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学案6：1.2.1常数函数与幂函数的导数

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1.2.1常数函数与幂函数的导数

学习目标：

（1）能根据导数定义,求几个常用函数的导数，并归纳出幂函数的求导公式.

（2）会利用导数的几何意义求曲线的切线方程.

学习过程：

提出问题

已知函数：

(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；

(4)y＝f(x)＝1x；(5)y＝f(x)＝x.

问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？

问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？

问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？

问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α为正数)的形式，其导数有何规律？

例题探究：

例1：求曲线y＝x3过点Q(1，12)的切线方程．

例2：若质点P的运动方程是s＝3t2(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．

例3：设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

课堂检测：

1．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有 ( )

A．1条 B．2条

C．3条 D．不确定

2．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为 ( )

A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2

C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4－1

3．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．

4．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．

5．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．

6.已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，

(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；

(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

参考答案

学习过程：

提出问题

问题1：∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝c－cΔx＝0，

∴y′＝0limxΔyΔx＝0.

问题2：由导数的定义得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)1x′＝－1x2，(5)(x)′＝12x.

问题3：y′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

问题4：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，

(5)(x)′＝(x12)′＝12x112－＝12x，

∴(xα)′＝αxα－1.

例题探究：

例1：解：∵点(1，12)不在曲线y＝x3上，

∴设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30，

kPQ＝y0－12x0－1＝x30－12x0－1.

又y′＝3x2，则kPQ＝f′(x0)＝3x20，

则有3x20＝x30－12x0－1，化简得2x30－3x20＋12＝0，

解得x0＝12或x0＝1＋32或x0＝1－32.

①x0＝12时，kPQ＝34，切线为y－12＝34(x－1)，

即3x－4y－1＝0.

②x0＝1＋32时，kPQ＝6＋332，

切线为y－12＝6＋332(x－1)，

即(6＋33)x－2y－5－33＝0.

③x0＝1－32时，kPQ＝6－332， 切线为y－12＝6－332(x－1)，

即(6－33)x－2y－5＋33＝0.

综上，所求切线的方程为

3x－4y－1＝0或(6＋33)x－2y－5－33＝0或(6－33)x－2y－5＋33＝0.

例2：解：∵s′＝(3t2)′＝(23t)′＝2313t，

∴v＝23×138＝23×2－1＝13，

∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为13 m/s.

例3：解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.

令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－32.

则f(x)＝x3－32x2－3x＋1，从而f(1)＝－52.

又f′(1)＝2×－32＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－－52

＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

课堂检测：

1．【答案】B

【解析】设切点为(x0，x30)，∵f′(x)＝3x2，

∴k＝f′(x0)＝3x20，即3x20＝1，

∴x0＝±33，

即在点33，39和点－33，－39处有斜率为1的切线，故选B.

2．【答案】B

【解析】由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入四个选项中验证，B正确，故选B.

3．【答案】(4＋23)x－y－7－43＝0或(4－23)x－y－7＋43＝0

【解析】y′＝2x，设切点P(x0，y0)，则y0＝x20.

切线斜率为2x0＝x20－1x0－2，

∴x20－4x0＋1＝0，∴x0＝2±3，

∴斜率k＝2x0＝4±23， ∴切线方程为y－1＝(4±23)(x－2)．

4．【答案】4x－4y－1＝0

【解析】y＝x2的导数为y′＝2x，设切点M(x0，y0)，

则0xxy＝2x0.

∵PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ，

∴k＝0xxy＝2x0＝1.∴x0＝12.

∴切点M12，14.

∴切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.

5．【答案】4

【解析】y′＝12x，切线方程为y－a＝12a(x－a)，

令x＝0得，y＝a2，

令y＝0得，x＝－a，

由题意知12·a2·a＝2，∴a＝4.

6.解：(1)因为y′＝2x.

P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．

过P点的切线的斜率k1＝－2，

过Q点的切线的斜率k2＝4，

过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，

即2x＋y＋1＝0.

过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，

切线的斜率k＝2x0＝1，

所以x0＝12，所以切点M12，14，

与PQ平行的切线方程为y－14＝x－12，

即4x－4y－1＝0.

