P 两种乐器都会演奏的同学12181)4C C ==故选：A 【点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后利用古典概型的概率公式求概率；6．若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()50f -=，则满足()0xf x <的解集是（ ） A ．()(),55,-∞-+∞ B ．()(),50,5-∞- C ．()()5,05,-+∞D ．()()5,00,5-【答案】D【解析】分析出函数()f x 在(),0-∞单调递增，可得出()50f =，然后分0x >、0x =、0x <三种情况解不等式()0xf x <，综合可得出原不等式的解集.【详解】由于定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，则该函数在(),0-∞单调递增， 且()00f =，()()550f f =--=. 显然当0x =时，()000f ⨯=；当0x >时，由()0xf x <可得()()05f x f <=，解得05x <<； 当0x <时，由()0xf x <可得()()05f x f >=-，解得5x 0-<<. 因此，不等式()0xf x <的解集为()()5,00,5-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值是（ ） A ．14B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】构建A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设(,)P x y 则可用坐标表示22AP BP x x y ⋅=-+，由于,x y 是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x 和y 的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为AP BP ⋅的最大值 【详解】构建以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD 边长为1，知：(1,0),(1,1),(0,1)B C D ， 若令(,)P x y ，即(,)AP x y =，(1,)BP x y =-； ∴22AP BP x x y ⋅=-+，而01x ≤≤，01y ≤≤，则2211()()24f x x x x =-=--在01x ≤≤上0x =或1x =有最大值为0，2()g y y =在01y ≤≤上1y =有最大值为1；∴AP BP ⋅的最大值为1 故选：C本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值8．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2 B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e【答案】C【解析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x '=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．53D ．35【答案】AB【解析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b 关系，再计算离心率即可. 【详解】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba=，215c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2ab=，251c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭. 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题. 10．如图是函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>的部分图象，则（ ）A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()12sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12sin 22f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()12cos 2f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】由图象可求得函数()y f x =的振幅A 以及最小正周期T ，可求得ω的值，再将点()0,2的坐标代入函数()y f x =的解析式可求得ϕ的值，结合诱导公式可得出合【详解】由图象可得()max 2f x A ==，该函数的最小正周期T 满足122T π=，可得4T π=，212T πω∴==，所以，()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 又()02sin 2f ϕ==，可得sin 1ϕ=，()22k k Z πϕπ∴=+∈，()1112sin 22sin 2cos 22222f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 、D 选项合乎要求；对于A 选项，()112sin 2sin 2422f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎要求；对于C 选项，()1112sin 2sin 2cos 22222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项合乎要求. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知0ab <，则（ ） A ．222a b ab +≥ B ．222a b ab +<C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 【答案】ACD【解析】由,a b 异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误； 【详解】0ab <即,a b 异号；∴222a b ab +≥成立，故A 正确，而B 错误； 又2()0a a b =a ab -->，故C 正确；||()()2b a b a a b a b +=-+-≥=当且仅当=-a b 时等号成立，故D 正确 故选：ACD本题考查了不等式，根据两数异号，结合不等式性质以及基本不等式判断正误，属于简单题；12．已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则（ ） A ．()(2)E X g = B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f = 【答案】CD【解析】先求出1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++和123()23i n E X p p p ip np =++++++，并判断123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，则排除选项A ，判断选项C 正确；再求出X 的分布列和1()f x 的解析式，最后求出1225(2)4f =，则排除选项B ；判断选项D 正确. 【详解】解：因为230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，则1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++，123()23i n E X p p p ip np =++++++， 令1x =时，123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为：234567811234321()16161616161616f x x x x x x x x =++++++ 234567811234321225(2)2222222161616161616164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选项B 错误；选项D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查导数的运算、由X 生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.三、填空题13．椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线l 与E 交于A ，B两点，1AF 、2BF 都与x 轴垂直，则||AB =________．【解析】根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中,,a b c 三者之间的关系，可以求得21c =，设出()()111,,1,A y B y --，由两点间距离公式可以求得AB =据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得2194y =，之后代入求得AB ==. 【详解】在已知椭圆中，222431c a b =-=-=， 因为直线l 过原点，交椭圆于,A B 两点， 则A 与B 关于原点对称， 又1AF 、2BF 都与x 轴垂直，设()()111,,1,A y B y --，则AB ==又A 在椭圆上，则211143y +=，得2194y =，则AB ==，【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆中,,a b c 三者之间的关系，椭圆上点的坐标的特征，两点间距离公式，属于基础题目. 14．将数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}na 的前10项和为________（用数字作答）． 【答案】2046【解析】本题首先可以根据题意确定数列{}n a 的前10项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是由数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到，所以数列{}n a 的前10项为2、22、32、42、、102，则{}n a 的前10项和为101121222204612，故答案为：2046. 【点睛】本题考查数列的项以及等比数列求和公式的应用，能否根据题意确定数列中的项是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.15．已知α、β为锐角三角形的两个内角，sin α=sin()αβ+=，则cos 2β=____．【答案】12-【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到cos α、cos()αβ+，再用凑角得到cos β，最后利用二倍角公式得到答案.【详解】因为α、β为锐角三角形的两个内角， 所以0<,022ππαβ，<2παβπ，因为sin α=，sin()αβ+=，所以1cos 7α===，11cos()14αβ+===-， 所以cos cos()cos()cos sin()sin ββαααβααβα=+-=+++11111477142=-⨯+=， 则211cos 22cos12142ββ=-=⨯-=-， 故答案为：12-. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的三角公式、倍角公式，属于基础题. 16．一半径为R 的球的表面积为64π，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．【答案】【解析】由球体的表面积公式求出半径R ，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c 即有222+=a b c 、2232a b +=，最后利用长方体的体积公式有V =【详解】由半径为R 的球的表面积为64π，知：2464R ππ=，有4R =；由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222+=a b c ，2222464a b c R ++==；∴2232a b +=，而长方体体积V abc ==∴3222()2a b V +=≤=当且仅当4a b ==时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的表面积和体积，根据球体表面积公式得到其半径，由内接长方体的对角截面为正方形即可得长、宽、高的等量关系，利用长方体的体积公式结合基本不等式求最值四、解答题17．在①1cos 2B =，②1cos 2C =，③cos 2C = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角△ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，1b =，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到(2sin sin )cos 0B A C -=，结合题设可知2a b =且1b =、2a =，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求c 的值；【详解】△ABC 中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+∴(2sin sin )cos 0B A C -=；∵△ABC 不是直角三角形；∴cos 0C ≠，则有2sin sin B A =，即2a b =，而1b =，即有2a =； 选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=；由sin sin b a B A= 得sin 1A =>不合理，故△ABC 不存在.选②：由1cos 2C =得：c ==222b c a +=； ∴A 为直角，不合题设，故△ABC 不存在．选③：由cos 2C =得：c ==． 【点睛】 本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾；18．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足3452a a a +=，121a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log (3)n n t a =，求数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）本题首先可设数列{}n a 的公比为q ，然后根据题意得出2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，通过计算求出1a 和q 的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可根据123n n a -=得出1n t n =-，然后根据1n t n =-得出121111n n t t n n ++=-+，最后通过裂项相消法求和即可得出结果. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，因为3452a a a +=，121a a +=，所以2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故{}n a 的通项公式123n n a -=. （2）因为123n n a -=，所以122log (3)log 21n n n t a n -===-，则121111(1)1n n t t n n n n ++==-++， 故数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为： 1111111(1)()()()2233411n n T n n n =-+-+-++-=++． 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，常见的裂项有：111(1)1n n n n =-++、11(1)1k n n n n k 、1111()n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭等，考查计算能力，是中档题. 19．如图，三棱锥P ABC -中，2AC BC PC PB ====，120ACB ∠=，平面PBC ⊥底面ABC ，D 、E 分别是BC 、AB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABC ；（2）求二面角P CE B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）利用等腰三角形三线合一可得PD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得出PD ⊥平面ABC ；（2）取CE 中点F ，连接DF 、PF ，证明出CE ⊥平面PDF ，可得出二面角P CE B --的平面角为PFD ∠，通过解PDF 可求得tan PFD ∠，进而得解.【详解】（1）证明：PC PB =，D 是BC 中点，PD BC ∴⊥，平面PBC ⊥底面ABC ，平面PBC底面ABC BC =， PD ⊂平面PBC ， PD ∴⊥平面ABC ；（2）如图，取CE 的中点F ，连接DF 、PF ，则//DF AB ，2AC BC PC PB ====，E 是AB 的中点，120ACB ∠=，则30CBE ∠=， CE AB ∴⊥，DF CE ∴⊥，cos303BE BC ==，223PD PD BD -=132DF BE ==， PD ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，CE PD ∴⊥，PD DF D =，CE ∴⊥平面PDF ，PF ⊂平面PDF ，CE PF ∴⊥，PFD ∴∠为二面角P CE B --的平面角. 在Rt PDF 中，3tan 232PD PFD DF ∠===，因此，二面角P CE B --的正切值为2. 【点睛】本题考查利用面面垂直证明线面垂直，同时也考查了利用定义求解二面角的正切值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在[35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)指标值频2184814162数（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值．（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为ξ(单位：元)，求ξ(元)的分布列．【答案】（1）118元；（2）答案见解析.【解析】（1）根据产品等级得X取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；（2）先列出患者购买一件合格品费用η的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.【详解】解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则X=-，根据频数分布表得到X的分布列为:50,70,130,190-70130190X50设备升级前利润的期望值为:()0.14(50)0.18700.281300.4190118E X =⨯-+⨯+⨯+⨯=∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为η(元)则120,180,240η=，患者购买一件合格品的费用η的分布列为故患者随机购买两件时240,300,360,420,480ξ= 111(240)6636P ξ==⨯= 111(300)339P ξ==⨯= 11115(360)2263318P ξ==⨯⨯+⨯= 111(420)2323P ξ==⨯⨯= 111(480)224P ξ==⨯= 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为【点睛】本题考查了频率分布直方图和频率分布表的应用，以及分布列和期望的计算，属于中档题.21．已知函数2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++，0a ≥．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点的个数．【答案】（1）减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）0a >时，()f x 有两个零点；0a =时， ()f x 只有一个零点．【解析】（1）利用函数求导，判断导数符号确定()f x 的单调性即可；（2）对a 进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.【详解】解：（1）∵2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++∴()(1)(e 2)x f x x a '=-+ 0a ≥时20x e a +>，故1x <时()0f x '<，1x >时()0f x '>.∴0a ≥时，()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）①0a >时，∵()01f '=且()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞ ∴(1)0f e =-<是()f x 的极小值，也是最小值，(2)0f a =>，取0b <且ln 2a b <则22()(2)(1)(2)(1)(23)022b a a f b b e a b b a b b b =-+->-+-=-> ∴()f x 在(,1)b 和(1,2)上各一个零点；②0a =时，()(2)x f x x e =-，只一个零点2x =，综上，0a >时，()f x 有两个零点；0a =时，()f x 一个零点．【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的应用，函数零点问题，属于中档题.22．已知抛物线E 的顶点在原点，焦点(0,)2p F (0)p >到直线:2l y x =-的距离为2，00(,)P x y 为直线l 上的点，过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ，切点为M N 、． （1）求抛物线E 的方程；（2）若(3,1)P ，求直线MN 的方程;（3）若P 为直线l 上的动点，求||||MF NF ⋅的最小值．【答案】（1）2:4E x y =；（2）:3220MN x y --=；（3）92． 【解析】（1）利用点到直线的距离公式直接求解p 的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点p ，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将||||MF NF ⋅进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.【详解】(1)由(0,)2pF 到直线:20l x y --=的距离为2|2|2p+=得2p =或10p =-∵0p >∴2p =∴抛物线2:4E x y =(2) 由2:4E x y =知214y x = ∴2xy '=设切点11(,)M x y ，22(,)N x y 则21111111:()22222x x x x PM y y x x x x y -=-=-=- 即11:2x PM y x y =-22:2x PN y x y =-∵P PM ∈，P PN ∈ ∴112231023102x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩即112232203220x y x y --=⎧⎨--=⎩∴:3220MN x y --=．(3)若P 为直线l 上的动点，设00(,)P x y ，则002x y =+由(2)知∵P PM ∈，P PN ∈∴011002200202x x y y x x y y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ ∴00:02x MN x y y --=与2:4E x y =联立消x 得 222000(24)0y y y y y -+++=…………“”则1y ，2y 是“”的二根∴21200212024y y y y y y y ⎧+=++⎨=⎩ 121212||||(1)(1)1MF NF y y y y y y ⋅=++=+++200225y y =++ 当012y =-时，||||MF NF ⋅得到最小值为92． 【点睛】 本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.。

