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数值计算方法 正交多项式 - 正交多项式

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正交多项式

正交多项式
k −1 k ϕ k ( x ) = x + ∑ ckjϕ j ( x ),
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。

正交多项式

正交多项式

（2） 若 Q( x) Pn ( x) 则
其中i ( x) 是首项系数为1的i次多项式；
（2）P( x) Hn为任一次数 n 多项式，则
① {0 ( x),1 ( x),
n
,n ( x)}于 [a，b] 线性无关；
（P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0
0, j k ( j ( x), k ( x) A 0, j k k
( j , k 0, 1, ) ( Ak 是常数)
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系，
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
定义6.3
设 n ( x)是 [a, b] 上首项系数 an 0 的 n次多
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式
max f ( x) p( x)
a x b
成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近
于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用
( 1) n n 2 n!

1
1
Q ( n ) ( x) ( x)dx.
下面分两种情况讨论: 则 Q ( n ) ( x) 0, （1） 若 Q( x) 是次数小于 n的多项式， 故得

1
1
Pn ( x)Pm ( x)dx 0, 当n m.
(2n)! n 1 (n) x , ( x ) n 2 n 2 (n!) 2 n!

正交多项式

正交多项式

正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。

正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。

定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。

性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。

例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。

常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。

勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。

切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。

前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。

正交多项式(1)

正交多项式(1)

正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。

这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。

正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。

它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。

正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。

这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。

2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。

这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。

3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。

这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。

4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。

这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。

常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。

它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。

2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。

它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。

3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。

它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。

4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。

数值微积分---chap正交多项式定理证明

数值微积分---chap正交多项式定理证明
School of mathematics and statistics
假设 n ( x)在(a, b)中只有l个根(l n), x1 , x2 ,..., xl
2 2 2 则 n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl ) = ( x)( x x1 ) ( x x2 ) ( x xl )
k 0 n
的节点xk : a x0 x1 xn b是Gauss点的充分必要条件是 : 它们是区间(a, b)上以 ( x)为权的正交多项式n 1 ( x)的n 1个根
School of mathematics and statistics
第4章 数值微积分
4.4 Gauss型求积公式与正交多项式
School of mathematics and statistics
一般地, ( k 1 , k ) (( x k ) k k k 1 , k )
__ __ __
__
__
__
__
__
(( x k ) k , k ) ( k k 1 , k ) 0 由此函数系的正交性:( k 1 , k ) 0 因此(( x k ) k , k ) 0 ,即( x k , k ) k ( k , k )
__
__
由于( x x1 ) ( x x2 )( x xl )有次数低于n次
则由正交性 ( x) n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl )=0
a
b
__
由 ( x)在(a, b)上不变号

b
a
( x) ( x)( x x1 )2 ( x x2 )2 ( x xl )2 0

3.2 正交多项式

3.2 正交多项式
试用三项递推公式求关于该点集的正交多项式第三章函数逼近由此得050125xp050125025050751上的正交多项式序列第三章函数逼近连续区间上正交多项式连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式概念相似只要将内积的定义作相应的改变定义32函数fx的正交多项式序列
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)

(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m


2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。

线性代数中的正交多项式

线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。

本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。

一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。

具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。

二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。

2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。

3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。

三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。

通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。

2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。

可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。

3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。

它们具有计算效率高、精度较高的特点。

4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。

数值分析正交多项式


(2)Qn( x) Hn均可表为p0( x), p1( x), , pn( x)的线性组合. (3)当k j时，( p j , pk ) 0,且pk ( x)与任一次数小于k的多
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1, , (2.4)
(i
(
x
),
k
(
x))
0, Ak
,
i
k, ik
,
(i,k 0,1,2, )
(2.2)
则称函数族{n( x)}为[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族 .
特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为标准正交函数族 .
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
(2.10)
切比雪夫多项式的性质: (1) 递推关系
TTn0(1x( x)
1, )2
T1( xTn (
x) x)
x, Tn1(
x
).
Tn( x)的最高次幂xn的系数为2n1,(n 1).
事实上，只需由
(2.11)
cos(n 1) 2cos cos n cos(n 1) , n 1.