合集下载

常见函数导数表

常见函数导数表

以下是一些常见函数的导数：

1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。

5. 三角函数：

* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。

* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。

* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。

6. 反三角函数：

* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。

* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。

* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。

7. 双曲函数：

* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。

* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。

8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为f'(x)=nax^(n-1)。

9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。

这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。

导数七个公式

导数七个公式

导数的基本公式包括：

1. 常数函数的导数：y = c（c为常数），其导数y' = 0。

2. 幂函数的导数：y = x^n，其导数y' = nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：y = a^x，其导数y' = a^x lna；当底数为自然数e时，即y

= e^x，其导数y' = e^x。

4. 对数函数的导数：y = log_a x，其导数y' = 1/(xlna)（a > 0且a ≠ 1）；当底数为自然数e时，即y = ln x，其导数y' = 1/x。

5. 三角函数的导数：

• y = sin x，其导数y' = cos x。

• y = cos x，其导数y' = -sin x。

• y = tan x，其导数y' = (sec x)^2 = 1/(cos x)^2。

• y = cotx，其导数y' = -(csc x)^2 = -1/(sin x)^2。

6. 反三角函数的导数：

• y = arcsin x，其导数y' = 1/√(1 - x^2)。

• y = arccos x，其导数y' = -1/√(1 - x^2)。

• y = arctan x，其导数y' = 1/(1 + x^2)。

• y = arccot x，其导数y' = -1/(1 + x^2)。

这些公式是导数计算的基础，通过它们可以推导出更复杂的函数的导数。在解题时，首先确定函数的定义域，然后应用相应的导数公式进行计算，最后根据导数的符号判断函数的增减性，进而描绘函数的图像或求解其他问题。

1.2.1常数函数与幂函数的导数

1.2.1常数函数与幂函数的导数

1 1.2.1常数函数与幂函数的导数

预习案

一、 自学教材，思考下列问题

1.导数的概念

2.导数的几何意义

二、 一试身手

利用导数的定义求下列函数的导数：

（1）f（x）=2 （2）f（x）=x

（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2

导学案

一、 学习目标

（1） 知识与技能

能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数

（2） 过程与方法

在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力

（3） 情感态度价值观

提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神

二、 学习过程

（1） 课内探究

问题1：常数函数的导数是什么？

问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数

2 （1）y=x（2）y=x2（3）y=x3（4）1yx=（5）yx=

问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？

问题4：幂函数ayx=的导数是什么？

（2） 典型例题

例1 求 (1)(x3)′ (2)(21x)′ (3)(x)′

例2质点运动方程是51ts, 求质点在2t时的速度．

（3） 当堂检测

1．已知语句:p函数()yfx的导函数是常数函数；语句:q函数()yfx是一次函数，则语句p是语句q的（ ）

Ａ．充分不必要条件

Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件

Ｄ．既不充分又不必要条件

2．若函数()fx的导函数为()sinfxx，则函数图象在点(4(4))f，处的切线的倾斜角

3 为（ ）

Ａ．90° Ｂ．0° Ｃ．锐角 Ｄ．钝角

3、求下列函数的导数

53321(1) y21 (2)y (3)yx (4)y xxx213632')1(xxy解：33122222)(2)'()'1(': )2(xxxxxy解xxxxxy2)(21)'()'(')3(2121解：5252535353)(53)'()'(')4(xxxxy解：

人教版高中数学选修2-2学案：1.3.2函数的极值与导数

人教版高中数学选修2-2学案：1.3.2函数的极值与导数

1.3.2函数极值与导数

【学习目标】

1.理解极大值、极小值概念；

2.能够运用判别极大值、极小值方法来求函数极值；

3.掌握求可导函数极值步骤.

【新知自学】

知识回顾：

1.利用导数判断函数单调性方法：

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y，那么y=f(x)为这个区间内 ；如果在这个区间内0y，那么y=f(x)为这个区间内 .

新知梳理：

1. 极值定义：

（1）极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有点，都有 ，就说f(x0)是函数f(x)一个极大值，记作 ， x0是极大值点.

（2）极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近所有点，都有 .就说f(x0)是函数f(x)一个极小值，记作 ， x0是极小值点.

（3） 与 统称为极值

2.判别f(x0)是极大、极小值方法:

0x满足0)(0xf，且在0x两侧)(xf导数异号，则0x是)(xf极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“ ”，则0x是)(xf极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“ ”，则0x是)(xf极小值点，)(0xf是极小值.

感悟：

（1）极值点是自变量值，极值指是函数值；

（2）极值是一个局部概念定义，极值只是某个点函数值与它附近点函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小．

（3）函数极值不是惟一，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．

（4）极大值与极小值之间无确定大小关系，即一个函数极大值未必大于极小值.