2020年高中三年级数学下期中第一次模拟试题(带答案)(1)
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2020年高中三年级数学下期中第一次模拟试题(带答案)(1)
一、选择题
1．下列结论正确的是（ ）
A．若ab，则22acbc B．若22ab，则ab
C．若,0abc，则acbc D．若ab，则ab
2．已知数列na的前n项和为nS，且1142nna，若对任意*Nn，都有143npSn成立，则实数p的取值范围是（ ）
A．2,3 B．2,3 C．92,2 D．92,2
3．设,xy满足约束条件3002xyxyx, 则3zxy的最小值是
A．5 B．4 C．3 D．11
4．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为( )
A． 3－1 B． 3＋1
C．23＋2 D．23－2
5．设nS为等差数列na的前n项和，1(1)()nnnSnSnN＜.若871aa，则（ ）
A．nS的最大值为8S B．nS的最小值为8S C．nS的最大值为7S D．nS的最小值为7S
6．变量,xy满足条件1011xyyx，则22(2)xy的最小值为（ ）
A．322 B．5 C．5 D．92
7．已知数列na的首项11a，数列nb为等比数列，且1nnnaba．若10112bb，则21a（ ）
A．92 B．102 C．112 D．122
8．在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边,若sin3cos0bAaB,且2bac，则acb的值为( )
A．2 B．2 C．22 D．4 9．,xy满足约束条件362000xyxyxy,若目标函数(0,0)zaxbyab的最大值为12，则23ab的最小值为 ( )
A．256 B．25 C．253 D．5
10．若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则cdab D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
11．若正数,xy满足40xyxy，则3xy的最大值为
A．13 B．38 C．37 D．1
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列na，则此数列的项数为（ ）
A．134 B．135 C．136 D．137
二、填空题
13．数列na满足：1aa（aR且为常数），*13343nnnnnaaanNaa，当100a时，则数列na的前100项的和100S为________.
14．设nS是等差数列na的前n项和，若510S，105S，则公差d（___）．
15．已知数列{}na满足51()1,62,6nnannaan，若对任意*nN都有1nnaa，则实数a的取值范围是_________.
16．在数列na中，11a，且na是公比为13的等比数列．设13521TnnaaaaL，则limnnT__________．(*nN)
17．设等差数列na的前n项和为nS，12mS，0mS，13mS.其中*mN且2m，则m______. 18．设不等式组30,{230,1xyxyx表示的平面区域为1，平面区域2与1关于直线20xy对称，对于任意的12,CD，则CD的最小值为__________．
19．已知各项为正数的等比数列na满足7652aaa，若存在两项,mnaa使得122mnaaa，则14mn的最小值为__________．
20．若已知数列的前四项是2112、2124、2136、2148，则数列前n项和为______.
三、解答题
21．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元，满足31kmx（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2020年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
22．等差数列na中，71994,2aaa.
(1)求na的通项公式；
(2)设1nnbna，求数列nb的前n项和nS.
23．设ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2coscoscoscCaBbA.
（1）求角C.
（2）若ABCV的面积为S，且224()Sbac，2a，求S.
24．等差数列{}na的各项均为正数，11a,前n项和为nS．等比数列{}nb 中，11b，且226bS,238bS．
（1）求数列{}na与{}nb的通项公式；
（2）求12111nSSS．
25．已知数列na是公差为2的等差数列，若1342,,aaa成等比数列．
（1）求数列na的通项公式；
（2）令12nnnba，数列nb的前n项和为nS,求满足0nS成立的n的最小值.
26．在等比数列nb中，公比为01qq，13511111,,,,,,50322082bbb. （1）求数列nb的通项公式；
（2）设31nncnb，求数列nc的前n项和nT.
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
选项A中，当c=0时不符，所以A错．选项B中，当2,1ab时，符合22ab，不满足ab，B错．选项C中, acbc,所以C错．选项D中，因为0a
b，由不等式的平方法则， 22ab，即ab．选D.
2．B
解析：B
【解析】
011111444222nnS
11221244133212nnnn
143npSnQ
即22113332np
对任意*nN都成立，
当1n时，13p
当2n时，26p
当3n时，443p
归纳得：23p
故选B
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列na的前n项和为nS，为求p的取值范围则根据n为奇数和n为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果 3．C
解析：C
【解析】
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由3zxy可得3yxz．平移直线3yxz，结合图形可得，当直线3yxz经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z也取得最小值．
由300xyxy，解得3232xy，故点A的坐标为33(,)22．
∴min333()322z．选C．
4．D
解析：D
【解析】
由a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，
得(a＋c)·(a＋b)＝4－23.
∵a、b、c>0.
∴(a＋c)·(a＋b)≤22bc2a(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，
∴2a＋b＋c≥2423－＝2(3－1)＝23－2.
故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
5．C
解析：C
【解析】 【分析】
由已知条件推导出（n2﹣n）d＜2n2d，从而得到d＞0，所以a7＜0，a8＞0，由此求出数列{Sn}中最小值是S7．
【详解】
∵（n+1）Sn＜nSn+1，
∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1
即na112nnd＜na1+n2d，
整理得（n2﹣n）d＜2n2d
∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0
∴d＞0
∵87aa＜1＜0
∴a7＜0，a8＞0
数列的前7项为负，
故数列{Sn}中最小值是S7
故选C．
【点睛】
本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．
6．C
解析：C
【解析】
由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
由已知条件推导出an=b1b2…bn-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出a21．
【详解】
数列{an}的首项a1=1，数列{bn}为等比数列，且1nnnaba，
∴3212212aababaa＝，＝4312341233aabbbabbba，，＝，，
…101211011211220120219101122nnabbbbbabbbbbbbbbQ，，（）（）（） ．
故选B．
【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
由正弦定理，化简求得sin3cos0BB，解得3B，再由余弦定理，求得224bac，即可求解，得到答案．