广东省珠海市2021届高三数学三模试题 文第I 卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x =-=≥，，则A B ⋂=( )A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}1,1-D ．{}1,1,2-2．已知复数Z 在复平面上对应的点为()1,1-，则()A ．1Z +是实数B ．1Z +是纯虚数C ．Z i +是实数D ．Z i +是纯虚数 3．不等式1x x>的解集为( ) A ．{}|1x x > B ．{}|110x x x -<<≠且 C ．{}|1x x >- D ．{|1x x >或}10x -<< 4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为( ) A ．3.15B ．2.72C ．1.47D ．3.845．函数()sin f x x x =-的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．设11111++++2612(1)S n n =++，则S =( )A ．211n n ++ B ．21n n - C ．1n n + D ．21n n ++ 7．已知点()2,2P 和圆22:420C x y x y k ++++=，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．05k <<B ．20k >-C ．5k <D ．205k -<<8．如图，正方体1111ABCD A B C D -，点P 为对角线11A C 上的点，当点P 由点1A 向点1C 运动过程中，下列说法正确的是( ) A ．BPD ∆的面积始终不变 B ．BPD ∆始终是等腰三角形C ．BPD ∆在面11ABB A 内的投影的面积先变小再变大第4题图第8题图D ．点A 到面BPD 的距离一直变大 9．函数2cos ()ln(2)xf x x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．已知F 是双曲线22:2C xy 的一个焦点，点P 在C 上，过点P 作FP 的垂线与x 轴交于点Q ，若FPQ △为等腰直角三角形，则FPQ △的面积为( ) A ．14B ．54C 2D 311．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”… …依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”… …依此类推．1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”．1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为( )A ．己丑年B ．己酉年C ．丙寅年D ．甲寅年 12．设函数()22()xee f x x ax =--.若只存在唯一非负整数0x ，使得()00f x <，则实数a取值范围为( ) A ．(2,0e e ⎤-⎦B ．()2,1e -C ．(],0-∞D ．()2,e e e -第II 卷（非选择题)二、填空题（本大题共４小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数ln ()1xf x x =+在1x =处的切线方程为____________． 14．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的正三角形，PAB △是以AB 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，639S S =，23a=，则5a ＝_______．16．等腰直角三角形ABC ，2AB AC ==，90BAC ∠=︒．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，设AE mAB =，AF nAC =，其中,(0,1)m n，且满足221m n ，M ，N分别是EF ，BC 的中点，则||MN 的最小值为_____．三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：（1）请将表中数据补充完整；（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导子女作业的概率；（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.87918．(本题12分)如图所示，在ABD ∆中，点C 在线段AB 上，3AD =，1BC =，14BD =，2cos 3DAB ∠=． （1）求sin ABD ∠的值；（2）判断ACD ∆是否为等腰三角形．19．(本题12分)如图所示，梯形ABCD 中，//AD BC ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，且四边形CDEF 为矩形，22BC AD ==，23CF =，13AB =，26BE =． (1)求证：AD ⊥平面BDE ； (2)求点D 到平面BEF 的距离．第18题图第19题图20．(本题12分)已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为y 轴，其准线为1y =-． (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线:l y kx n =+，对任意的k R ∈抛物线C 上都存在四个点到直线l 的距离为4，求n 的取值范围．21．(本题12分)设函数()(1)xf x e a x =--． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若存在,m n R ∈满足m ne e a m n-=-，证明2ln m n a +<成立．（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本题10分)在平面直角坐标内，直线l 过点()2,3P，且倾斜角6=πα．以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为=4sin ρθ． (1)求圆C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与圆C 交于A B ，两点，求PA PB +的值．23．(本题10分)已知函数()1f x x =-．（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥．珠海市2021-2022度第二学期学业质量监测高三文科数学试题 第I 卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x =-=≥，，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}1,1-D ．{}1,1,2-【答案】D 由{}11B x x x ≥=≤或，所以A B ⋂={}1,1,2- 2．已知复数Z 在复平面上对应的点为()1,1-，则( )A ．1Z +是实数B ．1Z +是纯虚数C ．Z i +是实数D ．Z i +是纯虚数【答案】Ｃ由题意可知z ＝1－i, 所以z ＋i 是实数，故选C. 3．不等式1x x>的解集为（ ） A ．{}|1x x > B ．{}|110x x x -<<≠且 C ．{}|1x x >-D ．{|1x x >或}10x -<<【答案】D 不等式1x x >⇔()221100100x x x x x x x-->⇔>⇔->≠且得解集{|1x x >或}10x -<<4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为（ ） A ．3.15 B ．2.72 C ．1.47D ．3.84【答案】B 根据几何概型226844100S r S r ππ==≈圆正得π≈2.72 5．函数()sin f x x x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 由()sin f x x x =-的零点转化为方程sin x x =的根，由y x =与sin y x =的图象只有一个交点，可得()sin f x x x =-只有一个零点6．设11111++++2612(1)S n n =++，则S =（ ）A ．211n n ++ B ．21n n - C ．1n n+ D ．21n n ++ 【答案】A 由11111++++2612(1)S n n =++得11111++++122334(1)S n n =+⨯⨯⨯+111111112111++++222334111n S n n n n +=+-==+++----7．已知点()2,2P 和圆22:420C x y x y k ++++=，过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．05k <<B ．20k >-C ．5k <D ．205k -<<【答案】D 由22:420C x y x y k ++++=得()()22:+2+15C x y k +=-，则50k ->得5k <，要使过P 作C 的切线有两条，则点P 在圆外，从而5PC k >-得20k >-，所以205k -<<.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -，点P 为对角线11A C 上的点，当点P 由点1A 向点1C 运动过程中，下列说法正确的是（ ） A ．BPD ∆的面积始终不变 B ．BPD ∆始终是等腰三角形C ．BPD ∆在面11ABB A 内的投影的面积先变小再变大 D ．点A 到面BPD 的距离一直变大【答案】B BPD ∆的面积始终不变先变小再变大，Ａ不对；由于=BP DP ，BPD ∆始终是等腰三角形所以Ｂ正确；BPD ∆在面11ABB A 内投影的面积不变，所以Ｃ不对；点A 到面BPD 的距离先变大再变小，所以Ｄ不对。

