广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试数学试题含答案

2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，则A B 等于（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，{}1,0,1A B ∴=-.故选：C.2．已知命题p ：131,28x x -∀≥≤，则命题p ⌝为（ ）A ．13001,28x x -∃≥>B ．10031,28x x -∀≥>C ．13001,28x x -∃<≤D ．10031,28x x -∀<≤【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题p ：131,28x x -∀≥≤的否定p ⌝为：13001,28x x -∃≥>故选：A3．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．3B 3C ．12D ．2【答案】D【分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 22165242⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.4．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由33a b log log ＜和333a b ＞＞分别求出a ，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案． 【详解】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞， 由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．5．实数,,x y k 满足2230{10,x y x y z x y x k+-≥-+≥=+≤，若z 的最大值为13，则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和曲线，观察图形，知直线过直线和的交点时，解得，故选B.考点:线性规划. 【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题．其题型大概有如下两种：一、已知线性约束条件，求目标函数的最优解．这种题的难度较小；二、已知线性约束条件中含有参数，并且知道最优解，求参数的值．本题属于第二种，难度要大，解决的方法如下：先作出不含参数的平面区域和目标函数取最优解时的直线，再根据含参数的不等式利用斜率相等或截距相同来解决问题.6．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，则下列函数值一定正确的是（ ） A ．(1)0f = B ．(2)1f =C ．(2020)0f =D ．(2021)1f =【答案】C【分析】由已知条件知()f x 的周期为4，且(2)(2020)0f f ==，而(2021)(1)f f =函数值不确定，即可知正确选项.【详解】(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，又()f x 是定义在R 上的奇函数，知：()()f x f x -=-且(0)0f =，∴(2)()()f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则()f x 的周期为4，∴(2)(20)(0)0f f f =+=-=，(2020)(45050)(0)0f f f =⨯+==，故B 错误，C 正确；而(2021)(45051)(1)f f f =⨯+=不能确定其函数值. 故选：C.7．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x = B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题8．三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,13,5,25PB PC AB BC AC =====则球O 的表面积为（ ） A ．28π B ．29πC ．30πD ．31π【答案】B【分析】由各棱长结合勾股定理知P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，进而求出Rt PBC 的外接圆半径r ，由外接球半径R 与r 、PA 的几何关系即可求出R ，最后求外接球表面积即可.【详解】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=， ∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥， ∴若Rt PBC 的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2229()2PA R r =+=， ∴外接球表面积2429S R ππ==. 故选：B.【点睛】关键点点睛：由棱长推出P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，根据其外接球半径R 与Rt PBC 外接圆半径r 、PA 的几何关系求出R ，进而求球的表面积.二、多选题9．下列四个命题中，正确的有（ ） A ．函数3sin(2)3y x π=+的图象可由y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到 B ．sin 2xy e=的最小正周期等于π，且在(0,)2π上是增函数（e 是自然对数的底数）C ．直线x ＝8π是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．函数tan y x =,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】CD【分析】利用图像的平移判断选项A ；利用周期的定义判断选项B ；利用整体代入的思想判断选项C ；利用正切函数的定义域判断选项D. 【详解】将y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到y ＝23sin[2()]3sin(2)33x x ππ+=+，故A 错误；令()sin2xf x e =，∴()()sin2sin2x x f x ee ππ++==，故()sin2x f x e =的周期为π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故B 错误； 由52,42x k k Z πππ+=+∈， 得3,28k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，x ＝8π是其对称轴，故C 正确；由tan 0x ≥得,()2k x k k Z πππ≤<+∈，故D 正确.故选：CD.10．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（ ） A ．a ＋b 有最小值2＋22 B ．a ＋b 有最大值2＋22 C ．ab 有最小值3＋22 D ．ab 有最大值1＋2【答案】AC【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +，ab －1＝a ＋b ≥2ab ，又a ＋b >2、ab >1，应用一元二次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值. 【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)，即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得12ab ≥+，即ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知C 正确，D 错误. 故选：AC.11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题正确的有（ ）A ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值B ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 C ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值D ．直线CD 和平面BPC 1平行 【答案】BCD【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可.【详解】选项A ，由线面所成角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时∠CPO 是变化的，故A 错误. 选项B ，三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而△DBC 1大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1//平面BDC 1∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离 ∴三棱锥D －BPC 1的体积为定值，故B 正确；选项C ，∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， ∴CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C 正确；选项D ，直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故D 正确. 故选：BCD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是A ．20192g =B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =， 所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

试卷类型：A 珠海市 2020～2021 学年度第一学期高三摸底测试生物注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

在本试卷上作答无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷共 6 页，22 小题，满分 100 分。

考试用时 75 分钟一、选择题：本题 16 小题，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

其中第 1～12 小题，每题 2 分，第 13～16 小题，每题 4 分。

1.地衣由真菌菌丝包裹着绿藻或蓝藻细胞构成，藻类为地衣制造有机物，菌丝可为藻类提供水分和无机盐。

下列有关叙述错误的是A.真菌与绿藻或蓝藻之间具有互利共生关系B.绿藻和蓝藻细胞中都无叶绿体，但有光合色素C.真菌、绿藻和蓝藻细胞中都有两种核酸D.地衣的藻细胞中的元素可以来自真菌和空气2.研究人员通过物理力把类似于细胞膜上具有分子识别功能的物质镶嵌到聚联乙炔囊泡中，组装成纳米尺寸的生物传感器。

这类被镶嵌进去的物质很可能含有A.磷脂和多糖B.多糖和蛋白质C.胆固醇和多糖D.磷脂和蛋白质3.下列生理过程中，没有细胞器直接参与的是A.性激素的合成B.蛋白质的加工包装C.光合作用暗反应D.细胞的无氧呼吸4.液泡膜上存在H+—ATP酶，能从细胞质基质中运输质子进入液泡，导致液泡中的pH为5.5，而细胞质基质的 pH 为7.0—7.5。

液泡转运质子的运输方式属于A.协助扩散B.主动运输C.自由扩散D.胞吞5.马铃薯块茎储藏不当会出现酸味，这种现象与马铃薯块茎细胞的无氧呼吸有关。

下列叙述正确的是A.马铃薯块茎细胞无氧呼吸的产物是乳酸和二氧化碳B.马铃薯块茎储藏库中升高氧浓度会增加酸味的产生C.块茎细胞无氧呼吸产生丙酮酸的过程不能生成 ATPD.块茎细胞无氧呼吸产生的乳酸是由丙酮酸转化而来的6.下列关于某二倍体生物在自然条件下进行细胞分裂的叙述，正确的是A.移动到细胞同一极的染色体都是非同源染色体B.减数分裂过程中核基因数目与染色体组数目的加倍是同步的C.正常有丝分裂过程中会发生同源染色体间片段的交换D.减数分裂过程中染色体数目减半发生在减数第一次分裂 7.三体的产生多源于亲代减数分裂异常。

