历届“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题及答案

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设2323a =++-，则1a a+的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B【解答】由22322323236a =+++⋅-+-=，知6a =。

于是166a a +=+，2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。

因此，1a a+的整数部分为2。

（注：4234233131232362222a +-+-=++-=+=+=） 2．方程22()32x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。

设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）A ．3B ．23C ．22±D ．22 【答案】 D【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为221212()22t t t t ++，。

（第3题）由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为221212(2)22t t t t ++-，。

由点B 在抛物线2y x =上，知22212122()22t t t t++-=。

整理，得22221211222282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。

福建省青少年“大梦杯”2022年数学水平测试试卷一、单选题1．（2022九上·福建竞赛）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若x1+x2=4，且△ABC的面积为3，则a+b（）A．3B．-5C．3D．52．（2022九上·福建竞赛）已知实数x，y满足26x3y3x6−27y6=1且x2≠y2，则x2+y2x2−y2的值为（）A．54B．45C．12D．23．（2022九上·福建竞赛）将形如3m和2n（m，n为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为a1,a2,a3⋯若第k个数a k=2022，则k的值为（）A．682B．683C．684D．6854．（2022九上·福建竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（）A．6152B．8552C．6126D．85135．（2022九上·福建竞赛）已知正整数a，b，c，d满足：a<b<c<d，a+b+c+d=2022，d2−c2+b2−a2=2022，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（）A．251组B．252组C．502组D．504组二、填空题6．（2022九上·福建竞赛）若正数a，b，c满足abc=1，a+1b =3,b+1c=17，则c+1a=.7．（2022九上·福建竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为.8．（2022九上·福建竞赛）若素数p，使得4p2+p+81是一个完全平方数，则p=.（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.）9．（2022九上·福建竞赛）如果对任意的n个不大于1的非负实数x,1x2,x3,⋯x n总有S n=(x1−x2)2+ (x2−x3)2+⋯+(x n−1−x n)2+(x n−x1)2≤6成立，则正整数n的最大值为.三、解答题10．（2022九上·福建竞赛）同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积，即如果存在三个正有理数a，b，c，使得a2+b2=c2，且12ab=n，则称n为同余数.如果正整数n为同余数，则称n为整同余数.由于5是三边长分别为32，203，416的直角三角形的面积，6是三边长分别为3，4，5的直角三角形的面积，7是三边长分别为17560，28860，33760的直角三角形的面积，所以5，6，7都是同余数，且是整同余数.如何判断一个正整数是否为同余数至今尚未完全解决.关于同余数的第一个重要结论是费马（Fermat）在17世纪证明的1不是同余数.在a2+b2=c2，12ab=n中，令x=n(a+c)b ，y=2n2(a+c)b2，得y2=x3−n2x.因此，若正整数n是同余数，则二元三次不定方程y2=x3−n2x有有理数解；若正整数n使得二元三次不定方程y2=x3−n2x有有理数解，则n是同余数.这样，古老的同余数问题与现代的椭圆曲线y2=x3−n2x的有理点（横、纵坐标均为有理数的点）之间建立了联系.阅读上述材料，请你写出椭圆曲线y2=x3−202x上的一个有理点坐标(x，y)=.11．（2022九上·福建竞赛）已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与直线：y=ax+c，y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点.（1）求ca的最大值；（2）当ca取最大值时，设直线y=314a交抛物线y=ax2+bx+c于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值.12．（2022九上·福建竞赛）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F，过点B作AC的垂线，垂足为H.求证：E，H，F三点共线.13．