广东省珠海市2021-2021学年高三上学期摸底数学试卷（文科）Word广东省珠海市2021-2021学年高三上学期摸底数学试卷（文科）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）1．已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则?NM=（） A． {2，3，4} B． {0，2，3，4，5} C． {0，5} D．{3，5}2．为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（） A． 9 B． 8 C． 10 D．73．在等比数列{an}中，有a1a5=4，则a3的值为（） A．±2 B．��2 C． 24．已知复数z满足（1��i）z=2，则z=（） A．��1��i B．��1+i C． 1��i5．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（） A． y=e B． y=x C． y=lnx6．如图为某几何体的三视图，则其体积为（）��xD．4D．1+iD．y=|x|A． 2B． 4C．7．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件8．对任意的[��，]时，不等式x+2x��a≤0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（��∞，0]B．（��∞，3]C． [0，+∞）D．[，+∞）29．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．10．设点M（x0，1），若在圆O：x+y=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x0的取值范围是（） A． [��，]B． [��，]C． [��2，2]D．[��，]2B． C． D．二、填空题（共5小题，每小题0分，满分0分） 11．不等式组12．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．13．若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x��y+1=0，则点P的坐标是． 14．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为15．如图，已知=，|F2F4|=��1是圆O的两条弦，C2，F1，C1，则圆O的半径等于．（t为参数）的普通方程为．表示的平面区域的面积为．三、解答题（共5小题，满分0分） 16．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=（1）求A的值；（2）若角θ的终边与单位圆的交于点P（，），求f（��θ）．17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？18．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若A C⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．19．设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为16 （1）求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．20．设函数f（x）=x��（1+a）x+ax，其中a＞1 （1）求f（x）在的单调区间；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．32广东省珠海市2021-2021学年高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）1．已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则?NM=（） A． {2，3，4} B． {0，2，3，4，5} C． {0，5} D．{3，5}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：根据集合补集的定义即可得到结论．解答：解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，∴?NM={0，5}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（） A． 9 B． 8 C． 10 D．7考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．解答：解：从72人，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为72÷8=9，故选：A点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．3．在等比数列{an}中，有a1a5=4，则a3的值为（） A．±2 B．��2 C． 2考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．D．4分析：由等比数列的性质得=4，由此能求出a3=±2．解答：解：∵在等比数列{an}中，有a1a5=4，∴=4，解得a3=±2．故选：A．点评：本题考查等比数列的等3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．已知复数z满足（1��i）z=2，则z=（） A．��1��i B．��1+i C． 1��i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：z=，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．5．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A． y=e B． y=x C． y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件． B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件． C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（��∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．6．如图为某几何体的三视图，则其体积为（）��xA． 2B． 4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，列出体积表达式，可求几何体的体积．解答：解：几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021珠海一模（理数）含答案--全WORD--精心排版珠海市2021--2021学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.x1．已知全集U?R，集合A?yy?2,x?R，则CUA＝（）??A．? B．(0，＋∞) C． (－∞，0] D．R 2．已知a,b是实数，则“??a?2”是“a?b?5”的（）?b?3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线l,m和平面?，则下列命题正确的是（）A．若l//m,m??，则l//? B．若l//?,m??，则l//m C．若l?m,l??，则m//? D．若l??,m??，则l?m 5．已知是虚数单位，复数i＝（） 3?i13131313A．?i B．??i C．??i D．??i8810101010886．函数y?sin?2x? A．向左平移?????的图象可由函数y?sin2x的图象（）4?ππ个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到88ππ C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到44?x?y?5?0?7．若实数x,y满足不等式组?x?y?0 则2x?4y的最小值是（）?x?3?A．6 B．4 C．?2 D．?68．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=x1?x2?y1?y2，给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D.3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题）19．函数y?sinx的导函数y?? ． x10．在递增等比数列?an?中，a2?2,a4?a3?4，则公比q＝．11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：合唱社粤曲社武术社a 45 30 高一15 10 20 高二学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知C＝?3，b?3，若△ABC的面积为33 ，则c= ． 2x2y213．如图，F1，F2是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，过F1ab的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：??x?t?2(t为参数）与曲线C2：?y?1?2t?x?3cos?（?为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的长为 . ?y?3sin??15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5， AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．??16．（本小题满分12分）设向量a??2,sin??,b??1,cos??，?为锐角．??13b?，求sin??cos?的值；（1）若a?6?????（2）若a//b，求sin?2???的值．3??17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）求证：BC//平面C1B1N；2（2）求证：BN?平面C1B1N；（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP//平面CNB1，并求BP的值. PCx2y219．(本题满分14分) 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b)，ab?AF1F2为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|?|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．12ax?2x，g(x)?lnx. 2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围；g(x)1（2）是否存在实数a?0，使得方程?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根？若xe存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数f(x)?21．（本题满分14分）已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1的值及数列?an?的通项公式；an(an?2)* (n?N). 411115(n?N*)； ??????3333a1a2a3an32?an?11111（3）是否存在非零整数?，使不等式?(1?)(1?)???(1?)cos对一切n?N*都成立？?a1a2an2an?1（2）求证：若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.珠海市2021~2021学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：CABD AADB 二、填空题：9、三、解答题：xcosx?sinx 10、2 11、150 12、x27 13、13 14、 4 15、 63??131b?2?sin?cos??，?sin?cos??…………… 3分 16．解：（1）因为?a?66??sin??cos???1?2sin?cos??2423，又??为锐角，?sin??cos??．………… 6分33??2sin?cos?2tan?4??（2）解法一：?a//b，?tan??2…… 8分，?sin2??2sin?cos??，sin2??cos2?tan2??15cos2??sin2?1?tan2?3cos2??cos??sin?????………… 10分sin2??cos2?tan2??1522??13143?3?4?33? (12)分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10???255解法二：?a//b，?tan??2 (8)分，?sin??， ,cos??55?sin2??2sin?cos??4322，cos2??cos??sin???…………… 10分55??13143?3?4?33?………… 12分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10?17. 解：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=4?4?4?64 …… 3分222C4C3A22?3?3?29??………… 7分(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为P2?4?4?41643(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为?，则?＝0,1,2,3113C3?32273?C3C3332791P(?＝0)＝3?，P(?＝1)＝，P(＝2)＝，P(＝3)＝ (9)分 ?????464436443644364?的分布列是2727913?1??2??3?? ………… 12分 64646464418. 解：（1）证明：E??0? 4?该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，?BA,BC,BB1两两互相垂直。

珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底考试 数学 2020.9一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|4A x x =>， {}2|30B x x x =-<，则A B =A ．(5,2)(26)--，B ．(22)-，C ．(,5)(6)-∞-+∞，D ．(,2)(2)-∞-+∞， 2．27(1)i i-= A ．1 B ． 2 C ． i - D ．2i -3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方法共有A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为A ． 30︒B ．45︒C ．15︒D ． 60︒5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会斗演奏的同学的概率是A ．14B ．12C ．.38D ．586．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0)+∞，单调递增，且(-5)=0f ，则满足()0xf x <的解集是A ．(,5)(5)-∞-+∞，B ．(,5)(05)-∞-，C ．(50)(5)-+∞，， D ．(50)(05)-，， 7．已经P 是边长为1的正方形ABCD 上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值为A ．14B ．2C ．1D ．128．直线:l y kx b =+是曲线()ln(1)f x x =+和曲线2()ln()g x e x =的公切线，则b =A ．2B ．12 C ．ln 2e D ．ln 2e （）二、选择题：本小题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，得3分。