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一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）1．已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则?NM=（） A． {2，3，4} B． {0，2，3，4，5} C． {0，5} D．{3，5}2．为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（） A． 9 B． 8 C． 10 D．73．在等比数列{an}中，有a1a5=4，则a3的值为（） A．±2 B．��2 C． 24．已知复数z满足（1��i）z=2，则z=（） A．��1��i B．��1+i C． 1��i5．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（） A． y=e B． y=x C． y=lnx6．如图为某几何体的三视图，则其体积为（）��xD．4D．1+iD．y=|x|A． 2B． 4C．7．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件8．对任意的[��，]时，不等式x+2x��a≤0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（��∞，0]B．（��∞，3]C． [0，+∞）D．[，+∞）29．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．10．设点M（x0，1），若在圆O：x+y=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x0的取值范围是（） A． [��，]B． [��，]C． [��2，2]D．[��，]2B． C． D．二、填空题（共5小题，每小题0分，满分0分） 11．不等式组12．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．13．若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x��y+1=0，则点P的坐标是． 14．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为15．如图，已知=，|F2F4|=��1是圆O的两条弦，C2，F1，C1，则圆O的半径等于．（t为参数）的普通方程为．表示的平面区域的面积为．三、解答题（共5小题，满分0分） 16．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=（1）求A的值；（2）若角θ的终边与单位圆的交于点P（，），求f（��θ）．17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？18．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若A C⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．19．设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为16 （1）求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．20．设函数f（x）=x��（1+a）x+ax，其中a＞1 （1）求f（x）在的单调区间；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．32广东省珠海市2021-2021学年高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题0分，满分0分）1．已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则?NM=（） A． {2，3，4} B． {0，2，3，4，5} C． {0，5} D．{3，5}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：根据集合补集的定义即可得到结论．解答：解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，∴?NM={0，5}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（） A． 9 B． 8 C． 10 D．7考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．解答：解：从72人，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为72÷8=9，故选：A点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．3．在等比数列{an}中，有a1a5=4，则a3的值为（） A．±2 B．��2 C． 2考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．D．4分析：由等比数列的性质得=4，由此能求出a3=±2．解答：解：∵在等比数列{an}中，有a1a5=4，∴=4，解得a3=±2．故选：A．点评：本题考查等比数列的等3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．已知复数z满足（1��i）z=2，则z=（） A．��1��i B．��1+i C． 1��i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：z=，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．5．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A． y=e B． y=x C． y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件． B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件． C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（��∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．6．如图为某几何体的三视图，则其体积为（）��xA． 2B． 4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，列出体积表达式，可求几何体的体积．解答：解：几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，感谢您的阅读，祝您生活愉快。

珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底考试 数学 2020.9一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|4A x x =>， {}2|30B x x x =-<，则A B =A ．(5,2)(26)--，B ．(22)-，C ．(,5)(6)-∞-+∞，D ．(,2)(2)-∞-+∞， 2．27(1)i i-= A ．1 B ． 2 C ． i - D ．2i -3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方法共有A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为A ． 30︒B ．45︒C ．15︒D ． 60︒5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会斗演奏的同学的概率是A ．14B ．12C ．.38D ．586．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0)+∞，单调递增，且(-5)=0f ，则满足()0xf x <的解集是A ．(,5)(5)-∞-+∞，B ．(,5)(05)-∞-，C ．(50)(5)-+∞，， D ．(50)(05)-，， 7．已经P 是边长为1的正方形ABCD 上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值为A ．14B ．2C ．1D ．128．直线:l y kx b =+是曲线()ln(1)f x x =+和曲线2()ln()g x e x =的公切线，则b =A ．2B ．12 C ．ln 2e D ．ln 2e （）二、选择题：本小题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，得3分。

广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2021届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合A ＝{x ｜lg(2)y x =-}，B ＝{2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝.A. {x ｜0＜x ＜2}B. {x ｜0≤x ＜2}C. {x ｜2＜x ＜3}D. {x ｜2＜x ≤3} 2．若复数z 的共轭复数满足()112i Z i -=-+,则||Z =.A.2 B.32C.10D.123．下列有关命题的说法错误的是.A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若αβ、是两个不同平面，m α⊥,m β⊂，则 αβ⊥；C. “1sin =2x ”的必要不充分条件是“=6x π”；D. 若命题p ：200,0x R x ∃∈≥，则命题：2:,0P x R x ⌝∀∈<；4．已知某离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P827 49m127则X 的数学期望()E X =.A ．23B ．1C ．32D ．25．已知向量a 、b 均为非零向量，则a 、b 的夹角为.A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．若1cos =86πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为. A. 1718B. 1718-C. 1819D. 1819-7．若直线()m n +2=0m>0n>0x y +、截得圆()()2231=1x y +++的弦长为2，则13m n+的最小值为. A. 4B. 12C. 16D. 68．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=. A ．5B ．6C ．7D ．89．已知定义在R 上的偶函数()()3sin()cos()(0,),0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为. A.13 C.12D.3210．在如图直二面角A­BD­C 中，△ABD 、△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是.A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B11．定义12nnp p p ++⋅⋅⋅+为n 个正数12n p p p ⋅⋅⋅、、、的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a的前n 项的“均倒数”为121n +，又1=4n n a b +，则12231011111=b b b b b b ++⋅⋅⋅+. A.111 B. 112 C. 1011 D. 1112 12．已知函数()2x mf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是. A. (0,)e B. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13．设,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ；14．若3()nx x-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为 ；15．已知点P 在双曲线()2222=10x y a b a b->>0,上，PF x ⊥轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为 ；16．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ABC ⊥平面，==2AB AC ， ∠BAC =120。