正交多项式

§ 3.4 正交多项式
一、正交化手续
定义6 设 g n ( x ) 是 [ a , b ]上首项系数 , 若多项式序列 a n 0 的 n 次多项式 , ( x ) { g n ( x )} 0 ,满足正交性

为 [ a , b ]上的权函数 (g i ,g k )
b a
0, i k ( x ) g i ( x ) g k ( x ) dx ( i , k 0 ,1 , ) A k 0, i k

则称 { g n ( x )} 0 为以 ( x ) 为权函数的 称 g n ( x ) 为以 ( x ) 为权函数的
[ a , b ]上的正交多项式序列 .
.
[ a , b ]上的 n 次正交多项式
n
只要给定 [ a , b ]上的权函数 正交化手续立得正交正
g 0 ( x ) 1,
2 1 1 Q n (
n1 ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ x ) dx ( Pn , Pn ) a k ( Pk , Pk ) ( Pn , Pn ) k0
当且仅当 a i 0 时，等式成立。即当
~ Q n ( x ) Pn ( x ) 时平方误差最小。
令： x
ba 2
( n 0 ,1 , 2 , )
m n, 0, Pm ( x ) Pn ( x )d x 2 , m n. 2n 1
证： ( i) 当 m n 时 , 不妨 m n . 做 m 次分部积分
1 1
Pm ( x ) Pn ( x )d x

1 2
( 3 x 1 ),
3
2
[ 2 ( n 1 )]!