2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题一、单选题1．设集合{}2|4A x x =>，{}2|30B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(5,2)(2,6)--B ．(2,2)-C ．(,5)(6,)-∞-+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A【解析】本题首先可以通过对不等式24x >、230x x -<进行计算得出集合A 和集合B 中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果. 【详解】24x >，即2x >或2x <-，则集合()(),22,A =-∞-⋃+∞，230x x -<，即650x x ，解得56x ，则集合()5,6B =-，故(5,2)(2,6)A B ⋂=--⋃， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，是简单题.2．27(1)i i-=（ ） A ．1 B ．2C ．−iD ．−2i【答案】B【解析】利用复数的四则运算，计算结果即可. 【详解】化简得2732(1)22221i i i i i ----====-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算和虚数单位的幂运算，属于基础题.3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种【答案】B【解析】对医生a 去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果. 【详解】若医生a 去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得322742210C C C =； 若医生a 去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得331741140C C C =；所以不同的选派方式共有210140350+=种. 故选：B. 【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题. 4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．15°D ．60°【答案】D【解析】分析得平面α与圆锥底面平行，求直线AC 与圆锥底面所成的角，即得结果. 【详解】如图所示截面为正三角形的三棱锥中，,,A B C 在球O 上，过C 作与球O 相切的平面α必然与圆锥底面平行，则直线AC 与平面α所成的角，即直线AC 与圆锥底面所成的角，即60CAB ∠=︒， 故选：D. 【点睛】本题考查了球内接圆锥，直线与平面所成的角，属于基础题.5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（ ）A ．14B ．12C ．38D ．58【答案】A【解析】根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有2位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可； 【详解】由题意知，8位同学中有2位同学两种乐器都会演奏∴从8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：(P 两种乐器都会演奏的同学12181)4C C ==故选：A 【点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后利用古典概型的概率公式求概率；6．若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()50f -=，则满足()0xf x <的解集是（ ） A ．()(),55,-∞-+∞ B ．()(),50,5-∞- C ．()()5,05,-+∞D ．()()5,00,5-【答案】D【解析】分析出函数()f x 在(),0-∞单调递增，可得出()50f =，然后分0x >、0x =、0x <三种情况解不等式()0xf x <，综合可得出原不等式的解集.【详解】由于定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，则该函数在(),0-∞单调递增， 且()00f =，()()550f f =--=. 显然当0x =时，()000f ⨯=；当0x >时，由()0xf x <可得()()05f x f <=，解得05x <<； 当0x <时，由()0xf x <可得()()05f x f >=-，解得5x 0-<<. 因此，不等式()0xf x <的解集为()()5,00,5-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值是（ ） A ．14B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】构建A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设(,)P x y 则可用坐标表示22AP BP x x y ⋅=-+，由于,x y 是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x 和y 的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为AP BP ⋅的最大值 【详解】构建以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD 边长为1，知：(1,0),(1,1),(0,1)B C D ， 若令(,)P x y ，即(,)AP x y =，(1,)BP x y =-； ∴22AP BP x x y ⋅=-+，而01x ≤≤，01y ≤≤，则2211()()24f x x x x =-=--在01x ≤≤上0x =或1x =有最大值为0，2()g y y =在01y ≤≤上1y =有最大值为1；∴AP BP ⋅的最大值为1 故选：C本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值8．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2 B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e【答案】C【解析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．533D ．355【答案】AB【解析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b 关系，再计算离心率即可. 【详解】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba=，215c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2ab=，2512c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭. 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题. 10．如图是函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>的部分图象，则（ ）A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()12sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12sin 22f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()12cos 2f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】由图象可求得函数()y f x =的振幅A 以及最小正周期T ，可求得ω的值，再将点()0,2的坐标代入函数()y f x =的解析式可求得ϕ的值，结合诱导公式可得出合适的选项. 【详解】由图象可得()max 2f x A ==，该函数的最小正周期T 满足122T π=，可得4T π=，212T πω∴==，所以，()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 又()02sin 2f ϕ==，可得sin 1ϕ=，()22k k Z πϕπ∴=+∈，()1112sin 22sin 2cos 22222f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 、D 选项合乎要求；对于A 选项，()112sin 2sin 2422f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎要求；对于C 选项，()1112sin 2sin 2cos 22222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项合乎要求. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知0ab <，则（ ） A ．222a b ab +≥ B ．222a b ab +<C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 【答案】ACD【解析】由,a b 异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误； 【详解】0ab <即,a b 异号；∴222a b ab +≥成立，故A 正确，而B 错误； 又2()0a a b =a ab -->，故C 正确；||()()2b a b a a b a b +=-+-≥=当且仅当=-a b 时等号成立，故D 正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了不等式，根据两数异号，结合不等式性质以及基本不等式判断正误，属于简单题；12．已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则（ ） A ．()(2)E X g = B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f = 【答案】CD【解析】先求出1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++和123()23i n E X p p p ip np =++++++，并判断123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，则排除选项A ，判断选项C 正确；再求出X 的分布列和1()f x 的解析式，最后求出1225(2)4f =，则排除选项B ；判断选项D 正确. 【详解】解：因为230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，则1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++，123()23i n E X p p p ip np =++++++， 令1x =时，123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为：234567811234321()16161616161616f x x x x x x x x =++++++ 234567811234321225(2)2222222161616161616164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选项B 错误；选项D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查导数的运算、由X 生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.三、填空题13．椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线l 与E 交于A ，B两点，1AF 、2BF 都与x 轴垂直，则||AB =________．【解析】根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中,,a b c 三者之间的关系，可以求得21c =，设出()()111,,1,A y B y --，由两点间距离公式可以求得AB =据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得2194y =，之后代入求得AB ==. 【详解】在已知椭圆中，222431c a b =-=-=， 因为直线l 过原点，交椭圆于,A B 两点， 则A 与B 关于原点对称， 又1AF 、2BF 都与x 轴垂直，设()()111,,1,A y B y --，则AB ==又A 在椭圆上，则211143y +=，得2194y =，则AB ==，【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆中,,a b c 三者之间的关系，椭圆上点的坐标的特征，两点间距离公式，属于基础题目. 14．将数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{}na ，则{}na 的前10项和为________（用数字作答）． 【答案】2046【解析】本题首先可以根据题意确定数列{}n a 的前10项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是由数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到，所以数列{}n a 的前10项为2、22、32、42、、102，则{}n a 的前10项和为101121222204612，故答案为：2046. 【点睛】本题考查数列的项以及等比数列求和公式的应用，能否根据题意确定数列中的项是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.15．已知α、β为锐角三角形的两个内角，sin 7α=，sin()14αβ+=，则cos 2β=____． 【答案】12- 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到cos α、cos()αβ+，再用凑角得到cos β，最后利用二倍角公式得到答案.【详解】因为α、β为锐角三角形的两个内角， 所以0<,022ππαβ，<2παβπ，因为sin 7α=，sin()14αβ+=，所以1cos 7α===，11cos()14αβ+===-， 所以cos cos()cos()cos sin()sin ββαααβααβα=+-=+++11111472=-⨯=， 则211cos 22cos12142ββ=-=⨯-=-， 故答案为：12-. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的三角公式、倍角公式，属于基础题. 16．一半径为R 的球的表面积为64π，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．【答案】【解析】由球体的表面积公式求出半径R ，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c 即有222+=a b c 、2232a b +=，最后利用长方体的体积公式有V =【详解】由半径为R 的球的表面积为64π，知：2464R ππ=，有4R =；由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222+=a b c ，2222464a b c R ++==；∴2232a b +=，而长方体体积V abc ==∴3222()2a b V +=≤=当且仅当4a b ==时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的表面积和体积，根据球体表面积公式得到其半径，由内接长方体的对角截面为正方形即可得长、宽、高的等量关系，利用长方体的体积公式结合基本不等式求最值四、解答题17．在①1cos 2B =，②1cos 2C =，③cos C = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角△ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，1b =，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到(2sin sin )cos 0B A C -=，结合题设可知2a b =且1b =、2a =，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求c 的值；【详解】△ABC 中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+ ∴(2sin sin )cos 0B A C -=；∵△ABC 不是直角三角形；∴cos 0C ≠，则有2sin sin B A =，即2a b =，而1b =，即有2a =；选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=； 由sin sin b a B A=得sin 1A =>不合理，故△ABC 不存在. 选②：由1cos 2C =得：c ==222b c a +=； ∴A 为直角，不合题设，故△ABC 不存在．选③：由cos C =得：c ==． 【点睛】本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾；18．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足3452a a a +=，121a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log (3)n n t a =，求数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）本题首先可设数列{}n a 的公比为q ，然后根据题意得出2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，通过计算求出1a 和q 的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可根据123n n a -=得出1n t n =-，然后根据1n t n =-得出121111n n t t n n ++=-+，最后通过裂项相消法求和即可得出结果. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，因为3452a a a +=，121a a +=，所以2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故{}n a 的通项公式123n n a -=. （2）因为123n n a -=，所以122log (3)log 21n n n t a n -===-， 则121111(1)1n n t t n n n n ++==-++， 故数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：1111111(1)()()()2233411n n T n n n =-+-+-++-=++． 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，常见的裂项有：111(1)1n n n n =-++、11(1)1k n n n n k 、1111()n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭等，考查计算能力，是中档题. 19．如图，三棱锥P ABC -中，2AC BC PC PB ====，120ACB ∠=，平面PBC ⊥底面ABC ，D 、E 分别是BC 、AB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABC ；（2）求二面角P CE B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）利用等腰三角形三线合一可得PD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得出PD ⊥平面ABC ；（2）取CE 中点F ，连接DF 、PF ，证明出CE ⊥平面PDF ，可得出二面角P CE B --的平面角为PFD ∠，通过解PDF 可求得tan PFD ∠，进而得解.【详解】（1）证明：PC PB =，D 是BC 中点，PD BC ∴⊥，平面PBC⊥底面ABC，平面PBC底面ABC BC=，PD⊂平面PBC ，PD∴⊥平面ABC；（2）如图，取CE的中点F，连接DF、PF，则//DF AB，2AC BC PC PB====，E是AB的中点，120ACB∠=，则30CBE∠=，CE AB∴⊥，DF CE∴⊥，cos303BE BC==，223PD PD BD-= 132DF BE==，PD⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，CE PD∴⊥，PD DF D=，CE∴⊥平面PDF，PF⊂平面PDF，CE PF∴⊥，PFD∴∠为二面角P CE B--的平面角.在Rt PDF中，3tan23PDPFDDF∠===，因此，二面角P CE B--的正切值为2. 【点睛】本题考查利用面面垂直证明线面垂直，同时也考查了利用定义求解二面角的正切值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在[35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)指标值频2184814162数（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值．（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为ξ(单位：元)，求ξ(元)的分布列．【答案】（1）118元；（2）答案见解析.【解析】（1）根据产品等级得X取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；（2）先列出患者购买一件合格品费用η的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.【详解】解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则X=-，根据频数分布表得到X的分布列为:50,70,130,190-70130190X50设备升级前利润的期望值为:()0.14(50)0.18700.281300.4190118E X =⨯-+⨯+⨯+⨯=∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为η(元)则120,180,240η=，患者购买一件合格品的费用η的分布列为故患者随机购买两件时240,300,360,420,480ξ= 111(240)6636P ξ==⨯= 111(300)339P ξ==⨯= 11115(360)2263318P ξ==⨯⨯+⨯= 111(420)2323P ξ==⨯⨯= 111(480)224P ξ==⨯= 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为【点睛】本题考查了频率分布直方图和频率分布表的应用，以及分布列和期望的计算，属于中档题.21．已知函数2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++，0a ≥．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点的个数．【答案】（1）减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）0a >时，()f x 有两个零点；0a =时， ()f x 只有一个零点．【解析】（1）利用函数求导，判断导数符号确定()f x 的单调性即可；（2）对a 进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.【详解】解：（1）∵2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++∴()(1)(e 2)x f x x a '=-+ 0a ≥时20x e a +>，故1x <时()0f x '<，1x >时()0f x '>.∴0a ≥时，()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）①0a >时，∵()01f '=且()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞ ∴(1)0f e =-<是()f x 的极小值，也是最小值，(2)0f a =>，取0b <且ln 2a b <则22()(2)(1)(2)(1)(23)022b a a f b b e a b b a b b b =-+->-+-=-> ∴()f x 在(,1)b 和(1,2)上各一个零点；②0a =时，()(2)x f x x e =-，只一个零点2x =，综上，0a >时，()f x 有两个零点；0a =时，()f x 一个零点．【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的应用，函数零点问题，属于中档题.22．已知抛物线E 的顶点在原点，焦点(0,)2p F (0)p >到直线:2l y x =-的距离为2，00(,)P x y 为直线l 上的点，过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ，切点为M N 、． （1）求抛物线E 的方程；（2）若(3,1)P ，求直线MN 的方程;（3）若P 为直线l 上的动点，求||||MF NF ⋅的最小值．【答案】（1）2:4E x y =；（2）:3220MN x y --=；（3）92． 【解析】（1）利用点到直线的距离公式直接求解p 的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点p ，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将||||MF NF ⋅进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.【详解】(1)由(0,)2p F 到直线:20l x y --=的距离为2|2|2p += 得2p =或10p =-∵0p >∴2p =∴抛物线2:4E x y =(2) 由2:4E x y =知214y x =∴2x y '= 设切点11(,)M x y ，22(,)N x y 则21111111:()22222x x x x PM y y x x x x y -=-=-=- 即11:2x PM y x y =- 22:2x PN y x y =- ∵P PM ∈，P PN ∈ ∴112231023102x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩即112232203220x y x y --=⎧⎨--=⎩ ∴:3220MN x y --=．(3)若P 为直线l 上的动点，设00(,)P x y ，则002x y =+由(2)知∵P PM ∈，P PN ∈ ∴011002200202x x y y x x y y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ ∴00:02x MN x y y --=与2:4E x y =联立消x 得 222000(24)0y y y y y -+++=…………“”则1y ，2y 是“”的二根∴21200212024y y y y y y y ⎧+=++⎨=⎩ 121212||||(1)(1)1MF NF y y y y y y ⋅=++=+++200225y y =++ 当012y =-时，||||MF NF ⋅得到最小值为92． 【点睛】 本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.。