2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题一、单选题1．设集合{}2|4A x x =>，{}2|30B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(5,2)(2,6)--B ．(2,2)-C ．(,5)(6,)-∞-+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A【解析】本题首先可以通过对不等式24x >、230x x -<进行计算得出集合A 和集合B 中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果. 【详解】24x >，即2x >或2x <-，则集合()(),22,A =-∞-⋃+∞，230x x -<，即650x x ，解得56x ，则集合()5,6B =-，故(5,2)(2,6)A B ⋂=--⋃， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，是简单题.2．27(1)i i-=（ ） A ．1 B ．2C ．−iD ．−2i【答案】B【解析】利用复数的四则运算，计算结果即可. 【详解】化简得2732(1)22221i i i i i ----====-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算和虚数单位的幂运算，属于基础题.3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种【答案】B【解析】对医生a 去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果. 【详解】若医生a 去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得322742210C C C =； 若医生a 去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得331741140C C C =；所以不同的选派方式共有210140350+=种. 故选：B. 【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题. 4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．15°D ．60°【答案】D【解析】分析得平面α与圆锥底面平行，求直线AC 与圆锥底面所成的角，即得结果. 【详解】如图所示截面为正三角形的三棱锥中，,,A B C 在球O 上，过C 作与球O 相切的平面α必然与圆锥底面平行，则直线AC 与平面α所成的角，即直线AC 与圆锥底面所成的角，即60CAB ∠=︒， 故选：D. 【点睛】本题考查了球内接圆锥，直线与平面所成的角，属于基础题.5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（ ）A ．14B ．12C ．38D ．58【答案】A【解析】根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有2位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可； 【详解】由题意知，8位同学中有2位同学两种乐器都会演奏∴从8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：(P 两种乐器都会演奏的同学12181)4C C ==故选：A 【点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后利用古典概型的概率公式求概率；6．若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()50f -=，则满足()0xf x <的解集是（ ） A ．()(),55,-∞-+∞ B ．()(),50,5-∞- C ．()()5,05,-+∞D ．()()5,00,5-【答案】D【解析】分析出函数()f x 在(),0-∞单调递增，可得出()50f =，然后分0x >、0x =、0x <三种情况解不等式()0xf x <，综合可得出原不等式的解集.【详解】由于定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，则该函数在(),0-∞单调递增， 且()00f =，()()550f f =--=. 显然当0x =时，()000f ⨯=；当0x >时，由()0xf x <可得()()05f x f <=，解得05x <<； 当0x <时，由()0xf x <可得()()05f x f >=-，解得5x 0-<<. 因此，不等式()0xf x <的解集为()()5,00,5-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值是（ ） A ．14B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】构建A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设(,)P x y 则可用坐标表示22AP BP x x y ⋅=-+，由于,x y 是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x 和y 的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为AP BP ⋅的最大值 【详解】构建以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD 边长为1，知：(1,0),(1,1),(0,1)B C D ， 若令(,)P x y ，即(,)AP x y =，(1,)BP x y =-； ∴22AP BP x x y ⋅=-+，而01x ≤≤，01y ≤≤，则2211()()24f x x x x =-=--在01x ≤≤上0x =或1x =有最大值为0，2()g y y =在01y ≤≤上1y =有最大值为1；∴AP BP ⋅的最大值为1 故选：C本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值8．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2 B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e【答案】C【解析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．533D ．355【答案】AB【解析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b 关系，再计算离心率即可. 【详解】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba=，215c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2ab=，2512c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭. 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题. 10．如图是函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>的部分图象，则（ ）A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()12sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12sin 22f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()12cos 2f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】由图象可求得函数()y f x =的振幅A 以及最小正周期T ，可求得ω的值，再将点()0,2的坐标代入函数()y f x =的解析式可求得ϕ的值，结合诱导公式可得出合适的选项. 【详解】由图象可得()max 2f x A ==，该函数的最小正周期T 满足122T π=，可得4T π=，212T πω∴==，所以，()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 又()02sin 2f ϕ==，可得sin 1ϕ=，()22k k Z πϕπ∴=+∈，()1112sin 22sin 2cos 22222f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 、D 选项合乎要求；对于A 选项，()112sin 2sin 2422f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎要求；对于C 选项，()1112sin 2sin 2cos 22222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项合乎要求. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知0ab <，则（ ） A ．222a b ab +≥ B ．222a b ab +<C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 【答案】ACD【解析】由,a b 异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误； 【详解】0ab <即,a b 异号；∴222a b ab +≥成立，故A 正确，而B 错误； 又2()0a a b =a ab -->，故C 正确；||()()2b a b a a b a b +=-+-≥=当且仅当=-a b 时等号成立，故D 正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了不等式，根据两数异号，结合不等式性质以及基本不等式判断正误，属于简单题；12．已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则（ ） A ．()(2)E X g = B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f = 【答案】CD【解析】先求出1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++和123()23i n E X p p p ip np =++++++，并判断123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，则排除选项A ，判断选项C 正确；再求出X 的分布列和1()f x 的解析式，最后求出1225(2)4f =，则排除选项B ；判断选项D 正确. 【详解】解：因为230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，则1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++，123()23i n E X p p p ip np =++++++， 令1x =时，123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为：234567811234321()16161616161616f x x x x x x x x =++++++ 234567811234321225(2)2222222161616161616164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选项B 错误；选项D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查导数的运算、由X 生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.三、填空题13．椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线l 与E 交于A ，B两点，1AF 、2BF 都与x 轴垂直，则||AB =________．【解析】根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中,,a b c 三者之间的关系，可以求得21c =，设出()()111,,1,A y B y --，由两点间距离公式可以求得AB =据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得2194y =，之后代入求得AB ==. 【详解】在已知椭圆中，222431c a b =-=-=， 因为直线l 过原点，交椭圆于,A B 两点， 则A 与B 关于原点对称， 又1AF 、2BF 都与x 轴垂直，设()()111,,1,A y B y --，则AB ==又A 在椭圆上，则211143y +=，得2194y =，则AB ==，【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆中,,a b c 三者之间的关系，椭圆上点的坐标的特征，两点间距离公式，属于基础题目. 14．将数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{}na ，则{}na 的前10项和为________（用数字作答）． 【答案】2046【解析】本题首先可以根据题意确定数列{}n a 的前10项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是由数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到，所以数列{}n a 的前10项为2、22、32、42、、102，则{}n a 的前10项和为101121222204612，故答案为：2046. 【点睛】本题考查数列的项以及等比数列求和公式的应用，能否根据题意确定数列中的项是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.15．已知α、β为锐角三角形的两个内角，sin 7α=，sin()14αβ+=，则cos 2β=____． 【答案】12- 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到cos α、cos()αβ+，再用凑角得到cos β，最后利用二倍角公式得到答案.【详解】因为α、β为锐角三角形的两个内角， 所以0<,022ππαβ，<2παβπ，因为sin 7α=，sin()14αβ+=，所以1cos 7α===，11cos()14αβ+===-， 所以cos cos()cos()cos sin()sin ββαααβααβα=+-=+++11111472=-⨯=， 则211cos 22cos12142ββ=-=⨯-=-， 故答案为：12-. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的三角公式、倍角公式，属于基础题. 16．一半径为R 的球的表面积为64π，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．【答案】【解析】由球体的表面积公式求出半径R ，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c 即有222+=a b c 、2232a b +=，最后利用长方体的体积公式有V =【详解】由半径为R 的球的表面积为64π，知：2464R ππ=，有4R =；由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222+=a b c ，2222464a b c R ++==；∴2232a b +=，而长方体体积V abc ==∴3222()2a b V +=≤=当且仅当4a b ==时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的表面积和体积，根据球体表面积公式得到其半径，由内接长方体的对角截面为正方形即可得长、宽、高的等量关系，利用长方体的体积公式结合基本不等式求最值四、解答题17．在①1cos 2B =，②1cos 2C =，③cos C = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角△ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，1b =，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到(2sin sin )cos 0B A C -=，结合题设可知2a b =且1b =、2a =，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求c 的值；【详解】△ABC 中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+ ∴(2sin sin )cos 0B A C -=；∵△ABC 不是直角三角形；∴cos 0C ≠，则有2sin sin B A =，即2a b =，而1b =，即有2a =；选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=； 由sin sin b a B A=得sin 1A =>不合理，故△ABC 不存在. 选②：由1cos 2C =得：c ==222b c a +=； ∴A 为直角，不合题设，故△ABC 不存在．选③：由cos C =得：c ==． 【点睛】本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾；18．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足3452a a a +=，121a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log (3)n n t a =，求数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）本题首先可设数列{}n a 的公比为q ，然后根据题意得出2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，通过计算求出1a 和q 的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可根据123n n a -=得出1n t n =-，然后根据1n t n =-得出121111n n t t n n ++=-+，最后通过裂项相消法求和即可得出结果. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，因为3452a a a +=，121a a +=，所以2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故{}n a 的通项公式123n n a -=. （2）因为123n n a -=，所以122log (3)log 21n n n t a n -===-， 则121111(1)1n n t t n n n n ++==-++， 故数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：1111111(1)()()()2233411n n T n n n =-+-+-++-=++． 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，常见的裂项有：111(1)1n n n n =-++、11(1)1k n n n n k 、1111()n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭等，考查计算能力，是中档题. 19．如图，三棱锥P ABC -中，2AC BC PC PB ====，120ACB ∠=，平面PBC ⊥底面ABC ，D 、E 分别是BC 、AB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABC ；（2）求二面角P CE B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）利用等腰三角形三线合一可得PD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得出PD ⊥平面ABC ；（2）取CE 中点F ，连接DF 、PF ，证明出CE ⊥平面PDF ，可得出二面角P CE B --的平面角为PFD ∠，通过解PDF 可求得tan PFD ∠，进而得解.【详解】（1）证明：PC PB =，D 是BC 中点，PD BC ∴⊥，平面PBC⊥底面ABC，平面PBC底面ABC BC=，PD⊂平面PBC ，PD∴⊥平面ABC；（2）如图，取CE的中点F，连接DF、PF，则//DF AB，2AC BC PC PB====，E是AB的中点，120ACB∠=，则30CBE∠=，CE AB∴⊥，DF CE∴⊥，cos303BE BC==，223PD PD BD-= 132DF BE==，PD⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，CE PD∴⊥，PD DF D=，CE∴⊥平面PDF，PF⊂平面PDF，CE PF∴⊥，PFD∴∠为二面角P CE B--的平面角.在Rt PDF中，3tan23PDPFDDF∠===，因此，二面角P CE B--的正切值为2. 【点睛】本题考查利用面面垂直证明线面垂直，同时也考查了利用定义求解二面角的正切值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在[35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)指标值频2184814162数（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值．（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为ξ(单位：元)，求ξ(元)的分布列．【答案】（1）118元；（2）答案见解析.【解析】（1）根据产品等级得X取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；（2）先列出患者购买一件合格品费用η的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.【详解】解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则X=-，根据频数分布表得到X的分布列为:50,70,130,190-70130190X50设备升级前利润的期望值为:()0.14(50)0.18700.281300.4190118E X =⨯-+⨯+⨯+⨯=∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为η(元)则120,180,240η=，患者购买一件合格品的费用η的分布列为故患者随机购买两件时240,300,360,420,480ξ= 111(240)6636P ξ==⨯= 111(300)339P ξ==⨯= 11115(360)2263318P ξ==⨯⨯+⨯= 111(420)2323P ξ==⨯⨯= 111(480)224P ξ==⨯= 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为【点睛】本题考查了频率分布直方图和频率分布表的应用，以及分布列和期望的计算，属于中档题.21．已知函数2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++，0a ≥．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点的个数．【答案】（1）减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）0a >时，()f x 有两个零点；0a =时， ()f x 只有一个零点．【解析】（1）利用函数求导，判断导数符号确定()f x 的单调性即可；（2）对a 进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.【详解】解：（1）∵2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++∴()(1)(e 2)x f x x a '=-+ 0a ≥时20x e a +>，故1x <时()0f x '<，1x >时()0f x '>.∴0a ≥时，()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）①0a >时，∵()01f '=且()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞ ∴(1)0f e =-<是()f x 的极小值，也是最小值，(2)0f a =>，取0b <且ln 2a b <则22()(2)(1)(2)(1)(23)022b a a f b b e a b b a b b b =-+->-+-=-> ∴()f x 在(,1)b 和(1,2)上各一个零点；②0a =时，()(2)x f x x e =-，只一个零点2x =，综上，0a >时，()f x 有两个零点；0a =时，()f x 一个零点．【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的应用，函数零点问题，属于中档题.22．已知抛物线E 的顶点在原点，焦点(0,)2p F (0)p >到直线:2l y x =-的距离为2，00(,)P x y 为直线l 上的点，过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ，切点为M N 、． （1）求抛物线E 的方程；（2）若(3,1)P ，求直线MN 的方程;（3）若P 为直线l 上的动点，求||||MF NF ⋅的最小值．【答案】（1）2:4E x y =；（2）:3220MN x y --=；（3）92． 【解析】（1）利用点到直线的距离公式直接求解p 的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点p ，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将||||MF NF ⋅进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.【详解】(1)由(0,)2p F 到直线:20l x y --=的距离为2|2|2p += 得2p =或10p =-∵0p >∴2p =∴抛物线2:4E x y =(2) 由2:4E x y =知214y x =∴2x y '= 设切点11(,)M x y ，22(,)N x y 则21111111:()22222x x x x PM y y x x x x y -=-=-=- 即11:2x PM y x y =- 22:2x PN y x y =- ∵P PM ∈，P PN ∈ ∴112231023102x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩即112232203220x y x y --=⎧⎨--=⎩ ∴:3220MN x y --=．(3)若P 为直线l 上的动点，设00(,)P x y ，则002x y =+由(2)知∵P PM ∈，P PN ∈ ∴011002200202x x y y x x y y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ ∴00:02x MN x y y --=与2:4E x y =联立消x 得 222000(24)0y y y y y -+++=…………“”则1y ，2y 是“”的二根∴21200212024y y y y y y y ⎧+=++⎨=⎩ 121212||||(1)(1)1MF NF y y y y y y ⋅=++=+++200225y y =++ 当012y =-时，||||MF NF ⋅得到最小值为92． 【点睛】 本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.。