（2022九上·福建竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a8，b8)，若|a1−b1|+|a1−b1|+⋯+|a1−b1|=62.求(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(a8−b8)2的最小值.必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设x1≤x2≤⋯≤x n，y1≤y2≤⋯≤y n为两组实数，z1≤z2≤⋯≤z n是y1≤y2≤⋯≤y n的任一排列，则x1y n+x2y n−1+⋯x n y≤x1z1+x2z2+⋯x n z n≤x1y1+x2y2+⋯x n yn.14．（2022九上·福建竞赛）已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数.（1）在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；（2）在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）.证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）.答案解析部分1．【答案】C【考点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积【解析】【解答】解：依题意 x 1,x 2 为方程 ax 2+bx +c =0 的两根，且 c =3 .所以 x 1+x 2=−b a=4 ， x 1x 2=c a =3a . 所以 AB =|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√16−4×3a =2√4−3a， 所以 △ABC 面积 S =12AB ×3=12×2√4−3a×3=3 . 解得 a =1 ，经检验符合题意，∴b =−4a =−4 .因为函数 y =x 2−4x +3 的图象与x 轴有两个不同交点，因此 a =1 ， b =−4 ， c =3 符合要求.所以 a +b =−3 .故答案为：C.【分析】易得x 1+x 2=4，x 1x 2=3a ，则AB=|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√4−3a，根据三角形的面积公式可得a 的值，然后求出b 的值，据此计算.2．【答案】A【考点】分式的值；因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵26x 3y 3x 6−27y 6=1 ，得 x 6−26x 3y 3−27y 6=0 ， 即 (x y )6−26(x y )3−27=0 .∴(x y )3=−1 或 (x y )3=27 .即 x y =−1 或 x y =3 .∵x 2≠y 2 ，所以 x y =3 ， x 2+y 2x 2−y 2=(x y )2+1(x y )2−1=9+19−1=54 . 故答案为：A.【分析】原方程可变形为x 6-26x 3y 3-27y 6=0，给方程两边同时除以y 6，求出x y 的值，根据x 2≠y 2可得x y =3，给分式的分子、分母同时除以y 2，然后将x y =3代入计算即可.3．【答案】C【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：易知形如3m和2n( m，n为正整数)的正整数不可能相等.考虑在从小到大排列的形如3m( m为正整数)的正整数3，6，9，27，…中，从小到大添加形如2n ( n为正整数)的数.由2022=3×674知，将形如3m( m为正整数)的正整数从小到大排列，2022是第674个数.由于210=1024<2022，211=2048>2022，所以有10个形如2n( n为正整数)的数小于2022，这10个数排在2022前面.所以k=674+10=684.故答案为：C.【分析】由2022=3×674知，将形如3m的正整数从小到大排列，2022是第674个数，根据210=1024，211=2048可得有10个形如2n的数小于2022，这10个数排在2022前面，据此解答.4．【答案】B【考点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a.作MH⊥AB于H，则∠EMH=90°−∠MEA=∠FAB.所以Rt△EMH∽Rt△FAB.所以MHHE=AB BF，即aa−2=2a1，解得a=52.于是BC=52，AB=5.所以AF=√AB2+BF2=√52+12=√26，S△ABF=12AB×BF=12×5×1=52.又Rt△AEG∽Rt△AFB，所以S△AEGS△AFB=(AEAF)2=(5−2√26)2=926.因此S△AEG=926S△AFB=926×52=4552.所以S四边形BFGE=S△AFB−S△AEC=52−4552=8552.故答案为：B.【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算. 5．【答案】D【考点】因式分解的应用【解析】【解答】解：因为a，b，c，d为正整数，且a<b<c<d，所以a+3≤b+2≤c+1≤d.所以2022=d2−c2+b2−a2=(d−c)(d+c)+(b−a)(b+a)≥(d+c)+(b+a)=2022.因此d−c=1，b−a=1，即d=c+1，b=a+1.所以a+b+c+d=a+(a+1)+c+(c+1)=2022，因此a+c=1010.又a+2≤c，所以1010=a+c≥a+(a+2)，因此1≤a≤504.所以符合条件的4元数组(a,b,c,d)为(a,a+1,1010−a,1011−a)，其中1≤a≤504.所以符合条件的4元数组有504组.故答案为：D.【分析】根据题意可得a+3≤b+2≤c+1≤d，则2022=d2-c2+b2-a2≥(d+c)+(b+a)=2022，推出d-c=1，b-a=1，a+c=1010，结合a+2≤c可得a的范围，据此解答.6．