高中数学选修2-2课时作业22：2.2.1 综合法和分析法
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人教版高中数学选修2-2
1 2.2.1 综合法和分析法
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
3．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D. 14
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则( )
A.f(x1)＋f(x2)2≤fx1＋x22
B.f(x1)＋f(x2)2＝fx1＋x22
C. f(x1)＋f(x2)2≥fx1＋x22
D. f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
7．如果aa＋bb＞ab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________．
8．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________.
三、解答题
9．求证：2cos(α－β)－sin(2α－β)sin α＝sin βsin α. 人教版高中数学选修2-2
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10．设f(x)＝ln x＋x－1，证明：
(1)当x＞1时，f(x)＜32(x－1)；
(2)当1＜x＜3时，f(x)＜9(x－1)x＋5.
——★ 参 考 答 案 ★——
一、选择题
1．[答案]C 人教版高中数学选修2-2
3 [解析]①②③⑤正确．
2．[答案]A
[解析]本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝1x′＝－1x2＜0，
∴f(x)＝1x在(0，＋∞)上为减函数．
3．[答案]B
[解析]3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以ab≤a＋b2＝12⇒ab≤14，所以1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥114＝4.
4．[答案]C
[解析]若A>B，则a>b.
又∵asin A＝bsin B，
∴sin A>sin B.
若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
5．[答案]D
[解析]因为x1≠x2，所以f(x1)＋f(x2)2＝ax1＋1＋ax2＋12＞ ax1＋1·ax2＋1＝ax1＋x22＋1＝fx1＋x22，
所以f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22.
二、填空题
6．[答案]综合法
[解析]该证明过程符合综合法的特点．
7．[答案]a≥0，b≥0且a≠b
[解析]aa＋bb＞ab＋ba
⇔aa－ab＞ba－bb
⇔a(a－b)＞b(a－b)
⇔(a－b)(a－b)＞0
⇔(a＋b)(a－b)2＞0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可． 人教版高中数学选修2-2
4 8．[答案]－725
[解析]因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，
所以π≤2θ≤3π2，
所以cos 2θ＝－1－sin22θ＝－725.
三、解答题
9．证明：要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，
左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β＝右边．
所以等式成立．
10．证明：(1)记g(x)＝ln x＋x－1－32(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝1x＋12x－32＜0.
又因为g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜32(x－1)．
(2)记h(x)＝f(x)－9(x－1)x＋5，
则h′(x)＝1x＋12x－54(x＋5)2
＝2＋x2x－54(x＋5)2＜x＋54x－54(x＋5)2
＝(x＋5)3－216x4x(x＋5)2.
令p(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3)内单调递减．又因为p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0，
因此h(x)在(1,3)内单调递减．又因为h(1)＝0，
则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜9(x－1)x＋5.