2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形,解答题高考范围。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ＝{x|－1≤x ≤5,x ∈Z},集合A ＝{0,1,2,3,4},B ＝{－1,0,1,2},则A ∩(∁U B)＝A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{3,4,5}2.设命题p ：∃n ∈N *,n 2＋2n>3,则命题p 的否定是A.∃n ∉N *,n 2＋2n>3B.∃n ∈N *,n 2＋2n ≤3C.∀n ∈N *,n 2＋2n ≤3D.∀n ∈N *,n 2＋2n>33.函数f(x)＝1x＋4x 在[1,2)上的值域是 A.[5,172) B[4,172) C.(0,172) D.[5,＋∞) 4.已知sinθ－2cosθ＝0,θ∈(0,2π),则cos sin 2sin2θθθ--5.若1和2是函数f(x)＝4lnx ＋ax 2＋bx 的两个极值点,则log 2(2a －b)＝A.－3B.－2C.2D.36.已知函数f(x)＝lnx ＋ax 在函数g(x)＝x 2－2x ＋b 的递增区间上也单调递增,则实数a 的取值范围是A.(－∞,－1]B.[0,＋∞)C.(－∞,－1]∪[0,＋∞)D.(－1,0]7.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,则“acosA ＝bcosB ”是“△ABC 是以A 、B 为底角的等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若对任意的x 2,x 2∈(m,＋∞),且x 1<x 2,都有122121x lnx x lnx x x --<2,则m 的最小值是(注：e ＝2.71828…为自然对数的底数) A.1e B.e C.1 D.3e二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