【答案】1125【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：由{abc=1 a+1b=3b+1c=17，得{ab=1c=17−bab=3b−1，因此17−b=3b−1，b=92.由此可得a=259，c=225.所以c+1a =225+925=1125故答案为： 1125. 【分析】联立已知条件可得a 、b 、c 的值，然后代入c+1a中进行计算即可. 7．【答案】41π【考点】勾股定理；圆周角定理；圆的面积【解析】【解答】解：如图，连接 AO ，并延长交圆 O 于点 E ，连接 EB ， EC .则 AB ⊥BE ， AC ⊥CE .∵AC ⊥BD ，∴BD // EC ，∴CD⌢=BE ⌢ ∴BE=CD ，∵CD =8∴EB =CD =8 .在Rt △ ABE 中，AB=10， EB =8所以，由勾股定理得， AE =√AB 2+BE 2=√102+82=2√41∴OA =12AE =√41 . 所以圆 O 的面积为 π×OA 2=41π .故答案为：41π.【分析】连接AO ，并延长交圆O 于点E ，连接EB 、EC ，根据圆周角定理可得AB ⊥BE ，AC ⊥CE ，推出BD ∥EC ，得到BE=CD=8，利用勾股定理可得AE ，然后求出OA ，接下来根据圆的面积公式进行计算.8．【答案】11【考点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二元一次方程组的其他应用【解析】【解答】解：设 4p 2+p +81=n 2 ， n 为正整数.则64p2+16p+16×81=16n2，即(8p+1)2+1295=16n2.∴(4n−8p−1)(4n+8p+1)=1295=5×7×37.由4n−8p−1为整数，4n+8p+1为正整数，且4n+8p+1>4n−8p−1，得{4n−8p−1=14n+8p+1=1295，或{4n−8p−1=54n+8p+1=7×37，或{4n−8p−1=74n+8p+1=5×37，或{4n−8p−1=35 4n+8p+1=37.解得{n=162p=3234，或{n=33p=634，或{n=24p=11，或{n=9p=0.又p为素数，所以p=11.所以当素数p=11时，4p2+p+81是一个完全平方数.故答案为：11.【分析】设4p2+p+81=n2（n为正整数），两边同时乘以16，再利用完全平方公式化简可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5×7×37，据此可得n、p的方程组，求出n、p的值，结合P为素数就可得到p的值.9．【答案】7【考点】推理与论证【解析】【解答】解：当n=8时，取x1=x3=x5=x7=1，x2=x4=x6=x8=0，则S8=(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x4)2+⋯+(x7−x8)2+(x8−x1)2=8>6.当n≥9时，取x1=x3=x5=x7=1，x2=x4=x6=x8=0，k≥9时，x k=x1=1，则S n=(x1−x2)2+(x2−x3)2+⋯+(x n−1−x n)2+(x n−x1)2≥(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x4)2+⋯+(x7−x8)2+(x8−x9)2=8>6.所以n≤7.当n=7时，由(x1−x2)2(x2−x3)2(x3−x4)2(x4−x5)2(x5−x6)2(x6−x7)2(x7−x1)2≥0，得(x1−x2)⋅(x2−x3)，(x2−x3)⋅(x3−x4)，(x3−x4)⋅(x4−x5)，(x4−x5)⋅(x5−x6)，(x5−x6)⋅(x6−x7)，(x6−x7)⋅(x7−x1)，(x7−x1)⋅(x1−x2)中至少有一个数为非负数.不妨设(x1−x2)⋅(x2−x3)≥0，则(x1−x2)2+(x2−x3)2=[(x1−x2)+(x2−x3)]2−2(x1−x2)(x2−x3)≤(x1−x3)2≤1.所以S7=(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x4)2+(x4−x5)2+(x5−x6)2+(x6−x7)2+(x7−x1)2≤1+(x3−x4)2+(x4−x5)2+(x5−x6)2+(x6−x7)2+(x7−x1)2≤6.于是n=7符合要求.所以正整数n的最大值为7.故答案为：7.【分析】当n=8时，取x 1=x 3=x 5=x 7=1，x 2=x 4=x 6=x 8=0，则S 8=8>6；当n≥9时，取x 1=x 3=x 5=x 7=1，x 2=x 4=x 6=x 8=0，则S n =8>6，故n≤7；当n=7时，设(x 1-x 2)(x 2-x 3)≥0，则(x 1-x 2)2+(x 2-x 1)2≤(x 1-x 3)2≤1，故S 7≤1+(x 3-x 4)2+(x 4-x 5)2+(x 5-x 6)2+(x 6-x 7)2+(x 7-x 1)2≤6，据此解答.10．【答案】（25，75）(答案不唯一)【考点】定义新运算【解析】【解答】解：根据同余数定义，若 n 是同余数，则 nk 2 ( k 为正整数)也是同余数.由5是同余数知， 20=5×22 也是同余数.由5是三边长分别为 32 ， 203 ， 416 的直角三角形的面积，可得 20=5×22 是三边长分别为 32×2 ， 203×2 ， 416×2 的直角三角形的面积，即三边长分别为 93 ， 403 ， 413的直角三角形的面积. 将 a =93 ， b =403 ， c =413 ， n =20 代入 x =n(a+c)b ， y =2n 2(a+c)b 2 ，计算得 x =25 ， y =75 .于是 (25,75) 是椭圆曲线 y 2=x 3−202x 上的一个有理点.