最佳逼近 - 正交多项式、最佳逼近


2
(x)
x2
1 3
3
(
x)
x3
3 5
x
4
(x)
x4
6 7
x2
+
3 35
5
(x)
x5
10 9
x3
+
5 21
x
6
(
x)
x6
15 11
x4
+
5 11
x
2
5 231
7
(x)
x7
231 143
x5
+
105 143
x3
35 429
x
3．正交多项式的性质
（1）{0 (x),1(x),,n (x)} 线性无关；
（2）任何 n 次多项式均可表示为0 (x),1 (x),,n (x),的线性组合；
（4）
Pn (x) 的最高次项系数为 an
(2n)! 2n (n!)2
，显然最高项系数为
1 的勒让德多项式为
~
Pn (x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x
2
1)n
]
；
（5） Pn (x) 在区间[1,1] 内有 n 个不同的实零点。
勒让德多项式的由来：
勒让德微分方程:
(1
-
x2)
d
2P(x) dx2
称为逼近的误差或余项。 这里必须表明两点：其一是函数类 M 的选取。何为简单函数？在数值分析中所谓简单函数
主要是指可以用四则运算进行计算的函数，最常用的有多项式及有理分式函数；其二是如何确
定 P 与 f 之间的度量。 定义 3.9 设函数 f (x) 是区间[a, b] 上的连续函数，对于任意给定的 "e 0 ，如果存在多项
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多 项
Expand[%]//N;
式
MatrixForm[%]
F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]
Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];
MatrixForm[%]
正交多项式的构造
0(x) 1
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 {n ( x)}0
正 交 多 项
0(x) 1,n(x)
xn
n1 j0
(
(
)( xn, j ( x),
j j
( (
x))
x))
j
(
x
)
（n 1，2，.......)
式
0(x)
1,1( x)
x
( x,1) (1,1)
x
1 2
,
2(x)
x2
( x2 ,1) (1,1)
(cos kx,cos jx) (sin kx,sin jx) (cos kx,sin jx) 0
正交多项式的性质
区间 [a, b] 的上正交函数系必定线性无关
证明 设正交函数系为：{0 ,1}
正
（反证）假设 {0 ,1 , ...n }线性相关 ，即存在不全为零的实数 c0 , c1,
x4
20 11
x3
5 11
x2
1 22
x
1 924
正交性验证
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
正 交
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
12
0 0
多 项
0
0
1 180
0
0
0
1
0
式
0 0
0
0
0
0
2800
00
1
44100
0 0
0
0
0 0 0 0
x3
5 21
x
8 ( x) ~ 10( x)
6(x)
x6
15 11
x4
5 11
x2
5 231
7 ( x)
x7
231 143
x5
105 143
x3
35 429
x
勒让德多项式的结构特点
权函数 ( x) 1
由 {1, x, ...xn , ...} 正交化得到的多项式
区间为 [1,1]
第 三
函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5
最佳平方逼近
正交多项式的基本概念 正交函数系的性质 正交多项式的构造 正交多项式的程序设计
正交多项式的概念
【定义1】 若 f ( x)，g( x) C0[a,b]
( f ( x)，g( x)) b f ( x)( x)dx 0 a
1(x)
x
1 2
[0,1]正交多项式序列{n ( x)}0
正
2(x)
x2
x
1 6
交 多 项
3(x)
x3
3 2
x2
3 5
x
1 20
请同学们写出 8 (x) ~ 10(x)
式
4(x)
x4
2x3
9 7
x2
2 7
x
1 70
5(x)
x5
5 2
x4
20 9
x3
5 6
x2
5 42
x
1 252
6(x)
x6
3x5
75 22
交
使得
多 项
c00 c11 ... cnn 0
式
不妨设 ci 0 ，则有：
c（0 0，i ) c（1 1，i ) ... c（n n，i ) c（i i，i ) 0
而 (i，i ) 0 ，只有 ci 0
矛盾！！
证毕
正交多项式系的主要特征
（1）n ( x) 次数为 n，最高次项系数为1.
正
则称 f ( x)与 g( x)在 [a, b] 上正交
交 多
若函数族 0 ( x)，1( x), n ( x)， 满足关系
项 式
( j，k )
b
0，
a
j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
则称 {k ( x)}是 [a, b] 上的正交函数系
若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数系。
0 0 0
0
0 0
1 698544
0
0 001919088
正交多项式的构造
0(x) x
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
1(x)
x2
1 3
[1,1]正交多项式序列 {n ( x)}0
正
2(x)
x3
3 5
x
交 多 项
4(x)
x4
6 7
x2
3 35
请同学们写出
式
5(x)
x5ห้องสมุดไป่ตู้
10 9
项 式
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
则称 {k ( x)}是 [a, b] 上带权( x)的正交函数系
若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数系。
正交函数系的性质
三角函数系
{1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x,......
x , }
(x2,
1
(x
1
x 1) 2
,x1
(x )
1) 2
x2
x
1 6
,
22
程序设计
Clear[x,f]
f[0]=1;
f[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*f[i],{x,0,1}])/
正
(Integrate[f[i]^2, {x,0,1}])*f[i],{i,0,k-1}]
交
Table[f[k],{k,0,6}]//N;
正交多项式的概念
【定义2】 若 f ( x)，g( x) C0[a,b] ( x) 为 [a, b] 上的权函数且满足
( f ( x)，g( x)) b f ( x)( x)dx 0 a
正
则称 f ( x)与 g( x)在 [a, b] 上带权( x) 正交。
交 多
若函数族 0 ( x)，1( x), n ( x)， 满足关系
sin
nxdx
,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
交 (1,1) 2 ,(sin kx,sin kx) (cos kx,cos kx) ,
多
项 式
而对 k, j 1, 2, ... 当 k j 时，有
(cos kx,sin kx) (1,cos kx) (1,sin kx) 0
（2）{0 ,1 , ...n } 线性无关
正
交
（3）对 Pn( x) Hn均可表为 0 , ...n 的线性组合
多
项 式
（4） ( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
正交多项式的构造
给定区间 a,b 及权函数( x)，均可由一族线性无关的幂函数{1, x, ..xn ...}
正
正交性：
交
（1）任意两个不同函数在 [ , ] 上的积分等于零。
多
项 式
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
sin mx cosnxdx 0.
( 其中 m, n 1, 2, )
正交函数系的性质
（2）任意两个相同函数在 [ , ] 上的积分等于 。
正
0,
sin
mx