高中数学选修2-2学案7：2.2.1 综合法和分析法

人教版高中数学选修2-2

1 2.2.1 综合法和分析法

学习目标：

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.

2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．

学习过程：

教材新知：

知识点一：综合法

提出问题：

阅读下列证明过程，回答问题．

求证：π是函数f(x)＝sin2x＋π4的一个周期．

证明：因为f(x＋π)＝sin2x＋π＋π4＝sin2x＋2π＋π4＝sin2x＋π4＝f(x)，所以由周期函数的定义可知，π是函数f(x)＝sin2x＋π4的一个周期．

问题1：本题的条件和结论各是什么？

问题2：本题的证明顺序是什么？

导入新知

1．综合法的定义

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

2．综合法的框图表示

P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Qn⇒Q

(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)

化解疑难

综合法的特点

(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．

(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.

知识点二：分析法

提出问题 人教版高中数学选修2-2

2 阅读下列证明过程，回答问题．

求证：6＋7≥22＋5.

证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．

问题1：本题证明从哪里开始？

问题2：证明思路是什么？

导入新知

1．分析法的定义

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

2．分析法的框图表示

Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件

化解疑难

分析法的特点

(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．

(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.

例题讲解：

题型一：综合法的应用

例1：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.

类题通法

综合法的证明步骤

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； 人教版高中数学选修2-2

3 (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．

活学活用：已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：4a＋1b≥9.

题型二：分析法的应用

例2：设a，b为实数，求证： a2＋b2≥22(a＋b)．

类题通法

分析法的证明过程及书写形式

(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．

(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．

活学活用：在锐角△ABC中，求证：tan Atan B＞1.

题型三：综合法和分析法的综合应用

例3：已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.

类题通法

综合法与分析法的适用范围 人教版高中数学选修2-2

4 (1)综合法适用的范围：

①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；

②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．

(2)分析法适用的范围：

分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．

活学活用：设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.

例4：已知a≥－12，b≥－12，a＋b＝1，求证：2a＋1＋2b＋1≤22.

课堂检测：

1．“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b与a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中正确判断的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

2．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( )

A．(3－5)2＜(6－8)2

B．(3－6)2＜(5－8)2

C．(3＋8)2＜(6＋5)2

D．(3－5－6)2＜(－8)2

3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

求证：1a－11b－11c－1≥8.

证明过程如下：

∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

∴1a－1＝b＋ca＞0，1b－1＝a＋cb＞0，1c－1＝a＋bc＞0， 人教版高中数学选修2-2

5 ∴1a－11b－11c－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bc·2ac·2ababc＝8，

当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．

这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．

4．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立．

5．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥ a＋b.(要求用两种方法证明)

人教版高中数学选修2-2

6 ——★ 参 考 答 案 ★——

教材新知：

知识点一：综合法

问题1：条件：f(x)＝sin2x＋π4；结论：π是f(x)的一个周期．

问题2：从已知利用诱导公式到待证结论．

知识点二：分析法

问题1：从结论开始．

问题2：寻求每一步成立的充分条件．

例题讲解：

例1：证明：∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，

∴a(b2＋c2)≥2abc.①

同理，b(c2＋a2)≥2abc，②

c(a2＋b2)≥2abc.③

∵a，b，c不全相等，

∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”，

∴①②③式相加得

a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.

活学活用：证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴4a＋1b＝4a＋ba＋a＋bb＝4＋4ba＋ab＋1＝5＋4ba＋ab≥5＋2 4ba×ab＝5＋4＝9.

当且仅当4ba＝ab，即a＝2b时“＝”成立.

例2：证明：当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，

∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．

当a＋b>0时，

用分析法证明如下：

要证a2＋b2≥22(a＋b)，

只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，

即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.

∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， 人教版高中数学选修2-2

7 ∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．

综上所述，不等式得证．

活学活用：证明：要证tan Atan B＞1，只需证sin Asin Bcos Acos B＞1.

∵A，B均为锐角，

∴cos A＞0，cos B＞0.

即证sin Asin B＞cos Acos B，

即cos Acos B－sin Asin B＜0，

只需证cos(A＋B)＜0.

∵△ABC为锐角三角形，

∴90°＜A＋B＜180°，

∴cos(A＋B)＜0，因此tan Atan B＞1.

例3：证明：法一：(分析法)

要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，

即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，

只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，

化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，

即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，

所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.

因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，

所以B＝60°，

所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，

即a2＋c2－b2＝ac成立，

∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．

法二：(综合法)

因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，

所以B＝60°.

由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos 60°，

所以c2＋a2＝ac＋b2.

两边加ab＋bc，得

c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，