注：将 a =403 ， b =93 ， c =413 ， n =20 代入 x =n(a+c)b ， y =2n 2(a+c)b 2 ，计算得 x =180 ， y =2400 .于是 (180,2400) 也是椭圆曲线 y 2=x 3−202x 上的一个有理点.故答案为： （25，75）(答案不唯一) .【分析】根据5是同余数，知20=5×22也是同余数，根据面积为5的直角三角形的三边长可得面积为20的直角三角形的三边长，代入 x =n(a+c)b ， y =2n 2(a+c)b 2 中可得x 、y 的值，据此解答. 11．【答案】（1）解：由 ax 2+bx +c =ax +c ，得 x 1=0 ， x 2=a−b a， 由抛物线 y =ax 2+bx +c 与直线 y =ax +c 至多有一个公共点，得 a =b .由 ax 2+bx +c =cx +a ，及 a =b ，得 ax 2+(a −c)x +c −a =0 .因为抛物线 y =ax 2+bx +c 与直线 y =cx +a 至多有一个公共点，所以 Δ=(a −c)2−4a(c −a)≤0 ，即 5a 2−6ac +c 2≤0 .结合 a >0 ，得 (c a )2−6(c a)+5≤0 ， 解得 1≤c a ≤5 .又抛物线 y =ax 2+ax +5a 与直线 y =ax +5a ， y =5ax +a 中的每一条都至多一个公共点.所以ca的最大值为5.（2）解：当ca取最大值时，抛物线为y=ax2+ax+5a，其顶点C(−12,194a).由ax2+ax+5a=314a，得x1=−12−√3，x2=−12+√3，于是AB=2√3，CA=CB.设I为△ABC的内心，D为线段AB中点，则CD⊥AB，ID⊥AB，且ID=1，DB=√3.∴∠DBI=30°，∠ABC=60°，△ABC为等边三角形.∴CD=3ID=3.因此314a−194a=3a=3，a=1.所以a=1.或：由CA=CB=√(√3)2+(314a−194a)2=√3+9a2，得△ABC的周长l=2√3+2√3+9a2，面积S=12×2√3×3a=3√3a.利用S=l2×r，得3√3a=2√3+2√3+9a22×1，解得a=1.【考点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）令ax2+bx+c=ax+c求出x，根据抛物线与直线y=ax+c至多有一个公共点，得a=b，由ax2+bx+c=cx+a结合a=b以及△≤0可得ca的范围，进而可得ca的最大值；（2）当ca取最大值时，得顶点C的坐标，联立抛物线与直线解析式求出x，得AB=2√3，CA=CB，设I为△ABC的内心，D为线段AB中点，则∠DBI=30°，∠ABC=60°，△ABC为等边三角形，CD=3，据此可得a的值.12．【答案】解：如图，延长BH与直线AD相交于点P，连接CP.因为∠DAC=45°，BP⊥AC，所以∠BPA=45°.又∠BCA=∠DAC=45°，所以∠BPA=∠BCA，于是P，A，B，C四点共圆.所以∠CBE=∠APC.①连接CE，由AC为圆直径，得∠CEA=90°=∠CHB，所以C，E，B，H四点共圆，于是∠CHE=∠CBE.②连接CF，由AC为圆直径，得∠CFP=90°=∠CHP，所以C，H，F，P四点共圆，于是∠APC=180°−∠CHF.③由②，①，③，得∠CHE=∠CBE=∠APC=180°−∠CHF，所以∠CHE+∠CHF=180°.所以E，H，F三点共线.【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质【解析】【分析】延长BH与直线AD相交于点P，连接CP，易得∠BPA=45°，推出P、A、B、C四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠CBE=∠APC，连接CE，根据圆周角定理可得∠CEA=∠CHB=90°，推出C、E、B、H四点共圆，得到∠CHE=∠CBE，连接CF，同理可得∠APC=180°-∠CHF，据此推出∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF，据此证明.13．【答案】解：由对称性，不妨设a i<b i，i=1，2，…，8，且a1<a2<⋅⋅⋅<a8，则62=|a1−b1|+|a2−b2|+⋅⋅⋅+|a8−b8|=(b1−a1)+(b2−a2)+⋅⋅⋅+(b8−a8)=(a1+a2+⋅⋅⋅+a8+b1+b2+⋅⋅⋅+b8)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)=(1+2+⋅⋅⋅+16)−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)=136−2(a1+a2+⋅⋅⋅+a8)，∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8=37，∵a1≥1，a2≥2，…，a8≥8，∴a1+a2+⋅⋅⋅+a8≥1+2+⋅⋅⋅+8=36，若a7≥8，则a1+a2+⋅⋅⋅+a7+a8≥1+2+⋅⋅⋅+6+8+9=38>37，不符合要求，∴a7≤7，于是a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，a7=7，a8=9，b1，b2，…，b8是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且b8>9，∵S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=(a12+a22+⋅⋅⋅+a82)+(b12+b22+⋅⋅⋅+b82)−2(a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8)=(12+22+⋅⋅⋅+162)−2(a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8).