侧视图主视图珠海市2021年9月高三摸底考试理科数学试题与参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.〔集合〕集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，那么A B ⋃=〔 〕 A. {0}x x > B. {1}x x > C. {12}x x << D. {02}x x <<2.〔复数的除法〕复数21ii=+〔 〕 A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 2i -3.〔函数的奇偶性与单调性〕以下函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为〔 〕 A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =-4.〔充要条件〕在ABC ∆中，“060A =〞是“1cos 2A =〞的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.〔向量〕如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，那么AD =〔 〕A ．2133AB AC - B ．1233AB AC + C ．2133AB AC + D ．1233AB AC -6.〔线性规划〕x y ，满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么2+4z x y =的最小值为〔 〕 A . 14- B.15- C. 16- D. 17-7.〔三视图〕一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示〔单位: cm 〕那么该组合体的体积为〔 〕 A. 720003cm B. 640003cmC. 560003cmD. 440003cm8.〔信息题〕对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足以下条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，那么称[,]m n 是该函数的“和谐区间〞．假设函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间〞，那么a 的取值范围是〔 〕 A ． 15(,)22B ． (0,1)C ． (0,2)D ．(1,3)二、填空题：本大题共6小题，每题5分，总分值30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.〔绝对值不等式〕不等式3+110x x --<的解集是 ． 10.〔二项展开式〕在二项式25()a x x-的展开式中，含x 项的系数是80-，那么实数a 的值为 ． 11.〔等比数列〕设等比数列{}n a 的公比2q =，那么44S a = ． 12.〔导数〕直线14y x b =-+是函数1()f x x=的切线，那么实数b = ． 13.〔解三角形〕在ABC ∆中，AB ，=2AC ，0=60C ，那么BC = ．14．〔几何证明选讲选做题〕如图， 圆O 的直径6AB P AB P =，是延长线上的一点，过作圆的切线，0,30C CPA CP ∠=切点为若,则长为 .15．(极坐标选做题〕极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 8ρθθ+=的距离的最大值是 .三、解答题:此题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分． 16.〔三角函数〕函数2()cos sin cos f x x x x =+〔1〕求()f x 的最小正周期和最小值； 〔2〕假设(,)42ππα∈且3(+)8f πα=，求cos α的值.APMNFBCDAF17.〔概率〕某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A 、B 、C 三种软件投入使〔1〕从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率．〔2〕从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，他们下午自习时间每人选择一个软件，其中A 、B 两个软件学习的概率每个都是16，且他们选择A 、B 、C 任一款软件都是相互独立的。

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A＝{x|<2}，集合B＝{y|y＝（）x，x∈R}，则A∩B＝（）A.(−1, 3)B.(0, 3)C.[0, 3)D.[−1, 3)2. 设i是虚数单位，复数z1＝i2021，复数z2＝，则z1+z2在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知α＝2ln3，β＝，γ＝ln，则α，β，γ的大小关系是（）A.α<β<γB.β<α<γC.γ<β<αD.β<γ<α4. 如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.+2B.+4C.+2D.+45. 已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是（）A.l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂αB.l⊥m，m // αC.α⊥β，l // βD.l // m，m⊥α6. 变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+2y的最大值为12，则实数a＝（）A.12B.−12C.4D.−47. 下列四个叙述中，错误的是（）A.“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件B.命题p：“∀x∈R且x≠0，x+的值域是(−∞, −2]∪[2, +∞)”，则￢p：“∃x0∈R且x0≠0，使得x0+∈(−2, 2)”C.已知a，b∈R且ab>0，原命题“若a>b，则<”的逆命题是“若<，则a> b”D.已知函数f(x)＝x2，函数g(x)＝（）x−m，若对任意x1∈[−1, 3]，存在x2∈[0, 1]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则m的范围是[1, +∞)8. 已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记(i+19)＝（）为a i,j，如a3,1＝7，a4,3＝15，则a i,j＝2021时，log2A.54B.18C.9D.6二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