侧视图主视图珠海市2021年9月高三摸底考试理科数学试题与参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.〔集合〕集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，那么A B ⋃=〔 〕 A. {0}x x > B. {1}x x > C. {12}x x << D. {02}x x <<2.〔复数的除法〕复数21ii=+〔 〕 A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 2i -3.〔函数的奇偶性与单调性〕以下函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为〔 〕 A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =-4.〔充要条件〕在ABC ∆中，“060A =〞是“1cos 2A =〞的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.〔向量〕如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，那么AD =〔 〕A ．2133AB AC - B ．1233AB AC + C ．2133AB AC + D ．1233AB AC -6.〔线性规划〕x y ，满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么2+4z x y =的最小值为〔 〕 A . 14- B.15- C. 16- D. 17-7.〔三视图〕一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示〔单位: cm 〕那么该组合体的体积为〔 〕 A. 720003cm B. 640003cmC. 560003cmD. 440003cm8.〔信息题〕对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足以下条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，那么称[,]m n 是该函数的“和谐区间〞．假设函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间〞，那么a 的取值范围是〔 〕 A ． 15(,)22B ． (0,1)C ． (0,2)D ．(1,3)二、填空题：本大题共6小题，每题5分，总分值30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.〔绝对值不等式〕不等式3+110x x --<的解集是 ． 10.〔二项展开式〕在二项式25()a x x-的展开式中，含x 项的系数是80-，那么实数a 的值为 ． 11.〔等比数列〕设等比数列{}n a 的公比2q =，那么44S a = ． 12.〔导数〕直线14y x b =-+是函数1()f x x=的切线，那么实数b = ． 13.〔解三角形〕在ABC ∆中，AB ，=2AC ，0=60C ，那么BC = ．14．〔几何证明选讲选做题〕如图， 圆O 的直径6AB P AB P =，是延长线上的一点，过作圆的切线，0,30C CPA CP ∠=切点为若,则长为 .15．(极坐标选做题〕极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 8ρθθ+=的距离的最大值是 .三、解答题:此题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分． 16.〔三角函数〕函数2()cos sin cos f x x x x =+〔1〕求()f x 的最小正周期和最小值； 〔2〕假设(,)42ππα∈且3(+)8f πα=，求cos α的值.APMNFBCDAF17.〔概率〕某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A 、B 、C 三种软件投入使〔1〕从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率．〔2〕从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，他们下午自习时间每人选择一个软件，其中A 、B 两个软件学习的概率每个都是16，且他们选择A 、B 、C 任一款软件都是相互独立的。