根据排序不等式，当b1，b2，…，b8从小到大排列时，a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8的值最大，S 的值最小.∵当b1，b2，…，b8从小到大排列时，S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=(1−8)2+(2−10)2+(3−11)2+(4−12)2+(5−13)2+(6−14)2+(7−15)2+(9−16)2= 482，∴(a−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2的最小值为482.1或：∵12+22+⋅⋅⋅+162=16×(16+1)×(2×16+1)，6=1496当b1，b2，…，b8从小到大排列时，a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+a8b8=1×8+2×10+3×11+4×12+5×13+6×14+7×15+9×16= 507，S=(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2=1496−2×507=482.∴(a−b1)2+(a2−b2)2+⋅⋅⋅+(a8−b8)2的最小值为482.2【考点】不等式的性质【解析】【分析】设a i<b i，i=1、2、……8，且a1<a2<……a8，则62=136-2(a1+a2+……+a8)，求出a1+a2+……+a8的值，易得a7≤7，则S=(a1-b1)2+(a2-b2)2+……+(a8-b8)2=(12+22+…+162)-2(a1b1+a2b2+……+a8b8)，当b1、b2、……b8从小到大排列时，S=(1-8)2+(2-10)2+(3-11)2+(4-12)2+(5-13)2+(6-14)2+(7-15)2+(9-16)2，据此计算.，得到一个长和宽分别为20和18的矩形14．【答案】（1）解：将矩形ABCD的每条边向内缩进12A1B1C1D1(如图1所示)，图1则矩形A1B1C1D1的面积为20×18=360.对矩形ABCD内任意放入的114个直径为1的圆，分别以这114个圆的圆心为圆心，直径为2作114个新的圆(如图2所示).图2因为这114个新圆的面积和等于114×π×12=114π<114×3.15=359.1小于矩形A1B1C1D1的面积.所以在矩形A1B1C1D1内，一定存在一点O，它在这114个新的圆的外部.因为点O到矩形ABCD ，且点O到每个旧圆圆心的距离都大于1，所以以点O为圆心，直径为r的每条边的距离都大于12圆一定在矩形ABCD内，且与矩形内原有的114个直径为1的个圆都没有交点，也不在某个圆的内部.所以在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点(也不在某个圆的内部).，得到一个长和宽分别为20和18的矩形A1B1C1D1，（2）解：将矩形ABCD的每条边向内缩进12则矩形A1B1C1D1的面积为20×18=360.对矩形ABCD内任意放入的95个单位正方形，将这95个单位小正方形的每一个都加一个框：在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1和1的矩2形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧(如图3所示).图3因为这95个加框的图形的面积和等于 95(3+π4)<95(3+3.154)=359.8125 小于矩形 A 1B 1C 1D 1 的面积.所以在矩形 A 1B 1C 1D 1 内，一定存在一点 O ，它在这95个加框的图形的外部.因为点 O 到矩形 ABCD 每条边的距离都大于 12 ，且点 O 到每个单位正方形的边上的点的距离都大于 12 ，所以以点 O 为圆心，直径为 r 的圆一定在矩形 ABCD 内，且与矩形内原有的95个单位正方形都没有交点，也不在某个正方形的内部.所以在矩形 ABCD 内一定还可以放入一个直径为 r 的圆，它和这95个正方形都没有交点(也不在某个正方形的内部).【考点】抽屉原理（奥数类）【解析】【分析】（1）将矩形ABCD 的每条边向内缩进12，得到一个长和宽分别为20和18的矩形A 1B 1C 1D 1，则矩形A 1B 1C 1D 1的面积为360，对矩形ABCD 内任意放入的114个直径为1的圆，分别以这114个圆的圆心为圆心，直径为2作114个新的圆，求出这114个新圆的面积和，据此证明；（2）将矩形ABCD 的每条边向内缩进12，得到一个长和宽分别为20和18的矩形A 1B 1C 1D 1，则矩形A 1B 1C 1D 1的面积为360，在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1和12的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧，求出这95个加框的图形的面积和，据此证明.。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2018年“大梦杯〞省初中数学竞赛试题考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 总分值150分一、选择题〔共5小题，每题7分，共35分〕。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分〕1．假设关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，那么32442m m m ++-的值为〔 〕A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n 〔m n <〕。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