珠海市2021年9月高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（集合）已知全集{012}U =±±，，，集合{0}M =，那么U C M =（A ）A ．{12}±±，B ．{012}±±，，C ．{01}±，D ．{02}±， 2．（复数）复数(2)i i +的虚部是 （D ）A ．2-B ．1C ．1-D ． 23．（程序框图）阅读如下图的程序框图，运行相应的程序， 输出的s 值是（C ）A ．7B ．67C ．39D ．1525 4．（等比数列）等比数列{}n a 中，33a =-，那么前5项之积是（B ）A ．53 B ．53- C ．63 D ．63-5．（三视图）如图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积为（A ）A ．163πB ．16πC ．83πD ．8π6．（空间向量运算）向量)1,1,0(-=a ，)0,1,0(=b ， 则a 与b 的夹角为（C ）A ．︒0B ．︒30C ．︒45D ．︒607．（几何概型）在区间[02]，上随机取两个数x y , 其中知足2y x ≥的概率是（ B ）A ．12B ．14C ．18D ．1168．（简易逻辑与命题）以下命题中是真命题的是（C ） A ．R αβ∀∈、，均有cos()cos cos αβαβ+=-第3题图侧视图俯视图第5题图B ．假设()cos(2)f x x ϕ=-为奇函数，那么k k Z ϕπ=∈，C ．命题“p ”为真命题，命题“q ”为假命题，那么命题“p q ⌝∨”为假命题D ．0x =是函数3()2f x x =-的极值点 二、填空题：本大题共7小题，每题5分，考生做答6小题，总分值30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．（绝对值不等式）不等式344x -≤的解集是8[0,]3 10．（二项展开式）5()ax x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，那么实数_____a =．2 11．（定积分）1x e dx =⎰．1e -12．（线性计划）已知变量x y 、知足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么函数z x y =+的最大值是 ．313．（圆锥曲线）在平面直角坐标系xoy 中，曲线2:2(0)C x py p =->的核心F ，点()M M p y C∈，，假设M为圆心的圆与曲线C 的准线相切，圆面积为36π，那么p = ．6 14．（几何证明选讲选做题）如图,在Rt ABC ∆中,斜边12AB =,直角边6AC =,若是以C 为圆心的 圆与AB 相切于D ,那么C 的半径长为15．(极坐标选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，成立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为)4π，，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，那么曲线C 上的点B 与点A 距离的最大值为 ．5三、解答题:此题共有6个小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤．16. （本小题总分值12分）（三角函数）已知函数R x x x x x f ∈+⋅=,cos 2cos sin 32)(2．（1）求)(x f 的最小正周期；（2）已知],0[,31)2(παα∈=f ，求cos()6πα+的值．解：（1）1)62sin(21)2cos 212sin 23(212cos 2sin 3)(++=++=++=πx x x x x x f ……………4分()f x 的最小正周期为π。

