数学模型的建立方法

§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

[学习目标]

1.能表述建立数学模型的方法、步骤；

2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；

3.能表述数学建模的分类；

4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；

5.培养建模的想象力和洞察力。

一、建立数学模型的方法和步骤

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．

可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从

§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示．

图16-5 建模步骤示意图

模型准备 首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.

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课堂中建立数学模型的方法

作者：黄心勤

来源：《小学教学参考(数学)》2012年第11期

数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作出的一个抽象的、简化的数学结构。在小学阶段建立清晰的数学模型有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展，有利于提高学生解决问题的能力，有利于培养学生的创造性思维能力。因此，在教学过程中，有意识地培养学生的建模意识，能培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，让学生积极参与数学模型的创建过程，从而促进学生思维能力的发展。下面就谈谈在教学中建立数学模型的几点做法。

一、在分析与比较中建立数学模型

学生在日常生活中已经积累了一定的比较与分类的知识。作为数学教师，要善于利用学生这种已有的认识基础，把生活中的分析、比较、分类迁移到数学中来，在教学中利用分析与比较来建立数学模型，从而培养学生的建模意识。

例如，在教学《质数和合数》时，有的教师可能会出示两三个自然数，让学生找出它们的因数，然后出示课本上的概念。只通过几个例子就出示概念，这样的处理过于简单，学生对于质数、合数的概念只是机械地接受，并非自主建构，对概念的运用自然有限。其实在本课教学中，可以先增加一些有生活背景的实际问题：让学生根据自己的座位号写出各自的因数，然后让部分学生汇报自己座位号因数的情况，接着让学生比较这些数的因数个数的特点，从而根据这些数的因数的多少进行自主分类。在这样的教学中，学生的主体作用得到了充分的发挥，他们的分析、比较、归纳、概括能力和自学能力也得到了有效地培养，学生处于学习的主体地位，他们自觉去认识和理解质数和合数的概念及本质特征，也能自主建构质数和合数这两个概念的模型。

在这一数学概念模型形成过程中，分析、比较的作用较大，观察、比较“一些数的因数个数的特点”花的时间不多，但却是新知与旧知的“生成点”，起着承上启下的作用，目的是使学生发现有的数只有1和它本身两个因数，有的数除了1和它本身还有其他的因数。其实学生在比较的过程就已经发现了这些数的因数个数的特点，从而能够正确地进行分析并进行合理的分类，而质数和合数这两个概念的数学模型也在学生的分析和比较中自然而然地形成了。

数学学习中的模型建立与应用

数学是一门科学，它深刻地影响着我们的生活。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，模型的建立与应用都是数学学习中的重要部分。本文将从数学模型的定义、建立过程以及具体应用角度来探讨数学学习中的模型建立与应用。

一、数学模型的定义

数学模型是指用数学方法和原理描述现实世界中的问题的抽象工具。它可以是一组方程、一组不等式、一组差分方程或一组概率分布等。数学模型的建立依赖于对实际问题的了解和对数学方法的熟悉，通过建立模型可以对问题进行分析和求解。

二、数学模型的建立过程

1. 确定问题：首先要明确问题的具体内容，包括问题背景、要解决的目标以及相关的限制条件等。

2. 建立假设：在建立数学模型时，常常需要对实际问题进行简化和抽象。这就需要建立一些合理的假设来描述问题。

3. 设定变量：将问题中与数学相关的要素抽象成数学符号，并设定相关的变量和参数。

4. 建立关系：根据问题的要求和变量之间的关系，建立数学方程组、优化模型或概率分布等。 5. 检验与修正：建立数学模型后，需要对其进行检验，利用已有数据进行验证。如果模型不符合实际情况，需要进行修正和调整。

三、数学模型在实际应用中的例子

1. 物理学中的数学模型：在物理学中，数学模型的应用广泛。例如，牛顿力学中的运动方程、电磁场理论中的麦克斯韦方程组以及量子力学中的薛定谔方程等，都是通过数学模型来描述和解决实际问题的。

2. 经济学中的数学模型：经济学中的数学模型帮助我们理解市场行为和经济现象。例如，供需关系的数学模型可以预测商品价格的变化，经济增长模型可以分析国民生产总值的增长趋势。

3. 生物学中的数学模型：生物学中的数学模型可以帮助我们了解生物体的生命规律和进化过程。例如，传染病的传播模型可以预测疾病的蔓延速度，遗传模型可以研究基因的遗传规律。

4. 社会科学中的数学模型：在社会科学领域，数学模型可以用来解决社会问题和制定决策。例如，人口增长模型可以预测人口数量的变化，社会网络模型可以分析人际关系的复杂性。

数学建模方法大全

二○一二年九月九日星期日

9时59分32秒目录

一、主成分分析法 ...................................................................................................................... 3

二、因子分析法 .......................................................................................................................... 6

三、聚类分析 ............................................................................................................................ 10

四、最小二乘法与多项式拟合 ............................................................................................. 17

五、回归分析（略） ............................................................................................................... 23

六、概率分布方法（略） ...................................................................................................... 23

七、插值与拟合（略） ........................................................................................................... 23