假设二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，那么nm=〔 〕A ．31+B ．21+C ．231-D ．221-3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，那么AEAC=〔 〕 A ．25B ．35C ．37D ．474．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，假设ABC △外接圆的半径 为2，那么AH =〔 〕A ．23B ．22C ．4D ．31+5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有〔 〕 A ．0对 B ．2对 C ．4对D ．6对HOBCA〔第4题图〕〔第2题图〕 EG〔第3题图〕二、填空题〔共5小题，每题7分，共35分〕6．a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。

假设b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，那么222a b c ++的最小值为。

7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。

假设函数4y x=〔0x >〕的图像过D 、E 两点，那么矩形ABCD 的面积为。

8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。

2019 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019 年 3 月 17 日9∶00－11∶00满分 150 分一、（共 5 小，每小 7 分，共 35 分）。

每道小均出了代号 A ，B， C，D 的四个，其中有且只有一个是正确的。

将正确的代号填入后的括号里，不填、多填或填都得0 分）1．若一次函数y x 2 与反比例函数y 4的像交于 A(x1，y1) ， B( x2，y2 ) 两点，xx1 x2y1 y2的（）A ．8B．6C．6D．8【答案】Dy x2【解答】由4，得x22x40⋯⋯⋯⋯⋯①。

yx依意，x1， x2是方程①的两根，于是 x1x22 ， x1 x2 4 。

∴x1 x2y1 y24416416x1 x2x1x2x1 x28。

x1x242．如，△ABCO 的内接三角形， D BC 中点， EOA 中点，ABC40 ，BCA80，OED 的大小（）A ．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】如， OC 。