广东省珠海市2021届高三数学上学期期末考试（一模考试）试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1.已知集合{}ln 0A x x =>，{}240B x x =-≤，则A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2 D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B .【详解】{}()ln 01,A x x =>=+∞，{}[]2402,2B x x =-≤=-，因此，(]1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知函数()2f x x bx c =++，b 、R c ∈，则“0c <”是“函数()f x 有零点”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用>0∆推出充分条件成立，取特殊值推出必要条件不成立，从而得出结论.【详解】若0c <，则240b c ∆=->，此时，函数()f x 有零点，则“0c <”⇒“函数()f x 有零点”；取2b =，1c =，则()()22211f x x x x =++=+，此时，函数()f x 有零点，但0c >.则“函数()f x 有零点”⇒“0c <”.因此，“0c <”是“函数()f x 有零点”的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了二次函数的零点，考查推理能力，属于中等题.4.一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何体的表面积为（ ）A. 13B. 28C. 38D. 46【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出组成几何体的正方体个数最多时几何体的实物图，然后计算出其表面积即可. 【详解】当组成几何体的正方体个数最多时，几何体的实物图如下图所示：小正方体每个面的面积为211=，由实物图可知，该几何体的表面积为2341355446+⨯⨯++⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查组合体表面积的计算，解题的关键就是结合三视图作出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.5.已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若46S =，818S =，则12S =（ ） A. 24 B. 30 C. 42 D. 48【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列片断和的性质可得知4S 、84S S -、128S S -成等比数列，由此可计算出12S 的值. 【详解】由题意可知，4S 、84S S -、128S S -成等比数列，即()()2844128S S S S S -=-，即()21212618S =⨯-，解得1242S =.故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A. 21π-B.2πC.22πD. 221π-【答案】A 【解析】 【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率. 【详解】1S ππ=⨯=矩形，又()00sin cos |cos cos02dx x πππ=-=--=⎰，2S π∴=-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为221πππ-=-. 故选A.【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A. 2B. 2-C. 12-D.12【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.8.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A. 0.4B. 0.5C. 0.75D. 0.9【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，输出的S 值为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和，然后赋值可得出结果.【详解】第一次循环，011i =+=，112S =⨯，1n ≥不成立； 第二次循环，112i =+=，111223S =+⨯⨯，2n ≥不成立；依次类推，()11i n n =-+=，()11112231S n n =+++⨯⨯+，n n ≥成立.输出()1111111111112231223111n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当1n =时，1=0.52S =；当3n =时，30.754S ==；当9n =时，90.910S ==. 令215n S n ==+，解得23n N *=∉. 因此，输出的S 的值不可能是0.4. 故选：A.【点睛】本题考查利用算法程序框图计算输出的结果，同时也考查了裂项求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9.已知0x >，0y >，0z >，且911y z x+=+，则x y z ++的最小值为（ ） A. 8 B. 9C. 12D. 16【答案】D 【解析】 【分析】将代数式x y z ++与91y z x++相乘，展开后利用基本不等式可求出x y z ++的最小值. 【详解】0x ，0y >，0z >，0x y ∴+>且911y z x+=+， 所以，()199101016x y z x y z x y z x y z y z x ⎛⎫+++=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭， 当且仅当9x y zy z x+=+时，即当3y z x +=时，等号成立， 因此，x y z ++的最小值为16. 故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，同时也考查了1的妙用，考查计算能力，属于基础题.10.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(),x y ，则2z x y =+的最大值与最小值之差是（ ）A. 25+B. 225+C. 235+D. 245+【答案】C 【解析】 【分析】平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+与圆224x y +=切于第三象限的点B 时，该直线在x 轴上的截距最小，当直线2z x y =+与圆()2211x y +-=相切于第一象限的点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出对应的z 值，即可得出所求结果. 【详解】如下图所示：当直线2z x y =+与圆224x y +=切于第三象限的点B 时，该直线在x 轴上的截距最小，此时0z <22212z =+，解得25z =-，此时min 25z =-当直线2z x y =+与圆()2211x y +-=相切于第一象限的点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时0z >1=，解得2z =max 2z =.因此，2z x y =+的最大值与最小值之差是(22+-=+故选：C.【点睛】本题考查非线性规划中线性目标函数的最值问题，同时也考查了直线与圆相切问题的处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11.定义在R 上的函数()f x 满足'()()2(xf x f x e e -<为自然对数的底数），其中'()f x 为()f x 的导函数，若2(2)4f e =，则()2x f x xe >的解集为（ ） A. (),1-∞ B. ()1,+∞C. (),2-∞D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 由()2xf x xe ＞，以及()()2xf x f x e -'＜，联想到构造函数()()2x f x g x x e=-，所以()2x f x xe ＞等价为()(2)g x g >，通过导数求()g x 的单调性，由单调性定义即可得出结果．【详解】设()()2x f x g x x e =-，()2x f x xe ＞等价为()(2)g x g >， ()()()20xf x f xg x e'-'=-<，故()g x 在R 上单调递减，所以()(2)g x g >，解得2x <， 故选C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的问题，利用单调性定义解不等式，如何构造函数是解题关键，意在考查学生数学建模能力．12.已知球O 的半径为2，A 、B是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A. []1,3- B. []2,6- C. []0,1 D. []0,3【答案】B【分析】作出图形，取线段AB 的中点M ，利用向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MA =-，可得出2223PA PB PM MA PM ⋅=-=-，求出PM 的最大值和最小值，即可得出PA PB ⋅的取值范围.【详解】作出图形，取线段AB 的中点M ，连接OP 、OA 、OB 、OM 、PM ，可知OM AB ⊥，由勾股定理可得221OM OA AM=-=，且有MB MA =-，由向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MB PM MA =+=-，()()222223PA PB PM MA PM MA PM MA PM MA PM ∴⋅=+-=-=-=-.PM PO OM =+，由向量的三角不等式可得PO OM PM PO OM -≤≤+，13PM ∴≤≤，所以，[]232,6PA PB PM ⋅=-∈-.因此，PA PB ⋅的取值范围是[]2,6-. 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【解析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 14.已知(]0,πx ∈，关于x 的方程π2sin 3x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()3,2【解析】 【分析】在同一坐标中，做出函数1π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(]0,πx ∈，2y a =的图象，利用数形结合根据交点个数即可求解 【详解】令1π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(]0,πx ∈，2y a =，作出1y 的图象如图所示.若 π2sin 3x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]0,π上有两个不同的实数解，则1y 与2y 应有两个不同的交点，所以32a <<.答案：)3,2【点睛】本题主要考查了函数与方程，正弦型函数图象，数形结合的思想方法，属于中档题.15.已知1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______. 【答案】15 【解析】 【分析】令1x =，可以求出n ，利用二项展开式的通项公式，求出常数项．【详解】已知1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项的系数和为64，令1x =，得2646n n =⇒=，二项展开式的通项公式为36621661()()rrr r r r T C x C x x--+=⋅=，令36042r r -=⇒=， 所以常数项为4615C =．【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式．重点考查了二项展开式中的常数项．16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =，则双曲线C 的离心率为______. 【答案】53【解析】 【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形2MPF 中，化简求值即可【详解】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =，又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=， 又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=解得53e =双曲线的离心率为53【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形2MPF 中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2【解析】 【分析】（1）由m n ⊥得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案. 【详解】（1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，113sin 4322ABC S bc A ∆∴=≤⨯⨯=，因此，ABC ∆面积的最大值为3.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18.如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与CDE ∆折起，使得平面BAE 及平面CDE 都与平面DAE 垂直．（1）求证：//BC 平面DAE ； （2）求二面角A BE C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）33-【解析】 【分析】（1）过点B 作BM AE ⊥于M ，过点C 作CN ED ⊥于N ，连接MN ，利用面面垂直的性质定理证明CN ⊥平面ADE ，BM ⊥平面ADE ，可得出//BM CN ，并证明出BM CN =，可证明出四边形BCNM 为平行四边形，于是有//BC MN ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//BC 平面ADE ；（2）以E 为原点，ED 为x 轴，EA 为y 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法可计算出二面角A BE C--的余弦值．【详解】（1）过点B 作BM AE ⊥于M ，过点C 作CN ED ⊥于N ，连接MN .平面BAE 及平面CDE 都与平面DAE 垂直， 平面BAE平面DAE AE =，BM AE ⊥，BM ⊂平面BAE ，BM ∴⊥平面DAE ，同理可证CN ⊥平面DAE ，//BM CN ∴.矩形ABCD 中，BAE ∆与CDE ∆全等，BM CN ∴=.∴四边形BCNM 是平行四边形，//BC MN ∴.又BC ⊄平面DAE ，MN ⊂平面DAE ，//BC ∴平面DAE ；（2）矩形ABCD 中，AE DE ⊥，以E 为原点，ED 为x 轴，EA 为y 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E 、(2,2B 、2,0,2C，(2,2EB ∴=，(2,0,2EC =， 设平面CBE 的法向量为(),,n x y z =，则00n EB n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220z x z +=+=，令1z =，得1x y ==-，则()1,1,1n =--，易得平面ABE 的法向量为()1,0,0m =，3cos ,31m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，因此，二面角A BE C --的余弦值为3【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直性质定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 19.已知F 为抛物线C ：y 2=2px （P ＞0）的焦点，过F 垂直于x 轴的直线被C 截得的弦的长度为4．（1）求抛物线C 的方程．（2）过点（m ，0），且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为AB ，若点F 在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围．【答案】（1）y 2=4x （2）1m -3＜＜．【解析】 【分析】（1）抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把2p x =代入22y px =，截得的弦的长度为2p ，解得p 即可； （2）由题意得直线方程为y x m =-，联立24y x y x m⎧=⎨=-⎩，得：()22240x m x m -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，且抛物线C 的()1,0F ，将问题转化为()()212122110x x FA FB x m x m ⋅=-++++<，利用韦达定理将2121224,x mx x m x +=+=代入解得m 即可.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把2p x =代入22y px =，得y p =±，所以24p =，因此抛物线方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，过点()0m ,，且斜率为1的直线方程为y x m =-， 联立24y x y x m ⎧=⎨=-⎩ ,消去y 得：()22240x m x m -++=()2212212Δ2440124m m m x x m x x m ⎧=+->⇒>-⎪+=+⎨⎪=⎩， 易知抛物线C 的()1,0F ，点F 在以AB 为直径的圆内等价于0FA FB ⋅<，()()()11221212121,1,1FA FB y y x x x x y y x x ⋅=-⋅-=-+++()()()1212121x x m m x x x x =-+++-- ()()21212211x x x m x m =-++++()()2221241m m m m =-++++2630m m =--<解得：33m -<<+，符合1m >-.综上：m 的范围是(3-+. 【点睛】本题考查了抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，向量数量积坐标的运算，韦达定理的应用，属于中档题. 20.某游戏棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）分布列见解析，数学期望92；（2）见解析；（3）游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）由题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，求出相应的概率，由此可得出随机变量X 的分布列，并计算出随机变量X 的数学期望；（2）棋子要到第()1n +站，分两种情况讨论：一是由第n 站跳1站得到，二是由第()1n -站跳2站得到，可得出111122n n n P P P +-=+，变形后可得出结论； （3）根据（2）中的{}n P 的递推公式得出100P 和99P 的大小关系，从而得出结论.【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()13319345688882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况： 由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ； 可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -. 所以，111122n n n P P P +-=+. 同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为9998971122P P P =+， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009812P P =. 所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，同时也考查了数列递推公式的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数()ln 1af x x x=+-，a R ∈. （1）若关于x 的不等式()1f x x >-+对[1,)x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （2）设函数()()f x g x x=，在（1）的条件下，试判断()g x 在区间2[1,e ]上是否存在极值.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(1,)+∞；（Ⅱ）当2e a ≥时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值；当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上存在极值，且极值均为正． 【解析】 【分析】（1）不等式恒成立问题，一般先利用变量分离转化为对应函数最值问题：212a x nx x x >--+的最大值，利用导数研究函数2()12m x x nx x x =--+最值，易得()m x 在[1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1m x m ==，因此1a >，（2）即研究()g x 导函数的零点情况，先求导数，确定研究对象为()212h x x x nx a =--，再求目标函数导数，确定单调性：先增后减，两个端点值都小于零，讨论最大值是否大于零，最后结合零点存在定理确定极值点个数. 【详解】解：（Ⅰ）由()1f x x >-+，得111anx x x+->-+． 即212a x nx x x >--+在[1,)+∞上恒成立． 设函数2()12m x x nx x x =--+，1x ≥． 则'()121m x x nx x =--+．∵[1,)x ∈+∞，∴10,210nx x -≤-+<． ∴当[1,)x ∈+∞时，'()1210m x nx x =--+<． ∴()m x 在[1,)+∞上单调递减．∴当[1,)x ∈+∞时，max ()()(1)1m x m x m ≤==． ∴1a >，即a 的取值范围是(1,)+∞．（Ⅱ）211()nx ag x x x x=-+，2[1,]x e ∈． ∴22111'()nx g x x x -=+332212a x x nx ax x---=． 设()212h x x x nx a =--，则'()2(11)11h x nx nx =-+=-． 由'()0h x =，得x e =．当1x e ≤<时，'()0h x >；当2e x e <≤时，'()0h x <．∴()h x 在[1,e)上单调递增，在2(e,e ]上单调递减． 且(1)22h a =-，()2h e e a =-，2()2h e a =-． 据（Ⅰ），可知2()(1)0h e h <<． （ⅰ）当()20h e e a =-≤，即2ea ≥时，()0≤h x 即'()0g x ≤． ∴()g x 在2[1,e ]上单调递减．∴当2e a ≥时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值． （ⅱ）当()0h e >，即12ea <<时， 则必定212,[1,]x x e ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121x e x e <<<<．当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：∴当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值为12(),()g x g x ，且12()()<g x g x ． ∵11211111()nx a g x x x x =+-111211x nx x ax -+=．设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12ea <<，1x e ≤<． ∵()'10x nx ϕ=≥，∴()x ϕ在[)1,e 上单调递增，()(1)10x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．∵11x e <<，∴1()0g x >． ∴当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上的极值21()()0g x g x >>． 综上所述：当2e a ≥时，()g x 在2[1,e ]上不存在极值；当12e a <<时，()g x 在2[1,e ]上存在极值，且极值均为正．注：也可由'()0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在2[1,e ]上的极值问题．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.（二）选考题：共10分.请考生在第22~23题中任选一题作答. 如果多做，那么按照所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线14cos :4sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12后得到曲线2C ；以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()M -，设直线l 与曲线2C 交于不同的A 、B 两点，求MA MB ⋅的值.【答案】（1）222:1164x y C +=，:60l y -+=；（2）1613. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式将直线l cos sin 60θρθ-+=，由此可将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用伸缩变换可得出曲线2C 的参数方程，消参后可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）可知点M 在直线l 上，且该直线的倾斜角为3π，可得出直线l的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），然后将直线l 的参数方程与曲线2C 的直角坐标方程联立，得到关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可求出MA MB ⋅.【详解】（1）直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 60θρθ-+=，60y -+=．将曲线14cos :4sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12后得到曲线2C ，则曲线2C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 消参后得221164x y +=， 因此，曲线2C 的直角坐标方程为221164x y +=； （2）由题意知()M -在直线l 上，又直线l 的倾斜角为3π， 所以直线l的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入221164x y +=中，得213160t --=． 因为M 在2C 内，所以>0∆恒成立，由韦达定理得121613t t =-， 所以121613MA MB t t ⋅==． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.23.设函数()()40f x x a x a =-+-≠．（1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集；（2）若()41f x a ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()3,5；（2）()[),01,-∞+∞．【解析】【分析】 （1）把1a =代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；（2）利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值，然后求解关于a 的不等式即可.【详解】（1）当1a =时，()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()f x x <，无解；当14x <<时，()f x x <可得34x <<；当4x ≥时，()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5．（2）()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-，4441a a a a -∴-≥-=． 当0a <或4a ≥时，不等式显然成立； 当04a <<时，11a ≤，则14a ≤<． 故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞． 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.。

