1 第三章 二维随机变量及其分布
在很多实际问题中，有一些随机试验需要用两个或两个以上的随机变量才能描述, 如，
炮弹着落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述。又如气候情况与气温、风力、降水量等多个随机变量有关，为了准确提供气候情况，我们就完全有必要将描述天气情况的多个随机变量作为一个整体来研究。将n个随机变量nXXX,,,21作为一个整体，记作),,,(21nXXX，称为n维随机变量。
在这一节我们主要研究二维随机变量的概率分布、边缘分布及二维随机变量的独立
性等. 这部分内容的讨论也可类推到)2(nn维随机变量的情形.
§3. 1二维随机变量的联合分布
3.1.1、二维随机变量的概率分布
定义3.1：设)(YX，是二维随机变量，对于任意实数yx、，称二元函数
yYxXPyxF，，)(
为二维随机变量)(YX，的分布函数或随机变量X和Y的联合分布函数，它表示随机事件}{xX与}{yY同时发生的概率.
2 图3-1 图3-2
将二维随机变量)(YX，看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数)(yxF，在点
)(yx，处的函数值就是随机点)(YX，落在直线xX的左侧和直线yY的下方的无穷矩形区域内的概率(如图3-1)
有了分布函数)(yxF，，借助于图3-2，容易算出随机点)(YX，落在矩形区域
){(yxD，}2121yYyxXx，
内的概率为：
)()(}{21222121yxFyxFyYyxXxP，，，)()(1112yxFyxF，，.
根据概率的定义和二维随机变量的定义，可得：
二维分布函数)(yxF，具有以下基本性质：
（1）1)(0yxF，；
第三章 多维随机变量及其分布
1. 从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠笔的盒子里随机抽取两支，用和分别表示抽出的蓝笔数和红笔数，求（1）),(的分布律；（2）边缘分布率。
2. 已知),(的联合分布函数为F),(yx＝其它,00,0,3331yxyxyx，试求：(1）F（1,2）；(2)P(1，1)；(3)边缘分布函数，并考察随机变量与的独立性.
3. 设盒内有3个红球，一个白球，从中不放回地抽取两次，每次抽一球，设第一次抽到红球数，两次共抽到的红球数为，试求（,）的联合概率分布.
4.设袋中有标记为1～4的四张卡片，从中不放回地抽取两张，表示首次抽到卡片上的数字，表示抽到的两张卡片上数字差的绝对值，求),(的概率分布及边缘分布；
5.设二维随机变量（，）的联合密度为),(yxf= 其它 ， ,02010,21yx,（1）求与中至少有一个小于0.5的概率；（2）与是否独立？
6. 设二维随机变量（，）的联合密度为),(yxf= 其它 ， ,02010,xyxA，试求：
（1）系数A；（2）；边缘分布密度；（3））（2121P.
1 第3章 多维随机变量及其分布试题答案
一、选择（每小题2分）
1、设二维随机变量),(YX的分布律为
Y
X 1 0 1
0 0.1 0.3 0.2
1 0.2 0.1 0.1
则{0}PXY=（ C ）
(A) 0.2
(B)0.5
(C) 0.6 (D) 0.7
2、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为otheryxcyxf,011,11,),(，则常数c=（A）
(A) 41 (B) 21 (C) 2
(D)4
3、设二维随机变量),(YX的分布律为
Y
X 0 1
0 0.1 0.2
1 0.3 0.4
设1,0,},,{jijYiXPpij，则下列各式中错误的是（ D ）
(A) 0100pp (B) 1110pp (C) 1100pp (D) 0110pp
4、设二维随机变量),(YX的分布律为
Y
X 0 1 2
0 0.1 0.2 0
1 0.3 0.1 0.1
2 0.1 0 0.1
则}{YXP=（A ）
(A) 0.3 (B) 0.5 (C) 0.7 (D)0.8
5、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为otheryxeAeyxfyx,00,0,),(2，则常数A=（D） 2 (A) 21 (B) 1 (C) 23 (D)2
6、设二维随机变量),(YX的分布律为
Y
X 0
5
0
41 61
2 31 41
则}0{XYP=（C）
(A) 41 (B) 125 (C) 43 (D)1
讲稿
课程名称 《概率论与数理统计》 教师姓名 陈洁
授课章节 §3.1二维离散型随机变量及其联合分布律
授课对象 机械设计制造及自动化、材料科学与工程专业等
教学目标 掌握二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法，并能熟练运用到实际问题中。
教学方式 启发式
教学内容 二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法。
教学重点 二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法
教学难点 实际问题中求解联合分布律
教学方法和策略 采用多媒体课件辅助，对比一维离散型随机变量分布律的求法深入讲解二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法，举例说明其用法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
学情分析 学生已经掌握了联合分布律的求法，思考解决问题的方法。
教学评价 师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源 参考书目，网上教学视频，网络微课教学 JINING UNIVERSITY
教学过程：
一、二维离散型随机变量定义及联合分布律
1.定义
定义1 二维离散型随机变量(X,Y)如果二维随机变量（X,Y）全部可能取值是有限对或可列个无限对，则称（X,Y）为二维离散型随机变量。
表示方法：（1）公式法； （2）列表法。
ii 2(,)(), (,1,2,...,)
({,,,})jijjPXxxyXYXyijYYp 定义 设二维离散型随机变量所有可能取值为则称为的联合分布律.
2.表格形式下二维离散型随机变量的分布律的表示:
3.联合分布律的性质
二、典型例题
例1 袋中有2只白球，3只黑球，现摸球两次，定义
，
求 (1) 有放回取球下(X,Y)的分布律。
(2) 不放回取球下(X,Y)的分布律。 补充说明
二维一定要在一维的基础上展开，讲解二维离散型随机变量分布律的定义与求法时，一定要与一维对比讲解。这样就有很好的过渡过程，不仅可以加深学生对概念的理解，还有助于复习前面的知识。