试题类型:B 珠海市2021-2022学年度第一学期高三摸底考试数学试题 2021.9本试卷共4页，22小题，满分150分，时间120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，{}|15B x x =−<<，则A B =A ．{}2|5x x −<<B ．{}|14x x −<<C ．{|15}x x −≤<D ．4{|}2x x −≤<2．已知复数1z i =+，则(1)z z +⋅=A ．3i −B ．3i +C ．13i +D ．3 3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 A．3B．2C．3D ．π4．函数2sin(2)3y x π=− ([0,])x π∈为增函数的区间是A ．5[0,]12π B ．[0,]2πC ．511[,]1212ππ D ．11[,]12ππ 5．已知点(1,1)A ，且F 是椭圆22143x y +=的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA +的最小值是 A ．6B ．5C ．4D ．36．若26cos 2cos 21αα+=−，则tan α= A ．2±B ．3±C ．2D ．3−7. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则 A ．e m x < B ．0m x > C ．0e m m <D ．0e m m =}42{<<−=x x A8．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件A ={一个家庭中既有男孩又有女孩}，事件B ={一个家庭中最多有一个女孩}D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确命题为A ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x −，221x −，…，1021x −的方差为4B ．回归方程为ˆ0.60.45yx =−时，变量x 与y 具有负的线性相关关系 C ．随机变量X 服从正态分布()23,N σ，()40.64P X ≤=，则()230.07P X ≤≤=D ．相关指数2R 来刻画回归的效果，2R 值越大，说明模型的拟合效果越好10．已知ABC △是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是A ．1AB CE ⋅=−B ．1122BD BC BA =+ C ．0OA OB OC ++= D ．EC 在BC 方向上的投影为7611．在平面内，已知线段AB 的长度为4，则满足下列条件的点P 的轨迹为圆的是 A ．90APB ∠=︒ B ．2210PA PB += C ．6PA PB ⋅=− D ．3PA PB = 12．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，H 为棱1AA 上的动点，下列正确的是 A ．CH BD ⊥B ．二面角11D ABC −−的大小为23πC ．三棱锥1H BCC −的体积为定值D ．若CH ⊥平面β，则直线CD 与平面β所成角的正弦值的取值范围为2,32⎡⎢⎣⎦三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．若()ln(1)()x f x e ax a R =++∈是偶函数，则a =_________． 14．4(12)(12)x x −+的展开式中含3x 的项的系数为_________． 15．函数()xxf x e =的最大值为______． 16．定义函数()][][f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[][][]1.31, 1.52,22=−=−=，当[)0,,N x n n *∈∈时，()f x 的值域为n A ，记集合nA 中元素的个数为n a ，则2a =_________；211nk k a ==−∑_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(10分)若ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC ∆的面积21tan 6S b A = （1）证明：3cos b c A =；（2）若a c ==，求tan A .18．(12分)某厂加工的零件按箱出厂，每箱有12个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有4个次品，则对剩下的7个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.9，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为3元．（1）设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为2元，现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由． （参考数据：50.90.59049=）19．(12分)已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，514a =，数列{}n b 满足,2,nn n a a n b n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求2122n n T b b b =++⋅⋅⋅+．20．(12分)如图，在四棱锥P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且1PD CD ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）证明：PB ⊥平面DEF ； （2）若三棱锥−A BDP 的体积为13， 求二面角D BP C −−的余弦值.21．(12分)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b −=>>的一个焦点为F ，且经过点1()22T .（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知点A 是C 上一定点，过点B (0，1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，若AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.22．(12分)已知函数()ln xa xf x e a x=−−（e 为自然对数的底数）有两个零点. （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程; （2）若()f x 的两个零点分别为1x 2x ，证明：12212x x e x x e+>．2022届珠海市高三9月摸底考试参考答案（数学）1．B【解】由题意可得{}|24A x x =−<<，则{}14|A B x x =−<<.2．A【解】复数1z i =+，1z i =−，则(1)(2)(1)3z z i i i +⋅=+−=− 3．A【解】设圆锥的底面半径为r ，根据侧面展开图是半圆， 半圆的弧长为22ππ⨯=，所以22ππ=r ，得1r =，圆锥的高h ==所以圆锥的体积2133V r h π==. 4．C 【解】2sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴求2sin 23y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的递增区间，等价于求2sin 23y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的递减区间，由3222,232k x k k z πππππ+≤−≤+∈ 得511222,66k x k k z ππππ+≤≤+∈得511,1212k x k k z ππππ+≤≤+∈当k ＝0时，5111212x ππ≤≤， 即函数2sin 23y x π⎛⎫=−⎪⎝⎭的递减区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数2sin 23y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 5．D【解】设椭圆的右焦点为F ',∵|PF |+|PF '|=2a=4 那么，|PF |=4﹣|PF '| 所以，|PF |+|PA |=4﹣|PF '|+|PA |=4+（|PA |﹣|PF '|） 当点P 位于P 1时，|PA |﹣|PF '|的差最小，其值为﹣|AF '|=1− 此时，|PF |+|PA |也得到最小值，其值为3． 6．B【解】由已知可得226cos 2(2cos 1)1αα+−=−，∴21cos 10α=，29sin 10α=∴2tan 9α=，即tan α=3±， 7． A【解】由已知5出现10次，出现次数最多，因此众数是5，即05m =，30个数按序排好，第15个数是5，第16 个数是6，中位数是5.5，即 5.5e m =． 平均数为233410566372(8910)1793030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++==，∴0e m m x <<． 8．C【解】对于选项A ，事件{2,4,6}M =，事件{3,6}N =，事件{6}MN =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P M ==，()2163P N ==，()111623P MN ==⨯，即()()()P MN P N P M =，因此事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项B ，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 对于选项C ，有两个小孩的家庭，男孩，女孩的所有可能情形为={()}Ω男，男，(男，女)，(女，男)，(女，女),这时A {()()}B={()()()}=男，女，女，男，男，男，男，女，女，男AB {()}=男，女，(女，男)，于是131P(A),(B),(AB)242P P ===，由此P(A)(B)(AB)P P ≠，事件A,B 不独立对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C. 9．BD ，【解】A 、若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x −，221x −，…，1021x −的方差为2228⨯=，故A 错误；B 、回归方程为ˆ0.60.45yx =−，可知ˆ0.450b =−<，则变量x 与y 具有负的线性相关关系，B 正确；C 、随机变量X 服从正态分布()23,N σ，()40.64P X ≤=，根据正态分布的对称性()340.640.50.14P X <≤=−=，所以()230.14P X ≤≤=，∴C 错误；D 、相关指数2R 来刻画回归的效果，2R 值越大，说明模型的拟合效果越好，因此D 正确. 10．BC【解】由题可知E 为AB 中点，则CE AB ⊥，所以0=⋅，所以选项A 错误.正确；知，为中点，由中线定理可因为B D 2121+= 0||=++为重心，所以为中点，因此点，形，因为三角形是等边三角O E D 所以选项C 正确；.,2330cos 3cos ||o错误因此选项方向上的投影为在D =⨯=⋅θ 11.BD【解】：以线段AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图， 设(),P x y ，则()2,0A −，()2,0B ，对于A 选项，若90APB ∠=︒，则点(),P x y 的轨迹是以AB 为直径的圆不包含,A B 两点，故A 选项错误；对于B 选项，若2210PA PB +=，则()()22222210x y x y +++−+=，即221x y +=，所以点P 的轨迹为圆，故B 选项正确；对于C 选项，()()2,,2,PA x y PB x y →→=−−−=−−，所以2246PA PB x y →→⋅=+−=−，即222x y +=−，显然不存在，故C 选项错误；对于D 选项，由3PA PB =得229PA PB =，即：()()2222292x y x y ⎡⎤++=−+⎣⎦，整理得22540x y x +−+=，是表示以5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32为半径的圆，故D 选项正确.12．AC ，【解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0A 、()1,0,0B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,0,1B 、()11,1,1C 、()10,1,1D ，设点()0,0,H a ，其中01a ≤≤.