广东省珠海市2021届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则AB =（ ）A. {}0,1,2B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A ，按交集定义，即可求解【详解】{}{}221,0,1,2,3A x x B =-<<=-，, 则AB ={}1,0,1-.故选:C【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.已知i 是虚数单位，复数z 满足121ii z-=+，则z =（ ）B.2C.2【答案】C 【解析】 【分析】先求z ，再根据模长公式，即可求解. 【详解】()()1211213122i i i iz i -----===+，所以z =. 故选:C【点睛】本题考查复数的运算以及模长，属于基础题.3.已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>, 或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 4.某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取（ ） A. 10名学生 B. 11名学生 C. 12名学生D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样，每层按比例分配，即可求解. 【详解】男生中抽取的人数5001610800⨯=. 故选:A【点睛】本题考查分层抽样抽取样本的个数，属于基础题.5.已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，sin sin a A b B =，则ABC ∆一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据正弦定理，角化边，即可求解.【详解】由sin sin B a A b =结合正弦定理得，22a b =,从而a b =.故选:A【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化，判断三角形的形状，属于基础题.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了（ ） A. 24里 B. 6里C. 18里D. 12里【答案】C 【解析】 【分析】根据题意这个人每天走的路程成公比为12等比数列，该数列的前6项和为378，可求出通项，即可求出结论.【详解】设第1天走了1a 里，每天所走的路程为{}n a ， 依题意{}n a 成公比为12，前6项和为378 611[1()]2378112a -=－，解得67132,32n na a -=⋅∴=⋅，563(42)18a a ∴+=⋅+=.故选:C【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列前n 项和，通项公式基本量的运算，属于基础题.7.已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A. 2- B. 1- C. 3-D. 2【答案】A【分析】根据向量投影的定义，即可求解.【详解】a 在b 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-. 故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.8.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的离心率为（ ） A.23 B. 3 C. 2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】圆22(2)1x y -+=圆心为(2,0)，可求出过原点的切线的斜率，即两条渐近线的斜率，结合渐近线的斜率与离心率的关系，即可求解.【详解】圆22(2)1x y -+=圆心为(2,0)，半径为1，过原点的切线段长为3，过原点的切线的斜率为3±3b a ∴=，2221231()133c a b b e a a a +===+=+=. 故选:A【点睛】本题考查圆与直线关系，考查圆锥曲线的简单几何性质，属于基础题.9.函数22()11x f x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ） A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论.【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.10.已知0.20.33log 0.3,0.3,0.2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】0,,a b c <与第三个数0.20.2比大小，即可得出结论.【详解】3log 0.30a =<，由幂函数0.2y x =为()0,∞+上的增函数,可得0.20.200.2.3>又由指数函数0.2xy =为R 上的减函数， 可知0.30.200.2.20>>，所以a c b <<. 故选:B【点睛】本题考查比较数的大小关系，考查函数的单调性运用，属于中档题.11.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价：3030602m n m n++=≥第二种方案的均价：4002200200mnm n m n=≤++所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.12.已知函数ln ,1()11,12x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [],3eB.[]42ln 2,3-C. 3242ln 2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦－ D.[]22ln 2,3-【答案】C 【解析】 【分析】设()(),,f m f n t m n ==为()y f x =与直线y t =的两交点的横坐标，根据函数图像可得302t <≤，设m n <，将,m n 用t 表示，n m -转化为关于t 的函数，通过求导，求函数的最值，即可求解.【详解】不妨设()()f m f n t ==，设m n <，由题意可知， 函数()y f x =的图象与直线y t =有两个交点，其中302t <≤， 由()f m t =，即112m t +=，解得22m t =-， 由()f n t =，即ln n t =，解得t n e =，记()22tg t n m n m e t =-=-=-+， 其中302t <≤，()2t g t e '=-，∴当0ln 2t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减； 当3ln 22t <≤时，()0g t '>，函数()g t 单调递增. 所以函数()g t 的最小值为ln 2(ln 2)e 2ln 2242ln 2g =-+=-；而0(0)e23g =+=，33223()13,42ln 2()12g e g t e =->∴-≤≤-，即3242ln 2e 1n m -≤-≤-. 故选:C【点睛】本题考查利用导数求函数的值域，构造函数是解题的关键，属于较难题. 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --= 【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可.详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题. 14.若2sin(15)3α+=，则cos(105)α+=___________．【答案】23- 【解析】 【分析】根据诱导公式，将所求角转化为已知角，即可求解.【详解】2cos(105)cos(1590)sin(15)3ααα+=++=-+=-. 故答案为:23-【点睛】本题考查诱导公式求值，属于基础题. 15.函数π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]4π的最小值为___________． 【答案】12【解析】 【分析】应用整体思想，结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】解：0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 2,132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（），可知()f x 的最小值为 min 5π1()sin 62f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:12【点睛】本题考查三角函数的最值，属于基础题.16.在半径为2的球内有一个内三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P ABC -体积的最大值为_________．【解析】 【分析】设ABC ∆外接圆的圆心为D ，外接球球心为O , 根据已知条件可求出ABC ∆外接圆的半径，根据球截面圆的性质，求出||OD ，要使三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求P 到平面ABC距离最大，即可得出结论.【详解】解：如图：设ABC ∆外接圆的圆心为D ,球心O233332CD =⨯⨯=.在OCD ∆中，221OD OC CD =-=.三棱锥P ABC -体积的最大时，最长的高为3OD OP +=. 三棱锥P ABC -体积的最大值为113933333224⨯⨯⨯⨯⨯=. 故答案为:93.【点睛】本题考查三棱锥与外接球的关系，考查三棱锥的体积最大值，属于中档题. 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题17.已知正项等差数列{}n a 满足259a a +=，3420a a =，等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S c =-，其中c 是常数．（1）求c 以及数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）1c =，1n a n =+；12n n b -=，*n N ∈；（2）2nn T n =⋅【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得349a a +=，结合3420a a =，求出34,a a ，进而求出{}n a 的通项公式；由已知等比数列{}n b 的前n 项和n S ，利用通项与前n 项和关系，可求出结论；（2）由n n n c a b =，用错位相减法，即可求解. 【详解】解：（1）数列{}n a 为正项等差数列，∴公差0d >，25349a a a a +=+=，又3420a a =，34a ∴=，45a =，可得1d =，即可得1n a n =+；2n n S c =-⋯①当1n =时，12b c =-， 当2n ≥时，112n n S c --=-⋯② ①-②即可得12n nb -=，2n ≥，又{}n b 为等比数列，01212b c ∴===-，即可得1c =，12n nb -∴=，*n N ∈；（2）由题意得1(1)2n n c n -=+，0112232(1)2n n T n -=++⋯++，⋯③ 112222(1)2n n n T n n -=+⋯+++，⋯④③-④可得：11212(12)2222(1)22(1)2212n n nn n n T n n n ----=+++⋯+-+=+-+=--．2n n T n ∴=．【点睛】本题考查等差数列通项基本量的运算，考查已知等比数列的前n 求参数及通项，考查错位相减法求数量的前n 和，属于中档题.18.为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：【答案】（1）7.76年.（2）见解析，有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．【解析】【分析】（1）由频率直方图，求出各组的频率，利用平均数公式，即可求解；（2）根据列联表数据关系补全列联表，求出2K对比参考数据，即可得出结论.【详解】解：（1）40.05240.09640.071040.031440.01187.76⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝该款手机的平均使用时间为7.76年.（2）40岁以上 800 200 1000 总计 12008002000()222000400200600800333.310.828120080010001000K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．【点睛】本题考查由频率直方图求平均数，考查两个变量独立性检验，考查计算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形，点M 为线段AB 的中点．（1）证明SM AD ⊥；（2）当1SM =时，求点B 到平面SAD 的距离． 【答案】（1）见解析（2）33【解析】 【分析】 （1）取AD中点P ，连接SP 、MP ，可得MP AD ⊥，SP AD ⊥，可证AD ⊥面SMP ，进而证明结论；（2）根据已知条件可证SM AM ⊥，由（1）得SM AD ⊥，可证SM ⊥面ABCD ，求出三棱锥S ABD －的体积以及SAD ∆的面积，用等体积法，即可求出结论. 【详解】解：（1）取AD 的中点P ，连接SP 、MP ， 由题意可知：1AMDM ==，∴MP AD ⊥.SAD ∆为正三角形，SP AD ∴⊥.又SP MP P =，SP ，MP ⊂面SMP ，AD ∴⊥面SMP .SM ⊂面SMP ，SM AD ∴⊥.（2）由题意可知DM AB ⊥，且1AMDM ==，2AD ∴=，且1AM =，2SA ∴=.又1SM AM ==，SM AM ∴⊥.由（1）知SM AD ∴⊥，且ADAM A ＝，AD AM ⊂，面ABCD ，SM ∴⊥面ABCD ，三棱锥S ABD －的体积为1133S ABD ABD V S SM ∆==－， 设点B 到平面SAD 的距离为h ， 则11313323B SAD SAD V S h h ∆===－， 得23h =.【点睛】本题考查空间垂直转化证明线线垂直，考查用等积法求点到面的距离，属于中档题.20.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过(0,1)A -、13,)2B 两点，（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线1:,(0)2l y x m m =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当m 取何值时，OPQ ∆的面积最大．【答案】（1）2214x y +=（2）1m =±时，OPQ ∆的面积的最大．【解析】 【分析】（1）设所求的椭圆C 的方程为2222221()x y m n m n+=≠，将,A B 两点坐标代入，即可求解；（2）将椭圆方程与直线方程联立，消去y ，关于x 的方程有两解，求出m 的取值范围，利用韦达定理，得出,P Q 两坐标关系，求出OPQ ∆面积关于m 的目标函数，再求出其最值，即可得出结论.【详解】解：（1）由题意可设椭圆C 的方程为2222221()x y m n m n+=≠，代入()0,1A -、12B ⎫⎪⎭两点得()2222222101121m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎩ 解得21n =，24m =， 所求的椭圆:C 2214x y +=.（2）将直线1:,(0)2l y x m m =+≠代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得：222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->，得m <<且0m ≠. 由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.12x x -===121|||2OPQ S m x x m ∆=-==由二次函数可知当21m =即1m =±时，OPQ ∆的面积的最大．【点睛】本题考查用待定系数法求圆锥曲线标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及最值，属于中档题.21.设函数()sin ,(0,),2f x ax x x a π=-∈为常数(1)若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求a 的取值范围； (2)当1a ≤时，证明31()6f x x ≤. 【答案】(1) ][(,01,)-∞⋃+∞；(2) 证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用()cos 0f x a x '=-≥或()cos 0f x a x '=-≤在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求得实数a 的取值范围； （2）利用导数研究函数的单调性，求得结果.【详解】（1）由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x =-'，其中0cos 1x <<. 当1a ≥时，()0f x '>恒成立， 故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，符合题意； 当0a ≤时，()0f x '<恒成立， 故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数，符合题意； 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =，则存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos x a =.当00x x <<时，()00f x '<，当02x x π<<时，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是不是单调函数，不符合题意.综上，a 的取值范围是][(),01,-∞⋃+∞.（2）由（1）知当1a =时，()()sin 00f x x x f =->=，即sin x x <，故22sin 22x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.令()()3311sin ,0,662g x f x x ax x x x π⎛⎫=-=--∈ ⎪⎝⎭， 则()22222111cos 12sin 12122222x x g x a x x a x a x a ⎛⎫=--=-+-<-+-'=- ⎪⎝⎭，当1a ≤时，()10g x a -'=≤，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数， 从而()()00g x g <=，即()316f x x ≤. 【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目. （二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos ,{2sin x y αα=+=（α为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）10x -+=；（2）72. 【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程利用两角差的正弦公式展开后，再根据cos ,sin x y ρθρθ==可化为直角坐标方程；（2）利用平方法消去曲线C 的参数方程中的参数，化为普通方程，然后根据直线与圆的位置关系及圆的几何性质进求解即可.试题解析：（1）∵1sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴11cos 222ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭1122y x -=，10x +=．（2）曲线C 为以()2,0为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为32， 所以，最大距离为37222+=． 23.已知()13f x x x =-+-． （1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若2()f x m m >+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|04x x ≤≤（2）{}|21m m -≤≤ 【解析】 【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出min ()f x ，转化为解关于m 的一元二次不等式，即可求得结论.【详解】解：（1）当3x ≥时，不等式()4f x ≤化为244x -≤， 得4x ≤即34x ≤≤当13x <<时，不等式()4f x ≤化为24≤，成立，即13x << 当1x ≤时，不等式()4f x ≤化为424x -≤，得0x ≥即01x ≤≤ 综上所述：所求不等式的解集为{}|04x x ≤≤. （2）()13132f x x x x x =-+-≥--+=若()2f x m m >+恒成立，则22m m >+.解得21m -≤≤.所以实数m 的取值范围[2,1]-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值有关的不等式，属于中档题.。