（第 2 ）由 ABC40 ，BCA80 ，得BAC60。

∵ D BC 中点，∴OD BC ，DOC 1。

BOCBAC 602∴OCD 30， OD 1OC 。

2又 E OA 中点，∴OE 1OA OD 。

2（第 2 答）合ABC 40，知EOD AOC COD 2 40 60 140 ，1OED 1(180EOD )1(180140 )20。

223．已知二次函数 f ( x)2x2ax b ，若 f (a) f (b1) ，其中 a b 1 ，则 f(1) f (2) 的值为（）A ．8B．10C．12D．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知a b 1a。

于是， 3a2b 2 。

24所以， f (1) f (2)(2a b)(82a b)3a2b102108 。

4．如图，在四边形ABCD中，AB BC ， BCD 120，CD DA ，且 BC 6 ， CD 3 ，则四边形 ABCD 外接圆的面积为（）A ．7B．21C．63D．84【答案】B【解答】如图，设 BC 、 AD 的延长线交于点 P 。

2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2021年3月14日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.若当13x -≤≤时，二次函数223y x x m =-+的最大值为6，则m =（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【解答】∵13x -≤≤时，2239232()48y x x m x m =-+=--+的有最大值为6。

∴3x =时，6y =。

∴1896m -+=。

∴3m =-。

2.已知a ，b ，c 为正数，且满足3815a b ab b c bc c a ca ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则32a b c ++=（）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解答】由3815a b ab b c bc c a ca ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得(1)(1)4(1)(1)9(1)(1)16a b b c c a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩。

∴222(1)(1)(1)4916a b c +++=⨯⨯。

∵a ，b ，c 为正数，∴(1)(1)(1)24a b c +++=。

于是，16c +=，813a +=，312b +=。

∴53a =，12b =，5c =，3251511a b c ++=++=。

3.已知0x >，且13x x +=，则551x x+=（）A ．121B ．122C ．123D ．124注：参考资料“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。

如下所示，由“杨辉三角”可以得到()n a b +展开式中各项的系数。

【答案】C 【解答】由“杨辉三角”，知3322333111111(33()()3()x x x x x x x x x x x x+=+⋅+⋅+=+++。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221-3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25B ．35C ．37D ．474．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ）A ．23B ．22C ．4D ．31+5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对 D ．6对HOBCA（第4题图）（第2题图） EG（第3题图）6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。

若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。

7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。

若函数4y x=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。

8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。

2023年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试参考答案测试时间2023年3月12日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.若抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为(25)，，且与直线y a =有交点，则a b c ++的最小值为（）A ．18B ．13C ．8D ．4【答案】A【解答】由抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为(25)，可知，22(2)5x bx c x ++=-+，所以4b =-，9c =。

又抛物线与直线y a =有交点，故方程249x x a -+=有实根，即关于x 的一元二次方程2490x x a -+-=有实根，所以判别式164(9)0a =--≥△，解得5a ≥。

所以4951318a b c a ++=++≥+=，当5a =时，18a b c ++=。

因此a b c ++的最小值为18。

2.已知0x >，且11x x -=，则53132x x x +=--（）A ．56+B ．76+C ．52+-D ．72+-【答案】D 【解答】54324323221(1)(1)132(1)(2)2x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+-+-+-+==--+----。

因为11x x-=，所以210x x --=，21x x =+，21x x -=。

所以22121x x --=-=-，43222221()()123x x x x x x x x x x x -+-+=-+-+=+=+。

由0x >，210x x --=得152x +=，51753322x ++=+=。

所以53175322x x x ++=---。

3．5个互不相同的正实数，它们两两的和从小到大的排列为3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，则这5个数的平方和为（）A ．114B ．103C ．88D ．75【答案】B 【解答】设这个5个互不相同的正实数为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，且12345x x x x x <<<<。