对于A 选项，()1,1,CH a =−−，()1,1,0BD =−，则()211100CH BD a ⋅=−−⨯+⨯=，所以，CH BD ⊥，A 选项正确；对于B 选项，设平面11AB D 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()10,1,1AD =，由11111100m AB x z m AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =−，可得111x y ==，则()1,1,1m =−，设平面1AB C 的法向量为()222,,n x y z =，()1,1,0AC =，由122220n AB x z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，则221y z ==−，所以，()1,1,1n =−−，1cos ,33m n m n m n⋅<>===⨯⋅，所以，二面角11D AB C −−的大小不是23π，B 选项错误； 对于C 选项，11//AA CC ，1AA ⊄平面1BCC ，1CC ⊂平面1BCC ，1//AA ∴平面1BCC ， H ∴到平面1BCC 的距离等于点A 到平面1BCC 的距离，而点A 到平面1BCC 的距离为1，即三棱锥1H BCC −的高为1， 因此，11211111113326H BCC BCC V S −=⨯=⨯⨯⨯=△，C 选项正确； 对于D 选项，CH ⊥平面β，则CH 为平面β的一个法向量，且()1,1,CH a =−−， 又()1,0,0CD =−，cos,1CD CHCD CHCD CH⋅<>===⋅⨯⎣⎦，所以，直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为,32⎢⎣⎦，D选项错误.13．【解】因为是偶函数，则即：1ln(1)ln(1)2ln1xx xxee ax e ax ax xe−−+++=+−∴==−+121,2a a∴=−=−14．-16【解】444(12)(12)(12)2(12)x x x x x−+=+−+333224422216x C C−=−含的项的系数为15.e1【解】efxfxfxxfxxexxfx1)1()()(),1()()1,(,11)(max'==∴+∞∈−∞∈==−=单调递减，时，单调递增，当时，当，则令16．2 ，121n⎛⎫−⎪⎝⎭【解】(1)当2n=时，根据题意得：[)[)0,0,1[]1,1,2xxx⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，进而得[][)[)0,0,1,1,2xx xx x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，所以[][)[)0,0,1()=[],1,2xf x x xx x⎧∈⎪⎡⎤=⎨⎣⎦∈⎪⎩在各区间中的元素个数分别为：1，1；所以22a= 21−axexf x++=)1ln()()()(xfxf−=(2)解：根据题意得：[][)[)[)[)[)[)0,0,11,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪−∈−⎩，进而得[][)[)[)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x x x x x x n x x n n⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪−∈−⎩，所以[]xx ⎡⎤⎣⎦在各区间中的元素个数为：1,1,2,3,4,,1n ⋅⋅⋅−，所以当[)*0,N x n n ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素的个数为n a 满足：()()()21112112341122n n n n n a n −+−⎡⎤−+⎣⎦=++++++−=+=，所以()112n n n a −−=，所以()12112111n a n n n n ⎛⎫==− ⎪−−−⎝⎭，所以23111121111n a a a n ⎛⎫++⋅⋅⋅+=− ⎪−−−⎝⎭． 17. 【解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 得3sin tan c A b A = ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=，又因为0A π＜＜，所以0sinA ≠ ， 因此3b ccosA =．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分（2）由（1）得3cos b c A A ==，所以2230bccosA cos A =┄┄┄┄┄┄┄6分 由余弦定理得2222a b c bccosA =+−，所以22845530cos A cos A −=+，┄┄┄┄┄┄7分解得21cos 5A =┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 因此24sin 5A =，即2tan 4A =由（1）得0cosA ＞，所以0tanA ＞ ，………9分故2tanA =．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分18．【解】（1）X 的可能取值为15，36，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分55(15)0.90.10.590490.000010.5905P X ==+=+=，┄┄┄┄┄┄┄┄3分(36)10.59050.4095P X ==−=┄┄┄┄┄┄┄┄5分，则X 的分布列为┄┄┄┄6分（2）由（1）知，()150.5905360.409523.5995E X =⨯+⨯=，┄┄┄┄┄┄8分 ∴1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为()100023.599523599.5E X =⨯=元．┄┄┄┄┄┄10分∵1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为212100024000⨯⨯=元，┄┄┄┄11分 且2400023599.5>，∴应该选择人工检验．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 19．【解】（1）因为数列{}n a 是等差数列，12a =，51414331n a a d d a n =+=∴=∴=−┄┄4分（2）3131,2,n n n n b n −−⎧=⎨⎩为偶数为奇数，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分()()212246415611644(3n 2)216463n n nnn n b b b n T −+−−=+=++−=++⋅⋅⋅+┄┄┄┄12分20．【解】（1）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABC ，∴PD BC ⊥， 由于底面ABCD 为长方形，∴CD BC ⊥，而PD CD D ⋂=， ∴BC ⊥平面PCD ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分∵DE ⊂平面PCD ，∴DE BC ⊥，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ∵PD CD =，E 为PC 的中点，∴DE PC ⊥，┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 ∵PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 ∴DE PB ⊥，又EF PB ⊥，DE EF E ⋂=， ∴PB ⊥平面DEF .┄┄┄┄┄┄┄6分（2）由题意易知,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系D xyz −，可得()()()0,0,0,0,0,1,0,1,0D P C ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分设BC t =，则有11111323A BDP P ABD V V t −−==⨯⨯⨯⨯=，∴2t =┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴()2,1,0B ，∴()2,1,0BD =−−，()2,1,1BP =−−，110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，由0,0n BD n BP ⋅=⋅=，则2020x y x y z −−=⎧⎨−−+=⎩令1x =，则2,0y z =−=，∴()1,2,0n =−┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 由（1）DE ⊥平面PBC ，∴DE 为平面PBC 的法向量，110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 设二面角D BP C −−为α，则1cos =5DE n DE nα⋅−==⨯┄┄┄┄┄┄12分所以二面角D BP C −−. 21．【解】：（1）由题意2222a b c +==…………….1分且2251441a b −=………………………2分 联立解得1a b ==，所以双曲线C 的标准方程为22 1.x y −=┄┄┄┄┄┄3分（2）设(),,A m n 过点B 的动直线为： 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 联立2211x y y tx ⎧−=⎨=+⎩得()221220t x tx −−−=，┄┄┄┄┄┄┄4分所以()22212212210Δ48102 121t t t t x x t x x t ⎧−≠⎪=+−>⎪⎪⎨+=⎪−⎪⎪=−−⎩，由210t −≠且Δ0>，解得22t <且21t ≠，┄┄┄┄5分AP AQ k k λ+=，即1212,y n y n x m x m λ−−+=−−即121211tx n tx nx m x mλ+−+−+=−−，………….6分 化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ−+−+−++−+−=，…………7分所以()()222222122011t t mt n m m mn m t tλλλ−−+−+−+−+−=−−， 化简得()()222212220m m n t m n t m mn m λλλλ−+−−+−+−=，┄┄┄┄┄┄8分由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2(2)0102220m m n m n m mn m λλλλ−=⎧⎪−−=⎨⎪−+−=⎩┄┄┄┄┄┄10分如果0,m =那么1,n =−此时()0,1A −不在双曲线C 上，舍去…………………11分因此0,m ≠从而21m n n λ==+，所以1n =，代入22220m mn m λλ−+−=得22m λλ=，解得m =，此时()A 在双曲线C 上.综上，),Aλ=或者(),A λ=.┄┄┄┄┄12分22．【解】(1)解：当1a =时，ln ()1xx f x e x =−−， 21ln '()x xf x e x−=−….1分 又(1)1f e =−，所以切点坐标为(1,1)e −，切线的斜率为'(1)1k f e ==−……..….2分 所以切线的方程为(1)(1)(1)y e e x −−=−−，即(1)y e x =−…………………3分(2)证明：由已知得(ln )()0x xe a x x f x x−+==有两个不等的正实根所以方程(ln )0x xe a x x −+=有两个不等的正实根…即ln()0x x xe a xe −=有两个不等的正实根…………………………….4分 要证12212e ex x x x +>，只需证()()12212e eexx x x ⋅>，即证()()1212ln e ln e2xx x x +>，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分令111e x t x =，222e xt x =，所以只需证12ln ln 2t t +>.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分因为11ln a t t =，22ln a t t =，所以()2121ln ln a t t t t −=−，()2121ln ln a t t t t +=+，┄┄┄┄┄┄┄┄7分消去a 得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=−=−−，………………..8分 只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>−.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 设120t t <<，令21t t t =，则1t >，所以只需证1ln 21t t t −>+…………………10分 令1()ln 21t h t t t −=−+，1t >，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '−=−=>++，…………..11分 所以()(1)0h t h >=.，即当1t >时，4ln 201t t +−>+成立. 所以12ln ln 2t t +>，即()()12212ee ex x x x ⋅>，即12212e ex x x x +>.┄┄┄┄┄┄┄┄12分。