珠海市2021年9月高三摸底考试文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项。

1. 已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,4,5N =()N M =则C CA.{}2,3,4B.{}0,2,3,4,5C.{}0,5D.{}3,52. 为了解72名学生的学习情形，采纳系统抽样的方式，从中抽取容量为8的样本，那么分段的距离为（ ）A A.9B.8C.10D.73. 在等比数列{}n a 中，有154a a =，那么3a 的值为（）ＣA. 2±B. 2-C. 2D. 4 4. 已知复数z 知足(1)2i z -=，那么z =（ ）DA.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +5. 以下函数中，概念域是R 且为增函数的是（ ）BA.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.1y x =-6. 如右图为某几何体的三视图，那么其体积为（ ）ＤA ． 2B ． 4C ． 34D ． 327. 设R b a ∈,,那么“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）B A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件8. 对任意的[2,1]x ∈-时，不等式022≤-+a x x 恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ）D A ． (]0,∞- B ．(]3,∞- C ．[)+∞,0 D ． [)+∞,39.假设将一个质点随机投入如下图的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，那么质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）ＢA ．2πB ．4πC ．6πD ．8π10. 设点0(,1)M x ，假设在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°30OMN ∠=,那么0x 的取值范围是( )A A. 3,3⎡⎤-⎣⎦ B. 1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C. []2,2- D. 3333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题：本大题共5小题，每题5分，考生作答4小题，总分值20分． （一）必做题（11～13题）11. 不等式组280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域的面积为______________。

广东省珠海市2018届高三上学期摸底考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合2{|210}A x x x =+-≤，集合{|lg 2}B x x =<，则()R C A B =（ ）A ．1(100)2，B ．1(2)2，C ．1[100)2，D ．∅2．设11iz i i+=-+，z 为复数，则||z =（ ） AB．2C ．2D ．13．如图在ABC ∆中，在线段AB 上任取一点P ，恰好满足23PBC ABC S S ∆∆>的概率是（ ）A ．23B ．49C ．19D ．134．设,,x y z 为大于1的正数，且235log log log x y z ==，则12x ，13y ，15z 中最小的是（ ） A ．12xB ．13yC ．15zD ．三个数相等5．如右程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的m ，n 分别为495，125，则输出的=m （ ）A ．0B ．5C ．25D ．1206．双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 17．下列命题中正确的个数是（ ）①命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠; ②“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件; ③若p q ∧为假命题，则p ，q 为假命题;④若命题2000:,10p x R x x ∃∈++<,则:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥.A ．1B ．3C ．2D ．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C D9．设x ，y 满足约束条件70,{310,250,x y x y x y +-≤-+≤--≥ 则yz x =的最大值是 A ．52B ．34C ．43D ．2510．已知曲线1215:sin ,:cos()26C y x C y x π==-，则下列说法正确的是（ ） A ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C B ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2C C ．把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2CD ．把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C11．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{ (517)1119，，，.仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( ) A ．44B ．45C ．46D ．4712．已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()2,0- D ．()2,1--二、填空题13．设单位向量a ，b 的夹角为θ，27a b +=，则θ=____________. 14．函数()ln xf x e x =⋅在点()()1,1f 处的切线方程为____．15．在ABC ∆中，角、、A B C 对应的边分别为,,a b c ，60,4,C a b c ===ABC ∆的面积为___________.16．用一张1610cm cm ⨯长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，这个纸盒的最大容积是_________3cm .三、解答题17．在等差数列{}n a 中，49a =，723a a =， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}nn a 的前n 项和n S .18．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm ）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：乙厂：（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有0099的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形SEE ∆'，SFF ∆'，SGG ∆'，SHH ∆'再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S EFGH -，其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）．（1）求证：平面SEG ⊥平面SFH ； （2）已知52AE =，过O 作OM SH ⊥交SH 于点M ，求cos EMO ∠的值． 20．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：（Ⅰ）求12C C 、的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数2()ln ()f x ax x a =-+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性．（2）若1,()x ∃∈+∞，()f x a >-，求a 的取值范围．22．在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 29ρθ=，点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11PA PB+的值． 23．设函数()||f x x a =-，不等式()2f x ≤的解集是{}|15x x ≤≤． （1）求实数a 的值；（2）若(2)(2)f x f x m ++≥对一切x ∈R 恒成立，求m 的范围．参考答案1．A 【解析】因为集合{}2|210A x x x =+-≤，所以()112R C A ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，，{}()|lg 20,100B x x =<=，()1,1002R A B ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭，故选A.2．D 【解析】11,,122i z i z z -=-+∴==-+==，故选D.3．D 【解析】PBC ABC S PBS AB∆∆=,设AB 靠近A 的三等分点为D ，所以线段AB 上任取一点P ，恰好满足23PBC ABC S S ∆∆>的点P 在线段DB 上，2133PBC ABC S AD P S AB ∆∆⎛⎫>== ⎪⎝⎭，故选D. 4．C 【解析】令235log log log (0)x y z k k ===>，则2,3,5k k k x y z ===，所以1222k x =，1333k y =，1555kz = 对以上三式两边同时30k乘方，则3011522kx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3011033ky ⎛⎫= ⎪⎝⎭，301655kz ⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然15z 最小，故选C.5．B 【解析】模拟程序的执行过程，如下：输入495,125m n ==，4953125120,125,120r m n =-⨯===；不满足0r =，执行循环体；12511205,120,5r m n =-⨯===，不满足0r =，执行循环体；0,5,0r m n ===，满足0r =，退出循环，所以输出的m 为值为5，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6．B 【解析】因直线210x y +-=的斜率12k =-，故22bb a a=⇒=，即225c a e =⇒=应选答案B 。

广东省珠海一中等六校2021届高三高考模拟试题数学文珠海市第一中学2021年高考模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只一项符合主题的要求。

1.知道a，B吗？r、及a?bi1?i?2?i，则a?b?()a、 2b.4c.-2d.-42.已知集合a?{0,1,2,3,4}，集合b?{x|x?2n,n?a}，则a?b?（）a、 {0}B.{0,4}C.{2,4}D.{0,2,4}3。

如果这是一个锐角，sin（？）a.26? 16? 6)=13,则cos?的值等于()C23?14b.26? 16天。

23?134.如图所示，在正方形ABCD中，点E和F分别是DC和BC的中点，然后EF=（）11a．ab+221c．?ab?2ad12adb、 ?。

？122? 1.1.d、 ab广告22ab?1ad让a和B成为平面？里面有两条不同的直线，l是一个平面？如果外面有一条直线，那么“l？a，l？B”就是“l”Of（）a．充要条件b．充分而不必要的条件c．必要而不充分的条件d．既不充分也不必要的条件6.如果a?b，则下列各式正确的是（）a.a?lgx?b?lgxb.ax?bxd.a?2?b?2XX222C。

A.Blgan成等差数列，7.设正项等比数列?an?，公差d?lg3，且?lgan?的前三项和为6lg3，然后一一般术语是（）a．nlg3b．3nc．3nd．3n?18.已知向量a？（2厘米，2英寸），B（3cos？、3sin？），如果a和B之间的角度为120？，然后是直线2xcos??2ysin??1?0与圆(x?cos?)?(y?sin?)?1的位置关系是22()a．相交且不过圆心b.相交且过圆心c．相切d．相离9.已知函数f（x）=log2（x2 ax+3a）在区间[2，+∞), 那么实数a的取值范围是（）a、（－∞，4） b.（-4,4]c.（-∞，－4)∪[2，＋∞)d、 [-4,2）10.若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）＝x，②f（x，y）＝f(y,x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，则f（12,16）的值是（）a.12b.16c．24d.48二、填空：这个大问题有5个小问题。